精選練習
基礎篇
一、單選題
1．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考期中）若等腰三角形中有一個角等于，則這個等腰三角形頂角的度數(shù)為（ ）
A．B．C．或D．或
2．（2022秋·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期中）下列說法中，正確的是（ ）
A．面積相等的兩個等腰三角形全等B．周長相等的兩個等腰三角形全等
C．面積相等的兩個直角三角形全等D．周長相等的兩個等邊三角形全等
3．（2022秋·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，點A、B均在格點上，在圖中給出的、、、四個格點中，能與點A、B構成等腰三角形，且面積為2的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022秋·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）已知等腰三角形的一邊長等于4，一邊長等于9，則它的周長為（ ）
A．17B．22C．17或22D．14或22
5．（2022秋·陜西延安·八年級統(tǒng)考期中）如圖，上午9時，一艘輪船從海島A出發(fā)，以25海里/時的速度向正北方向航行，11時到達海島B處，C處有一燈塔，測得，則B，C間的距離為（ ）
A．25海里B．35海里C．45海里D．50海里
6．（2022秋·河南信陽·八年級?？计谀┤鐖D，已知等邊三角形的周長為a，，則等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
7．（2022秋·湖南長沙·八年級?？计谥校┑妊切蔚囊粋€角為，則它的頂角為______．
8．（2022秋·江蘇鹽城·八年級校聯(lián)考期中）如圖，是邊長為8的等邊三角形，D是上一點，，交于點E，則線段_____．
9．（2022秋·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期中）將兩個直角三角形如圖放置，其中，，，，與交于點，則_____．
10．（2022秋·吉林松原·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知是等邊三角形，點是上任意一點，，分別于兩邊垂直，等邊三角形的高為2，則的值為_____．
三、解答題
11．（2022·廣東惠州·統(tǒng)考一模）如圖，在中，為延長線上一點，且交于點F．
求證：是等腰三角形．
12．（2022秋·河北廊坊·八年級?？计谀┤鐖D，為的角平分線，且，E為延長線上的一點，．求證：
(1)；
(2)．
提升篇
一、填空題
1．（2022秋·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形中，，，，，其中，則四邊形的面積是________．
2．（2022秋·全國·八年級專題練習）已知等邊的兩個頂點的坐標為，，則點C的坐標為__．
3．（2022秋·浙江杭州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在邊長為4的等邊中，D為的中點，E是邊上一點，則的最小值為_____．
4．（2022秋·浙江紹興·八年級校聯(lián)考期中）如圖：在中，，，，為射線上一點，且與A、B兩點構成等腰三角形，則此等腰三角形的面積為_________．
5．（2022秋·湖北武漢·八年級?？计谀┤鐖D，在四邊形中，點C為邊上一點．，，點M為中點．連，，分別交，于G．H兩點下列結論：①；②；③；④．其中正確的結論是____________．
二、解答題
6．（2021秋·吉林松原·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形中，交與E，交于F，．
(1)求證：是等腰三角形；
(2)若，求的度數(shù)．
7．（2023春·江蘇·八年級開學考試）如圖，在中，，，延長至，恰好使得，．
(1)求：的度數(shù)；
(2)求證：為等邊三角形．
8．（2022秋·全國·八年級期末）如圖1，分別以的兩邊為邊作和，使得．
(1)求證：；
(2)過點A分別作于點F，于點G，
①如圖2，連接，請判斷的形狀，并說明理由；
②如圖3，若與相交于點H，且，試猜想之間的數(shù)量關系，并證明．
第一章 三角形的證明
第一節(jié) 等腰三角形
精選練習
基礎篇
一、單選題
1．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考期中）若等腰三角形中有一個角等于，則這個等腰三角形頂角的度數(shù)為（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】分兩種情況：當?shù)妊切蔚囊粋€底角等于時，當?shù)妊切蔚捻斀堑扔跁r，分別進行計算即可解答．
【詳解】解：分兩種情況：
當?shù)妊切蔚囊粋€底角等于時，則另一個底角也等于，
等腰三角形的頂角；
當?shù)妊切蔚捻斀堑扔跁r，
綜上所述：這個等腰三角形頂角的度數(shù)為或，
故選：C．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理，分兩種情況討論是解題的關鍵．
2．（2022秋·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期中）下列說法中，正確的是（ ）
A．面積相等的兩個等腰三角形全等B．周長相等的兩個等腰三角形全等
C．面積相等的兩個直角三角形全等D．周長相等的兩個等邊三角形全等
【答案】D
【分析】利用三角形全等的判定方法分別進行判斷即可．
【詳解】解：A、面積相等的兩個等腰三角形不一定全等，所以該選項不符合題意；
B、周長相等的兩個等腰三角形不一定全等，所以該選項不符合題意；
C、面積相等的兩個直角三角形它們不一定全等，所以該選項不符合題意；
D、周長相等的兩個等邊三角形可以由“邊邊邊”判定全等，所以該選項符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．
3．（2022秋·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，點A、B均在格點上，在圖中給出的、、、四個格點中，能與點A、B構成等腰三角形，且面積為2的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先判斷等腰三角形，然后計算等腰三角形的面積，進而作出判斷．
