精選練習(xí)
基礎(chǔ)篇
一、單選題
1．（2022·云南昆明·八年級(jí)期末）張師傅應(yīng)客戶要求加工4個(gè)菱形零件．在交付客戶之前，需要對(duì)4個(gè)零件進(jìn)行檢測(cè)．根據(jù)零件的檢測(cè)結(jié)果，圖中有可能不合格的零件是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·四川成都·八年級(jí)期末）一個(gè)菱形ABCD的周長(zhǎng)為40cm，它的一條對(duì)角線長(zhǎng)10cm，則下列關(guān)于該菱形的說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．另一條對(duì)角線長(zhǎng)為cmB．有一組對(duì)角的大小為60°
C．面積為D．任意一邊上的高均為cm
3．（2022·海南?？凇ぐ四昙?jí)期末）如圖，在菱形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，AE⊥BC，連接AC，則∠BAD等于（ ）
A．60°B．100°C．110°D．120°
4．（2022·河南許昌·八年級(jí)期末）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E是邊AB上一點(diǎn)，，連接EC． 若，則∠BCE的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·廣東肇慶·八年級(jí)期末）如圖，四邊形ABCD是菱形，AC＝8cm，DB＝6cm，DH⊥AB于H，則DH等于（ ）
A．3.6B．4.8C．5D．10
6．（2022·天津?yàn)I海新·八年級(jí)期末）在菱形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，，，過(guò)點(diǎn)作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則的面積為（ ）
A．24B．18C．12D．10
二、填空題
7．（2022·湖南邵陽(yáng)·八年級(jí)期末）若菱形的邊長(zhǎng)為13cm，對(duì)角線長(zhǎng)10cm，則菱形的面積是__________cm2．
8．（2022·福建龍巖·八年級(jí)期末）如圖，菱形ABCD 中，∠ABD=30°，AC=4，則BD的長(zhǎng)為_(kāi)______．
9．（2022·北京石景山·八年級(jí)期末）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，，則________．
10．（2022·浙江溫州·八年級(jí)期末）如圖，在菱形中，，，則_______
三、解答題
11．（2022·天津河西·八年級(jí)期末）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，又有E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，連接EF．
(1)求對(duì)角線AC的長(zhǎng)；
(2)求EF的長(zhǎng)．
12．（2022·浙江嘉興·八年級(jí)期末）如圖，在菱形中，對(duì)角線，交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
(1)求證：//．
(2)若，，求四邊形的周長(zhǎng)．
提升篇
一、填空題
1．（2022·廣西欽州·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在正方形ABCD內(nèi)部且AE⊥EF，CF⊥EF，已知AE＝9，EF＝5，F(xiàn)C＝3，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為_(kāi)_______．
2．（2022·湖南邵陽(yáng)·八年級(jí)期末）如圖，在正方形中，為中點(diǎn)，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連結(jié)，若，則的值為_(kāi)__________．
3．（2022·重慶一中八年級(jí)期中）如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為4，P是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值是______．
4．（2022·浙江杭州·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H為正方形ABCD四邊中點(diǎn)，連接BE，DG，CF，AH．若AB＝10，則四邊形MNPQ的面積是______．
5．（2022·河南開(kāi)封·八年級(jí)期末）如圖，中，兩直角邊和的長(zhǎng)分別3和4，以斜邊為邊作一個(gè)正方形，再以正方形的邊為斜邊作，然后依次以兩直角邊和為邊分別作正方形和，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_____．
二、解答題
6．（2022·福建南平·八年級(jí)期末）如圖，在正方形 ABCD 中，E是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），連接AE，過(guò)點(diǎn)A作AE的垂線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F ．
(1)如 圖1，求證：BE＝DF；
(2)如圖2，連接BD，EF，交點(diǎn)為O．求證：點(diǎn)O是線段EF的中點(diǎn)．
