基礎(chǔ)篇
一、單選題
1．（2022春·廣西防城港·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等B．對(duì)頂角相等
C．兩直線平行，同旁內(nèi)角相等D．垂線段最短
2．（重慶市沙坪壩區(qū)2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，直線被直線所截，，，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
3．（2022春·江蘇常州·七年級(jí)常州市清潭中學(xué)?？计谥校┡c是同旁內(nèi)角，，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．
C．或D．的大小不確定
4．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線，的直角頂點(diǎn)A落在直線上，點(diǎn)B落在直線上，若，，則的大小為（ ）
A．B．C．D．
5．（2023秋·山東濟(jì)南·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，如果，，那么的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
6．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，，則下列各式中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空題
7．（2023秋·陜西咸陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一副直角三角板如圖放置，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，則_________°．
8．（2022春·福建龍巖·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，直線，，，則________．
9．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，和的角平分線交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，，則_________．
10．（2022秋·上海楊浦·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，將一個(gè)直角三角形的直角頂點(diǎn)放在一個(gè)長(zhǎng)方形的一邊上，如果，那么______度．
三、解答題
11．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖平分，，．求的度數(shù)．
12．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知三角形的頂點(diǎn)，分別在直線和上，且．若，．
(1)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．
(2)設(shè)，，求和的數(shù)量關(guān)系（用含，的等式表示）．
提升篇
一、填空題
1．（2022春·廣東河源·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，將一個(gè)寬度相等的紙條按如圖所示沿折疊，已知∠1=50°，則_______．
2．（2022秋·河南南陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知射線，連接，點(diǎn)P是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），，分別平分和，分別交射線于點(diǎn)C，D．當(dāng)時(shí)，則______度，（用含x的代數(shù)式表示）
3．（2022秋·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，，平分，，，則________度．
4．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知，平分，平分，，，則的度數(shù)為_(kāi)__________．（用含n的式子表示）
5．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）下列各圖中的與平行．
（1）圖①中的_____度，圖②中的_____度，圖③中的_____度，圖④中的_____度，…，第⑩個(gè)圖中的_____度
（2）第n個(gè)圖中的_____．
二、解答題
6．（2022春·廣西防城港·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，已知四邊形ABCD中，∠D＝100°，AC平分∠BCD，且∠ACB＝40°，∠BAC＝70°．
(1)AD與BC平行嗎？試寫出推理過(guò)程；
(2)求∠DAC和∠EAD的度數(shù)．
7．（2022秋·福建泉州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，直線，點(diǎn)A是直線上一點(diǎn)，點(diǎn)C是直線上一點(diǎn)，點(diǎn)B是直線、之間的一點(diǎn)．
(1)過(guò)點(diǎn)B作，試說(shuō)明：；
(2)如圖2，平分，，平分，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C在直線右側(cè)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，的度數(shù)是否不變，若是，求出該度數(shù)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
8．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知直線， A是l1上的一點(diǎn)，B是l2上的一點(diǎn)，直線l3和直線l1，l2交于C和D，直線上有一點(diǎn)P．
(1)如果P點(diǎn)在C，D之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，問(wèn)，，有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．
(2)若點(diǎn)P在C，D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（P點(diǎn)與C，D不重合），試探索，，之間的關(guān)系又是如何？（請(qǐng)直接寫出答案，不需要證明）
第二章 相交線與平行線
2.3 平行線的性質(zhì)
基礎(chǔ)篇
一、單選題
1．（2022春·廣西防城港·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等B．對(duì)頂角相等
C．兩直線平行，同旁內(nèi)角相等D．垂線段最短
【答案】C
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可判斷A，C，根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)可判斷B，根據(jù)垂線段的性質(zhì)可判斷D，從而可得答案．
【詳解】解：A．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，原說(shuō)法正確，不合題意；
B．對(duì)頂角相等，原說(shuō)法正確，不合題意；
C．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，原說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；
D．垂線段最短，原說(shuō)法正確，不合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，對(duì)頂角的性質(zhì)，垂線段的性質(zhì)，熟記以上幾何性質(zhì)與概念是解本題的關(guān)鍵．
2．（重慶市沙坪壩區(qū)2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，直線被直線所截，，，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”和“鄰補(bǔ)角互補(bǔ)”來(lái)求∠2的度數(shù)．
【詳解】解：,
,
故選擇：B
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)．平行線性質(zhì)定理：定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等． 簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，同位角相等．定理2：兩條平行線被地三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等． 簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．
3．（2022春·江蘇常州·七年級(jí)常州市清潭中學(xué)?？计谥校┡c是同旁內(nèi)角，，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．
C．或D．的大小不確定
【答案】D
【分析】?jī)芍本€平行時(shí)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，不平行時(shí)無(wú)法確定同旁內(nèi)角的大小關(guān)系．
【詳解】解：同旁內(nèi)角只是一種位置關(guān)系，并沒(méi)有一定的大小關(guān)系，只有兩直線平行時(shí)，同旁內(nèi)角才互補(bǔ)．
∴的大小不確定，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，特別注意，同旁內(nèi)角互補(bǔ)的條件是兩直線平行．
4．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線，的直角頂點(diǎn)A落在直線上，點(diǎn)B落在直線上，若，，則的大小為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，進(jìn)行求解即可.