【詳解】解：根據(jù)圖形可知，是等腰三角形，
則，
．
故選：B．
【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的性質和三角形的面積計算方法是解決問題的關鍵．
4．（2022秋·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）已知等腰三角形的一邊長等于4，一邊長等于9，則它的周長為（ ）
A．17B．22C．17或22D．14或22
【答案】B
【分析】根據(jù)等腰三角形的定義，以及三角形的三邊關系，判斷出腰和底邊，再進行計算即可．
【詳解】解：當?shù)妊切蔚难L為時，，三邊構不成三角形，不符合題意；
∴等腰三角形的腰長為，
∴它的周長為；
故選B．
【點睛】本題考查等腰三角形的定義，以及三角形的三邊關系．利用三角形的三邊關系，判斷出等腰三角形的腰長和底邊長，是解題的關鍵．
5．（2022秋·陜西延安·八年級統(tǒng)考期中）如圖，上午9時，一艘輪船從海島A出發(fā)，以25海里/時的速度向正北方向航行，11時到達海島B處，C處有一燈塔，測得，則B，C間的距離為（ ）
A．25海里B．35海里C．45海里D．50海里
【答案】D
【分析】由上午時，一條船從海島出發(fā)，以海里的時速向正北航行，時到達海島處，可求得的長，又由，可得，即可證得，則可得從海島到燈塔的距離．
【詳解】解：∵，
∴，
∴(海里)．
故選D
【點睛】此題考查了等腰三角形的性質與判定，掌握等角對等邊是解題的關鍵．
6．（2022秋·河南信陽·八年級?？计谀┤鐖D，已知等邊三角形的周長為a，，則等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質得出，，再由含30度角的直角三角形的性質求解即可．
【詳解】解：∵等邊三角形的周長為a，，
∴，，
∴，
∴，
故選：B．
【點睛】題目主要考查等邊三角形的性質及含30度角的直角三角形的性質，熟練掌握運用這兩個性質是解題關鍵．
二、填空題
7．（2022秋·湖南長沙·八年級?？计谥校┑妊切蔚囊粋€角為，則它的頂角為______．
【答案】或
【分析】分的角為頂角和底角兩種情況討論即可作答．
【詳解】解：當?shù)慕菫榈捉菚r，此時頂角為；
當?shù)慕菫轫斀菚r，此時頂角為；
即該三角形的頂角為：或，
故答案為：或．
【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質以及三角形的內角和定理的知識，主要分類討論是解答本題的關鍵．
8．（2022秋·江蘇鹽城·八年級校聯(lián)考期中）如圖，是邊長為8的等邊三角形，D是上一點，，交于點E，則線段_____．
【答案】2
【分析】在中，求出即可解決問題．
【詳解】解：∵是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故答案為：2．
【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質、含30度角的直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識．
9．（2022秋·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期中）將兩個直角三角形如圖放置，其中，，，，與交于點，則_____．
【答案】##120度
【分析】先證明是等邊三角形，再根據(jù)平角的定義求出的度數(shù)，再根據(jù)三角形內角和定理求出結果．
【詳解】解：，，
是等邊三角形，
，
，
，
，，
，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質，三角形內角和定理，證明是等邊三角形是解題的關鍵．
10．（2022秋·吉林松原·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知是等邊三角形，點是上任意一點，，分別于兩邊垂直，等邊三角形的高為2，則的值為_____．
【答案】2
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質可得，根據(jù)，可得的值．
【詳解】解：連接，如圖所示：
∵是等邊三角形，
∴，
∵，等邊三角形的高為2，
又∵，
∴，
∴，
故答案為：2．
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，三角形的面積，熟練掌握等邊三角形的性質是解題的關鍵．
三、解答題
11．（2022·廣東惠州·統(tǒng)考一模）如圖，在中，為延長線上一點，且交于點F．
求證：是等腰三角形．
【答案】見解析
【分析】根據(jù)等邊對等角得出，再根據(jù)，得出，，從而得出，再根據(jù)對頂角相等得出，最后根據(jù)等角對等邊即可得出答案．
【詳解】證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰三角形；
【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質，解題的關鍵是證明，注意等邊對等角，以及等角對等邊的使用．
12．（2022秋·河北廊坊·八年級?？计谀┤鐖D，為的角平分線，且，E為延長線上的一點，．求證：
(1)；
(2)．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）先由為的角平分線得到，然后結合、得證；
（2）先由得到，再由得到，進而結合得到，然后結合得到，最后由得到，進而得到．
【詳解】（1）證明：∵為的角平分線，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）∵為的角平分線，，，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質，解題的關鍵是由題目條件得證．
提升篇
一、填空題
1．（2022秋·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形中，，，，，其中，則四邊形的面積是________．
【答案】##
【分析】連接，根據(jù)勾股定理計算出長，根據(jù)確定為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質，求出底邊上的高，然后再求出面積，利用和的面積求和即可．
