第04講一次函數(shù)的綜合應(yīng)用（題型突破+專題精練）-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)研究（全國(guó)通用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2、學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋求代數(shù)問題的解決方法（以形助數(shù)），或利用數(shù)量關(guān)系來研究幾何圖形的性質(zhì)，解決幾何問題（以數(shù)助形）的一種數(shù)學(xué)思想。
3、要學(xué)會(huì)搶得分點(diǎn)。一道中考數(shù)學(xué)壓軸題解不出來，不等于“一點(diǎn)不懂、一點(diǎn)不會(huì)”，要將整道題目解題思路轉(zhuǎn)化為得分點(diǎn)。
4、學(xué)會(huì)運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)換思想。在研究數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們通常是將未知問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題，將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。
5、學(xué)會(huì)運(yùn)用分類討論的思想。如果不注意對(duì)各種情況分類討論，就有可能造成錯(cuò)解或漏解，縱觀近幾年的中考?jí)狠S題分類討論思想解題已成為新的熱點(diǎn)。
6、轉(zhuǎn)化思想:體現(xiàn)在數(shù)學(xué)上也就是要把難的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題，把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，把未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題。
→?題型突破←→?專題精練←
題型三一次函數(shù)與不等式
1．（2019秋?常州期末）已知直線y＝mx+3（m≠0）經(jīng)過點(diǎn)（1，0），則關(guān)于x的不等式mx+3＞0的解集是（）
A．x＜1B．x＞1C．x＜3D．x＞3
【分析】根據(jù)直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)和函數(shù)的圖象即可求出答案．
【解答】解：∵直線y＝mx+3（m≠0）經(jīng)過點(diǎn)（1，0），
∴圖象過第一，二，四象限，y隨x的增大而減小，
∴不等式mx+3＞0的解集是x＜1，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)一次函數(shù)與一元一次不等式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的觀察圖形的能力和理解能力，題目比較好，但是一道比較容易出錯(cuò)的題目．
2．如圖是一次函數(shù)（、是常數(shù)）的圖象，則不等式的解集是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)一次函數(shù)圖像與不等式的性質(zhì)即可求解.
【詳解】
∵一次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為-2，
∴不等式的解集為
故選B.
【點(diǎn)睛】
此題主要考查一次函數(shù)的圖像，解題的關(guān)鍵是熟知一次函數(shù)與不等式的關(guān)系.
3．如圖，直線與交于點(diǎn)，則不等式的解集為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
觀察函數(shù)圖象得到，當(dāng)x＞-1時(shí)，直線L1：y=x+3的圖象都在L2：y=mx+n的圖象的上方，由此得到不等式x+3＞mx+n的解集．
【詳解】
解：∵直線L1：y=x+3與L2：y=mx+n交于點(diǎn)A（-1，b），
從圖象可以看出，當(dāng)x＞-1時(shí)，直線L1：y=x+3的圖象都在L2：y=mx+n的圖象的上方，
∴不等式x+3＞mx+n的解集為：x＞-1，
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考查一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系，關(guān)鍵是從函數(shù)圖象中找出正確信息．
4．（2020春?歷城區(qū)期末）如圖，直線y＝kx+6經(jīng)過點(diǎn)（3，0），則關(guān)于x的不等式kx+6＜0的解集是（）
A．x＞3B．x＜3C．x＞6D．x＜6
【分析】結(jié)合函數(shù)圖象，寫出直線在x軸下方所對(duì)應(yīng)的自變量的范圍即可．
【解答】解：∵x＞3時(shí)，y＜0，
∴關(guān)于x的不等式kx+6＜0的解集是x＞3．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式：從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y＝kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．
5．（樂山）已知一次函數(shù)y＝ax+b的圖象過第一、二、四象限，且與x軸交于點(diǎn)（2，0），則關(guān)于x的不等式a（x﹣1）﹣b＞0的解集為（）
A．x＜﹣1B．x＞﹣1C．x＞1D．x＜1
【分析】根據(jù)一次函數(shù)y＝ax+b的圖象過第一、二、四象限，得到b＞0，a＜0，把（2，0）代入解析式y(tǒng)＝ax+b求出ba=?2，解a（x﹣1）﹣b＞0，得x﹣1＜ba，代入即可求出答案．
【解答】解：∵一次函數(shù)y＝ax+b的圖象過第一、二、四象限，
∴b＞0，a＜0，
把（2，0）代入解析式y(tǒng)＝ax+b得：0＝2a+b，
解得：2a＝﹣b
ba=?2，
∵a（x﹣1）﹣b＞0，
∴a（x﹣1）＞b，
∵a＜0，
∴x﹣1＜ba，
∴x＜﹣1，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系，一次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解一元一次不等式等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)得出a、b的正負(fù)，并正確地解不等式是解此題的關(guān)鍵．
6．（瑤海區(qū)期中）如圖，函數(shù)y1＝﹣2x和y2＝ax+3的圖象相交于點(diǎn)A（m，2），則關(guān)于x的不等式﹣2x＞ax+3的解集是（）
A．x＞2B．x＜2C．x＞﹣1D．x＜﹣1
【分析】首先利用待定系數(shù)法求出A點(diǎn)坐標(biāo)，再以交點(diǎn)為分界，結(jié)合圖象寫出不等式﹣2x＞ax+3的解集即可．
【解答】解：∵函數(shù)y1＝﹣2x過點(diǎn)A（m，2），
∴﹣2m＝2，
解得：m＝﹣1，
∴A（﹣1，2），
∴不等式﹣2x＞ax+3的解集為x＜﹣1．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，關(guān)鍵是求出A點(diǎn)坐標(biāo)．
7．（2020秋?興化市期末）如圖，已知直線y1＝k1x過點(diǎn)A（﹣3，﹣6），過點(diǎn)A的直線y2＝k2x+b交x軸于點(diǎn)B（﹣6，0），則不等式k1x＜k2x+b＜0的解集為（）
A．x＜﹣6B．﹣6＜x＜﹣3C．﹣3＜x＜0D．x＞0
【分析】利用函數(shù)圖象，寫出在x軸下方且函數(shù)y1＝k1x的函數(shù)值小于函數(shù)y2＝k2x+b的函數(shù)值對(duì)應(yīng)的自變量的范圍即可．
【解答】解：當(dāng)x＞﹣6時(shí)，y2＝k2x+b＜0；當(dāng)x＜﹣3時(shí)，y1＜y2，
所以不等式k1x＜k2x+b＜0的解集為﹣6＜x＜﹣3．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y＝kx+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y＝kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．
8．（簡(jiǎn)陽市期末）一次函數(shù)y1＝kx+b與y2＝x+a的圖象如圖，則下列結(jié)論：
①k＜0；②a＞0；③當(dāng)x＜3時(shí)，y1＜y2；④當(dāng)x＞3時(shí)，y1≥y2中正確的個(gè)數(shù)是（）
A．0B．1C．2D．3
【分析】根據(jù)y1＝kx+b和y2＝x+a的圖象可知：k＜0，a＜0，所以當(dāng)x＜3時(shí)，相應(yīng)的x的值，y1圖象均高于y2的圖象．
【解答】解：∵y1＝kx+b的函數(shù)值隨x的增大而減小，
∴k＜0；故①正確
∵y2＝x+a的圖象與y軸交于負(fù)半軸，
∴a＜0；
當(dāng)x＜3時(shí)，相應(yīng)的x的值，y1圖象均高于y2的圖象，
∴y1＞y2，故②③錯(cuò)誤，④錯(cuò)誤．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩條直線相交問題，難點(diǎn)在于根據(jù)函數(shù)圖象的走勢(shì)和與y軸的交點(diǎn)來判斷各個(gè)函數(shù)k，b的值．
9.（2020·廣東省·中考模擬）如圖，直線與分別交x軸于點(diǎn)，，則不等式的解集為
A． B． C． D．或
【答案】D
【解析】∵，∴①或②．
∵直線與分別交x軸于點(diǎn)，
觀察圖象可知①的解集為：，②的解集為：
∴不等式的解集為或.
故選D.
【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)和一元一次不等式，學(xué)會(huì)根據(jù)圖形判斷函數(shù)值的正負(fù)是關(guān)鍵.
10．（2019·貴州黔東南·中考真題）如圖所示，一次函數(shù)（、為常數(shù)，且）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則不等式的解集為___．
【答案】．
【分析】由于一次函數(shù)y=ax+b（a、b為常數(shù)，且a＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（4，1），再根據(jù)圖象得出函數(shù)的增減性，即可求出不等式ax+b＜1的解集．
【解析】函數(shù)的圖象如圖所示，圖象經(jīng)過點(diǎn)，且函數(shù)值隨的增大而增大，
故不等式的解集是．故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與不等式的關(guān)系及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，注意幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)（交點(diǎn)、原點(diǎn)等），做到數(shù)形結(jié)合．
11．（2019·山東煙臺(tái)·中考真題）如圖，直線l1：y=x+1與直線l2：y=mx+n相交于點(diǎn)P（a，2），則關(guān)于x的不等式x+1≤mx+n的解集為______．
【答案】的所有值
【分析】把y=2代入y=x+1，求出x的值，從而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，由于點(diǎn)P是兩條直線的交點(diǎn)，根據(jù)兩個(gè)函數(shù)圖象特點(diǎn)可以求得不等式x+1≤mx+n的解集．
【解析】把y=2代入y=x+1，得x=1，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2），
根據(jù)圖象可以知道當(dāng)x≤1時(shí)，y=x+1的函數(shù)值不小于y=mx+n相應(yīng)的函數(shù)值．
因而不等式x+1≤mx+n的解集是：x≤1．故答案為：x≤1．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與不等式（組）的關(guān)系及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．解決此類問題關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，注意幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)（交點(diǎn)、原點(diǎn)等），做到數(shù)形結(jié)合．
12．（2021春?黔南州期末）一次函數(shù)y＝ax+b與正比例函數(shù)y＝kx在同一平面直角坐標(biāo)系的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式ax+b≥kx的解集為．
【分析】當(dāng)x≥﹣1時(shí)，y＝kx的函數(shù)圖象在y＝ax+b的下方，從而可得到不等式的解集．
【解答】解：從圖象可看出當(dāng)x≥﹣1，直線l2的圖象在直線l1的上方，不等式ax+b＞kx．
故答案為：x≥﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系，通過圖象求解，當(dāng)圖象在上方時(shí)大于，在下方時(shí)小于．
13．（2021?濱?？h一模）如圖，兩條直線l1和l2的關(guān)系式分別為y1＝k1x+b1，y2＝k2x+b2，兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），當(dāng)y1＞y2時(shí)，x的取值范圍為．
【分析】在圖中找到兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，根據(jù)一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)與不等式組解集的關(guān)系即可作出判斷．
【解答】解：∵直線l1：y1＝k1x+b1與直線l2：y2＝k2x+b2的交點(diǎn)坐標(biāo)是（2，l），
∴當(dāng)x＝2時(shí)，y1＝y(tǒng)2＝1；
而當(dāng)y1＞y2時(shí)，x＜2．
故答案為x＜2．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了直線交點(diǎn)坐標(biāo)與一次函數(shù)組成的不等式組的解的關(guān)系，利用圖象即可直接解答，能夠數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
14．（2021春?商河縣校級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝k1x+b（k1，b均為常數(shù)）與正比例函數(shù)y＝k2x（k2為常數(shù)）的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式k2x＜k1x+b的解集為．
【分析】由圖象可以知道，當(dāng)x＝3時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值是相等的，再根據(jù)函數(shù)的增減性可以判斷出不等式k2x＜k1x+b的解集．
【解答】解：兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣1），且當(dāng)x＜3時(shí)，直線y＝k2x在直線y＝k1x+b的下方，
故不等式k2x＜k1x+b的解集為x＜3．
故答案為x＜3．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，本題是借助一次函數(shù)的圖象解一元一次不等式，兩個(gè)圖象的“交點(diǎn)”是兩個(gè)函數(shù)值大小關(guān)系的“分界點(diǎn)”，在“分界點(diǎn)”處函數(shù)值的大小發(fā)生了改變．
15．（2021春?青川縣期末）已知直線y＝kx+b（k≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（3，0），B（1，2）
（1）求直線y＝kx+b的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若直線y＝x﹣2與直線y＝kx+b相交于點(diǎn)C，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）寫出不等式kx+b＞x﹣2的解集．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求直線的解析式；
（2）通過解方程組y=?x+3y=x?2得C點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）解不等式﹣x+3＞x﹣2得不等式kx+b＞x﹣2的解集．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得3k+b=0k+b=2，解得k=?1b=3，
∴直線解析式為y＝﹣x+3；
（2）解方程組y=?x+3y=x?2得x=52y=12，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（52，12）；
（3）解不等式﹣x+3＞x﹣2得x＜52，
即不等式kx+b＞x﹣2的解集為x＜52．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y＝kx+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y＝kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．
16．（2020秋?海州區(qū)期末）已知直線y＝kx+b經(jīng)過點(diǎn)A（5，0），B（1，4）
（1）求直線AB的解析式；
（2）若直線y＝2x﹣4與直線AB相交于點(diǎn)C，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)圖象，寫出關(guān)于x的不等式2x﹣4＜kx+b的解集．
【分析】
（1）利用待定系數(shù)法把點(diǎn)A（5，0），B（1，4）代入y＝kx+b可得關(guān)于k、b得方程組，再解方程組即可；
（2）聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)解析式，再解方程組即可；
（3）根據(jù)C點(diǎn)坐標(biāo)可直接得到答案．
【解答】解：（1）∵直線y＝kx+b經(jīng)過點(diǎn)A（5，0），B（1，4），
∴5k+b=0k+b=4，
解得k=?1b=5，
∴直線AB的解析式為：y＝﹣x+5；
（2）∵直線y＝2x﹣4與直線AB相交于點(diǎn)C，
∴y=?x+5y=2x?4
解得x=3y=2，
∴點(diǎn)C（3，2）；
（3）根據(jù)圖象可得x＜3．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，以及一次函數(shù)的交點(diǎn)，一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系，關(guān)鍵是正確從函數(shù)圖象中獲得正確信息．
題型三一次函數(shù)的應(yīng)用
類型一工程問題
17．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考中考真題）甲、乙兩個(gè)工程組同時(shí)挖掘沈白高鐵某段隧道，兩組每天挖掘長(zhǎng)度均保持不變，合作一段時(shí)間后，乙組因維修設(shè)備而停工，甲組單獨(dú)完成了剩下的任務(wù)，甲、乙兩組挖掘的長(zhǎng)度之和與甲組挖掘時(shí)間x（天）之間的關(guān)系如圖所示．

