（一）兩角和與差的余弦
C(α－β)：cs(α－β)＝csαcsβ＋sinαsinβ；
C(α＋β)：cs(α＋β)＝csαcsβ－sinαsinβ；
【點(diǎn)撥】
①簡(jiǎn)記為：“同名相乘，符號(hào)反”．
②公式本身的變用，如
cs(α－β)－csαcsβ＝sinαsinβ．
= 3 \* GB3 ③公式中的α，β不僅可以是任意具體的角.角的變用，也稱為角的變換，如csα＝cs[(α＋β)－β]，cs2β＝cs[(α＋β)－(α－β)]．
（二）兩角和與差的正弦
S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcsβ＋csαsinβ；
S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcsβ－csαsinβ；
【點(diǎn)撥】
①簡(jiǎn)記為：“異名相乘，符號(hào)同”．
②公式中的α，β不僅可以是任意具體的角，還可以是任意形式的“整體”.
（三）兩角和與差的正切
T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)；
T(α－β)：tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β).
【點(diǎn)撥】
公式Tα±β只有在α≠＋kπ，β≠＋kπ，α±β≠＋kπ(k∈Z)時(shí)才成立，否則就不成立.
②當(dāng)tanα或tanβ或tan(α±β)的值不存在時(shí)，不能使用Tα±β處理有關(guān)問題，但可改用誘導(dǎo)公式或其他方法．
= 3 \* GB3 ③變形公式：
tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，
tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)，
如tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β)，
tan(α＋β)－tanα－tanβ＝tanαtanβtan(α＋β)，
1－tanαtanβ＝．
1＋tanαtanβ＝．
（四）輔助角公式
函數(shù)f(α)＝acs α＋bsin α(a，b為常數(shù))，可以化為f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cs(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一確定．
.
題型一 公式的正用
【典例1】【多選題】（2022春·江蘇徐州·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，角、的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，它們的終邊分別與單位圓相交于、兩點(diǎn)，若點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為和，則以下結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】利用三角函數(shù)的定義可判斷AB選項(xiàng)，利用兩角和與差的余弦公式可判斷CD選項(xiàng).
【詳解】由三角函數(shù)定義可得，，，，A對(duì)B錯(cuò)；
，
，C錯(cuò)D對(duì).
故選：AD.
【典例2】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知，是方程的兩根，且，，則的值為______．
【答案】
【分析】結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系、兩角和的正切公式求得正確答案.
【詳解】由于，是方程的兩根，
所以，
所以.
故答案為：
【典例3】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知是第四象限角．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2)，
【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系列方程組求解即可；
（2）由兩角和的余弦、正切公式化簡(jiǎn)求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋堑谒南笙藿牵?br>所以解得，
所以.
（2）；
.
【規(guī)律方法】
正用公式問題，一般屬于“給角求值”、“給值求值” 問題，應(yīng)該通過應(yīng)用公式，轉(zhuǎn)化成“特殊角”的三角函數(shù)值計(jì)算問題．給角求值問題的策略：一般先要用誘導(dǎo)公式把角化整化小，化“切”為“弦”，統(tǒng)一函數(shù)名稱，然后觀察角的關(guān)系以及式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇合適的公式進(jìn)行求值．
題型二 公式的變用、逆用
【典例4】（2022春·江蘇泰州·高一江蘇省姜堰第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，，那么M，N，P之間的大小順序是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】逆用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式化簡(jiǎn)函數(shù)式，利用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)，借助正弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合中間值比較大小可得．
【詳解】，
，
，
而，
所以．
故選：C
【典例5】【多選題】（2023秋·山西太原·高一統(tǒng)考期末）計(jì)算下列各式，結(jié)果為的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】運(yùn)用輔助角公式、誘導(dǎo)公式、和差角公式的逆用、特殊角的三角函數(shù)值、三角恒等變換中“1”的代換化簡(jiǎn)即可.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由輔助角公式得.故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，，故選項(xiàng)D正確.
故選：AD.
【典例6】求下列各式的值：
(1)eq \f(1－tan75°,1＋tan75°)；
(2)(1＋tan1°)(1＋tan2°)…(1＋tan44°)；
(3)tan25°＋tan35°＋eq \r(3)tan25°tan35°．
【答案】（1）；（2）222；（3）.