7．（2022·湖北黃石·八年級(jí)期末）四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E為線段AC上一點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE，交射線BC于點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．
(1)如圖，求證：矩形DEFG是正方形；
(2)若AB＝2，，求CG的長(zhǎng)度；
(3)當(dāng)線段DE與正方形ABCD的某條邊的夾角是32°時(shí)，求∠EFC的度數(shù)．
8．（2022·貴州黔東南·八年級(jí)期末）【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在四邊形中，對(duì)角線，垂足是O，求證：．
【拓展遷移】（2）如圖2．以三角形的邊、為邊向外作正方形和正方形，求證：．
（3）如圖3，在（2）小題條件不變的情況下，連接，若，，，則的長(zhǎng)_____________．（直接填寫(xiě)答案）
第一章 特殊平行四邊形
1.1 菱形的性質(zhì)與判定
精選練習(xí)
基礎(chǔ)篇
一、單選題
1．（2022·云南昆明·八年級(jí)期末）張師傅應(yīng)客戶要求加工4個(gè)菱形零件．在交付客戶之前，需要對(duì)4個(gè)零件進(jìn)行檢測(cè)．根據(jù)零件的檢測(cè)結(jié)果，圖中有可能不合格的零件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)菱形的判定定理逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】
A選項(xiàng)圖形四條邊相等，故為菱形，本選項(xiàng)符合題意；
B選項(xiàng)圖形，
對(duì)邊平行，
這組對(duì)邊相等，且四邊形鄰邊相等，
故為菱形，本選項(xiàng)符合題意；
C選項(xiàng)圖形一組對(duì)邊平行，一組對(duì)邊相等，無(wú)法證明其為菱形，本選項(xiàng)不符合題意；
D選項(xiàng)圖形由同旁內(nèi)角互補(bǔ)，可得兩組對(duì)邊分別平行，且鄰邊相等，故為菱形，本選項(xiàng)符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了菱形的判定，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·四川成都·八年級(jí)期末）一個(gè)菱形ABCD的周長(zhǎng)為40cm，它的一條對(duì)角線長(zhǎng)10cm，則下列關(guān)于該菱形的說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．另一條對(duì)角線長(zhǎng)為cmB．有一組對(duì)角的大小為60°
C．面積為D．任意一邊上的高均為cm
【答案】C
【解析】
【分析】
由菱形的性質(zhì)及勾股定理求出OA及AC的長(zhǎng)，則可判斷選項(xiàng)A，由等邊三角形的判定和性質(zhì)可得出B選項(xiàng)正確；根據(jù)菱形的面積公式可判斷C，D．
【詳解】
解：如圖，對(duì)角線BD=10cm，AC與BD交于點(diǎn)O，
∵菱形ABCD的周長(zhǎng)為40cm，
∴AB=BC=CD=AD=10cm；
∵對(duì)角線BD=10cm，
∴BO=DO=5cm，
在Rt△ADO中，
cm，
∴cm，故A選項(xiàng)正確，不符合題意；
∵AD=BD=AB=10cm，
∴△ABD為等邊三角形，
∴∠BAD=60°，
∴∠BCD=∠BAD=60°，故B選項(xiàng)正確，不符合題意；
∴菱形的面積為cm2，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；
設(shè)菱形一邊上的高為hcm，
∴，解得：cm，故D選項(xiàng)正確，不符合題意；
故選：C
【點(diǎn)睛】
本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
3．（2022·海南?？凇ぐ四昙?jí)期末）如圖，在菱形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，AE⊥BC，連接AC，則∠BAD等于（ ）
A．60°B．100°C．110°D．120°
【答案】D
【解析】
【分析】
首先求出AB＝AC，然后證明△ABC和△ACD是等邊三角形即可．
【詳解】
解：∵E是BC的中點(diǎn)，AE⊥BC，
∴AB＝AC，
∴AC＝AB＝BC＝CD＝DA，
∴△ABC和△ACD是等邊三角形，
∴∠BAC＝∠CAD＝60°，
∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝120°，
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考查了菱形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·河南許昌·八年級(jí)期末）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E是邊AB上一點(diǎn)，，連接EC． 若，則∠BCE的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由菱形的性質(zhì)可得，由等腰三角形的性質(zhì)可得， ，，即可求解．
【詳解】
解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，且，
∴，
∵，
∴，
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用菱形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