【詳解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴.
故選：C
【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵.
5．（2023秋·山東濟(jì)南·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，如果，，那么的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)即可求的度數(shù)．
【詳解】解：如圖，
，
，
，
．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定與性質(zhì)．
6．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，，則下列各式中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等、兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）即可得到結(jié)論．
【詳解】∵，
∴，，
∴，
∴，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
二、填空題
7．（2023秋·陜西咸陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一副直角三角板如圖放置，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，則_________°．
【答案】
【分析】直接利用三角板的特點(diǎn)，結(jié)合平行線的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出答案．
【詳解】解：由題意可得：．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意得出的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
8．（2022春·福建龍巖·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，直線，，，則________．
【答案】
【分析】如圖：延長(zhǎng)AB交于E，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，即可求出的度數(shù)．
【詳解】如圖：延長(zhǎng)AB交于E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，通過(guò)內(nèi)錯(cuò)角相等證得是解題關(guān)鍵．
9．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，和的角平分線交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，，則_________．
【答案】58°##58度
【分析】依據(jù)平行線的性質(zhì)，以及角平分線的定義，即可得到，進(jìn)而得出結(jié)論．
【詳解】解：∵，
∴
∵平分
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．
10．（2022秋·上海楊浦·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，將一個(gè)直角三角形的直角頂點(diǎn)放在一個(gè)長(zhǎng)方形的一邊上，如果，那么______度．
【答案】
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)平角的定義結(jié)合即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，平角的定義．理解和掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
11．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖平分，，．求的度數(shù)．
【答案】
【分析】根據(jù)角平分線的定義求出度數(shù)，再根據(jù)平行的性質(zhì)就可求出的度數(shù)．
【詳解】解：∵平分，，
∴，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，熟記角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．
12．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知三角形的頂點(diǎn)，分別在直線和上，且．若，．
(1)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．
(2)設(shè)，，求和的數(shù)量關(guān)系（用含，的等式表示）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可求解；
（2）過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)作，可得，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到，，由此得到，在中，，由此即可求解．
【詳解】（1）解：∵，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴．
（2）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∵在中，，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線與三角形的綜合運(yùn)用，掌握平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．
提升篇
一、填空題
1．（2022春·廣東河源·七年級(jí)校考期中）如圖，將一個(gè)寬度相等的紙條按如圖所示沿折疊，已知∠1=50°，則_______．
【答案】100°
【分析】先根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)求出∠3的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【詳解】解：如圖，
∵將一個(gè)寬度相等的紙條按如圖所示沿AB折疊，
∴，
．
故答案為100°．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；翻折變換的性質(zhì)，即折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．
2．（2022秋·河南南陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知射線，連接，點(diǎn)P是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），，分別平分和，分別交射線于點(diǎn)C，D．當(dāng)時(shí)，則______度，（用含x的代數(shù)式表示）
【答案】
【分析】由角平分線的定義可得，，從而得到，再由平行線性質(zhì)得，從而可求解；
【詳解】解：∵，分別平分和，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義，結(jié)合圖形并熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．
3．（2022秋·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，，平分，，，則________度．
【答案】110
【分析】過(guò)點(diǎn)E作，過(guò)點(diǎn)F作，利用余角的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)得到，，將轉(zhuǎn)化為，最后根據(jù)平角的性質(zhì)即可得到答案．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)E作，過(guò)點(diǎn)F作，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)余角，平角等知識(shí)，解題關(guān)鍵是熟練掌握兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，同位角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．