【解析】嘗試使用兩角和與差的正切公式及其變形式對(duì)原式進(jìn)行變形求值．
詳解：(1)原式＝eq \f(tan45°－tan75°,1＋tan45°tan75°)＝tan(45°－75°)＝．
(2)因?yàn)?1＋tan1°)(1＋tan44°)＝1＋tan1°＋tan44°＋tan1°×tan44°＝2，同理(1＋tan2°)(1＋tan43°)＝2，…，
所以原式＝222．
(3)∵tan60°＝tan(25°＋35°)＝eq \f(tan25°＋tan35°,1－tan25°tan35°)＝，
∴tan25°＋tan35°＝eq \r(3)(1－tan25°tan35°)
∴tan25°＋tan35°＋tan25°tan35°＝．
【規(guī)律方法】
1.“1”的代換：在Tα±β中如果分子中出現(xiàn)“1”常利用1＝tan45°來代換，以達(dá)到化簡(jiǎn)求值的目的．
2．若α＋β＝＋kπ，k∈Z，則有(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2．
3．若化簡(jiǎn)的式子里出現(xiàn)了“tanα±tanβ”及“tanαtanβ”兩個(gè)整體，常考慮tan(α±β)的變形公式．
題型三 給值求值
【典例7】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】對(duì)題干條件平方后相加，結(jié)合余弦的差角公式得到答案.
【詳解】因?yàn)?，所以?），
因?yàn)椋裕?），
（1）+（2）得，
∴.
故選：A．
【典例8】（2022春·江蘇徐州·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在時(shí)取得最大值，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得到，然后用兩角和的余弦公式即可求解
【詳解】因?yàn)樵跁r(shí)取得最大值，
所以，即，
所以
故選：C
【典例9】（2021春·江蘇南京·高一?？茧A段練習(xí)）已知，，，，求：
(1)的值；
(2)的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由已知條件判斷的范圍，再利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出，則由利用兩角差的余弦公式可求得，
（2）由同角三角函數(shù)的關(guān)系求出，從而可求得的值，再利用正切的二倍角公式可求得的值.
【詳解】（1）因?yàn)?，?br>所以，，
所以，
，
所以
.
（2）因?yàn)?，?br>所以，
所以，
所以.
【規(guī)律方法】
給值求值問題的解題策略．
(1)從角的關(guān)系中找解題思路：
已知某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，要注意觀察已知角與所求表達(dá)式中角的關(guān)系，根據(jù)需要靈活地進(jìn)行拆角或湊角的變換．
(2)常見角的變換．
①α＝(α－β)＋β；②α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)；
③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．
題型四 給值求角
【典例10】（2022春·江蘇南通·高一金沙中學(xué)校考期末）已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】結(jié)合式子中角的特點(diǎn)以及范圍，分別求，
，再根據(jù)正切值縮小的范圍，從而得到的范圍，即可得到角的大小.
【詳解】因?yàn)?，
，
而，，所以，，，，所以．
故選：D．
【典例11】（2021春·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期末）若，求的值．
【答案】
【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求的值，進(jìn)而利用兩角差的余弦函數(shù)公式可求的值，結(jié)合，即可得解．
【詳解】，，
，
，
，
或1，即或1，
，，
，．
故答案為：．
【規(guī)律方法】
解題的一般步驟是：(1)先確定角α的范圍，且使這個(gè)范圍盡量?。O易由于角的范圍過大致誤）；(2)根據(jù)(1)所得范圍來確定求tanα、sinα、csα中哪一個(gè)的值，盡量使所選函數(shù)在(1)得到的范圍內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；(3)求α的一個(gè)三角函數(shù)值；(4)寫出α的大小．
題型五 三角函數(shù)式化簡(jiǎn)問題
【典例12】（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·高一統(tǒng)考期末）計(jì)算：（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)求解即可.
【詳解】，
故選：C
【典例13】（2022春·江蘇泰州·高一?？茧A段練習(xí)）已知，且，則___________.
【答案】
【分析】先由結(jié)合題目中關(guān)系求得，同時(shí)除以即可求解.
【詳解】，
，
則，
即，又，
則，則，
即，則.
故答案為：.
