（一）二倍角的正弦
S2α：sin2α＝2sinαcsα
（二）二倍角的余弦
C2α：cs2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
（三）二倍角的正切
T2α：tan2α＝eq \f(2tanα,1－tan2α)；
公式應(yīng)用的條件：α≠且α≠kπ＋ (k∈Z)，當(dāng)α＝kπ＋ (k∈Z)時(shí)，tanα不存在，求tan2α的值可采用誘導(dǎo)公式
（四）二倍角公式的逆用、變形
1.逆用形式：
2sinαcsα＝sin2α；sinαcsα＝eq \f(1,2)sin2α；csα＝eq \f(sin2α,2sinα)；cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α＝cs2α；
eq \f(2tanα,1－tan2α)＝tan2α．
2.變形用形式：
1±sin2α＝sin2α＋cs2α±2sinαcsα＝(sinα±csα)2；
1＋cs2α＝2cs2α；
1－cs2α＝2sin2α；cs2α＝eq \f(1＋cs2α,2)；
sin2α＝eq \f(1－cs2α,2)．
題型一 公式的正用
【典例1】（2022春·江蘇南京·高一南京航空航天大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎?，則cs2α＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)余弦二倍角公式，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
故選：B
【典例2】（2022春·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期末）已知向量，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合題意整理可得，再代入二倍角的正切公式運(yùn)算求解．
【詳解】由題意可得：，整理得，即
∴
故選：C．
【典例3】（2022春·江蘇徐州·高一校考競(jìng)賽）求的值.
【答案】
【分析】由正弦的二倍角公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可得到結(jié)果.
【詳解】
【規(guī)律方法】
由給出的某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵在于“變角”使“目標(biāo)角”變成“已知角”，另外角的范圍應(yīng)根據(jù)所給條件進(jìn)一步縮小，避免出現(xiàn)增解．
題型二 公式的逆用
【典例4】（2022春·江蘇鹽城·高一江蘇省響水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)則有（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用二倍角公式及兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.
【詳解】解：，
，
，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
所以，
所以.
故選：C
【典例5】【多選題】（2023春·江蘇常州·高一常州市北郊高級(jí)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）下列化簡(jiǎn)正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】A選項(xiàng)，由正切的和角公式化簡(jiǎn)得到答案；B選項(xiàng)，由余弦二倍角公式求出答案；C選項(xiàng)，由正切二倍角公式進(jìn)行求解；D選項(xiàng)，通分后，利用輔助角公式，倍角公式和誘導(dǎo)公式求出答案.
【詳解】A選項(xiàng)，，即，
化簡(jiǎn)得：，A正確；
B選項(xiàng)，，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，，C正確；
D選項(xiàng)，，D錯(cuò)誤.
故選：AC
【典例6】（2022秋·江蘇常州·高一?？计谀┯?jì)算：
(1)求值；
(2)已知，，求的值
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用兩角和的余弦、正弦、誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)計(jì)算可得出所求代數(shù)式的值；
（2）利用誘導(dǎo)公式、二倍角的正弦公式可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得的值，再利用誘導(dǎo)公式可求得的值.
【詳解】（1）解：原式
.
（2）解：原式，
即，
因?yàn)椋瑒t，所以，，則，
因此，.
【規(guī)律方法】
當(dāng)出現(xiàn)（或可化成）公式右端結(jié)構(gòu)形式時(shí)，注意“逆用”公式，簡(jiǎn)化解題過(guò)程.
題型三 公式的變用
【典例7】（2023秋·重慶沙坪壩·高一重慶一中?？计谀? ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】利用兩角和與差的余弦公式將轉(zhuǎn)化為，進(jìn)行展開(kāi)，對(duì)于分子則是結(jié)合二倍角正弦公式及完全平方式進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后再約分即可.
【詳解】
故選：D.
【典例8】（2023春·湖北荊州·高一沙市中學(xué)?？茧A段練習(xí)）求證：
．
【答案】證明見(jiàn)解析.
【分析】由二倍角公式，可得左邊，通分后即可證明左邊等于右邊.
【詳解】證明：因.
則，
.
故左邊
右邊.
【典例9】（2023·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】第（1）問(wèn)中，利用二倍角公式即可求出，從而求得.