(1)甲組比乙組多挖掘了__________天．
(2)求乙組停工后y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍．
(3)當(dāng)甲組挖掘的總長(zhǎng)度與乙組挖掘的總長(zhǎng)度相等時(shí)，直接寫出乙組己停工的天數(shù)．
【答案】(1)30；(2)；(3)10天
【分析】（1）由圖可知，前30天甲乙兩組合作，30天以后甲組單獨(dú)做，據(jù)此計(jì)算即可；
（2）設(shè)乙組停工后y關(guān)于x的函數(shù)解析式為，用待定系數(shù)法求解，再結(jié)合圖象即可得到自變量x的取值范圍；
（3）先計(jì)算甲乙兩組每天各挖掘多少千米，再計(jì)算乙組挖掘的總長(zhǎng)度，設(shè)乙組己停工的天數(shù)為a，根據(jù)甲組挖掘的總長(zhǎng)度與乙組挖掘的總長(zhǎng)度相等列方程計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：由圖可知，前30天甲乙兩組合作，30天以后甲組單獨(dú)做，
∴甲組挖掘了60天，乙組挖掘了30天，
（天）
∴甲組比乙組多挖掘了30天，
故答案為：30；
（2）解：設(shè)乙組停工后y關(guān)于x的函數(shù)解析式為，
將和兩個(gè)點(diǎn)代入，可得，
解得，
∴
（3）解：甲組每天挖（千米）
甲乙合作每天挖（千米）
∴乙組每天挖（千米），乙組挖掘的總長(zhǎng)度為（千米）
設(shè)乙組己停工的天數(shù)為a，
則，
解得，
答：乙組己停工的天數(shù)為10天．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，理解題意觀察圖象得到有用信息是解題的關(guān)鍵．
類型二最值問題
18．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）端午節(jié)是中國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日，人們有吃粽子的習(xí)俗．今年端午節(jié)來臨之際，某商場(chǎng)預(yù)測(cè)A粽子能夠暢銷．根據(jù)預(yù)測(cè)，每千克A粽子節(jié)前的進(jìn)價(jià)比節(jié)后多2元，節(jié)前用240元購(gòu)進(jìn)A粽子的數(shù)量比節(jié)后用相同金額購(gòu)進(jìn)的數(shù)量少4千克．根據(jù)以上信息，解答下列問題：
(1)該商場(chǎng)節(jié)后每千克A粽子的進(jìn)價(jià)是多少元？
(2)如果該商場(chǎng)在節(jié)前和節(jié)后共購(gòu)進(jìn)A粽子400千克，且總費(fèi)用不超過4600元，并按照節(jié)前每千克20元，節(jié)后每千克16元全部售出，那么該商場(chǎng)節(jié)前購(gòu)進(jìn)多少千克A粽子獲得利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
【答案】(1)節(jié)后每千克A粽子的進(jìn)價(jià)為10元；(2)節(jié)前購(gòu)進(jìn)300千克A粽子獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為3000元
【分析】（1）設(shè)節(jié)后每千克A粽子的進(jìn)價(jià)為x元，則每千克A粽子節(jié)前的進(jìn)價(jià)為元，根據(jù)節(jié)前用240元購(gòu)進(jìn)A粽子的數(shù)量比節(jié)后用相同金額購(gòu)進(jìn)的數(shù)量少4千克，列出方程，解方程即可；
（2）設(shè)該商場(chǎng)節(jié)前購(gòu)進(jìn)m千克A粽子，則節(jié)后購(gòu)進(jìn)千克A粽子，獲得的利潤(rùn)為w元，根據(jù)利潤(rùn)售價(jià)進(jìn)價(jià)列出關(guān)系式，根據(jù)總費(fèi)用不超過4600元，求出m的范圍，根據(jù)一次函數(shù)函數(shù)增減性，求出最大利潤(rùn)即可．
【詳解】（1）解：設(shè)節(jié)后每千克A粽子的進(jìn)價(jià)為x元，則每千克A粽子節(jié)前的進(jìn)價(jià)為元，根據(jù)題意得：
，
解得：，，
經(jīng)檢驗(yàn)，都是原方程的解，但不符合實(shí)際舍去，
答：節(jié)后每千克A粽子的進(jìn)價(jià)為10元．
（2）解：設(shè)該商場(chǎng)節(jié)前購(gòu)進(jìn)m千克A粽子，則節(jié)后購(gòu)進(jìn)千克A粽子，獲得的利潤(rùn)為w元，根據(jù)題意得：
，
∵，
∴，
∵，
∴w隨m的增大而增大，
∴當(dāng)時(shí)，w取最大值，且最大值為：，
答：節(jié)前購(gòu)進(jìn)300千克A粽子獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為3000元．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程和一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系列出方程和關(guān)系式．
19．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）年月日至月日，第屆世界大學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)將在成都舉行．“當(dāng)好東道主，熱情迎嘉賓”，成都某知名小吃店計(jì)劃購(gòu)買，兩種食材制作小吃．已知購(gòu)買千克種食材和千克種食材共需元，購(gòu)買千克種食材和千克種食材共需元．
(1)求，兩種食材的單價(jià)；
(2)該小吃店計(jì)劃購(gòu)買兩種食材共千克，其中購(gòu)買種食材千克數(shù)不少于種食材千克數(shù)的倍，當(dāng)，兩種食材分別購(gòu)買多少千克時(shí)，總費(fèi)用最少？并求出最少總費(fèi)用．
【答案】(1)種食材單價(jià)是每千克元，種食材單價(jià)是每千克元；(2)種食材購(gòu)買千克，種食材購(gòu)買千克時(shí)，總費(fèi)用最少，為元
【分析】（1）設(shè)種食材的單價(jià)為元，種食材的單價(jià)為元，根據(jù)題意列出二元一次方程組，解方程組即可求解；
（2）設(shè)種食材購(gòu)買千克，則種食材購(gòu)買千克，根據(jù)題意列出不等式，得出，進(jìn)而設(shè)總費(fèi)用為元，根據(jù)題意，，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）解：設(shè)種食材的單價(jià)為元，種食材的單價(jià)為元，根據(jù)題意得，
，
解得：，
答：種食材的單價(jià)為元，種食材的單價(jià)為元；
（2）解：設(shè)種食材購(gòu)買千克，則種食材購(gòu)買千克，根據(jù)題意，
解得：，
設(shè)總費(fèi)用為元，根據(jù)題意，
∵，隨的增大而增大，
∴當(dāng)時(shí)，最小，
∴最少總費(fèi)用為（元）
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程組，不等式以及一次函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
20．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）近年來，市民交通安全意識(shí)逐步增強(qiáng)，頭盔需求量增大．某商店購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種頭盔，已知購(gòu)買甲種頭盔20只，乙種頭盔30只，共花費(fèi)2920元，甲種頭盔的單價(jià)比乙種頭盔的單價(jià)高11元．
(1)甲、乙兩種頭盔的單價(jià)各是多少元？
(2)商店決定再次購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種頭盔共40只，正好趕上廠家進(jìn)行促銷活動(dòng)，促銷方式如下：甲種頭盔按單價(jià)的八折出售，乙種頭盔每只降價(jià)6元出售．如果此次購(gòu)買甲種頭盔的數(shù)量不低于乙種頭盔數(shù)量的一半，那么應(yīng)購(gòu)買多少只甲種頭盔，使此次購(gòu)買頭盔的總費(fèi)用最??？最小費(fèi)用是多少元？
【答案】(1)甲、乙兩種頭盔的單價(jià)各是65元， 54元．
(2)購(gòu)14只甲種頭盔，此次購(gòu)買頭盔的總費(fèi)用最小,最小費(fèi)用為1976元
【分析】（1）設(shè)購(gòu)買乙種頭盔的單價(jià)為x元，則甲種頭盔的單價(jià)為元，根據(jù)題意，得，求解；
（2）設(shè)購(gòu)m只甲種頭盔，此次購(gòu)買頭盔的總費(fèi)用最小,設(shè)總費(fèi)用為w,則，解得，故最小整數(shù)解為，，根據(jù)一次函數(shù)增減性，求得最小值=．
【詳解】（1）解:設(shè)購(gòu)買乙種頭盔的單價(jià)為x元，則甲種頭盔的單價(jià)為元，根據(jù)題意，得
解得，，
，
答：甲、乙兩種頭盔的單價(jià)各是65元， 54元．
（2）解：設(shè)購(gòu)m只甲種頭盔，此次購(gòu)買頭盔的總費(fèi)用最小,設(shè)總費(fèi)用為w,
則，解得，故最小整數(shù)解為，
，
∵，則w隨m的增大而增大，
∴時(shí)，w取最小值，最小值．
答：購(gòu)14只甲種頭盔，此次購(gòu)買頭盔的總費(fèi)用最小,最小費(fèi)用為1976元．
【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，一次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用；根據(jù)題意列出函數(shù)解析式，確定自變量取值范圍是解題的關(guān)鍵．
21．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）端午節(jié)是我國(guó)入選世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的傳統(tǒng)節(jié)日，端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗．某超市為了滿足人們的需求，計(jì)劃在端午節(jié)前購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種粽子進(jìn)行銷售，經(jīng)了解．每個(gè)乙種粽子的進(jìn)價(jià)比每個(gè)甲種粽子的進(jìn)價(jià)多2元，用1000元購(gòu)進(jìn)甲種粽子的個(gè)數(shù)與用1200元購(gòu)進(jìn)乙種粽子的個(gè)數(shù)相同．
(1)甲、乙兩種粽子每個(gè)的進(jìn)價(jià)分別是多少元？
(2)該超市計(jì)劃購(gòu)進(jìn)這兩種粽子共200個(gè)（兩種都有），其中甲種粽子的個(gè)數(shù)不低于乙種粽子個(gè)數(shù)的2倍，若甲、乙兩種粽子的售價(jià)分別為12元/個(gè)、15元/個(gè)，設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種粽子m個(gè)，兩種粽子全部售完時(shí)獲得的利潤(rùn)為w元．
①求w與m的函數(shù)關(guān)系式，并求出m的取值范圍；
②超市應(yīng)如何進(jìn)貨才能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少元？
【答案】(1)甲粽子每個(gè)的進(jìn)價(jià)為10元，則乙粽子每個(gè)的進(jìn)價(jià)為12元；
(2)①w與m的函數(shù)關(guān)系式為；②購(gòu)進(jìn)甲粽子134個(gè)，乙粽子66個(gè)才能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為466元
【分析】（1）設(shè)甲粽子每個(gè)的進(jìn)價(jià)為x元，則乙粽子每個(gè)的進(jìn)價(jià)為元，根據(jù)“用1000元購(gòu)進(jìn)甲種粽子的個(gè)數(shù)與用1200元購(gòu)進(jìn)乙種粽子的個(gè)數(shù)相同”列出分式方程，解方程即可；
（2）①設(shè)購(gòu)進(jìn)甲粽子m個(gè)，則乙粽子個(gè)，，由題意得，再由甲種粽子的個(gè)數(shù)不低于乙種粽子個(gè)數(shù)的2倍，得；
②由一次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：設(shè)甲粽子每個(gè)的進(jìn)價(jià)為x元，則乙粽子每個(gè)的進(jìn)價(jià)為元，
由題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解，且符合題意，
則，
答：甲粽子每個(gè)的進(jìn)價(jià)為10元，則乙粽子每個(gè)的進(jìn)價(jià)為12元；
（2）解：①設(shè)購(gòu)進(jìn)甲粽子m個(gè)，則乙粽子個(gè)，利潤(rùn)為w元，
由題意得：，
∵甲種粽子的個(gè)數(shù)不低于乙種粽子個(gè)數(shù)的2倍，
∴，
解得：，
∴w與m的函數(shù)關(guān)系式為；
②∵，則w隨m的增大而減小，，即m的最小整數(shù)為134，
∴當(dāng)時(shí)，w最大，最大值，
則，
答：購(gòu)進(jìn)甲粽子134個(gè)，乙粽子66個(gè)才能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為466元．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不等式．
22.（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）藍(lán)天白云下，青山綠水間，支一頂帳篷，邀親朋好友，聽蟬鳴，聞清風(fēng)，話家常，好不愜意．某景區(qū)為響應(yīng)文化和旅游部《關(guān)于推動(dòng)露營(yíng)旅游休閑健康有序發(fā)展的指導(dǎo)意見》精神，需要購(gòu)買兩種型號(hào)的帳篷．若購(gòu)買種型號(hào)帳篷2頂和種型號(hào)帳篷4頂，則需5200元；若購(gòu)買種型號(hào)帳篷3頂和種型號(hào)帳篷1頂，則需2800元．
(1)求每頂種型號(hào)帳篷和每頂種型號(hào)帳篷的價(jià)格；
(2)若該景區(qū)需要購(gòu)買兩種型號(hào)的帳篷共20頂（兩種型號(hào)的帳篷均需購(gòu)買），購(gòu)買種型號(hào)帳篷數(shù)量不超過購(gòu)買種型號(hào)帳篷數(shù)量的，為使購(gòu)買帳篷的總費(fèi)用最低，應(yīng)購(gòu)買種型號(hào)帳篷和種型號(hào)帳篷各多少頂？購(gòu)買帳篷的總費(fèi)用最低為多少元？
【答案】(1)每頂種型號(hào)帳篷的價(jià)格為600元，每頂種型號(hào)帳篷的價(jià)格為1000元
(2)當(dāng)種型號(hào)帳篷為5頂時(shí)，種型號(hào)帳篷為15頂時(shí)，總費(fèi)用最低，為18000元
【分析】（1）根據(jù)題意中的等量關(guān)系列出二元一次方程組，解出方程組后得到答案；
（2）根據(jù)購(gòu)買種型號(hào)帳篷數(shù)量不超過購(gòu)買種型號(hào)帳篷數(shù)量的，列出一元一次不等式，得出種型號(hào)帳篷數(shù)量范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，取種型號(hào)帳篷數(shù)量的最大值時(shí)總費(fèi)用最少，從而得出答案．
【詳解】（1）解：設(shè)每頂種型號(hào)帳篷的價(jià)格為元，每頂種型號(hào)帳篷的價(jià)格為元．
根據(jù)題意列方程組為：，
解得，
答：每頂種型號(hào)帳篷的價(jià)格為600元，每頂種型號(hào)帳篷的價(jià)格為1000元．
（2）解：設(shè)種型號(hào)帳篷購(gòu)買頂，總費(fèi)用為元，則種型號(hào)帳篷為頂，
由題意得，
其中，得，
故當(dāng)種型號(hào)帳篷為5頂時(shí)，總費(fèi)用最低，總費(fèi)用為，
答：當(dāng)種型號(hào)帳篷為5頂時(shí)，種型號(hào)帳篷為15頂時(shí)，總費(fèi)用最低，為18000元．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組應(yīng)用，一元一次不等式應(yīng)用及一次函數(shù)的應(yīng)用，找出準(zhǔn)確的等量關(guān)系及不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
類型三方案選擇問題
23．在購(gòu)買某場(chǎng)足球賽門票時(shí)，設(shè)購(gòu)買門票為（張），總費(fèi)用為（元）．現(xiàn)有兩種購(gòu)買方案：
方案一：若單位贊助廣告費(fèi)5000元，則該單位所購(gòu)門票的價(jià)格為每張50元；（總費(fèi)用=廣告贊助費(fèi)+門票費(fèi)）
方案二：購(gòu)買門票方式如下圖所示：
解答下列問題：
（1）方案一中，y與x的函數(shù)關(guān)系式為______；方案二中，當(dāng)時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式為______，當(dāng)時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式為______；
（2）如果購(gòu)買本場(chǎng)足球賽門票超過100張，你將選擇哪一種方案，使總費(fèi)用最?。空?qǐng)說明理由．
【答案】（1），，．（2）當(dāng)時(shí)，方案一、二均可；當(dāng)時(shí)，選擇方案二總費(fèi)用最??；當(dāng)時(shí)，選擇方案一總費(fèi)用最省
【分析】
（1）根據(jù)題意可直接寫出方案一的函數(shù)解析式，根據(jù)待定系數(shù)法求出方案二的函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)題意，列出關(guān)于x的一元一次方程和一元一次不等式，分情況討論即可．
【詳解】
解：（1）方案一中，y與x的函數(shù)關(guān)系式為
方案二中，當(dāng)時(shí)，設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為
將（100,8000）代入得，
∴當(dāng)時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式為．
當(dāng)時(shí)，設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為
將（100，8000）、（150，11500）代入得
∴當(dāng)時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式為．
（2）由，得
∴當(dāng)時(shí)，方案一、二均可；
由，得
∴當(dāng)時(shí)，選擇方案二總費(fèi)用最省；
由，得．
∴當(dāng)時(shí)，選擇方案一總費(fèi)用最省．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查一次函數(shù)與一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法，學(xué)會(huì)分類討論思想，是解題的關(guān)鍵．
24．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）我市“共富工坊”問海借力，某公司產(chǎn)品銷售量得到大幅提升．為促進(jìn)生產(chǎn)，公司提供了兩種付給員工月報(bào)酬的方案，如圖所示，員工可以任選一種方案與公司簽訂合同．看圖解答下列問題：

