【典例分析】
【類型一：解決實際問題規(guī)律】
【典例1】（2020?廣西）如圖，某校禮堂的座位分為四個區(qū)域，前區(qū)一共有8排，其中第1排共有20個座位（含左、右區(qū)域），往后每排增加兩個座位，前區(qū)最后一排與后區(qū)各排的座位數(shù)相同，后區(qū)一共有10排，則該禮堂的座位總數(shù)是 ．
【變式1-1】（2022?玉林）如圖的電子裝置中，紅黑兩枚跳棋開始放置在邊長為2的正六邊形ABCDEF的頂點A處．兩枚跳棋跳動規(guī)則是：紅跳棋按順時針方向1秒鐘跳1個頂點，黑跳棋按逆時針方向3秒鐘跳1個頂點，兩枚跳棋同時跳動，經過2022秒鐘后，兩枚跳棋之間的距離是（ ）
A．4B．2C．2D．0
【變式1-2】（2022?德陽）古希臘的畢達哥拉斯學派對整數(shù)進行了深入的研究，尤其注意形與數(shù)的關系，“多邊形數(shù)”也稱為“形數(shù)”，就是形與數(shù)的結合物．用點排成的圖形如下：
其中：圖①的點數(shù)叫做三角形數(shù)，從上至下第一個三角形數(shù)是1，第二個三角形數(shù)是1+2＝3，第三個三角形數(shù)是1+2+3＝6，……
圖②的點數(shù)叫做正方形數(shù)，從上至下第一個正方形數(shù)是1，第二個正方形數(shù)是1+3＝4，第三個正方形數(shù)是1+3+5＝9，……
……
由此類推，圖④中第五個正六邊形數(shù)是 ．
【類型二：數(shù)字規(guī)律】
【典例2】（2021?江西）如圖在我國宋朝數(shù)學家楊輝1261年的著作《詳解九章算法》中提到過，因而人們把這個表叫做楊輝三角，請你根據(jù)楊輝三角的規(guī)律補全表第四行空缺的數(shù)字是 ．
【變式2-1】（2022?西安二模）如表在我國宋朝數(shù)學家楊輝1261年的著作《詳細九章算法》中提到過，因而人們把這個表叫做楊輝三角．請你根據(jù)楊輝三角的規(guī)律補全表中第五行空缺的數(shù)字是 ．
【變式2-2】（2022?慶云縣模擬）德國數(shù)學家萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了如圖所示的單位分數(shù)三角形（單位分數(shù)是分子為1，分母為正整數(shù)的分數(shù)），又稱為萊布尼茨三角形，根據(jù)前5行的規(guī)律，寫出第6行的第三個數(shù)： ．
【變式2-3】（2022?黑龍江）如圖所示，以O為端點畫六條射線OA，OB，OC，OD，OE，OF，再從射線OA上某點開始按逆時針方向依次在射線上描點并連線，若將各條射線所描的點依次記為1，2，3，4，5，6，7，8…后，那么所描的第2013個點在射線 上．
【變式2-4】（2022?綏化）如圖，∠AOB＝60°，點P1在射線OA上，且OP1＝1，過點P1作P1K1⊥OA交射線OB于K1，在射線OA上截取P1P2，使P1P2＝P1K1；過點P2作P2K2⊥OA交射線OB于K2，在射線OA上截取P2P3，使P2P3＝P2K2…按照此規(guī)律，線段P2023K2023的長為 ．
【變式2-5】（2022?眉山）將一組數(shù)，2，，2，…，4，按下列方式進行排列：
，2，，2；
，2，，4；
…
若2的位置記為（1，2），的位置記為（2，3），則2的位置記為 ．
【變式2-6】（2022?江西）將字母“C”，“H”按照如圖所示的規(guī)律擺放，依次下去，則第4個圖形中字母“H”的個數(shù)是（ ）
A．9B．10C．11D．12
【類型三：式子規(guī)律】
【典例3-1】（2022?西藏）按一定規(guī)律排列的一組數(shù)據(jù)：，﹣，，﹣，，﹣，…．則按此規(guī)律排列的第10個數(shù)是（ ）
A．﹣B．C．﹣D．
【典例3-2】（2022春?隆昌市校級月考）已知a1為實數(shù)，規(guī)定運算：，，，，…，．按上述方法計算：當a1＝3時，a2021的值等于（ ）
A．B．C．D．
【變式3-1】（2022?云南）按一定規(guī)律排列的單項式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n個單項式是（ ）