第（2）問(wèn)中，利用降冪公式及和差化積的正弦公式，即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)?，，且?br>得，，，，，
從而．
（2）．
【規(guī)律方法】
公式變形的主要形式有1±sin2α＝sin2α＋cs2α±2sinαcsα＝(sinα±csα)2,1＋cs2α＝2cs2α，1－cs2α＝2sin2α，cs2α＝eq \f(1＋cs2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs2α,2)．
題型四 三角函數(shù)式化簡(jiǎn)問(wèn)題
【典例10】（2022秋·河北承德·高一河北承德第一中學(xué)?？计谀┗?jiǎn)：____.
【答案】
【分析】對(duì)原式通分，然后借助于輔助角公式以及二倍角公式化簡(jiǎn)計(jì)算，即可求出結(jié)果.
【詳解】解：原式=




故答案為：
【典例11】（2022春·上海徐匯·高一上海市徐匯中學(xué)?？茧A段練習(xí)）化簡(jiǎn)：__．
【答案】
【分析】利用倍角公式與同角三角函數(shù)關(guān)系式即可求解.
【詳解】依題意，
．
故答案為：.
【典例12】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)并求值．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用切化弦、二倍角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)計(jì)算作答.
（2）根據(jù)給定條件，利用切化弦、誘導(dǎo)公式、二倍角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)計(jì)算作答.
（3）根據(jù)給定條件，利用特殊角的三角函數(shù)值、二倍角公式、湊角的思想結(jié)合和差角的正弦化簡(jiǎn)計(jì)算作答.
【詳解】（1）
.
（2）
.
（3）
.
【規(guī)律方法】
1.三角公式化簡(jiǎn)求值的策略
(1)使用倍角公式，首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征和符號(hào)變化規(guī)律．
(2)使用公式求值，應(yīng)注意與同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用．
(3)使用公式求值，應(yīng)注意配方法、因式分解和整體代換思想的應(yīng)用．
2.注意三角函數(shù)公式逆用、變形用及“變角、變名、變號(hào)”的“三變”問(wèn)題
(1)公式逆用時(shí)一定要注意公式成立的條件和角之間的關(guān)系．
(2)注意特殊角的應(yīng)用，當(dāng)式子中出現(xiàn)eq \f(1,2)，1，，等這些數(shù)值時(shí)，一定要考慮引入特殊角，把“值變角”構(gòu)造適合公式的形式．
題型五 三角恒等式證明問(wèn)題
【典例13】（2023·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）證明：；
【答案】證明見(jiàn)解析
【分析】利用誘導(dǎo)公式和二倍角的正弦公式即可化簡(jiǎn)證明.
【詳解】證明：
，
故成立.
【典例14】（2023·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）求證：
【答案】證明見(jiàn)解析
【分析】利用二倍角正余弦公式化簡(jiǎn)左側(cè)，即可證結(jié)論.
【詳解】由
，得證.
【典例15】（2023春·湖北黃岡·高一?？茧A段練習(xí)）（1）化簡(jiǎn)：；
（2）求證：．
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)題意，由正余弦的和差角公式，代入計(jì)算，化簡(jiǎn)即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，由二倍角公式，代入分別計(jì)算，即可證明.
【詳解】（1）
．
（2）證明：
左邊
右邊．
所以．
【總結(jié)提升】
三角恒等式的證明方法
(1)從等式的比較復(fù)雜的一邊化簡(jiǎn)變形到另一邊，相當(dāng)于解決化簡(jiǎn)題目．
(2)等式兩邊同時(shí)變形，變形后的結(jié)果為同一個(gè)式子．
(3)先將要證明的式子進(jìn)行等價(jià)變形，再證明變形后的式子成立．
提醒：開(kāi)平方時(shí)正負(fù)號(hào)的選取易出現(xiàn)錯(cuò)誤，所以要根據(jù)已知和未知的角之間的關(guān)系，恰當(dāng)?shù)匕呀遣鸱?，根?jù)角的范圍確定三角函數(shù)的符號(hào)．
一、單選題
1．（2023·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】把已知等式平方化簡(jiǎn)即得解.
【詳解】?jī)蛇吰椒降?br>
故選：
2．（2023春·安徽·高三合肥市第六中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用降冪公式，再利用二倍角公式化簡(jiǎn)即得解.
【詳解】由已知，化簡(jiǎn)得．
平方得，
所以．
故選：A．
3．（2022春·江蘇宿遷·高一泗陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為任意角，若滿(mǎn)足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】將看成一個(gè)整體，化簡(jiǎn)，即可根據(jù)正切的二倍角公式求出．
【詳解】由，
可得
.