(1)直接寫出員工生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時(shí)，兩種方案付給的報(bào)酬一樣多；
(2)求方案二y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；
(3)如果你是勞務(wù)服務(wù)部門的工作人員，你如何指導(dǎo)員工根據(jù)自己的生產(chǎn)能力選擇方案．
【答案】(1)30件；(2)；(3)若每月生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)不足30件，則選擇方案二；若每月生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)就是30件，兩種方案報(bào)酬相同，可以任選一種；若每月生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)超過30件，則選擇方案一
【分析】（1）由圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)即可得到解答；
（2）由圖象可得點(diǎn)，設(shè)方案二的函數(shù)表達(dá)式為，利用待定系數(shù)法即可得到方案二y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；
（3）利用圖象的位置關(guān)系，結(jié)合交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）解：由圖象可知交點(diǎn)坐標(biāo)為，即員工生產(chǎn)30件產(chǎn)品時(shí)，兩種方案付給的報(bào)酬一樣多；
（2）由圖象可得點(diǎn)，設(shè)方案二的函數(shù)表達(dá)式為，
把代入上式，得
解得
∴方案二的函數(shù)表達(dá)式為．
（3）若每月生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)不足30件，則選擇方案二；
若每月生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)就是30件，兩種方案報(bào)酬相同，可以任選一種；
若每月生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)超過30件，則選擇方案一．
【點(diǎn)睛】此題考查了從函數(shù)圖像獲取信息、一次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，從函數(shù)圖象獲取正確信息和掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．
25．（2021·江蘇連云港市·中考真題）為了做好防疫工作，學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)一批消毒液．已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．
（1）這兩種消毒液的單價(jià)各是多少元？
（2）學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)這兩種消毒液共90瓶，且B型消毒液的數(shù)量不少于A型消毒液數(shù)量的，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出最省錢的購(gòu)買方案，并求出最少費(fèi)用．
【答案】（1）種消毒液的單價(jià)是7元，型消毒液的單價(jià)是9元；（2）購(gòu)進(jìn)種消毒液67瓶，購(gòu)進(jìn)種23瓶，最少費(fèi)用為676元
【分析】
（1）根據(jù)題中條件列出二元一次方程組，求解即可；
（2）利用由（1）求出的兩種消毒液的單價(jià)，表示出購(gòu)買的費(fèi)用的表達(dá)式，根據(jù)購(gòu)買兩種消毒液瓶數(shù)之間的關(guān)系，求出引進(jìn)表示瓶數(shù)的未知量的范圍，即可確定方案．
【詳解】
解：（1）設(shè)種消毒液的單價(jià)是元，型消毒液的單價(jià)是元．
由題意得：，解之得，，
答：種消毒液的單價(jià)是7元，型消毒液的單價(jià)是9元．
（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)種消毒液瓶，則購(gòu)進(jìn)種瓶，購(gòu)買費(fèi)用為元．
則，
∴隨著的增大而減小，最大時(shí)，有最小值．
又，∴．
由于是整數(shù)，最大值為67，
即當(dāng)時(shí)，最省錢，最少費(fèi)用為元．
此時(shí)，．
最省錢的購(gòu)買方案是購(gòu)進(jìn)種消毒液67瓶，購(gòu)進(jìn)種23瓶．
【點(diǎn)睛】
本題考查了二元一次不等式組的求解及利用一次函數(shù)的增減性來解決生活中的優(yōu)化決策問題，解題的關(guān)鍵是：仔細(xì)審題，找到題中的等量關(guān)系，建立等式進(jìn)行求解．
26．（2021·云南中考真題）某鮮花銷售公司每月付給銷售人員的工資有兩種方案．
方案一：沒有底薪，只付銷售提成；
方案二：底薪加銷售提成．
如圖中的射線，射線分別表示該鮮花銷售公司每月按方案一，方案二付給銷售人員的工資（單位：元）和（單位：元）與其當(dāng)月鮮花銷售量x（單位：千克）（）的函數(shù)關(guān)系．
（1）分別求﹑與x的函數(shù)解析式（解析式也稱表達(dá)式）；
（2）若該公司某銷售人員今年3月份的鮮花銷售量沒有超過70千克，但其3月份的工資超過2000元．這個(gè)公司采用了哪種方案給這名銷售人員付3月份的工資？
【答案】（1），；（2）
【分析】
（1）根據(jù)圖像中l(wèi)1和l2經(jīng)過的點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）分別根據(jù)方案一和方案二列出不等式組，根據(jù)解集情況判斷即可．
【詳解】
解：（1）根據(jù)圖像，l1經(jīng)過點(diǎn)（0，0）和點(diǎn)（40，1200），
設(shè)的解析式為，則，
解得：，
∴l(xiāng)1的解析式為，
設(shè)的解析式為，
由l2經(jīng)過點(diǎn)（0，800），（40，1200），
則，解得：，
∴l(xiāng)2的解析式為；
（2）方案一：，即，
解得：；
方案二：，即，即，無解，
∴公司沒有采用方案二，
∴公司采用了方案一付給這名銷售人員3月份的工資．
【點(diǎn)睛】
本題考查了一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖像，求出兩種方案對(duì)應(yīng)的解析式．
27．（2021·浙江寧波市·中考真題）某通訊公司就手機(jī)流量套餐推出三種方案，如下表：
A，B，C三種方案每月所需的費(fèi)用y（元）與每月使用的流量x（兆）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
（1）請(qǐng)直接寫出m，n的值．
（2）在A方案中，當(dāng)每月使用的流量不少于1024兆時(shí)，求每月所需的費(fèi)用y（元）與每月使用的流量x（兆）之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）在這三種方案中，當(dāng)每月使用的流量超過多少兆時(shí)，選擇C方案最劃算？
【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)每月使用的流量超過3772兆時(shí)，選擇C方案最劃算
【分析】
（1）m的值可以從圖象上直接讀取，n的值可以根據(jù)方案A和方案B的費(fèi)用差和流量差相除求得；
（2）直接運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；
（3）計(jì)算出方案C的圖象與方案B的圖象的交點(diǎn)表示的數(shù)值即可求解．
【詳解】
解：（1）
．
（2）設(shè)函數(shù)表達(dá)式為，
把，代入，得
，
解得，
∴y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．
（注：x的取值范圍對(duì)考生不作要求）
（3）（兆）．
由圖象得，當(dāng)每月使用的流量超過3772兆時(shí)，選擇C方案最劃算．
【點(diǎn)睛】
本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
類型四行程問題
28．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）兄妹倆放學(xué)后沿圖1中的馬路從學(xué)校出發(fā)，到書吧看書后回家，哥哥步行先出發(fā)，途中速度保持不變；妺妺騎車，到書吧前的速度為200米/分．圖2中的圖象分別表示兩人離學(xué)校的路程（米）與哥哥離開學(xué)校的時(shí)間（分）的函數(shù)關(guān)系．

