sinαcsβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，
csαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]，
csαcsβ＝[cs(α＋β)＋cs(α－β)]，
sinαsinβ＝－[cs(α＋β)－cs(α－β)]．
（二）和差化積公式
sinx＋siny＝2sincs，
sinx－siny＝2cssin，
csx＋csy＝2cscs，
csx－csy＝－2sinsin．
（三）半角公式
sin＝±，cs＝± ，tan＝±.符號由所在的象限決定．
另：tan＝＝.不含被開方數(shù)，且不涉及符號問題，但應(yīng)用時需要注意該公式成立的條件．
（四）常見的三角恒等變換
（1）asinx＋bcsx＝sin(x＋φ)(ab≠0)，其中tanφ＝，φ所在象限由a和b的符號確定．僅僅討論＝±1，±，±的情況．
（2）sin2x＝，cs2x＝，sinxcsx＝sin2x．
（3）萬能公式：設(shè)，則，，.可結(jié)合圖中直角三角形的邊角關(guān)系理解記憶.
題型一 三角函數(shù)求值
【典例1】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）____．
【答案】## 0.5
【分析】根據(jù)和差化積公式和誘導(dǎo)公式可求出結(jié)果.
【詳解】原式
.
故答案為：.
【典例2】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)） _____．
【答案】##
【分析】根據(jù)積化和差公式以及余弦的二倍角公式即可求解
【詳解】