A．（2n﹣1）xnB．（2n+1）xnC．（n﹣1）xnD．（n+1）xn
【變式3-2】（2022?宿遷）按規(guī)律排列的單項式：x，﹣x3，x5，﹣x7，x9，…，則第20個單項式是 ．
【變式3-3】（2022?達州）人們把≈0.618這個數(shù)叫做黃金比，著名數(shù)學家華羅庚優(yōu)選法中的“0.618法”就應用了黃金比．設a＝，b＝，記S1＝+，S2＝+，…，S100＝+，則S1+S2+…+S100＝ ．
【類型四：圖形規(guī)律】
【典例4】（2022?重慶）用正方形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有5個正方形，第②個圖案中有9個正方形，第③個圖案中有13個正方形，第④個圖案中有17個正方形，此規(guī)律排列下去，則第⑨個圖案中正方形的個數(shù)為（ ）
A．32B．34C．37D．41
【變式4-1】（2022?濟寧）如圖，用相同的圓點按照一定的規(guī)律拼出圖形．第一幅圖4個圓點，第二幅圖7個圓點，第三幅圖10個圓點，第四幅圖13個圓點……按照此規(guī)律，第一百幅圖中圓點的個數(shù)是（ ）
A．297B．301C．303D．400
【變式4-2】（2022?黑龍江）如圖是由若干個相同的小正方體搭成的一個幾何體的左視圖和俯視圖，則所需的小正方體的個數(shù)最多是（ ）
A．7B．8C．9D．10
【變式4-3】（2022?重慶）把菱形按照如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有1個菱形，第②個圖案中有3個菱形，第③個圖案中有5個菱形，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑥個圖案中菱形的個數(shù)為（ ）
A．15B．13C．11D．9
【變式4-4】（2022?大慶）觀察下列“蜂窩圖”，按照這樣的規(guī)律，則第16個圖案中的“”的個數(shù)是 ．
【變式4-5】（2022?十堰）如圖，某鏈條每節(jié)長為2.8cm，每兩節(jié)鏈條相連接部分重疊的圓的直徑為1cm，按這種連接方式，50節(jié)鏈條總長度為 cm．
【變式4-6】（2022?遂寧）“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復這一過程所畫出來的圖形，因為重復數(shù)次后的形狀好似一棵樹而得名．假設如圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，則第六代勾股樹中正方形的個數(shù)為 ．
【變式4-7】（2022?黑龍江）如圖，下列圖形是將正三角形按一定規(guī)律排列，則第5個圖形中所有正三角形的個數(shù)有 ．
【類型五：坐標平面中的規(guī)律】
【典例5】（2021?達州）在平面直角坐標系中，等邊△AOB如圖放置，點A的坐標為（1，0），每一次將△AOB繞著點O逆時針方向旋轉60°，同時每邊擴大為原來的2倍，第一次旋轉后得到△A1OB1，第二次旋轉后得到△A2OB2，…，以此類推，則點A2021的坐標為（ ）
A．（﹣22020，﹣×22020）B．（22021，﹣×22021）
C．（22020，﹣×22020）D．（﹣22021，﹣×22021）
【變式5-1】（2022?淄博）如圖，正方形ABCD的中心與坐標原點O重合，將頂點D（1，0）繞點A（0，1）逆時針旋轉90°得點D1，再將D1繞點B逆時針旋轉90°得點D2，再將D2繞點C逆時針旋轉90°得點D3，再將D3繞點D逆時針旋轉90°得點D4，再將D4繞點A逆時針旋轉90°得點D5……依此類推，則點D2022的坐標是 ．
【變式5-2】（2022?黔西南州）如圖，在平面直角坐標系中，A1（2，0），B1（0，1），A1B1的中點為C1；A2（0，3），B2（﹣2，0），A2B2的中點為C2；A3（﹣4，0），B3（0，﹣3），A3B3的中點為C3；A4（0，﹣5），B4（4，0），A4B4的中點為C4；…；按此做法進行下去，則點C2022的坐標為 ．