(1)求哥哥步行的速度．
(2)已知妺妺比哥哥遲2分鐘到書吧．
①求圖中的值；
②妺妺在書吧待了10分鐘后回家，速度是哥哥的倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上時(shí)兄妺倆離家還有多遠(yuǎn)；若不能，說明理由．
【答案】(1)；(2)①；②能追上，理由見解析
【分析】（1）結(jié)合圖表可得，根據(jù)速度等于路程除以時(shí)間，即可解答；
（2）①根據(jù)妺妺到書吧前的速度為200米/分，可知的解析式的k為200，設(shè)的解析式為，根據(jù)妺妺比哥哥遲2分鐘到書吧可得，將代入，即可得到一次函數(shù)解析式，把代入一次函數(shù)即可得到a的值；
②如圖，將妹妹走完全程的圖象畫出，將和的解析式求出，求兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)即可．
【詳解】（1）解：由圖可得，
（米/分），
∴哥哥步行速度為100米/分．
（2）①根據(jù)妺妺到書吧前的速度為200米/分，可知的解析式的k為200，
設(shè)所在直線為，將代入，得，
解得．
∴所在直線為，
當(dāng)時(shí)，，解得．
∴．
②能追上．
如圖，根據(jù)哥哥的速度沒變，可得的解析式的k值相同，妹妹的速度減小但仍大于哥哥的速度，將妹妹的行程圖象補(bǔ)充完整，
設(shè)所在直線為，將代入，得，
解得，
∴．
∵妺妺的速度是160米/分．
設(shè)所在直線為，將代入，得，
解得，
∴．
聯(lián)立方程，
解得，
∴米，即追上時(shí)兄妺倆離家300米遠(yuǎn)．