4．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知，平分，平分，，，則的度數(shù)為_(kāi)__________．（用含n的式子表示）
【答案】
【分析】首先過(guò)點(diǎn)E作，由平行線的傳遞性得，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，得出，，由角平分線的定義得出，，再由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得出 ，由即可得出答案．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作，則，
，
∴，，
又∵平分，平分，
∴，
，
∵，
∴ ，
，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，解題關(guān)鍵是作出正確的輔助線，掌握平行線的性質(zhì)和角平分線的定義．
5．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）下列各圖中的與平行．
（1）圖①中的_____度，圖②中的_____度，圖③中的_____度，圖④中的_____度，…，第⑩個(gè)圖中的_____度
（2）第n個(gè)圖中的_____．
【答案】 180 360 540 720 1620
【分析】（1）分別過(guò)、、．．．作的平行線，利用平行線的性質(zhì)求解即可；
（2）根據(jù)（1）的計(jì)算總結(jié)出規(guī)律即可．
【詳解】解：（1）∵，
∴，
如圖，分別過(guò)、、．．．作MA1的平行線，
同理可得：圖②中的，
圖③中的，
圖④中的，
…，
第⑩個(gè)圖中的；
故答案為：180，360，540，720，1620；
（2）第n個(gè)圖中的．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，圖形規(guī)律探究，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出平行線是解答此題的關(guān)鍵．
二、解答題
6．（2022春·廣西防城港·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知四邊形ABCD中，∠D＝100°，AC平分∠BCD，且∠ACB＝40°，∠BAC＝70°．
(1)AD與BC平行嗎？試寫出推理過(guò)程；
(2)求∠DAC和∠EAD的度數(shù)．
【答案】(1)平行，詳見(jiàn)解析
(2)40°；70°
【分析】（1）根據(jù)角平分線定義求出，得出，根據(jù)平行線的判定推出即可．
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)求出代入求出即可．
【詳解】（1）解：，
理由是：平分，
（2）
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，角平分線定義等，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．
7．（2022秋·福建泉州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，直線，點(diǎn)A是直線上一點(diǎn)，點(diǎn)C是直線上一點(diǎn)，點(diǎn)B是直線、之間的一點(diǎn)．
(1)過(guò)點(diǎn)B作，試說(shuō)明：；
(2)如圖2，平分，，平分，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C在直線右側(cè)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，的度數(shù)是否不變，若是，求出該度數(shù)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)見(jiàn)解析；
(2)是，．
【分析】（1）依據(jù)平行公理推論得到，結(jié)合“兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等”可得，，最后進(jìn)行等量代換得到結(jié)果；
（2）設(shè)，則，，結(jié)合（1）、角平分線和平行線的性質(zhì)可求出從而得到結(jié)論
【詳解】（1）解：∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴．
（2）解：∵平分，
∴，
設(shè)，則，，
由（1）證得，又
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
綜上所述，點(diǎn)C在直線右側(cè)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，的度數(shù)保持不變，．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行公里的推論、平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)；解題的關(guān)鍵是運(yùn)用平行線的性質(zhì)對(duì)角進(jìn)行等量代換．
8．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知直線， A是l1上的一點(diǎn)，B是l2上的一點(diǎn)，直線l3和直線l1，l2交于C和D，直線上有一點(diǎn)P．
(1)如果P點(diǎn)在C，D之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，問(wèn)，，有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．
(2)若點(diǎn)P在C，D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（P點(diǎn)與C，D不重合），試探索，，之間的關(guān)系又是如何？（請(qǐng)直接寫出答案，不需要證明）
【答案】(1)
(2)當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí)，．
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，由“平行于同一條直線的兩直線平行”可得出，再由“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”得出、，再根據(jù)角與角的關(guān)系即可得出結(jié)論；
（2）按點(diǎn)的兩種情況分類討論：①當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí)，同理（1）可得、，再根據(jù)角與角的關(guān)系即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：．
過(guò)點(diǎn)作，如圖1所示．
，，
，
，，
，
．
（2）解：結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí)，．
①當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，如圖2所示．過(guò)點(diǎn)作．
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．
②當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí)，如圖3所示．過(guò)點(diǎn)作．
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【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”找到相等的角．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出相等（或互補(bǔ)）的角是關(guān)鍵．

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