【變式5-3】（2022?黑龍江）如圖，在平面直角坐標系中，點A1，A2，A3，A4…在x軸上且OA1＝1，OA2＝2OA1，OA3＝2OA2，OA4＝2OA3…按此規(guī)律，過點A1，A2，A3，A4…作x軸的垂線分別與直線y＝x交于點B1，B2，B3，B4…記△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3，△OA4B4…的面積分別為S1，S2，S3，S4…則S2022＝ ．

【變式5-4】（2022?成都模擬）如圖，在平面直角坐標系中，點A在y軸的正半軸上，OA＝1，將OA繞點O順時針旋轉45°到OA1，掃過的面積記為S1，A1A2⊥OA1交x軸于點A2；將OA2繞點O順時針旋轉45°到OA3，掃過的面積記為S2，A3A4⊥OA3交y軸于點A4；將OA4繞點O順時針旋轉45°到OA5，掃過的面積記為S3，A5A6⊥OA5交x軸于點A6；…；按此規(guī)律，則S2022的值為 ．

【變式5-5】（2022?齊齊哈爾）如圖，直線l：y＝x+與x軸相交于點A，與y軸相交于點B，過點B作BC1⊥l交x軸于點C1，過點C1作B1C1⊥x軸交l于點B1，過點B1作B1C2⊥l交x軸于點C2，過點C2作B2C2⊥x軸交l于點B2，…，按照如此規(guī)律操作下去，則點B2022的縱坐標是 ．

沖刺中考數(shù)學壓軸之滿分集訓
專題01 規(guī)律探究題（五大類）
【典例分析】
【類型一：解決實際問題規(guī)律】
【典例1】（2020?廣西）如圖，某校禮堂的座位分為四個區(qū)域，前區(qū)一共有8排，其中第1排共有20個座位（含左、右區(qū)域），往后每排增加兩個座位，前區(qū)最后一排與后區(qū)各排的座位數(shù)相同，后區(qū)一共有10排，則該禮堂的座位總數(shù)是 ．
【答案】556個
【解答】解：因為前區(qū)一共有8排，其中第1排共有20個座位（含左、右區(qū)域），
往后每排增加兩個座位，
所以前區(qū)最后一排座位數(shù)為：20+2（8﹣1）＝34，
所以前區(qū)座位數(shù)為：（20+34）×8÷2＝216，
因為前區(qū)最后一排與后區(qū)各排的座位數(shù)相同，后區(qū)一共有10排，
所以后區(qū)的座位數(shù)為：10×34＝340，
所以該禮堂的座位總數(shù)是216+340＝556個．
故答案為：556個．
【變式1-1】（2022?玉林）如圖的電子裝置中，紅黑兩枚跳棋開始放置在邊長為2的正六邊形ABCDEF的頂點A處．兩枚跳棋跳動規(guī)則是：紅跳棋按順時針方向1秒鐘跳1個頂點，黑跳棋按逆時針方向3秒鐘跳1個頂點，兩枚跳棋同時跳動，經過2022秒鐘后，兩枚跳棋之間的距離是（ ）
A．4B．2C．2D．0
【答案】B
【解答】解：∵紅跳棋從A點按順時針方向1秒鐘跳1個頂點，
∴紅跳棋每過6秒返回到A點，
2022÷6＝337，
∴經過2022秒鐘后，紅跳棋跳回到A點，
∵黑跳棋從A點按逆時針方向3秒鐘跳1個頂點，
∴黑跳棋每過18秒返回到A點，
2022÷18＝112???6，
∴經過2022秒鐘后，黑跳棋跳到E點，
連接AE，過點F作FM⊥AE，
由題意可得：AF＝AE＝2，∠AFE＝120°，
∴∠FAE＝30°，
在Rt△AFM中，AM＝AF＝，
∴AE＝2AM＝2，
∴經過2022秒鐘后，兩枚跳棋之間的距離是2．
故選：B．
【變式1-2】（2022?德陽）古希臘的畢達哥拉斯學派對整數(shù)進行了深入的研究，尤其注意形與數(shù)的關系，“多邊形數(shù)”也稱為“形數(shù)”，就是形與數(shù)的結合物．用點排成的圖形如下：
其中：圖①的點數(shù)叫做三角形數(shù)，從上至下第一個三角形數(shù)是1，第二個三角形數(shù)是1+2＝3，第三個三角形數(shù)是1+2+3＝6，……
圖②的點數(shù)叫做正方形數(shù)，從上至下第一個正方形數(shù)是1，第二個正方形數(shù)是1+3＝4，第三個正方形數(shù)是1+3+5＝9，……