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用（行程問題），從圖像中獲得正確的信息是解題的關(guān)鍵．
29．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）已知學(xué)生宿舍、文具店、體育場(chǎng)依次在同一條直線上，文具店離宿舍，體育場(chǎng)離宿舍，張強(qiáng)從宿舍出發(fā)，先用了勻速跑步去體育場(chǎng)，在體育場(chǎng)鍛煉了，之后勻速步行了到文具店買筆，在文具店停留后，用了勻速散步返回宿舍．下面圖中x表示時(shí)間，y表示離宿舍的距離．圖象反映了這個(gè)過程中張強(qiáng)離宿舍的距離與時(shí)間之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．

請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息，回答下列問題：
(1)①填表：
②填空：張強(qiáng)從體育場(chǎng)到文具店的速度為________；
③當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出張強(qiáng)離宿舍的距離y關(guān)于時(shí)間x的函數(shù)解析式；
(2)當(dāng)張強(qiáng)離開體育場(chǎng)時(shí)，同宿舍的李明也從體育場(chǎng)出發(fā)勻速步行直接回宿舍，如果李明的速度為，那么他在回宿舍的途中遇到張強(qiáng)時(shí)離宿舍的距離是多少？（直接寫出結(jié)果即可）
【答案】(1)①0.12，1.2，0.6；②0.06；③；(2)
【分析】（1）①根據(jù)圖象作答即可；②根據(jù)圖象，由張強(qiáng)從體育場(chǎng)到文具店的距離除以時(shí)間求解即可；③當(dāng)時(shí)，直接根據(jù)圖象寫出解析式即可；當(dāng)時(shí)，設(shè)y與x的函數(shù)解析式為，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
（2）當(dāng)張強(qiáng)離開體育場(chǎng)時(shí)，即時(shí)，同宿舍的李明也從體育場(chǎng)出發(fā)勻速步行直接回宿舍，當(dāng)李明在回宿舍的途中遇到張強(qiáng)時(shí)，他倆離宿舍的距離是相等的，可列方程為，求解即可．
【詳解】（1）①，
由圖填表：
故答案為：0.12，1.2，0.6；
②張強(qiáng)從體育場(chǎng)到文具店的速度為，
故答案為：0.06；
當(dāng)時(shí)，
；
當(dāng)時(shí)，設(shè)y與x的函數(shù)解析式為，
把代入，得，
解得，
∴；
綜上，張強(qiáng)離宿舍的距離y關(guān)于時(shí)間x的函數(shù)解析式為；
（2）當(dāng)張強(qiáng)離開體育場(chǎng)時(shí)，即時(shí)，同宿舍的李明也從體育場(chǎng)出發(fā)勻速步行直接回宿舍，
當(dāng)李明在回宿舍的途中遇到張強(qiáng)時(shí)，他倆離宿舍的距離是相等的，
∴
解得，
當(dāng)時(shí)，，
所以，他在回宿舍的途中遇到張強(qiáng)時(shí)離宿舍的距離是．
【點(diǎn)睛】本題考查了從函數(shù)圖象獲取信息，求函數(shù)的解析式，列一元一次方程解決實(shí)際問題，準(zhǔn)確理解題意，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
30.（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）某校與部隊(duì)聯(lián)合開展紅色之旅研學(xué)活動(dòng)，上午7：00，部隊(duì)官兵乘坐軍車從營(yíng)地出發(fā)，同時(shí)學(xué)校師生乘坐大巴從學(xué)校出發(fā)，沿公路（如圖1）到愛國(guó)主義教育基地進(jìn)行研學(xué)，上午8：00，軍車在離營(yíng)地的地方追上大巴并繼續(xù)前行，到達(dá)倉(cāng)庫(kù)后，部隊(duì)官兵下車領(lǐng)取研學(xué)物資，然后乘坐軍車按原速前行，最后和師生同時(shí)到達(dá)基地，軍車和大巴離營(yíng)地的路程s（km）與所用時(shí)間t（h）的函數(shù)關(guān)系如圖2所示．