5．（2022·廣東肇慶·八年級(jí)期末）如圖，四邊形ABCD是菱形，AC＝8cm，DB＝6cm，DH⊥AB于H，則DH等于（ ）
A．3.6B．4.8C．5D．10
【答案】B
【解析】
【分析】
設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，先由勾股定理求出AB，再根據(jù)菱形面積的計(jì)算方法即可求解．
【詳解】
解：如圖，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，
∵四邊形ABCD是菱形，AC＝8cm，DB＝6cm，
∴AC⊥BD，OA=OC=4cm，OB=OD=3cm，
∴，
∵DH⊥AB，
∴菱形的面積等于，
∴．
故選：B
【點(diǎn)睛】
本題考查了菱形的性質(zhì)以及勾股定理；熟練掌握菱形的性質(zhì)，由勾股定理求出AB的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．
6．（2022·天津?yàn)I海新·八年級(jí)期末）在菱形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，，，過(guò)點(diǎn)作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則的面積為（ ）
A．24B．18C．12D．10
【答案】A
【解析】
【分析】
先判斷出四邊形ACED是平行四邊形，從而得出DE的長(zhǎng)度，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出BD的長(zhǎng)度，利用勾股定理的逆定理可得出△BDE是直角三角形，計(jì)算出面積即可．
【詳解】
解： 菱形ABCD，

在Rt△BCO中， 則BD=8，

∴四邊形ACED是平行四邊形，
∴AC=DE=6，
BE=BC+CE=10，

∴△BDE是直角三角形，
∴S△BDE=DE?BD=24．
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理及三角形的面積，平行四邊形的判定與性質(zhì)，求出BD的長(zhǎng)度，判斷△BDE是直角三角形，是解答本題的關(guān)鍵．
二、填空題
7．（2022·湖南邵陽(yáng)·八年級(jí)期末）若菱形的邊長(zhǎng)為13cm，對(duì)角線長(zhǎng)10cm，則菱形的面積是__________cm2．
【答案】120
【解析】
【分析】
先根據(jù)菱形對(duì)角線互相垂直平分，利用勾股定理求出另一對(duì)角線一半的長(zhǎng)，從而得出另一對(duì)角線的度，然后利用菱形面積等于對(duì)角線乘積的一半求解即可．
【詳解】
解：如圖，AB=13cm，BD=10cm，
∵菱形，
∴AC⊥BD，OB=BD=5cm，AC=2OA，
∴∠AOB=90°，
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
OA==12(cm)，
∴AC=2OA=24cm，
∴菱形的面積==120(cm2)，
故答案為：120．
【點(diǎn)睛】
本題考查菱形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)與勾股定理是解題的關(guān)鍵．
8．（2022·福建龍巖·八年級(jí)期末）如圖，菱形ABCD 中，∠ABD=30°，AC=4，則BD的長(zhǎng)為_(kāi)______．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)菱形的性質(zhì)可得∠ABO=30°，AO==2，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理即可求得BO的長(zhǎng)，從而得到結(jié)果．
【詳解】
如圖：
在菱形ABCD中，AC、BD是對(duì)角線，設(shè)相交于O點(diǎn)，∠ABD=30°，AC=4，
∴AC⊥BD， AO==2，
∴AB=2AO=4，
∴ ，

故答案為：
【點(diǎn)睛】
本題考查的是菱形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的對(duì)角線互相垂直平分，對(duì)角線平分對(duì)角．
9．（2022·北京石景山·八年級(jí)期末）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，，則________．
【答案】70
【解析】
【分析】
由菱形的性質(zhì)可得的度數(shù)，再根據(jù)余角的性質(zhì)可得答案．
【詳解】
解：在菱形中，，，
，，
．
故答案為：70．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是菱形的性質(zhì)，除平行四邊形固有的性質(zhì)外，菱形的對(duì)角線相互垂直，對(duì)角線平分對(duì)角等，解題的關(guān)鍵是掌握其性質(zhì)定理．
10．（2022·浙江溫州·八年級(jí)期末）如圖，在菱形中，，，則_______
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)菱形的性質(zhì)得到OA和OB的長(zhǎng)度，，再利用勾股定理求解．
【詳解】
解：∵在菱形中，，，
∴，，，
∴在中
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了菱形的性質(zhì)和勾股定理，理解菱形的性質(zhì)是解答關(guān)鍵．
三、解答題
