精選練習(xí)
基礎(chǔ)篇
一、單選題
1．（2022秋·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，是的垂直平分線，，的周長為，則的周長是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·江蘇揚州·八年級校聯(lián)考期中）在的邊上找一點P，使得．下面找法正確的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022秋·河北唐山·八年級?？计谀┤鐖D，銳角三角形中，直線l為的垂直平分線，直線m為的角平分線，l與m相交于P點，若，則的度數(shù)是（ ）
A．31°B．22°C．43°D．32°
4．（2022秋·四川綿陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，、的垂直平分線分別交于點、，若，則為（ ）
A．38°B．42°C．44°D．48°
5．（2022秋·河北石家莊·八年級石家莊市第四十中學(xué)校考期末）如圖，在中，分別以點A和點B為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M、N，作直線，交于點，連接，若的周長為，，則的長為（ ）
A．5B．6C．7D．8
6．（2022秋·吉林長春·八年級?？计谀┤鐖D，在中，，邊BC的垂直平分線交于D，連結(jié)，下列說法不一定正確的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
7．（2022秋·廣東廣州·八年級廣州市天河中學(xué)?？计谀┲?，的垂直平分線交于點D，垂足為點E，平分，若，則為________度．
8．（2022秋·浙江麗水·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，的中垂線交于點，已知，的周長為25，則______________．
9．（2021秋·福建龍巖·八年級龍巖初級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，，AD是的中線，，，且，則的長___________．
10．（2022秋·北京·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在中，，，斜邊的垂直平分線交于點，交于點，，則______cm．
三、解答題
11．（2022秋·浙江杭州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，直線表示一條公路，A，表示兩所大學(xué)，要在公路旁修建一個車站，使車站到兩所大學(xué)的距離相等．請用尺規(guī)在圖上找出點并說明理由．
12．（2022秋·浙江麗水·八年級校聯(lián)考期中）如圖，已知在中，的垂直平分線交于點，交于點，連接，求的長．
提升篇
一、填空題
1．（2022秋·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期中）等腰三角形一腰的中垂線與另一腰所在直線夾角為，該等腰三角形的底角的度數(shù)是___________．
2．（2022秋·河南周口·八年級?？计谀┤鐖D，在等邊中，CP是AB邊上的高，Q是BC的中點，O是CP上的一動點，當OB和OQ的和最小時，的度數(shù)是_______．
3．（2022秋·全國·八年級期末）如圖，等腰的底邊長為，面積為，邊的垂直平分線分別交于點，若點為的中點，點為線段上一動點，則的周長的最小值為 _____．
4．（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，已知，是角平分線且，作的垂直平分線交于點F，作，則的周長為 ______．
5．（2022秋·江蘇南京·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，，以AC為邊，作，滿足，E為BC上一點，連接AE，，連接DE，下列結(jié)論中①；②；③若，則；④．正確的有______．
二、解答題
6．（2022秋·河南三門峽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，中，，，的平分線與的垂直平分線交于點O，E在邊上，F(xiàn)在邊上，將沿直線翻折，使點A與點O恰好重合，求的度數(shù)．
7．（2022秋·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）在中，，平分，交于點D，．
(1)如圖1，求的度數(shù)；
(2)如圖2，E是的中點，連接并延長，交的延長線于點F，連接AF．求證：．
8．（2022秋·全國·八年級期中）在中，的垂直平分線分別交線段，于點M，P，的垂直平分線分別交線段于點N，Q．
(1)如圖，當時，求的度數(shù)；
(2)當時，求的度數(shù)．
第一章 三角形的證明
第三節(jié) 線段的垂直平分線
精選練習(xí)
基礎(chǔ)篇
一、單選題
1．（2022秋·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，是的垂直平分線，，的周長為，則的周長是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出，求出和的長，即可求出答案．
【詳解】解：是的垂直平分線，
，
的周長為，
，
，
的周長為：；
故選：B．
【點睛】本題主要考查了線段的垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，注意：線段垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．
2．（2022秋·江蘇揚州·八年級校聯(lián)考期中）在的邊上找一點P，使得．下面找法正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先利用已知條件證明，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到P點為的垂直平分線與的交點，然后利用基本作圖對各選項進行判斷．
【詳解】解：∵， 而，
∴，
∴P點為的垂直平分線與的交點．
故選：D．
【點睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．
3．（2022秋·河北唐山·八年級?？计谀┤鐖D，銳角三角形中，直線l為的垂直平分線，直線m為的角平分線，l與m相交于P點，若，則的度數(shù)是（ ）
A．31°B．22°C．43°D．32°
【答案】A
【分析】根據(jù)角平分線定義求出，根據(jù)線段的垂直平分線性質(zhì)得出，求出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出方程，求出方程的解即可．
【詳解】平分，
，
直線l是線段BC的垂直平分線，
，
，
，
，
，
解得：．
故選：A．
【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，能求出
是解此題的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
4．（2022秋·四川綿陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，、的垂直平分線分別交于點、，若，則為（ ）
A．38°B．42°C．44°D．48°
【答案】C
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，，計算即可．
【詳解】解：，
，
、分別為、的垂直平分線，
，，
，，
，
，
故選：C．