(1)求大巴離營(yíng)地的路程s與所用時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式及a的值，
(2)求部隊(duì)官兵在倉(cāng)庫(kù)領(lǐng)取物資所用的時(shí)間．
【答案】(1)，；(2)
【分析】（1）設(shè)出函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，將，代入解析式求出的值即可；
（2）先求出軍車的速度，然后分別求出軍車到達(dá)倉(cāng)庫(kù)，和從倉(cāng)庫(kù)出發(fā)到達(dá)基地的時(shí)間，用總時(shí)間減去兩段時(shí)間即可得解．
【詳解】（1）解：設(shè)大巴離營(yíng)地的路程s與所用時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式為，由圖象可知，直線過點(diǎn)，
∴，解得：，
∴；
當(dāng)時(shí)：，解得：，
∴；
（2）由圖象可知，軍車的速度為：，
∴軍車到達(dá)倉(cāng)庫(kù)所用時(shí)間為：，
從倉(cāng)庫(kù)到達(dá)基地所用時(shí)間為：，
∴部隊(duì)官兵在倉(cāng)庫(kù)領(lǐng)取物資所用的時(shí)間為．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．從函數(shù)圖象上有效的獲取信息，正確的求出函數(shù)解析式，是解題的關(guān)鍵．
31．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）一條筆直的路上依次有三地，其中兩地相距1000米．甲、乙兩機(jī)器人分別從兩地同時(shí)出發(fā)，去目的地，勻速而行．圖中分別表示甲、乙機(jī)器人離地的距離（米）與行走時(shí)間（分鐘）的函數(shù)關(guān)系圖象．

(1)求所在直線的表達(dá)式．
(2)出發(fā)后甲機(jī)器人行走多少時(shí)間，與乙機(jī)器人相遇？
(3)甲機(jī)器人到地后，再經(jīng)過1分鐘乙機(jī)器人也到地，求兩地間的距離．
【答案】(1)；(2)出發(fā)后甲機(jī)器人行走分鐘，與乙機(jī)器人相遇；(3)兩地間的距離為600米
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）利用待定系數(shù)法求出所在直線的表達(dá)式，再列方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，即可；
（3）列出方程即可解決．
【詳解】（1）∵，
∴所在直線的表達(dá)式為．
（2）設(shè)所在直線的表達(dá)式為，
∵，
∴解得
∴．
甲、乙機(jī)器人相遇時(shí)，即，解得，
∴出發(fā)后甲機(jī)器人行走分鐘，與乙機(jī)器人相遇．
（3）設(shè)甲機(jī)器人行走分鐘時(shí)到地，地與地距離，
則乙機(jī)器人分鐘后到地，地與地距離，
由，得．
∴．
答：兩地間的距離為600米．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，用待定系數(shù)法可求出函數(shù)表達(dá)式，要利用方程組的解，求出兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，充分應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．
32．（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）【綜合與實(shí)踐】
有言道：“桿秤一頭稱起人間生計(jì)，一頭稱起天地良心”．某興趣小組將利用物理學(xué)中杠桿原理制作簡(jiǎn)易桿秤.小組先設(shè)計(jì)方案，然后動(dòng)手制作，再結(jié)合實(shí)際進(jìn)行調(diào)試，請(qǐng)完成下列方案設(shè)計(jì)中的任務(wù)．
【知識(shí)背景】如圖，稱重物時(shí)，移動(dòng)秤砣可使桿秤平衡，根據(jù)杠桿原理推導(dǎo)得：.其中秤盤質(zhì)量克，重物質(zhì)量m克，秤砣質(zhì)量M克，秤紐與秤盤的水平距離為l厘米，秤紐與零刻線的水平距離為a厘米，秤砣與零刻線的水平距離為y厘米．

【方案設(shè)計(jì)】
目標(biāo)：設(shè)計(jì)簡(jiǎn)易桿秤．設(shè)定，，最大可稱重物質(zhì)量為1000克，零刻線與末刻線的距離定為50厘米．
任務(wù)一：確定l和a的值．
(1)當(dāng)秤盤不放重物，秤砣在零刻線時(shí)，桿秤平衡，請(qǐng)列出關(guān)于l，a的方程；
(2)當(dāng)秤盤放入質(zhì)量為1000克的重物，秤砣從零刻線移至末刻線時(shí)，桿秤平衡，請(qǐng)列出關(guān)于l，a的方程；
(3)根據(jù)（1）和（2）所列方程，求出l和a的值．
任務(wù)二：確定刻線的位置．
(4)根據(jù)任務(wù)一，求y關(guān)于m的函數(shù)解析式；
(5)從零刻線開始，每隔100克在秤桿上找到對(duì)應(yīng)刻線，請(qǐng)寫出相鄰刻線間的距離．
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)相鄰刻線間的距離為5厘米
【分析】（1）根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解；
（2）根據(jù)題意可直接代值求解；
（3）由（1）（2）可建立二元一次方程組進(jìn)行求解；
（4）根據(jù)（3）可進(jìn)行求解；
（5）分別把，，，，，，，，，，代入求解，然后問題可求解．
【詳解】（1）解：由題意得：，
∴，
∴；
（2）解：由題意得：，
∴，∴；
（3）解：由（1）（2）可得：，解得：；
（4）解：由任務(wù)一可知：，
∴，∴；
（5）解：由（4）可知，
∴當(dāng)時(shí)，則有；當(dāng)時(shí)，則有；當(dāng)時(shí)，則有；當(dāng)時(shí)，則有；當(dāng)時(shí)，則有；當(dāng)時(shí)，則有；當(dāng)時(shí)，則有；當(dāng)時(shí)，則有；當(dāng)時(shí)，則有；當(dāng)時(shí)，則有；當(dāng)時(shí)，則有；
∴相鄰刻線間的距離為5厘米．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意．
33．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）為了增強(qiáng)學(xué)生身體素質(zhì)，學(xué)校要求男女同學(xué)練習(xí)跑步．開始時(shí)男生跑了，女生跑了，然后男生女生都開始勻速跑步．已知男生的跑步速度為，當(dāng)?shù)竭_(dá)終點(diǎn)時(shí)男、女均停止跑步，男生從開始勻速跑步到停止跑步共用時(shí)．已知軸表示從開始勻速跑步到停止跑步的時(shí)間，軸代表跑過的路程，則：

(1)男女跑步的總路程為_______________．
(2)當(dāng)男、女相遇時(shí)，求此時(shí)男、女同學(xué)距離終點(diǎn)的距離．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根據(jù)男女同學(xué)跑步的路程相等，求得男生跑步的路程，乘以，即可求解
（2）根據(jù)題意男生從開始勻速跑步到停止跑步的直線解析式為：，求得女生的速度，進(jìn)而得出解析式為，聯(lián)立求得，進(jìn)而即可求解．
【詳解】（1）解：∵開始時(shí)男生跑了，男生的跑步速度為，從開始勻速跑步到停止跑步共用時(shí)．
∴男生跑步的路程為，
∴男女跑步的總路程為，
故答案為：．
（2）解：男生從開始勻速跑步到停止跑步的直線解析式為：，
設(shè)女生從開始勻速跑步到停止跑步的直線解析式為：，
依題意，女生勻速跑了，用了，則速度為，
∴，
聯(lián)立，解得：.
將代入
解得：，
∴此時(shí)男、女同學(xué)距離終點(diǎn)的距離為．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意求得函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
34．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）某校組織師生參加夏令營(yíng)活動(dòng)，現(xiàn)準(zhǔn)備租用、兩型客車（每種型號(hào)的客車至少租用一輛）．型車每輛租金元，型車每輛租金元．若輛型和輛型車坐滿后共載客人；輛型和輛型車坐滿后共載客人．