．
故答案為：
【典例3】（2022·高一課時練習(xí)）化簡：___________.
【答案】
【分析】由誘導(dǎo)公式與三角恒變換公式求解即可
【詳解】∵，
∴，
∴.
又∵，且，
∴
.
∵，
∴，
∴.
∴.
故答案為：
【典例4】（2022·高一課時練習(xí)）已知且，求：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】先由同角的平方關(guān)系得到的值，從而得到，結(jié)合萬能公式，分別代入（1）（2）中計算即可.
（1）因為，所以，于是．
設(shè)．
．
（2） ．
【規(guī)律方法】
1.給角求值：一般不會給出特殊角！所以，應(yīng)用各種公式，設(shè)法化成特殊角的函數(shù)值，或?qū)⒋笾等呛瘮?shù)式，用已知表示出來.
2.給值求值：由給出的某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵在于“變角”使“目標(biāo)角”變成“已知角”，另外角的范圍應(yīng)根據(jù)所給條件進一步縮小，避免出現(xiàn)增解．
3.已知的某個三角函數(shù)值，求的三角函數(shù)值的步驟是：(1)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求得的其他三角函數(shù)值；(2)代入半角公式計算即可．（3）應(yīng)用半角公式求值時，要特別注意根據(jù)單角的范圍去確定半角三角函數(shù)值的符號．
題型二 化簡三角函數(shù)式
【典例5】（2022·高一課時練習(xí)）已知sin α＋sin β＝，cs α＋cs β＝，則tan(α＋β)＝________，cs(α－β)＝________.
【答案】 ##
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的和差化積把已知條件化簡得到兩個式子，然后把兩式相除得到的正切值，再把所求的式子利用正切二倍角公式化簡，代入即可求出值；對，，兩式分別平方求和可得.
【詳解】
，
即①，
，
即②，
①②兩式相除得，
則；
，
，
兩式相加可得，
.
故答案為：①；②.
【典例6】化簡sin2α·sin2β＋cs2α·cs2β－cs2αcs2β．
【答案】見解析
【解析】解法一：(從“角”入手，倍角化單角)
原式＝sin2α·sin2β＋cs2α·cs2β－(2cs2α－1)(2cs2β－1)
＝sin2α·sin2β＋cs2α·cs2β－(4cs2αcs2β－2cs2α－2cs2β＋1)
＝sin2α·sin2β－cs2α·cs2β＋cs2α＋cs2β－
＝sin2α·sin2β＋cs2α(1－cs2β)＋cs2β－
＝sin2α·sin2β＋cs2αsin2β＋cs2β－
＝sin2β(sin2α＋cs2α)＋cs2β－
＝sin2β＋cs2β－＝1－＝．
解法二：(從“冪”入手，利用降冪公式先降次)
原式＝·＋·－cs2α·cs2β
＝(1＋cs2α·cs2β－cs2α－cs2β)＋(1＋cs2α·cs2β＋cs2α＋cs2β)－cs2α·cs2β＝＋＝．
【典例7】（2023秋·陜西西安·高一?？计谀?）化簡：；
（2）求值：．
【答案】（1）；（2）2
【分析】（1）化切為弦，結(jié)合正弦和余弦的倍角公式和半角公式得到答案；
（2）化切為弦，結(jié)合輔助角公式和誘導(dǎo)公式進行求解.
【詳解】（1）；
（2）
.
【典例8】（2022·高一課時練習(xí)）化簡：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出的范圍，再利用二倍角公式和同角三角函數(shù)間的關(guān)系化簡計算即可，
（2）利用半角公式，誘導(dǎo)公式和二倍角公式化簡即可.
（1）
因為，所以，
所以原式
.
（2）
因為，
所以.
又因為，且，
所以原式，
因為，所以，所以.
所以原式.
【規(guī)律方法】
三角函數(shù)式的化簡，主要有以下幾類：(1)對三角的和式，基本思路是降冪、消項和逆用公式；(2)對三角的分式，基本思路是分子與分母的約分和逆用公式，最終變成整式或較簡式子；(3)對二次根式，則需要運用倍角公式的變形形式．在具體過程中體現(xiàn)的則是化歸的思想，是一個“化異為同”的過程，涉及切弦互化，即“函數(shù)名”的“化同”；角的變換，即“單角化倍角”“單角化復(fù)角”“復(fù)角化復(fù)角”等具體手段，以實現(xiàn)三角函數(shù)式的化簡．
題型三 三角恒等式證明問題
【典例9】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知.求證：.
【答案】證明見解析
【分析】由，結(jié)合萬能公式化簡可得結(jié)果.
【詳解】.
【典例10】（2021春·上?！じ咭黄谥校┣笞C：.
【答案】證明見解析.
【分析】法一：正切的半角公式有，代入左式化簡，即可證明等式成立；法二：由，代入左式得，再由即可證等式成立.
【詳解】（方法一）左邊右邊，所以原恒等式成立.
（方法二）左邊右邊，所以，原等式成立.
【典例11】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知.求證：.
【答案】證明見解析
【分析】由，結(jié)合萬能公式化簡可得結(jié)果.
【詳解】.
【典例12】（2022·高一課時練習(xí)）已知，求證：．
【答案】證明見解析
【分析】由已知條件化簡得出，利用積化和差公式化簡可證得結(jié)論成立.
【詳解】證明：因為，所以，
于是，
因為
，
所以，，
同理可得，
所以，從而，所以．
【規(guī)律方法】
1.三角函數(shù)等式的證明包括無條件三角函數(shù)等式的證明和有條件三角函數(shù)等式的證明．對于無條件三角函數(shù)等式的證明，要認(rèn)真分析等式兩邊三角函數(shù)式的特點，找出差異，化異角為同角，化異次為同次，化異名為同名，尋找證明的突破口．對于有條件三角函數(shù)等式的證明，要認(rèn)真觀察條件式與被證式的區(qū)別與聯(lián)系，靈活使用條件等式，通過代入法、消元法等方法進行證明．
2. 三角恒等變換常見變形策略有：變角、變名、變次，其中變角是核心；常見變角形式有：2α＝(α－β)＋(α＋β)，＝α＋－(＋β)等
題型四 三角恒等變換與三角函數(shù)圖象和性質(zhì)
【典例13】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求的最小正周期及單調(diào)區(qū)間；
(2)求在區(qū)間上的最大值與最小值.
【答案】(1)最小正周期為，單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.
(2)最大值為2，最小值為
【分析】（1）先利用三角恒等變換化簡得到，從而利用求出最小正周期，再利用整體法求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)求出，從而結(jié)合函數(shù)圖象求出最大值為2，最小值為.
【詳解】（1）因為
所以的最小正周期；
令，，解得：，，
令，，解得：，，
單調(diào)增區(qū)間為，，
單調(diào)減區(qū)間為，；
（2）已知，所以，
當(dāng)，即時，取得最大值，最大值為2，
當(dāng)，即時，取得最小值，最小值為-1，
所以在區(qū)間上的最大值為2，最小值為.
【典例14】（2021春·湖南·高一周南中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)，.
(1)若是第三象限角，且，求的值；
(2)設(shè)，討論在區(qū)間上的單調(diào)性.
【答案】(1)
(2)在上遞增，在遞減
【分析】（1）根據(jù)和差角公式展開即可得，進而，再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系得，最后結(jié)合半角公式求解即可；
（2）結(jié)合（1）得，再結(jié)合題意得，進而解和即可得單調(diào)區(qū)間.
(1)
解：
因為，所以
因為是第三象限角，所以，
.
(2)
解：由（1）得，
因為，所以
要使為增函數(shù)，則，解得
要使為減函數(shù)，則，解得
綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.
【規(guī)律方法】
當(dāng)給出的三角函數(shù)關(guān)系式較為復(fù)雜，我們要先通過三角恒等變換，將三角函數(shù)的表達(dá)式變形化簡，將函數(shù)表達(dá)式變形為y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acs(ωx＋φ)＋k等形式，然后再根據(jù)化簡后的三角函數(shù)，討論其圖象和性質(zhì)．
題型五 三角恒等變換與平面向量
【典例15】（2021·全國·高考真題）已知為坐標(biāo)原點，點，，，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】
A、B寫出，、，的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)公式求模，即可判斷正誤；C、D根據(jù)向量的坐標(biāo)，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及兩角和差公式化簡，即可判斷正誤.
【詳解】
A：，，所以，，故，正確；
B：，，所以，同理，故不一定相等，錯誤；
C：由題意得：，，正確；
D：由題意得：，
，故一般來說故錯誤；
故選：AC
【典例16】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知向量，，設(shè).
(1)求的值；
(2)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.
【答案】(1)2
(2)，單調(diào)遞增區(qū)間為
【分析】（1）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合二倍角和輔助角公式化簡，再將代入即可求解；
（2）利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】（1）因為向量，，
所以
，
所以.
（2）由（1）得，
所以的最小正周期，
因為的單調(diào)遞增區(qū)間為，
令，解得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.
一、單選題
1．（2021春·江蘇南京·高一南京市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等腰三角形的頂角的余弦值等于，則它的底角的余弦值為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和為，頂角為，則底角，再有誘導(dǎo)公式即可求解．
【詳解】設(shè)等腰三角形的頂角為，底角為，則.又，
即，
故選B.
【點睛】本題考查三角誘導(dǎo)公式，需熟記公式．
2．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）cs15° sin 105°=（ ）
A．+B．-
C．+1D．-1
【答案】A
【分析】利用積化和差公式直接求解．
【詳解】.
故選：A．
3．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）計算：（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用和差化積公式可求解.
【詳解】原式.
故選：D
4．（2021·江蘇·高一假期作業(yè)）若，是第三象限的角，則（ ）
A．B．C．D．-2
【答案】D
【解析】根據(jù)，是第三象限的角，先利用半角公式求得，然后代入求解.
【詳解】因為為第三象限角，
所以可能為二?四象限角，
所以，
所以.
故選：D.
5．（2021·高一課時練習(xí)）若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用半角公式，倍角公式，弦化切等進行化簡求值.
【詳解】
因為
所以分子分母同除以，可得：原式=
故選：C
6.（遼寧沈陽·高一東北育才學(xué)校?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的最小正周期為（ ）
A．πB．2πC．D．
【答案】B
【分析】首先進行三角函數(shù)的恒等變換，利用半角公式整理出只含有一倍角的形式，把乘到括號里，根據(jù)同角的三角函數(shù)之間的關(guān)系得到最簡結(jié)果，利用周期公式計算即得周期．
【詳解】函數(shù)
，
函數(shù)要有意義則必須有：，且，
即且
所以函數(shù)的定義域為：
且，
所以函數(shù)的最小正周期為，
故選：B．
7．（2022·高一課時練習(xí)）已知，且，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由，結(jié)合已知及和差角余弦公式可得，進而可得，最后由倍角余弦公式求值.
【詳解】因為，所以，
因為，所以，于是，
所以．
故選：B
8．（2022·高一課時練習(xí)）已知，為銳角，且，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由積化和差公式可得，根據(jù)角的范圍即可根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解.
【詳解】因為 ，又
所以.
∵，為銳角，且，∴，即，
∴，
∴，∴，
∴的取值范圍為.
故選：A
二、多選題
9．（2022·高一課時練習(xí)）（多選）下列等式中錯誤的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】先證明和差化積公式，然后驗證各選項．
【詳解】因為，
，
從而有，，
對于A，；
對于B，；
對于C，；
對于D．．
故選：ABC．
10．（2023秋·廣東廣州·高一廣州市真光中學(xué)校考期末）下列各式中，值為的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】對于A，采用降冪公式，結(jié)合特殊角三角函數(shù)，可得答案；
對于B，根據(jù)特殊角三角函數(shù)，結(jié)合正切的和角公式，可得答案；
對于C，根據(jù)輔助角公式，結(jié)合特殊角三角函數(shù)，可得答案；
對于D，根據(jù)積化和差公式，結(jié)合特殊角三角函數(shù)，可得答案.
【詳解】對于A，
，故A正確；
對于B，，故B正確；
對于C，
，故C錯誤；
對于D，