【點睛】此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等幾何知識．熟知線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解答的關(guān)鍵．
5．（2022秋·河北石家莊·八年級石家莊市第四十中學(xué)?？计谀┤鐖D，在中，分別以點A和點B為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M、N，作直線，交于點，連接，若的周長為，，則的長為（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【分析】根據(jù)題意可得，是垂直平分線，即可得到，結(jié)合的周長為，，即可得到答案．
【詳解】解：由題意可得，
是垂直平分線，
∴，
∵的周長為，
∴，
∵，
∴，
故選A．
【點睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線上的點到線段兩個端點距離相等．
6．（2022秋·吉林長春·八年級?？计谀┤鐖D，在中，，邊BC的垂直平分線交于D，連結(jié)，下列說法不一定正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用線段的垂直平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理一一判斷即可．
【詳解】解：由題意可得，垂直平分線段，
，，
，，
，
，
，
，
故選項A，B，D正確，
故選：C．
【點睛】本題考查線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
二、填空題
7．（2022秋·廣東廣州·八年級廣州市天河中學(xué)?？计谀┲校拇怪逼椒志€交于點D，垂足為點E，平分，若，則為________度．
【答案】
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，則，由平分可得，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和，求解即可．
【詳解】解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴
∴，即
由可得，
解得，
故答案為：
【點睛】此題考查了垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用相關(guān)性質(zhì)進行求解．
8．（2022秋·浙江麗水·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，的中垂線交于點，已知，的周長為25，則______________．
【答案】15
【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)已知的周長為25，可得，最后進行計算即可解答．
【詳解】解：是的中垂線，
，
的周長為25，
，
，
，
，
．
故答案為：15．
【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9．（2021秋·福建龍巖·八年級龍巖初級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，，AD是的中線，，，且，則的長___________．
【答案】6
【分析】延長交的延長線于，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答．
【詳解】解：延長交的延長線于，如圖所示：
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
．
故答案為6
【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
10．（2022秋·北京·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在中，，，斜邊的垂直平分線交于點，交于點，，則______cm．
【答案】
【分析】連接，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，得出，再根據(jù)等邊對等角，得出，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，得出，再根據(jù)直角三角形所對的直角邊等于斜邊的一半，即可得出答案.
【詳解】解：如圖，連接，
∵是的垂直平分線，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、等邊對等角、三角形的外角的性質(zhì)、含30度角的直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解本題的關(guān)鍵．
三、解答題
11．（2022秋·浙江杭州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，直線表示一條公路，A，表示兩所大學(xué)，要在公路旁修建一個車站，使車站到兩所大學(xué)的距離相等．請用尺規(guī)在圖上找出點并說明理由．
【答案】作圖見解析，理由見解析
【分析】連接．根據(jù)“到線段兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上”知，點P應(yīng)是線段的垂直平分線與直線m的交點．
【詳解】解：如圖所示，點P是的垂直平分線與直線m的交點．
作線段的中垂線．
∵垂直平分線段，
∴（線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等）．
【點睛】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)和作圖能力，屬基礎(chǔ)題，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)及作圖方法是解題關(guān)鍵．
12．（2022秋·浙江麗水·八年級校聯(lián)考期中）如圖，已知在中，的垂直平分線交于點，交于點，連接，求的長．
【答案】
【分析】連接AE，由垂直平分線的性質(zhì)可得，設(shè)，則，在中利用勾股定理可得的長，即得的長．
【詳解】解：是的垂直平分線，
，
設(shè)，
，
，
，
，
即，
解得
故
【點睛】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理，利用方程思想是解答此題的關(guān)鍵．
提升篇
一、填空題
1．（2022秋·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期中）等腰三角形一腰的中垂線與另一腰所在直線夾角為，該等腰三角形的底角的度數(shù)是___________．
【答案】或
【分析】作出圖形，分①三角形是銳角三角形，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出頂角，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等列式計算即可得解；②三角形是鈍角三角形，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出頂角度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等列式計算即可得解．
【詳解】解：①如圖1，三角形是銳角三角形時，，
底角為：，
②如圖2，三角形是鈍角三角形時，，
底角為：，
綜上所述，底角為或．
故答案為：或．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線上的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等，難點在于分情況討論，作出圖形更形象直觀．