【詳解】解：連接，過點作于點，如圖所示：
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴在中根據(jù)勾股定理得：
，
∴，
，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了勾股定理，等腰三角形的性質，三角形面積的計算，解題的關鍵是熟練掌握勾股定理和三角形全等的性質．
2．（2022秋·全國·八年級專題練習）已知等邊的兩個頂點的坐標為，，則點C的坐標為__．
【答案】或
【分析】作于H，根據(jù)點A和B的坐標，得．根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質，得，再根據(jù)勾股定理求得，從而寫出點C的坐標．
【詳解】解：作于點H．
∵，，
∴．
∵是等邊三角形，
∴，，
∴，，
∴；
同理，當點C在第二象限時，．
故答案為：或．
【點睛】此題考查了等邊三角形的性質、勾股定理、點的坐標等知識，數(shù)形結合是解題的關鍵．
3．（2022秋·浙江杭州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在邊長為4的等邊中，D為的中點，E是邊上一點，則的最小值為_____．
【答案】
【分析】作B關于的對稱點，連接、，交AC于E，此時，根據(jù)兩點之間線段最短可知就是的最小值．
【詳解】解：∵關于的對稱，
∴互相垂直平分，
∴四邊形是平行四邊形，
∵等邊三角形是邊長為2，
∵D為的中點，
∴，
∴，，，
作的延長線于G，
∴，
在中，，
∴，
在中，．
故的最小值為．
【點睛】本題考查軸對稱，作出輔助線轉化為兩點之間線段最短是解題的關鍵．
4．（2022秋·浙江紹興·八年級校聯(lián)考期中）如圖：在中，，，，為射線上一點，且與A、B兩點構成等腰三角形，則此等腰三角形的面積為_________．
【答案】或或2
【分析】根據(jù)勾股定理和等腰三角形的性質以及三角形的面積公式即可得到結論．
【詳解】解：在中，，，，
，
是等腰三角形，
或或，
當時，，
，
；
當，
；
當時，
則，
，
，
，
，
綜上所述，等腰三角形的面積為4或或17，
故答案為：4或或17．
【點睛】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質，三角形面積的計算，熟練掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵．
5．（2022秋·湖北武漢·八年級?？计谀┤鐖D，在四邊形中，點C為邊上一點．，，點M為中點．連，，分別交，于G．H兩點下列結論：①；②；③；④．其中正確的結論是____________．
【答案】①②③
【分析】由“”可證，可得，，可證，故①正確；由“”可證，可得，，可證是等腰直角三角形，故②正確；由②及①可得③正確；從題干條件無法得出的條件，故④錯誤；即可求解．
【詳解】解：，
，
，
又，
∴，
，，
，故①正確；
如圖，連接，
，，點是的中點，
，，
∵，
，
又，
∴，
，，故②正確；
，
，
是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故③正確；
由②可知在中，，所以，
∴和不會全等；故④錯誤；
故答案為①②③
【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質，證明三角形全等是解題的關鍵．
二、解答題
6．（2021秋·吉林松原·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形中，交與E，交于F，．
(1)求證：是等腰三角形；
(2)若，求的度數(shù)．
【答案】(1)證明見解析
(2)的度數(shù)為
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質可得，再根據(jù)，則可證明，進而可得出結論；
（2）證明可得，則，進而可求得解答．
【詳解】（1）證明：∵，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、平行線的性質，靈活運用所學知識求解是解決本題的關鍵．
7．（2023春·江蘇·八年級開學考試）如圖，在中，，，延長至，恰好使得，．
(1)求：的度數(shù)；
(2)求證：為等邊三角形．
【答案】(1)
(2)詳見解析
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的“三線合一”可得，再根據(jù)等腰三角形的兩個底角相等以及三角形的外角性質解答即可；
（2）因為在中，，所以欲證等邊三角形，只需證明．
【詳解】（1）解：在中，，
，
，，
，，
是的外角，
，
設，則，
，
在中，
，
即：，
，
故；
（2）由（1）得，，
，
是等邊三角形
【點睛】本題考查等邊三角形的判定及等腰三角形的性質及三角形內角和為180°等知識．此類已知三角形邊之間的關系求角的度數(shù)的題，一般是利用等腰（等邊）三角形的性質得出有關角的度數(shù)，進而求出所求角的度數(shù)．
8．（2022秋·全國·八年級期末）如圖1，分別以的兩邊為邊作和，使得．
(1)求證：；
(2)過點A分別作于點F，于點G，
①如圖2，連接，請判斷的形狀，并說明理由；
②如圖3，若與相交于點H，且，試猜想之間的數(shù)量關系，并證明．
【答案】(1)見解析
(2)①是等腰三角形，理由見解析；②，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)，可得，可證得，即可；
（2）①根據(jù)，可得，可證得，從而得到，即可；②證明，可得，再證明，可得，再得到，可得，從而得到，進而得到，則有，即可 ．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：①是等腰三角形，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
②解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質，等腰三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質，等腰三角形的判定是解題的關鍵．

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