……
由此類推，圖④中第五個正六邊形數(shù)是 ．
【答案】45
【解答】解：圖①的點數(shù)叫做三角形數(shù)，從上至下第一個三角形數(shù)是1，第二個三角形數(shù)是1+2＝3，第三個三角形數(shù)是1+2+3＝6，……
圖②的點數(shù)叫做正方形數(shù)，從上至下第一個正方形數(shù)是1，第二個正方形數(shù)是1+3＝4，第三個正方形數(shù)是1+3+5＝9，……
圖③的點數(shù)叫做五邊形數(shù)，從上至下第一個五邊形數(shù)是1，第二個五邊形數(shù)是1+4＝5，第三個五邊形數(shù)是1+4+7＝12，……
由此類推，圖④中第五個正六邊形數(shù)是1+5+9+13+17＝45．
故答案為：45．
【類型二：數(shù)字規(guī)律】
【典例2】（2021?江西）如圖在我國宋朝數(shù)學家楊輝1261年的著作《詳解九章算法》中提到過，因而人們把這個表叫做楊輝三角，請你根據(jù)楊輝三角的規(guī)律補全表第四行空缺的數(shù)字是 ．
【答案】3
【解答】解：由表可知，每一行中間的數(shù)字都等于這個數(shù)字上一行左上角和右上角的數(shù)字之和，
故第四行空缺的數(shù)字是1+2＝3，
故答案為：3．
【變式2-1】（2022?西安二模）如表在我國宋朝數(shù)學家楊輝1261年的著作《詳細九章算法》中提到過，因而人們把這個表叫做楊輝三角．請你根據(jù)楊輝三角的規(guī)律補全表中第五行空缺的數(shù)字是 ．
【答案】6
【解答】解：根據(jù)表中的數(shù)據(jù)和數(shù)據(jù)的變化特點，可以發(fā)現(xiàn)每一行中間的數(shù)等于這個數(shù)字左上角和右上角的兩個數(shù)字之和，
故第第五行空缺的數(shù)字是3+3＝6，
故答案為：6．
【變式2-2】（2022?慶云縣模擬）德國數(shù)學家萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了如圖所示的單位分數(shù)三角形（單位分數(shù)是分子為1，分母為正整數(shù)的分數(shù)），又稱為萊布尼茨三角形，根據(jù)前5行的規(guī)律，寫出第6行的第三個數(shù)： ．
【答案】
【解答】解：由數(shù)表可知，第n行的第1個數(shù)和最后1個數(shù)為，
∴第6行的第1個數(shù)和最后1個數(shù)為，
中間的某個數(shù)等于下一行“兩個腳”的和，例如：
＝+，＝+，
∴第6行的第2個數(shù)為﹣＝，
第6行的第3個數(shù)為﹣＝，
故答案為：．
【變式2-3】（2022?黑龍江）如圖所示，以O為端點畫六條射線OA，OB，OC，OD，OE，OF，再從射線OA上某點開始按逆時針方向依次在射線上描點并連線，若將各條射線所描的點依次記為1，2，3，4，5，6，7，8…后，那么所描的第2013個點在射線 上．
【答案】OC
【解答】解：∵1在射線OA上，
2在射線OB上，
3在射線OC上，
4在射線OD上，
5在射線OE上，
6在射線OF上，
7在射線OA上，
……
每六個一循環(huán)，
2013÷6＝335……3，
∴所描的第2013個點在射線和3所在射線一樣，
∴所描的第2013個點在射線OC上．
故答案為：OC．
【變式2-4】（2022?綏化）如圖，∠AOB＝60°，點P1在射線OA上，且OP1＝1，過點P1作P1K1⊥OA交射線OB于K1，在射線OA上截取P1P2，使P1P2＝P1K1；過點P2作P2K2⊥OA交射線OB于K2，在射線OA上截取P2P3，使P2P3＝P2K2…按照此規(guī)律，線段P2023K2023的長為 ．
【答案】（1+）2022
【解答】解：由題意可得，
P1K1＝OP1?tan60°＝1×＝，
P2K2＝OP2?tan60°＝（1+）×＝（1+），
P3K3＝OP3?tan60°＝（1+++3）×＝（1+）2，
P4K4＝OP4?tan60°＝[（1+++3）+（1+）2]×＝（1+）3，
…，