2．（2022秋·河南周口·八年級校考期末）如圖，在等邊中，CP是AB邊上的高，Q是BC的中點，O是CP上的一動點，當OB和OQ的和最小時，的度數(shù)是_______．
【答案】##度
【分析】連接、，設(shè)交于，連接，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)得到，則，當與重合時取等號，此時OB和OQ的和最小，求解即可．
【詳解】解：如圖，連接、，設(shè)交于，連接，
∵在等邊中，CP是AB邊上的高，
∴垂直平分，，
∴，，
∴，當與重合時取等號，此時OB和OQ的和最小，
∵Q是BC的中點，
∴，
∵，
∴，
∴，
即當OB和OQ的和最小時，的度數(shù)是，
故答案為：．
【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、兩點之間線段最短，得出與重合時OB和OQ的和最小是解答的關(guān)鍵．
3．（2022秋·全國·八年級期末）如圖，等腰的底邊長為，面積為，邊的垂直平分線分別交于點，若點為的中點，點為線段上一動點，則的周長的最小值為 _____．
【答案】
【分析】連接，由于是等腰三角形，點是邊的中點，可得出，再由，即可得出，由是線段的垂直平分線，可知點關(guān)于直線的對稱點為點，故的長為的最小值，即可得出答案．
【詳解】解：連接，
∵是等腰三角形，點是邊的中點，
∴，
∴，
解得，
∵是線段的垂直平分線，
∴點關(guān)于直線的對稱點為點，
∴的長為的最小值，
∴的周長最短．
故答案為：．
【點睛】此題考查的是軸對稱?最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
4．（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，已知，是角平分線且，作的垂直平分線交于點F，作，則的周長為 ______．
【答案】
【分析】根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出、根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的周長公式計算，得到答案．
【詳解】解：∵，是角平分線，
∴，
在中，，
∴，
由勾股定理得：，
∵的垂直平分線交于點F，
∴，
∴的垂直，
故答案為：．
【點睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．
5．（2022秋·江蘇南京·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，，以AC為邊，作，滿足，E為BC上一點，連接AE，，連接DE，下列結(jié)論中①；②；③若，則；④．正確的有______．
【答案】②③④
【分析】通過延長至，使，連接，構(gòu)造出全等三角形，再利用全等三角形的性質(zhì)依次分析，可得出正確的結(jié)論是②③④．
【詳解】解：如圖，延長至，使，連接，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴（即②正確），
∴；
當時，，
此時，，
當時，，
此時，，
∴①不正確；
若，
則，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
由，
∴，
∴（即③正確），（即④正確）；
故正確的為：②③④．
故答案為：②③④．
【點睛】本題綜合考查了線段的垂直平分線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等內(nèi)容；要求學(xué)生能夠根據(jù)已知條件通過作輔助線構(gòu)造出全等三角形以及能正確運用全等三角形的性質(zhì)得到角或線段之間的關(guān)系，能進行不同的邊或角之間的轉(zhuǎn)換，考查了學(xué)生的綜合分析和數(shù)形結(jié)合的能力．
二、解答題
6．（2022秋·河南三門峽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，中，，，的平分線與的垂直平分線交于點O，E在邊上，F(xiàn)在邊上，將沿直線翻折，使點A與點O恰好重合，求的度數(shù)．
【答案】
【分析】連接，根據(jù)角平分線的定義求出，根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出，再根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得，根據(jù)等邊對等角可得，從而求得，然后證明，于是得到，根據(jù)翻折的性質(zhì)可知，，從而可求得．
【詳解】解：如圖，連接，
∵，為的平分線，
∴．
又∵，
∴．
∵是的垂直平分線，
∴．
∴，
在和中，
∴．
由翻折的性質(zhì)可知：．
∴．
∴．
【點睛】本題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，以及翻折變換的性質(zhì)，綜合性較強，難度較大，作輔助線，構(gòu)造出等腰三角形是解題的關(guān)鍵．
7．（2022秋·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）在中，，平分，交于點D，．
(1)如圖1，求的度數(shù)；
(2)如圖2，E是的中點，連接并延長，交的延長線于點F，連接AF．求證：．
【答案】(1)
(2)見解析
【分析】（1）設(shè)，根據(jù)等邊對等角和角平分線推出，，利用三角形內(nèi)角和列方程求出x，可得；
（2）依據(jù)E是的中點，即可得到，，可得垂直平分，進而得出，依據(jù)，即可得到，再根據(jù)，可得，進而得到，從而證明結(jié)論．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
設(shè)，∵平分，
∴，，
在中，，
解得：，
∴；
（2）∵E是的中點，，
∴，即；
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是綜合運用等腰三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)．
8．（2022秋·全國·八年級期中）在中，的垂直平分線分別交線段，于點M，P，的垂直平分線分別交線段于點N，Q．
(1)如圖，當時，求的度數(shù)；
(2)當時，求的度數(shù)．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求得，再根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得，然后代入數(shù)據(jù)進行計算即解答；
（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，分當P點在Q點右側(cè)和左側(cè)兩種情況：分別利用三角形內(nèi)角和可得∠BAC的度數(shù)．
【詳解】（1）解：∵分別是的垂直平分線，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵分別是的垂直平分線，
∴，
∴，
∴，
當P點在Q點右側(cè)時，
∵，
∴，
∵，
∴．
當P點在Q點左側(cè)時，
∵，
∴，
∵，
∴．
綜上或．
【點睛】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識點，靈活運用相關(guān)性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．

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