11．（2022·天津河西·八年級(jí)期末）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，又有E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，連接EF．
(1)求對(duì)角線AC的長(zhǎng)；
(2)求EF的長(zhǎng)．
【答案】(1)2
(2)
【解析】
【分析】
（1）由菱形的性質(zhì)得AB=BC=2，∠BCA=∠DCA=∠BCD=60°，再證△ABC是等邊三角形即可；
（2）由三角形中位線定理得EF=BD，再由菱形的性質(zhì)得AO=AC=1，BO=DO，AC⊥BD，最后運(yùn)用勾股定理解答即可．
(1)
解： 四邊形ABCD是菱形，
∴，，
∵，
∴
是等邊三角形
∴．
(2)
解：∵E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，
∴是中位線，
∴．
又∵四邊形ABCD是菱形，
∴，，
∴，
∴在中，由勾股定理得，，
∴，
∴（負(fù)舍）
∴
∴．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理以及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．
12．（2022·浙江嘉興·八年級(jí)期末）如圖，在菱形中，對(duì)角線，交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
(1)求證：//．
(2)若，，求四邊形的周長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)22
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD，再由，即可求證；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AB∥CD， CD=AB=5，可證得四邊形BECD是平行四邊形，即可求解．
(1)
證明：在菱形中，AC⊥BD，
∵，
∴BD∥CE；
(2)
解：在菱形中，AB∥CD， CD=AB=5，
∴BE∥CD，
∴四邊形BECD是平行四邊形，
∴BD=CE=6，BE=CD=5，
∴四邊形的周長(zhǎng)為2（BE+CE）=22．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，熟練掌握菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，平行線的判定是解題的關(guān)鍵．
提升篇
一、填空題
1．（2022·廣西欽州·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在正方形ABCD內(nèi)部且AE⊥EF，CF⊥EF，已知AE＝9，EF＝5，F(xiàn)C＝3，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為_(kāi)_______．
【答案】
【解析】
【分析】
連接，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，在中，勾股定理求得，進(jìn)而即可求解．
【詳解】
如圖，連接，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)
AE⊥EF，CF⊥EF，
則四邊形是矩形，
中，，，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理，構(gòu)造直角三角形求得的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·湖南邵陽(yáng)·八年級(jí)期末）如圖，在正方形中，為中點(diǎn)，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連結(jié)，若，則的值為_(kāi)__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由題意可得△AED≌△CFD，從而得到CF=AE=1，然后根據(jù)勾股定理可以得到解答．
【詳解】
解：∵E為AB的中點(diǎn)，
∴AB＝2AE＝2，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC＝AB＝2，∠ADC＝∠ABC＝90°，
∵，
∴∠EDC+∠CDF=90°=∠EDC+∠ADE，BC＝AB，
∴∠CDF=∠ADE，
又CD=AD，∠DCF=∠A=90°，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴CF=AE=1，BF=BC+CF=2+1=3，
∴在RT△EBF中，由勾股定理可得：
EF=，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查正方形的綜合應(yīng)用，熟練掌握正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．
3．（2022·重慶一中八年級(jí)期中）如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為4，P是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】
過(guò)點(diǎn)P作，由可得，得PE=1，PF=3，過(guò)點(diǎn)P作MN//AB交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，可得出四邊形PFCN是矩形，得CN=PF=3，延長(zhǎng)CB到K，使NK=CN=3，連接DK，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短故可知的最小值為DK的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理可求解