PnKn＝（1+）n﹣1，
∴當n＝2023時，P2023K2023＝（1+）2022，
故答案為：（1+）2022．
【變式2-5】（2022?眉山）將一組數(shù)，2，，2，…，4，按下列方式進行排列：
，2，，2；
，2，，4；
…
若2的位置記為（1，2），的位置記為（2，3），則2的位置記為 ．
【答案】（4，2）
【解答】解：題中數(shù)字可以化成：
，，，；
，，，；
∴規(guī)律為：被開數(shù)為從2開始的偶數(shù)，每一行4個數(shù)，
∵，28是第14個偶數(shù)，而14÷4＝3?2，
∴的位置記為（4，2），
故答案為：（4，2）．
【變式2-6】（2022?江西）將字母“C”，“H”按照如圖所示的規(guī)律擺放，依次下去，則第4個圖形中字母“H”的個數(shù)是（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】B
【解答】解：第1個圖中H的個數(shù)為4，
第2個圖中H的個數(shù)為4+2，
第3個圖中H的個數(shù)為4+2×2，
第4個圖中H的個數(shù)為4+2×3＝10，
故選：B．
【類型三：式子規(guī)律】
【典例3-1】（2022?西藏）按一定規(guī)律排列的一組數(shù)據(jù)：，﹣，，﹣，，﹣，…．則按此規(guī)律排列的第10個數(shù)是（ ）
A．﹣B．C．﹣D．
【答案】A
【解答】解：原數(shù)據(jù)可轉化為：，﹣，，﹣，，﹣，…，
∴＝（﹣1）1+1×，
﹣＝（﹣1）2+1×，
＝（﹣1）3+1×，
..．
∴第n個數(shù)為：（﹣1）n+1，
∴第10個數(shù)為：（﹣1）10+1×＝﹣．
故選：A．
【典例3-2】（2022春?隆昌市校級月考）已知a1為實數(shù)，規(guī)定運算：，，，，…，．按上述方法計算：當a1＝3時，a2021的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：當a1＝3時，
a2＝1﹣＝，
a3＝1﹣＝1﹣＝﹣，
a4＝1﹣＝1+2＝3，
..．
∴以3個數(shù)為一組，不斷循環(huán)，
∵2021÷3＝，
∴a2021＝，
故選：D．
【變式3-1】（2022?云南）按一定規(guī)律排列的單項式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n個單項式是（ ）
A．（2n﹣1）xnB．（2n+1）xnC．（n﹣1）xnD．（n+1）xn
【答案】A
【解答】解：∵單項式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，…，
∴第n個單項式為（2n﹣1）xn，
故選：A．
【變式3-2】（2022?宿遷）按規(guī)律排列的單項式：x，﹣x3，x5，﹣x7，x9，…，則第20個單項式是 ．
【答案】﹣x39
【解答】解：根據(jù)前幾項可以得出規(guī)律，奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，第n項的數(shù)為（﹣1）n+1×x2n﹣1，
則第20個單項式是（﹣1）21×x39＝﹣x39，
故答案為：﹣x39．
【變式3-3】（2022?達州）人們把≈0.618這個數(shù)叫做黃金比，著名數(shù)學家華羅庚優(yōu)選法中的“0.618法”就應用了黃金比．設a＝，b＝，記S1＝+，S2＝+，…，S100＝+，則S1+S2+…+S100＝ ．
【答案】5050
【解答】解：∵a＝，b＝，
∴ab＝×＝1，
∵S1＝+＝＝1，
S2＝+＝＝2，
…，
S100＝+＝＝100，
∴S1+S2+…+S100＝1+2+…+100＝5050，
故答案為：5050．
【類型四：圖形規(guī)律】
【典例4】（2022?重慶）用正方形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有5個正方形，第②個圖案中有9個正方形，第③個圖案中有13個正方形，第④個圖案中有17個正方形，此規(guī)律排列下去，則第⑨個圖案中正方形的個數(shù)為（ ）