(1)每輛型車、型車坐滿后各載客多少人？
(2)若該校計(jì)劃租用型和型兩種客車共輛，總租金不高于元，并將全校人載至目的地．該校有幾種租車方案？哪種租車方案最省錢？
(3)在這次活動(dòng)中，學(xué)校除租用、兩型客車外，又派出甲、乙兩輛器材運(yùn)輸車．已知從學(xué)校到夏令營(yíng)目的地的路程為千米，甲車從學(xué)校出發(fā)小時(shí)后，乙車才從學(xué)校出發(fā)，卻比甲車早小時(shí)到達(dá)目的地．下圖是兩車離開學(xué)校的路程（千米）與甲車行駛的時(shí)間（小時(shí)）之間的函數(shù)圖象．根據(jù)圖象信息，求甲乙兩車第一次相遇后，為何值時(shí)兩車相距千米．
【答案】(1)每輛型車、型車坐滿后各載客人、人；(2)共有種租車方案，租輛型車，輛型車最省錢；(3)在甲乙兩車第一次相遇后，當(dāng)小時(shí)或小時(shí)時(shí)，兩車相距千米
【分析】（1）設(shè)每輛型車、型車坐滿后各載客人、人，由題意列出二元一次方程組，解方程組即可求解；
（2）設(shè)租用型車輛，則租用型車輛，由題意列出一元一次不等式組，解不等式組，求整數(shù)解即可得出的值，設(shè)總租金為元，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
（3）設(shè)，，由題意可知，甲車的函數(shù)圖像經(jīng)過；乙車的函數(shù)圖像經(jīng)過，兩點(diǎn)．求出函數(shù)解析式，進(jìn)而即可求解．
【詳解】（1）解：設(shè)每輛型車、型車坐滿后各載客人、人，由題意得

解得
答：每輛型車、型車坐滿后各載客人、人
（2）設(shè)租用型車輛，則租用型車輛，由題意得
解得：
取正整數(shù)，
，，，
共有種租車方案
設(shè)總租金為元，則
隨著的增大而減小
時(shí)，最小
租輛型車，輛型車最省錢
（3）設(shè)，．
由題意可知，甲車的函數(shù)圖象經(jīng)過；乙車的函數(shù)圖象經(jīng)過，兩點(diǎn)．
∴，
，即
解得
或
解得
所以，在甲乙兩車第一次相遇后，當(dāng)小時(shí)或小時(shí)時(shí)，兩車相距25千米．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意找到等量關(guān)系，列出方程組，不等式組，以及函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
35．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）已知甲，乙兩地相距，一輛出租車從甲地出發(fā)往返于甲乙兩地，一輛貨車沿同一條公路從乙地前往甲地，兩車同時(shí)出發(fā)，貨車途經(jīng)服務(wù)區(qū)時(shí)，停下來裝完貨物后，發(fā)現(xiàn)此時(shí)與出租車相距，貨車?yán)^續(xù)出發(fā)后與出租車相遇．出租車到達(dá)乙地后立即按原路返回，結(jié)果比貨車早15分鐘到達(dá)甲地．如圖是兩車距各自出發(fā)地的距離與貨車行駛時(shí)間之間的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象回答下列問題：

(1)圖中的值是__________；
(2)求貨車裝完貨物后駛往甲地的過程中，距其出發(fā)地的距離與行駛時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式；
(3)直接寫出在出租車返回的行駛過程中，貨車出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間與出租車相距．
【答案】(1)120；(2)；(3)或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求得的解析式，將代入解析式，解方程即可解答；
（2）根據(jù)題意可得的值，即為貨車裝貨時(shí)距離乙地的長(zhǎng)度，結(jié)合貨車停下來裝完貨物后，發(fā)現(xiàn)此時(shí)與出租車相距，可求出裝貨時(shí)間，即點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)貨車?yán)^續(xù)出發(fā)后與出租車相遇，求出裝完貨后貨車的速度，即直線的解析式中的值，最后將點(diǎn)B坐標(biāo)代入直線的解析式，利用待定系數(shù)法即可解答；
（3）根據(jù)（2）中直線的解析式求得點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合題意，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得到出租車返回時(shí)的速度，然后進(jìn)行分類討論：①出租車和貨車第二次相遇前，相距時(shí)；②出租車和貨車第二次相遇后，距離時(shí)，分別進(jìn)行解答即可．
【詳解】（1）解：結(jié)合圖象，可得，
設(shè)直線的解析式為，
將代入解析式，可得，解得，
直線的解析式為，
把代入，得，
故答案為：120；
（2）解：根據(jù)貨車停下來裝完貨物后，發(fā)現(xiàn)此時(shí)與出租車相距，
可得此時(shí)出租車距離乙地為，
出租車距離甲地為，
把代入，可得，解得，
貨車裝完貨時(shí)，，可得，
根據(jù)貨車?yán)^續(xù)出發(fā)后與出租車相遇，可得（出租車的速度貨車的速度），
根據(jù)直線的解析式為，可得出租車的速度為，
相遇時(shí)，貨車的速度為，
故可設(shè)直線的解析式為，
將代入，可得，解得，
直線的解析式為，
故貨車裝完貨物后駛往甲地的過程中，距其出發(fā)地的距離與行駛時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式為；
（3）解：把代入，可得，解得，
，
，
根據(jù)出租車到達(dá)乙地后立即按原路返回，結(jié)果比貨車早15分鐘到達(dá)甲地，可得,
，
出租車返回時(shí)的速度為，
設(shè)在出租車返回的行駛過程中，貨車出發(fā)t小時(shí)，與出租車相距，
此時(shí)貨車距離乙地為，出租車距離乙地為，
①出租車和貨車第二次相遇前，相距時(shí)；
可得，
解得，
②出租車和貨車第二次相遇后，相距時(shí)；
可得，
解得，
故在出租車返回的行駛過程中，貨車出發(fā)或與出租車相距．
【點(diǎn)睛】本題考查了從函數(shù)圖象獲取信息，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)，一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，能準(zhǔn)確地理解題意，根據(jù)題中信息求得所需數(shù)據(jù)是解題的關(guān)鍵．
類型五其他問題
36．（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）“中國(guó)石化”推出促銷活動(dòng)，一張加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用這張加油卡加油，每一升油，油的單價(jià)降低0.30元．假設(shè)這張加油卡的面值能夠一次性全部用完．
(1)他實(shí)際花了多少錢購(gòu)買會(huì)員卡？
(2)減價(jià)后每升油的單價(jià)為y元/升，原價(jià)為x元/升，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式（不用寫出定義域）
(3)油的原價(jià)是7.30元/升，求優(yōu)惠后油的單價(jià)比原價(jià)便宜多少元？
【答案】(1)900；(2)；(3)
【分析】（1）根據(jù)，計(jì)算求解即可；
（2）由題意知，，整理求解即可；
（3）當(dāng)，則，根據(jù)優(yōu)惠后油的單價(jià)比原價(jià)便宜元，計(jì)算求解即可．
【詳解】（1）解：由題意知，（元），
答：實(shí)際花了900元購(gòu)買會(huì)員卡；
（2）解：由題意知，，整理得，
∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為；
（3）解：當(dāng)，則，
∵，
∴優(yōu)惠后油的單價(jià)比原價(jià)便宜元．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)乘法應(yīng)用，一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于理解題意，正確的列出算式和一次函數(shù)解析式．
37．（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)計(jì)了點(diǎn)的兩種移動(dòng)方式：從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)稱為一次甲方式：從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)稱為一次乙方式．
點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)連續(xù)移動(dòng)2次；若都按甲方式，最終移動(dòng)到點(diǎn)；若都按乙方式，最終移動(dòng)到點(diǎn)；若按1次甲方式和1次乙方式，最終移動(dòng)到點(diǎn)．

(1)設(shè)直線經(jīng)過上例中的點(diǎn)，求的解析式；并直接寫出將向上平移9個(gè)單位長(zhǎng)度得到的直線的解析式；
(2)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)連續(xù)移動(dòng)10次，每次移動(dòng)按甲方式或乙方式，最終移動(dòng)到點(diǎn)．其中，按甲方式移動(dòng)了m次．
①用含m的式子分別表示；
②請(qǐng)說明：無論m怎樣變化，點(diǎn)Q都在一條確定的直線上．設(shè)這條直線為，在圖中直接畫出的圖象；
(3)在（1）和（2）中的直線上分別有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，橫坐標(biāo)依次為，若A，B，C三點(diǎn)始終在一條直線上，直接寫出此時(shí)a，b，c之間的關(guān)系式．
【答案】(1)的解析式為；的解析式為；(2)①；②的解析式為，圖象見解析；(3)
【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求出的解析式，然后根據(jù)直線平移的規(guī)律：上加下減即可求出直線的解析式；
（2）①根據(jù)題意可得：點(diǎn)P按照甲方式移動(dòng)m次后得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為，再得出點(diǎn)按照乙方式移動(dòng)次后得到的點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，即得結(jié)果；
②由①的結(jié)果可得直線的解析式，進(jìn)而可畫出函數(shù)圖象；
（3）先根據(jù)題意得出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，再把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入整理即可得出結(jié)果．
【詳解】（1）設(shè)的解析式為，把、代入，得
，解得：，
∴的解析式為；
將向上平移9個(gè)單位長(zhǎng)度得到的直線的解析式為；
（2）①∵點(diǎn)P按照甲方式移動(dòng)了m次，點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)連續(xù)移動(dòng)10次，
∴點(diǎn)P按照乙方式移動(dòng)了次，
∴點(diǎn)P按照甲方式移動(dòng)m次后得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為；
∴點(diǎn)按照乙方式移動(dòng)次后得到的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，
∴；
②由于，
∴直線的解析式為；
函數(shù)圖象如圖所示：