【規(guī)律方法】
1.三角公式化簡(jiǎn)求值的策略
(1)使用兩角和、差及倍角公式，首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征和符號(hào)變化規(guī)律．
(2)使用公式求值，應(yīng)注意與同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用．
(3)使用公式求值，應(yīng)注意配方法、因式分解和整體代換思想的應(yīng)用．
2.注意三角函數(shù)公式逆用、變形用及“變角、變名、變號(hào)”的“三變”問題
(1)公式逆用時(shí)一定要注意公式成立的條件和角之間的關(guān)系．
(2)注意特殊角的應(yīng)用，當(dāng)式子中出現(xiàn)eq \f(1,2)，1，，等這些數(shù)值時(shí)，一定要考慮引入特殊角，把“值變角”構(gòu)造適合公式的形式．
題型六 三角恒等式證明問題
【典例14】（2023春·上海浦東新·高一?？茧A段練習(xí)）求證：
(1)；
(2)在非直角三角形ABC中，
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析.
【分析】(1)先把等式左邊切化弦，再借助立方和公式分解化簡(jiǎn)從而得證；
(2) 借助得到，再利用和角正切公式展開整理即可得證.
【詳解】（1）左邊
=右邊
故.
（2）
又
故.
【典例15】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）求證：
(1)當(dāng)時(shí)，；
(2)當(dāng)時(shí)，．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)正切兩角和公式求解即可.
（2）根據(jù)正切兩角和公式求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)?br>所以
.
即證：.
（2）因?yàn)?br>所以
.
即證：.
【總結(jié)提升】
三角恒等式的證明方法
(1)從等式的比較復(fù)雜的一邊化簡(jiǎn)變形到另一邊，相當(dāng)于解決化簡(jiǎn)題目．
(2)等式兩邊同時(shí)變形，變形后的結(jié)果為同一個(gè)式子．
(3)先將要證明的式子進(jìn)行等價(jià)變形，再證明變形后的式子成立．
提醒：開平方時(shí)正負(fù)號(hào)的選取易出現(xiàn)錯(cuò)誤，所以要根據(jù)已知和未知的角之間的關(guān)系，恰當(dāng)?shù)匕呀遣鸱?，根?jù)角的范圍確定三角函數(shù)的符號(hào)．
一、單選題
1．（2023秋·江蘇連云港·高一江蘇省海頭高級(jí)中學(xué)?？计谀? ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直接利用兩角和的余弦公式即可得解.
【詳解】解：.
故選：A.
2．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）化簡(jiǎn)（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用兩角和與差的正切公式化簡(jiǎn)即可.
【詳解】解：
.
故選：C.
3．（2022春·江蘇淮安·高一?？茧A段練習(xí)）已知向量，，且，則的值是（ ）
A．1B．C．3D．
【答案】B
【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示求，再由兩角差正切公式求.
【詳解】因?yàn)?，，?br>所以，
所以，
所以，
故選：B.
4．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）若，則的值為（ ）．
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】根據(jù)正切的差角公式得，根據(jù)正余切的關(guān)系即可求解.
【詳解】由得，
所以，
故選：C
5．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）在中，若，，則等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】用余弦和角公式展開，代入即可.
【詳解】因?yàn)樵谥?，，，則，.
故選：D
6．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）若且，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)，求出，再利用正弦和角公式計(jì)算出答案.
【詳解】，故，
因?yàn)?，所以?br>所以.
故選：A
7．（2022春·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期中）已知，，且，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)同角平方和關(guān)系可求，，然后根據(jù)正弦的和角公式即可求解.
【詳解】由，可得：，所以，
故選：C
8．（2022春·江蘇揚(yáng)州·高一期末）已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，將角的終邊繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，經(jīng)過點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)角的概念以及三角函數(shù)的定義，可得和，再根據(jù)以及兩角和的正弦公式計(jì)算可得答案.
【詳解】∵角的終邊按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到的角為，
∴由三角函數(shù)的定義，可得：，，
∴，
故選：B.
二、多選題
9．（2022春·江蘇泰州·高一?？茧A段練習(xí)）對(duì)任意的銳角，下列不等關(guān)系恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】對(duì)于A，C選項(xiàng)，利用三角恒等變換的公式化簡(jiǎn)即可得到恒成立的不等式，對(duì)于B，D選項(xiàng)，利用特殊值排除即可.