A．32B．34C．37D．41
【答案】C
【解答】解：由題知，第①個圖案中有5個正方形，
第②個圖案中有9個正方形，
第③個圖案中有13個正方形，
第④個圖案中有17個正方形，
…，
第n個圖案中有（4n+1）個正方形，
∴第⑨個圖案中正方形的個數(shù)為4×9+1＝37，
故選：C．
【變式4-1】（2022?濟寧）如圖，用相同的圓點按照一定的規(guī)律拼出圖形．第一幅圖4個圓點，第二幅圖7個圓點，第三幅圖10個圓點，第四幅圖13個圓點……按照此規(guī)律，第一百幅圖中圓點的個數(shù)是（ ）
A．297B．301C．303D．400
【答案】B
【解答】解：觀察圖形可知：
擺第1個圖案需要4個圓點，即4+3×0；
擺第2個圖案需要7個圓點，即4+3＝4+3×1；
擺第3個圖案需要10個圓點，即4+3+3＝4+3×2；
擺第4個圖案需要13個圓點，即4+3+3+3＝4+3×3；
…
第n個圖擺放圓點的個數(shù)為：4+3（n﹣1）＝3n+1，
∴第100個圖放圓點的個數(shù)為：3×100+1＝301．
故選：B．
【變式4-2】（2022?黑龍江）如圖是由若干個相同的小正方體搭成的一個幾何體的左視圖和俯視圖，則所需的小正方體的個數(shù)最多是（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】B
【解答】解：從俯視圖可看出前后有三層，從左視圖可看出最后面有2層高，
中間最高是2層，要是最多就都是2層，
最前面的最高是1層，
所以最多的為：2+2×2+1×2＝8．
故選：B．
【變式4-3】（2022?重慶）把菱形按照如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有1個菱形，第②個圖案中有3個菱形，第③個圖案中有5個菱形，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑥個圖案中菱形的個數(shù)為（ ）
A．15B．13C．11D．9
【答案】C
【解答】解：由圖形知，第①個圖案中有1個菱形，
第②個圖案中有3個菱形，即1+2＝3，
第③個圖案中有5個菱形即1+2+2＝5，
……
則第n個圖案中菱形有1+2（n﹣1）＝（2n﹣1）個，
∴第⑥個圖案中有2×6﹣1＝11個菱形，
故選：C．
【變式4-4】（2022?大慶）觀察下列“蜂窩圖”，按照這樣的規(guī)律，則第16個圖案中的“”的個數(shù)是 ．
【答案】49
【解答】解：由題意得：
第一個圖案中的“”的個數(shù)是：4＝4+3×0，
第二個圖案中的“”的個數(shù)是：7＝4+3×1，
第三個圖案中的“”的個數(shù)是：10＝4+3×2，
..．
∴第16個圖案中的“”的個數(shù)是：4+3×15＝49，
故答案為：49．
【變式4-5】（2022?十堰）如圖，某鏈條每節(jié)長為2.8cm，每兩節(jié)鏈條相連接部分重疊的圓的直徑為1cm，按這種連接方式，50節(jié)鏈條總長度為 cm．
【答案】91
【解答】解：由題意得：
1節(jié)鏈條的長度＝2.8cm，
2節(jié)鏈條的總長度＝[2.8+（2.8﹣1）]cm，
3節(jié)鏈條的總長度＝[2.8+（2.8﹣1）×2]cm，
..．
∴50節(jié)鏈條總長度＝[2.8+（2.8﹣1）×49]＝91（cm），
故答案為：91．
【變式4-6】（2022?遂寧）“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復這一過程所畫出來的圖形，因為重復數(shù)次后的形狀好似一棵樹而得名．假設如圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，則第六代勾股樹中正方形的個數(shù)為 ．
【答案】127
【解答】解：∵第一代勾股樹中正方形有1+2＝3（個），
第二代勾股樹中正方形有1+2+22＝7（個），
第三代勾股樹中正方形有1+2+22+23＝15（個），