（3）∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，且分別在直線上，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，得
，解得：，
∴直線的解析式為，
∵A，B，C三點(diǎn)始終在一條直線上，
∴，
整理得：；
即a，b，c之間的關(guān)系式為：．
【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)和平移綜合題，主要考查了平移的性質(zhì)和一次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，正確理解題意、熟練掌握平移的性質(zhì)和待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式是解題關(guān)鍵．
題型六一次函數(shù)與幾何圖形綜合
38．（2021·江蘇揚(yáng)州市·中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖像與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，把直線繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)交x軸于點(diǎn)C，則線段長(zhǎng)為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)一次函數(shù)表達(dá)式求出點(diǎn)A和點(diǎn)B坐標(biāo)，得到△OAB為等腰直角三角形和AB的長(zhǎng)，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，證明△ACD為等腰直角三角形，設(shè)CD=AD=x，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，用兩種方法表示出BD，得到關(guān)于x的方程，解之即可．
【詳解】
解：∵一次函數(shù)的圖像與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，
令x=0，則y=，令y=0，則x=，
則A（，0），B（0，），
則△OAB為等腰直角三角形，∠ABO=45°，
∴AB==2，
過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，
∵∠CAD=∠OAB=45°，
∴△ACD為等腰直角三角形，設(shè)CD=AD=x，
∴AC==x，
∵旋轉(zhuǎn)，
∴∠ABC=30°，
∴BC=2CD=2x，
∴BD==x，
又BD=AB+AD=2+x，
∴2+x=x，
解得：x=+1，
∴AC=x=（+1）=，
故選A．
【點(diǎn)睛】
本題考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，二次根式的混合運(yùn)算，知識(shí)點(diǎn)較多，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造特殊三角形．
39．（2020·湖南湘西·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，．矩形的頂點(diǎn)D，E，C分別在上，．將矩形沿x軸向右平移，當(dāng)矩形與重疊部分的面積為時(shí)，則矩形向右平移的距離為___________．
【答案】2
【分析】先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)（0，），得到直線AB的解析式為：，根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)求出OC的長(zhǎng)度，利用矩形與重疊部分的面積為列出關(guān)系式求出，再利用一次函數(shù)關(guān)系式求出=4，即可得到平移的距離.
【解析】∵，∴OA=6，在Rt△AOB中，，
∴，∴B（0，），∴直線AB的解析式為：，
當(dāng)x=2時(shí)，y=，∴E（2，），即DE=，
∵四邊形CODE是矩形，∴OC=DE=，
設(shè)矩形沿x軸向右平移后得到矩形，交AB于點(diǎn)G，∴∥OB，
∴△∽△AOB，∴∠=∠AOB=30°，∴∠=∠=30°，∴,
∵平移后的矩形與重疊部分的面積為，
∴五邊形的面積為,∴,
∴,∴,
∴矩形向右平移的距離=，故答案為：2.
【點(diǎn)睛】此題考查了銳角三角函數(shù)，求一次函數(shù)的解析式，矩形的性質(zhì)，圖形平移的性質(zhì)，是一道綜合多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合題型，且較為基礎(chǔ)的題型.
40.（2019·遼寧丹東·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，C分別在x軸、y軸上，四邊形ABCO是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DP，AP，當(dāng)點(diǎn)P滿足DP+AP的值最小時(shí)，直線AP的解析式為_____．
【答案】y＝﹣2x+8
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到點(diǎn)A，C關(guān)于直線OB對(duì)稱，連接CD交OB于P，連接PA，PD，則此時(shí)，PD+AP的值最小，求得直線CD的解析式為y＝﹣x+4，由于直線OB的解析式為y＝x，解方程組得到P（，），由待定系數(shù)法即可得到結(jié)論．
【解析】解：∵四邊形ABCO是正方形，∴點(diǎn)A，C關(guān)于直線OB對(duì)稱，
連接CD交OB于P，連接PA，PD，則此時(shí)，PD+AP的值最小，
∵OC＝OA＝AB＝4，∴C（0，4），A（4，0），
∵D為AB的中點(diǎn)，∴AD＝AB＝2，∴D（4，2），
設(shè)直線CD的解析式為：y＝kx+b，∴，∴，∴直線CD的解析式為：y＝﹣x+4，
∵直線OB的解析式為y＝x，∴，解得：x＝y(tǒng)＝，∴P（，），
設(shè)直線AP的解析式為：y＝mx+n，∴，解得：，
∴直線AP的解析式為y＝﹣2x+8，故答案為：y＝﹣2x+8．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，正確的找出點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵．
41．如圖，將直線向上平移后經(jīng)過點(diǎn)，分別交x軸y軸于點(diǎn)B、C．
（1）求直線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接．問：線段的長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，求出線段的最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）；（2）存在，線段的最小值為4.8．
【分析】
（1）設(shè)平移后的直線的解析式為，代入A點(diǎn)坐標(biāo)即可求解；
（2）根據(jù)OP⊥BC時(shí)，線段最小，再根據(jù)等面積法即可求解．
【詳解】
（1）設(shè)平移后的直線的解析式為，
代入得
解得
∴直線的解析式為；
（2）存在，理由如下：
令x=0，得y=6，∴C（0，6），故OC=6
令y=0，得x=8，∴B（8，0）故OB=8
∴BC=
∵OP⊥BC時(shí)，線段最小，
∵S△ABC==
∴=
即線段的最小值為4.8．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查一次函數(shù)與幾何綜合，解題的關(guān)鍵是熟知一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角形的面積公式．
42．（2020·河北中考模擬題）如圖，直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=﹣x+5的圖象l1分別與x，y軸交于A，B兩點(diǎn)，正比例函數(shù)的圖象l2與l1交于點(diǎn)C（m，4）．（1）求m的值及l(fā)2的解析式；（2）求S△AOC﹣S△BOC的值；（3）一次函數(shù)y=kx+1的圖象為l3，且11，l2，l3不能圍成三角形，直接寫出k的值．
【答案】（1）m=2，l2的解析式為y=2x；（2）S△AOC﹣S△BOC=15；（3）k的值為或2或﹣．
【分析】（1）先求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，再運(yùn)用待定系數(shù)法即可得到l2的解析式；
（2）過C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，則CD=4，CE=2，再根據(jù)A（10，0），B（0，5），可得AO=10，BO=5，進(jìn)而得出S△AOC﹣S△BOC的值；（3）分三種情況：當(dāng)l3經(jīng)過點(diǎn)C（2，4）時(shí)，k=；當(dāng)l2，l3平行時(shí)，k=2；當(dāng)11，l3平行時(shí)，k=﹣；故k的值為或2或﹣．
【解析】（1）把C（m，4）代入一次函數(shù)y=﹣x+5，可得4=﹣m+5，解得m=2，∴C（2，4），
設(shè)l2的解析式為y=ax，則4=2a，解得a=2，∴l(xiāng)2的解析式為y=2x；
（2）如圖，過C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，則CD=4，CE=2，
y=﹣x+5，令x=0，則y=5；令y=0，則x=10，∴A（10，0），B（0，5），
∴AO=10，BO=5，∴S△AOC﹣S△BOC=×10×4﹣×5×2=20﹣5=15；
（3）一次函數(shù)y=kx+1的圖象為l3，且11，l2，l3不能圍成三角形，∴當(dāng)l3經(jīng)過點(diǎn)C（2，4）時(shí)，k=；
當(dāng)l2，l3平行時(shí)，k=2；當(dāng)11，l3平行時(shí)，k=﹣；故k的值為或2或﹣．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、等腰直角三形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理及分類討論思想等．
A方案
B方案
C方案
每月基本費(fèi)用（元）
20
56
266
每月免費(fèi)使用流量（兆）
1024
m
無限
超出后每兆收費(fèi)（元）
n
n
張強(qiáng)離開宿舍的時(shí)間/
1
10
20
60
張強(qiáng)離宿舍的距離/
1.2
張強(qiáng)離開宿舍的時(shí)間/
1
10
20
60
張強(qiáng)離宿舍的距離/
0.12
1.2
1.2
0.6

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