，故D正確；
故選：ABD.
三、填空題
11．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）函數(shù)的最小正周期為________．
【答案】
【分析】化簡得到，進而求出最小正周期.
【詳解】，所以最小正周期為，
故答案為：
12．（2022春·上海徐匯·高一上海市徐匯中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則__．
【答案】
【分析】根據(jù)半角公式或二倍角公式變形即可求解.
【詳解】依題意，
．
故答案為：.
四、解答題
13．（2020·高一課時練習(xí)）求證：
（1）．
（2）．
【答案】（1）見解析 （2）見解析
【解析】（1）利用二倍角公式、同角三角函數(shù)關(guān)系化簡整理即可證得結(jié)論；
（2）采用切化弦的方式，利用二倍角公式整理即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）左邊
右邊
故原式成立．
（2）左邊右邊
故原式成立．
14．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知.
(1)若在第二象限，求的值；
(2)已知，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合半角公式得，故，，再根據(jù)二倍角公式計算即可.
（2）由題知，再結(jié)合正切的和角公式求解即可.
【詳解】（1）解： ，∴
∵在第二象限，∴，，
∴
（2）解：
∴，
15．（2022秋·江蘇宿遷·高一泗陽縣實驗高級中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù).
(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；
(2)若，，求的值.
【答案】(1)最大值為2，最小值為.
(2)
【分析】（1）由二倍角公式、兩角和的正弦展開式得，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性與范圍可得答案；
（2）由得，利用平方關(guān)系得到，再利用展開可得答案.
【詳解】（1）由得，因為，則，故當(dāng)時，取最大值2；當(dāng)時，取最小值；
所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2，最小值為.
（2）由（1）可知，
又因為，所以，
由，得，
從而，
所以
.
16．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知，，，
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及誘導(dǎo)公式，再利用角湊配
及兩角差的余弦公式即可求解；
（2）根據(jù)已知條件及二倍角公式，再結(jié)合半角公式即可求解.
【詳解】（1）∵，∴，
∴，
， ，
∴，
∵
∴
∴
（2）由得
∴①
將①式兩邊平方得∴②
∵
∴
③
由①和③得
.