．
∴第六代勾股樹中正方形有1+2+22+23+24+25+26＝127（個），
故答案為：127．
【變式4-7】（2022?黑龍江）如圖，下列圖形是將正三角形按一定規(guī)律排列，則第5個圖形中所有正三角形的個數(shù)有 ．
【答案】485
【解答】解：第一個圖形正三角形的個數(shù)為5，
第二個圖形正三角形的個數(shù)為5×3+2＝2×32﹣1＝17，
第三個圖形正三角形的個數(shù)為17×3+2＝2×33﹣1＝53，
第四個圖形正三角形的個數(shù)為53×3+2＝2×34﹣1＝161，
第五個圖形正三角形的個數(shù)為161×3+2＝2×35﹣1＝485．
如果是第n個圖，則有2×3n﹣1個
故答案為：485．
【類型五：坐標平面中的規(guī)律】
【典例5】（2021?達州）在平面直角坐標系中，等邊△AOB如圖放置，點A的坐標為（1，0），每一次將△AOB繞著點O逆時針方向旋轉60°，同時每邊擴大為原來的2倍，第一次旋轉后得到△A1OB1，第二次旋轉后得到△A2OB2，…，以此類推，則點A2021的坐標為（ ）
A．（﹣22020，﹣×22020）B．（22021，﹣×22021）
C．（22020，﹣×22020）D．（﹣22021，﹣×22021）
【答案】C
【解答】解：由已知可得：
第一次旋轉后，A1在第一象限，OA1＝2，
第二次旋轉后，A2在第二象限，OA2＝22，
第三次旋轉后，A3在x軸負半軸，OA3＝23，
第四次旋轉后，A4在第三象限，OA4＝24，
第五次旋轉后，A5在第四象限，OA5＝25，
第六次旋轉后，A6在x軸正半軸，OA6＝26，
．
如此循環(huán)，每旋轉6次，A的對應點又回到x軸正半軸，而2021＝6×336+5，
∴A2021在第四象限，且OA2021＝22021，示意圖如下：
OH＝OA2021＝22020，A2021H＝OH＝×22020，
∴A2021（22020，﹣×22020），
故選：C．
【變式5-1】（2022?淄博）如圖，正方形ABCD的中心與坐標原點O重合，將頂點D（1，0）繞點A（0，1）逆時針旋轉90°得點D1，再將D1繞點B逆時針旋轉90°得點D2，再將D2繞點C逆時針旋轉90°得點D3，再將D3繞點D逆時針旋轉90°得點D4，再將D4繞點A逆時針旋轉90°得點D5……依此類推，則點D2022的坐標是 ．
【解答】（﹣2023，2022）
【解答】解：如圖，過點D1作D1E⊥y軸于E，過點D2作D2F⊥x軸于F，過點D3作D3G⊥y軸于G，過點D4作D4H⊥x軸于H，過點D5K作D5K⊥y軸于K，
∵正方形ABCD的中心與坐標原點O重合，D（1，0），
∴OA＝OB＝OC＝OD＝1，AB＝BC＝C＝AD＝，∠BAO＝∠CBO＝∠DCO＝∠ADO＝45°，
∴A（0，1），B（﹣1，0），C（0，﹣1），
∵將頂點D（1，0）繞點A（0，1）逆時針旋轉90°得點D1，
∴∠D1AE＝45°，∠AED1＝90°，AD1＝AD＝，
∴AE＝AD1?cs∠D1AE＝cs45°＝1，D1E＝AD1?sin∠D1AE＝sin45°＝1，
∴OE＝OA+AE＝1+1＝2，BD1＝AB+BD1＝+＝2，
∴D1（1，2），
∵再將D1繞點B逆時針旋轉90°得點D2，
∴∠D2BF＝45°，∠D2FB＝90°，BD2＝BD1＝2，
∴D2F＝BD2sin∠D2BF＝2sin45°＝2，BF＝BD2cs∠D2BF＝2cs45°＝2，
∴OF＝OB+BF＝1+2＝3，
∴D2（﹣3，2），
再將D2繞點C逆時針旋轉90°得點D3，再將D3繞點D逆時針旋轉90°得點D4，再將D4繞點A逆時針旋轉90°得點D5……
同理可得：D3（﹣3，﹣4），D4（5，﹣4），D5（5，6），D6（﹣7，6），……，
觀察發(fā)現(xiàn)：每四個點一個循環(huán)，D4n+2（﹣4n﹣3，4n+2），
∵2022＝4×505+2，
∴D2022（﹣2023，2022）；
故答案為：（﹣2023，2022）．