【詳解】
解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作，交AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，

∵四邊形是正方形，
∴，，，，
∴
∵，，
∴，
∴
∵
∴，
∴，，
過(guò)點(diǎn)P作MN//AB交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，則，
∴∠
∴四邊形是矩形，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵∠，
延長(zhǎng)CB到K，使NK=CN=3，則有：
連接DK，當(dāng)在一條直線上時(shí)，，當(dāng)不在一條直線上時(shí)，，
故當(dāng)共線時(shí)，
又N是CK的中點(diǎn)，，
∴PN是CK的垂直平分線，
∴CP=PK，
所以的最小值為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查正方形的性質(zhì)，矩形的判斷與性質(zhì)，勾股定理以及線段的垂直平分線的判斷與性質(zhì)等知識(shí)，掌握正方形的性質(zhì)，正確做出輔助線是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·浙江杭州·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H為正方形ABCD四邊中點(diǎn)，連接BE，DG，CF，AH．若AB＝10，則四邊形MNPQ的面積是______．
【答案】20
【解析】
【分析】
根據(jù)正方形四邊相等，四個(gè)角為直角的性質(zhì)，且點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H為正方形ABCD四邊中點(diǎn)，可證明△ADG≌△DCG≌△CBF≌△BAE（SAS），得到AH=DG=CF=BE，∠HAD=∠GDC=∠FCB=∠EBA，則可證明△AQD≌△BAM≌△CBN≌△DCP（AAS），四邊形MNPQ是正方形，求出MNPQ的邊長(zhǎng)即可求出其面積．
【詳解】
解：∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H為正方形ABCD四邊中點(diǎn)，
∴AE=DH=CG=BF，
又∵AB=BC=CD=AD，
∴△ADG≌△DCG≌△CBF≌△BAE（SAS），
∴AH=DG=CF=BE，∠HAD=∠GDC=∠FCB=∠EBA，
∵∠HAD+∠BAH=90°，
∴∠BAH+∠ABE=90°，
∴∠AMB=180°-(∠BAH+∠ABE)=90°，
同理：∠BNC=∠CPD=∠DQA=90°，
∴△AQD≌△BAM≌△CBN≌△DCP（AAS），
∴AM=BN=CP=DQ，AQ=BM=CN=DP，
∴MQ=MN=PN=PQ，
∴四邊形MNPQ是正方形，
∵AB=BC=CD=AD=10，
∴BE=CF=DG=AH=，
∵，
∴AM=，
∴，
∴MQ=MN=PN=PQ=，
∴四邊形MNPQ的面積=，
故答案為：20
【點(diǎn)睛】
本題考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形，熟練運(yùn)用正方形的性質(zhì)和全等三角形是解題的關(guān)鍵．
5．（2022·河南開(kāi)封·八年級(jí)期末）如圖，中，兩直角邊和的長(zhǎng)分別3和4，以斜邊為邊作一個(gè)正方形，再以正方形的邊為斜邊作，然后依次以兩直角邊和為邊分別作正方形和，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_____．
【答案】25
【解析】
【分析】
證明，可得到AF和FE的長(zhǎng)度，分別計(jì)算出正方形和的面積即可得到陰影部分的面積．
【詳解】
解：∵ 四邊形是正方形，
∴，
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵ ，
∴
∴，，
∴,,
∴,
故答案為：25．
【點(diǎn)睛】
本題考查正方形、全等三角形和直角三角形的性質(zhì)，證明是解本題的關(guān)鍵．
二、解答題
6．（2022·福建南平·八年級(jí)期末）如圖，在正方形 ABCD 中，E是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），連接AE，過(guò)點(diǎn)A作AE的垂線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F ．
(1)如 圖1，求證：BE＝DF；
(2)如圖2，連接BD，EF，交點(diǎn)為O．求證：點(diǎn)O是線段EF的中點(diǎn)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
（1）證明△ABE≌△ADF（ASA）即可得到結(jié)論；
（2）過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC交BD于點(diǎn)G，則∠BEG＝90°，證明△GOE≌△DOF（AAS），即可得到結(jié)論．
(1) 證明：∵四邊形 ABCD 是正方形，
∴∠BAD=∠B= ∠ADC=90°，AB=AD，
∴∠ADF＝180°－∠ADC＝90°，
∴∠ADF＝∠ABE，
∵AF⊥ AE，
∴∠EAF=∠BAD = 90°，
∴∠BAE+∠DAE=∠DAF+∠DAE，
∴∠BAE=∠DAF，
∴△ABE≌△ADF（ASA）．