故選：B.
4．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若，則（ ）
A．0B．
C．D．
【答案】D
【分析】結(jié)合倍角公式、三角函數(shù)在對(duì)應(yīng)象限的符號(hào)、輔助角公式化簡(jiǎn)即可.
【詳解】，.
故選：D
5．（2022春·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期末）若，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)，再表達(dá)出，從而根據(jù)誘導(dǎo)公式與二倍角公式求解即可
【詳解】設(shè)，則，故，故，則
故選：D
6．（2022春·江蘇南京·高一南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校?？计谥校┤?，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式和正弦的倍角公式，化簡(jiǎn)，代入即可求解.
【詳解】由三角函數(shù)的基本關(guān)系式和正弦的倍角公式，可得
.
故選：C.
7．（2022春·江蘇蘇州·高一江蘇省沙溪高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎?，且，則（ ）
A．B．12C．D．
【答案】D
【分析】將兩邊平方，可求出，結(jié)合，可得，利用求出，利用平方差公式求出，從而可求出.
【詳解】因?yàn)?，所以，所以?br>所以，
因?yàn)?，所以?br>又，所以，所以，
所以，
所以，
所以.
故選：D
8.（2022春·江蘇常州·高一統(tǒng)考期末）已知，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)二倍角公式和逆用余弦的差角公式化簡(jiǎn)得到，結(jié)合得到，求出.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
整理得：，
，
，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
解得：
故選：D.
二、多選題
9．（2022春·江蘇鹽城·高一鹽城市伍佑中學(xué)?？计谥校┫铝械仁匠闪⒌氖牵? ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【詳解】利用兩角和差公式和二倍角公式依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可．
【解答過(guò)程】對(duì)于A，，A正確；
對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，D正確.另外可由解出，舍去增解.
故選：AD.
10．（2022春·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期中）已知，以下選項(xiàng)正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根據(jù)正弦和余弦的二倍角公式，以及，逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后判斷，即可得答案.
【詳解】根據(jù)題意，，兩邊平方，得，所以，，故A錯(cuò)誤；
又因?yàn)椋?，，故B正確；
，故C正確；
，故D正確；
故選：BCD
三、填空題
11．（2023秋·寧夏銀川·高一銀川唐徠回民中學(xué)?？计谀__________.
【答案】
【分析】利用倍角公式及輔助角公式變形計(jì)算即可.
【詳解】
.
故答案為：.
12.（2022春·江蘇鹽城·高一統(tǒng)考期中）若，則_____．
【答案】
【分析】由二倍角公式，平方關(guān)系變形可得．
【詳解】，則，所以，，
．
故答案為：．
四、解答題
13．（2022秋·上海寶山·高一上海交大附中?？茧A段練習(xí)）已知，.
(1)求；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用二倍角的正切公式求解；
(2)利用弦化切的方法求解.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以解得或，
因?yàn)?，所?
（2）.
14．（2023秋·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）（1）已知，求的值；
（2）已知，，則．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根據(jù)題設(shè)條件利用倍角公式整理得，再根據(jù)齊次式問(wèn)題化簡(jiǎn)求值；
（2）先根據(jù)運(yùn)算求解，注意符號(hào)的判斷，再結(jié)合倍角公式公式化簡(jiǎn)求解.
【詳解】（1）∵，則，即，
∴．
（2）∵，則，
整理得，
所以，
又∵，則，且，
則，即，
∴，
故．
15．（2023·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知向量，其中，且．
(1)求和的值；
(2)若，且，求角的值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由得，化簡(jiǎn)可求，結(jié)合萬(wàn)能公式可求；
（2）采用整體法，由，結(jié)合角度范圍，分別求出，進(jìn)而得解.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即?br>；
（2）由（1）得，，
，
因?yàn)?，，所以?br>因?yàn)?，所以，?br>所以，
所以.
16．（2022春·江蘇鹽城·高一鹽城中學(xué)?？计谥校┮阎蛄?，，．
(1)若時(shí)，求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由求出，進(jìn)行弦化切，代入求解；
（2）由求出，得到，利用和差角公式直接求解．
(1)
（1）時(shí)，，
因?yàn)椋?br>所以，，
．
(2)
因?yàn)?，所以?br>所以，，所以，所以，
所以.
所以，
．
所以
．

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