【變式5-2】（2022?黔西南州）如圖，在平面直角坐標系中，A1（2，0），B1（0，1），A1B1的中點為C1；A2（0，3），B2（﹣2，0），A2B2的中點為C2；A3（﹣4，0），B3（0，﹣3），A3B3的中點為C3；A4（0，﹣5），B4（4，0），A4B4的中點為C4；…；按此做法進行下去，則點C2022的坐標為 ．
【答案】（﹣1011，）
【解答】解：由題意可得，點?n的位置按4次一周期的規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)，
∵2022÷4＝505……2，
∴點C2022在第二象限，
∵位于第二象限內的點C2的坐標為（﹣1，），
點C6的坐標為（﹣3，），
點C10的坐標為（﹣5，），
……
∴點?n的坐標為（﹣，），
∴當n＝2022時，﹣＝﹣＝﹣1011，＝＝，
∴點C2022的坐標為（﹣1011，），
故答案為：（﹣1011，）．
【變式5-3】（2022?黑龍江）如圖，在平面直角坐標系中，點A1，A2，A3，A4…在x軸上且OA1＝1，OA2＝2OA1，OA3＝2OA2，OA4＝2OA3…按此規(guī)律，過點A1，A2，A3，A4…作x軸的垂線分別與直線y＝x交于點B1，B2，B3，B4…記△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3，△OA4B4…的面積分別為S1，S2，S3，S4…則S2022＝ ．
【答案】24041
【解答】解：∵OA1＝1，OA2＝2OA1，
∴OA2＝2，
∵OA3＝2OA2，
∴OA3＝4，
∵OA4＝2OA3，
∴OA4＝8，
把x＝1代入直線y＝x中可得：y＝，
∴A1B1＝，
把x＝2代入直線y＝x中可得：y＝2，
∴A2B2＝2，
把x＝4代入直線y＝x中可得：y＝4，
∴A3B3＝4，
把x＝8代入直線y＝x中可得：y＝8，
∴A4B4＝8，
∴S1＝OA1?A1B1＝×1×＝×20×（20×），
S2＝OA2?A2B2＝×2×2＝×21×（21×），
S3＝OA3?A3B3＝×4×4＝×22×（22×），
S4＝OA4?A4B4＝×8×8＝×23×（23×），
..．
∴S2022＝×22021×（22021×）＝24041，
故答案為：24041．
【變式5-4】（2022?成都模擬）如圖，在平面直角坐標系中，點A在y軸的正半軸上，OA＝1，將OA繞點O順時針旋轉45°到OA1，掃過的面積記為S1，A1A2⊥OA1交x軸于點A2；將OA2繞點O順時針旋轉45°到OA3，掃過的面積記為S2，A3A4⊥OA3交y軸于點A4；將OA4繞點O順時針旋轉45°到OA5，掃過的面積記為S3，A5A6⊥OA5交x軸于點A6；…；按此規(guī)律，則S2022的值為 ．
【答案】22018π
【解答】解：由題意△A1OA2、△A3OA4、△A5OA6、…、都是等腰直角三角形，
∴OA2＝，OA4＝2，OA6＝2，…，
∴S1＝＝π，S2＝＝π，S3＝＝π，S4＝，
…；
∴Sn＝2n﹣4π，
∴S2022＝22018π，
故答案為：22018π，
【變式5-5】（2022?齊齊哈爾）如圖，直線l：y＝x+與x軸相交于點A，與y軸相交于點B，過點B作BC1⊥l交x軸于點C1，過點C1作B1C1⊥x軸交l于點B1，過點B1作B1C2⊥l交x軸于點C2，過點C2作B2C2⊥x軸交l于點B2，…，按照如此規(guī)律操作下去，則點B2022的縱坐標是 ．
【答案】（）2022
【解答】解：∵y＝x+與x軸相交于點A，與y軸相交于點B，
∴當x＝0時，y＝，當y＝0時，x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（0，），
∴OA＝3，OB＝，
∴tan∠BAO＝，
∴∠BAO＝30°，
∵BC1⊥l，
∴∠C1BO＝∠BAO＝30°，
∴BC1＝＝2，
∵B1C1⊥x軸，
∴∠B1C1B＝30°，
∴B1C1＝＝，
同理可得，B2C2＝C1＝（）2，
依此規(guī)律，可得Bn?n＝（）n，
當n＝2022時，B2022C2022＝（）2022，
故答案為：（）2022．

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