∴BE=DF．
(2)
證明：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC交BD于點(diǎn)G，則∠BEG＝90°，
∵四邊形 ABCD 是正方形，
∴∠DBC=∠CDB =45° ，
∴∠BGE＝90°－∠CBD＝45°，∠ODG＝180°－∠BDC＝135°，
∴BE＝GE，∠OGE＝180°－∠BGE＝135°，
∴△BGE 是等腰直角三角形，∠OGE=∠ODF= 135° ，
∴由（1）可知，BE=DF ，
∴GE=DF．
∵∠GOE=∠DOF，
∴△GOE≌△DOF（AAS）．
∴OE=OF ．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
7．（2022·湖北黃石·八年級(jí)期末）四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E為線段AC上一點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE，交射線BC于點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．
(1)如圖，求證：矩形DEFG是正方形；
(2)若AB＝2，，求CG的長(zhǎng)度；
(3)當(dāng)線段DE與正方形ABCD的某條邊的夾角是32°時(shí)，求∠EFC的度數(shù)．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
(3)∠EFC＝122°或32°
【解析】
【分析】
（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，證明，可得EF＝ED，則矩形DEFG是正方形；
（2）根據(jù)AB＝2，，可得重合，根據(jù)正方形的性質(zhì)即可求解；
（3）①當(dāng)DE與AD的夾角為32°時(shí)，點(diǎn)F在BC邊上，∠ADE＝32°，在四邊形CDEF中，由四邊形內(nèi)角和定理得：∠EFC＝122°，②當(dāng)DE與DC的夾角為32°時(shí)，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，∠CDE＝32°，可得∠EFC＝∠CDE＝32°．
(1)
證明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA，
∴EQ＝EP，
∵∠QEF＋∠FEC＝45°，∠PED＋∠FEC＝45°，
∴∠QEF＝∠PED，
在和中，
∴
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
(2)
解：如圖2中，
在中，，
∵，
∴AE＝CE，
∴點(diǎn)F與C重合，
．
(3)
①當(dāng)DE與AD的夾角為32°時(shí)，點(diǎn)F在BC邊上，∠ADE＝32°，如圖3所示：
則∠CDE＝90°－32°＝58°，
在四邊形CDEF中，由四邊形內(nèi)角和定理得：
∠EFC＝360°－90°－90°－58°＝122°，
②當(dāng)DE與DC的夾角為32°時(shí)，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，∠CDE＝32°，如圖4所示：
∵∠HCF＝∠DEF＝90°，∠CHF＝∠EHD，
∴∠EFC＝∠CDE＝32°，
綜上所述，∠EFC＝122°或32°．
【點(diǎn)睛】
本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，四邊形內(nèi)角和定理，勾股定理，掌握正方形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
8．（2022·貴州黔東南·八年級(jí)期末）【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在四邊形中，對(duì)角線，垂足是O，求證：．
【拓展遷移】（2）如圖2．以三角形的邊、為邊向外作正方形和正方形，求證：．
（3）如圖3，在（2）小題條件不變的情況下，連接，若，，，則的長(zhǎng)_____________．（直接填寫(xiě)答案）
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）．
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)，利用勾股定理分別求出和即可證明結(jié)論；
（2）利用正方形的性質(zhì)證明△CAE≌△GAB（SAS），可得∠CEA＝∠GBA，根據(jù)∠GBA＋∠ANB＝90°等量代換求出∠EMN＝90°即可；
（3）利用勾股定理分別求出AE、CG和BE，然后利用（1）中結(jié)論求出BC即可．
【詳解】
解：（1）∵，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠COD＝∠BOC＝90°，
由勾股定理得：，，
∴；
（2）∵在正方形和正方形中，AC＝AG，AE＝AB，∠CAG＝∠EAB＝90°，
∴∠CAG＋∠GAE＝∠EAB＋∠GAE，即∠CAE＝∠GAB，
∴△CAE≌△GAB（SAS），
∴∠CEA＝∠GBA，
∵∠GBA＋∠ANB＝90°，∠ANB＝∠MNE，
∴∠CEA＋∠MNE＝90°，
∴∠EMN＝90°，
∴；
（3）如圖3，連接CG，BE，
∵，，，
∴AC＝8，AE＝，
∴AB＝10，
∴CG＝，BE＝，
∵，
∴由（1）可知：，即，
∵BC＞0，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解答此題的關(guān)鍵．

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