【詳解】對(duì)于A，若，則，
整理可得：，
對(duì)任意的銳角，恒成立，故A正確；
對(duì)于B，，
當(dāng)，，，，故B不正確；
對(duì)于C，若，則，
整理可得：，
對(duì)任意的銳角，恒成立，故C正確；
對(duì)于D，，
當(dāng)，，，，故D不正確.
故選：AC
10．（2023秋·江蘇連云港·高一江蘇省海頭高級(jí)中學(xué)?？计谀┫铝杏?jì)算中正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】結(jié)合誘導(dǎo)公式及正余弦的和差角公式分別進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可求解；
【詳解】解：對(duì)于A，
，故A正確；
對(duì)于B，
，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，
，故C正確；
對(duì)于D，
，故D正確.
故選：ACD
三、填空題
11．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）化簡(jiǎn)：______．
【答案】
【分析】利用兩角和的正切公式，化簡(jiǎn)可得.
【詳解】
故答案為：
12．（2023秋·陜西西安·高一西安市第六中學(xué)?？计谀┮阎?，滿足，，，，則______．
【答案】
【分析】根據(jù)題意得到的值，然后由正弦的和差角公式，代入計(jì)算即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，則，
因?yàn)?，則，
所以，
，
則
故答案為:
四、解答題
13．（2023春·湖北黃岡·高一?？茧A段練習(xí)）求的值．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，由正余弦以及正切的和差角公式，化簡(jiǎn)計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】解：原式

．
14．（2022春·江蘇泰州·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，且．
(1)求的值；
(2)若，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知可得出，結(jié)合兩角和的余弦公式化簡(jiǎn)可得結(jié)果；
（2）求出的值，利用兩角和的正切公式可求得的值，求出的取值范圍，即可得解.
(1)
解：，則
，
因此，.
(2)
解：因?yàn)榍遥?，?br>因?yàn)椋瑒t，，
因?yàn)椋剩?br>所以，，所以，，
所以，，
因此，.
15．（2023春·安徽蕪湖·高一安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）觀察下列各等式：
，
，
．
(1)嘗試再寫出一個(gè)相同規(guī)律的式子；
(2)寫出能反映以上式子一般規(guī)律的恒等式，并對(duì)你寫出的恒等式進(jìn)行證明．
【答案】(1)
(2)若，則；證明見解析
【分析】（1）根據(jù)已知的3個(gè)例子即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律求解，
（2）根據(jù)已知式子發(fā)現(xiàn)規(guī)律，利用弦切互化以及正切的和角關(guān)系公式即可求解.
【詳解】（1）．
（2）若，則．
證明：．
又因?yàn)椋?br>所以，
化簡(jiǎn)得．
16．（2023春·江蘇常州·高一常州市北郊高級(jí)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系式求得，再利用兩角和的余弦公式即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)平方關(guān)系可求得再進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化即，之后利用兩角差的余弦公式進(jìn)行求解可得出.
【詳解】（1）由，可得；
所以；
即
（2）由可得，
又，所以
由可得.
即的值為

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專題03 計(jì)數(shù)原理、排列、組合（知識(shí)串講 熱考題型 專題訓(xùn)練）-2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末考點(diǎn)大串講（蘇教版2019選擇性必修第二冊(cè)）

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專題06 復(fù)數(shù)綜合（知識(shí)串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末考點(diǎn)大串講（人教A版2019必修第二冊(cè)）

專題06 復(fù)數(shù)綜合（知識(shí)串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末考點(diǎn)大串講（人教A版2019必修第二冊(cè)）
專題03 平面向量的綜合應(yīng)用（知識(shí)串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末考點(diǎn)大串講（人教A版2019必修第二冊(cè)）

專題03 平面向量的綜合應(yīng)用（知識(shí)串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末考點(diǎn)大串講（人教A版2019必修第二冊(cè)）
專題03 不等式 （知識(shí)串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末考點(diǎn)大串講（蘇教版2019必修第一冊(cè)）

專題03 不等式 （知識(shí)串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末考點(diǎn)大串講（蘇教版2019必修第一冊(cè)）
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