相關(guān)試卷

專題03 兩角和與差的三角函數(shù)（知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末?？伎键c精講精練（蘇教版必修第二冊）：

這是一份專題03 兩角和與差的三角函數(shù)（知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末?？伎键c精講精練（蘇教版必修第二冊），文件包含專題03兩角和與差的三角函數(shù)知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練原卷版docx、專題03兩角和與差的三角函數(shù)知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共30頁， 歡迎下載使用。

專題02 向量基本定理與坐標(biāo)運算（知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末常考考點精講精練（蘇教版必修第二冊）：

這是一份專題02 向量基本定理與坐標(biāo)運算（知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末?？伎键c精講精練（蘇教版必修第二冊），文件包含專題02向量基本定理與坐標(biāo)運算知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練原卷版docx、專題02向量基本定理與坐標(biāo)運算知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共31頁， 歡迎下載使用。

專題01 向量的概念與運算（知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末?？伎键c精講精練（蘇教版必修第二冊）：

這是一份專題01 向量的概念與運算（知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末?？伎键c精講精練（蘇教版必修第二冊），文件包含專題01向量的概念與運算知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練原卷版docx、專題01向量的概念與運算知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共36頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

專題13 概率綜合（知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末考點大串講（人教A版2019必修第二冊）

專題13 概率綜合（知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末考點大串講（人教A版2019必修第二冊）
專題12 統(tǒng)計綜合（知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末考點大串講（人教A版2019必修第二冊）

專題12 統(tǒng)計綜合（知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末考點大串講（人教A版2019必修第二冊）
專題05 條件概率（知識串講 熱考題型 專題訓(xùn)練）-2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末考點大串講（人教A版2019）

專題05 條件概率（知識串講 熱考題型 專題訓(xùn)練）-2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末考點大串講（人教A版2019）
專題05 函數(shù)概念與性質(zhì)（知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末考點大串講（蘇教版2019必修第一冊）

專題05 函數(shù)概念與性質(zhì)（知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末考點大串講（蘇教版2019必修第一冊）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期中專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部