專題03 不等式  （一）不等式的性質(zhì)1.比較大小的常用方法(1)作差法一般步驟：①作差；②變形；③定號(hào)；④結(jié)論．其中關(guān)鍵是變形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式．當(dāng)兩個(gè)式子都為正數(shù)時(shí)，有時(shí)也可以先平方再作差．(2)作商法一般步驟：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關(guān)系；④結(jié)論．*(3)函數(shù)的單調(diào)性法將要比較的兩個(gè)數(shù)作為一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系．2．判斷不等式是否成立的方法(1)判斷不等式是否成立，需要逐一給出推理判斷或反例說明．(2)在判斷一個(gè)關(guān)于不等式的命題的真假時(shí)，可結(jié)合不等式的性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷．3．求代數(shù)式的取值范圍利用不等式性質(zhì)求某些代數(shù)式的取值范圍時(shí)．一般是利用整體思想，通過“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求得整體范圍，是避免錯(cuò)誤的有效途徑．4.不等式性質(zhì)(1)對(duì)稱性：a>b?b<a.(2)傳遞性：a>b，b>c?a>c.(3)可加性：a>b?a＋c>b＋c.(4)可乘性：a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac<bc.(5)加法法則：a>b，c>d?a＋c>b＋d.(6)乘法法則：a>b>0，c>d>0?ac>bd.(7)乘方法則：a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)．(8)開方法則：a>b>0?>(n∈N，n≥2)．（二）基本（均值）不等式1．重要不等式當(dāng)a、b是任意實(shí)數(shù)時(shí)，有a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立．2．基本不等式當(dāng)a>0，b>0時(shí)有，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立．3.常用推論（1）（）（2）（，）；（3）（三）基本（均值）不等式應(yīng)用1．基本不等式與最值已知x、y都是正數(shù)．(1)若x＋y＝s(和為定值)，則當(dāng)x＝y時(shí)，積xy取得最大值．(2)若xy＝p(積為定值)，則當(dāng)x＝y時(shí)，和x＋y取得最小值．2. 利用基本不等式求解實(shí)際應(yīng)用題的方法(1)此類型的題目往往較長(zhǎng)，解題時(shí)需認(rèn)真閱讀，從中提煉出有用信息，建立數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題求解．(2)當(dāng)運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，若等號(hào)成立的自變量不在定義域內(nèi)時(shí)，就不能使用基本不等式求解，此時(shí)可根據(jù)變量的范圍用對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求解．（四）二次函數(shù)與方程、不等式1．函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸的交點(diǎn)和相應(yīng)方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的關(guān)系函數(shù)圖象判別式符號(hào)(設(shè)判別式Δ＝b2－4ac)Δ＞0Δ＝0Δ＜0與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)210方程的根的個(gè)數(shù)210（五）不等式的解法1.解一元二次不等式的一般步驟(1)化：把不等式變形為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式．(2)判：計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式．(3)求：求出對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程有沒有實(shí)根．(4)寫：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集．*2．分式不等式的解法求解分式不等式的關(guān)鍵是對(duì)原不等式進(jìn)行恒等變形，轉(zhuǎn)化為整式不等式(組)求解．(1) ；(2) 3．含有參數(shù)的不等式的求解，往往需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論．(1)若二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)，首先確定二次項(xiàng)系數(shù)是否為正數(shù)，再考慮分解因式，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，若不易分解因式，則可依據(jù)判別式符號(hào)進(jìn)行分類討論．(2)若二次項(xiàng)系數(shù)為參數(shù)，則應(yīng)先考慮二次項(xiàng)系數(shù)是否為零，確定不等式是不是二次不等式，然后再討論二次項(xiàng)系數(shù)不為零的情形，以便確定解集的形式．(3)對(duì)方程的根進(jìn)行討論，比較大小，以便寫出解集．題型一  不等式的性質(zhì)及應(yīng)用【典例1】（2021·湖南高考真題）若，則（    ）A． B．C． D．【典例2】（2020·慈溪中學(xué)高一月考）下列命題中正確的是（    ）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【典例3】（2022·江蘇·高一）已知，，，則的大小關(guān)系為（    ）A． B． C． D．無法確定【典例4】（2022·江蘇·南京市中華中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，.(1)分別求a，c的取值范圍；(2)求的取值范圍.【特別提醒】1.比較兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式的大小的三種方法(1)當(dāng)兩個(gè)數(shù)(或式子)正負(fù)未知且為多項(xiàng)式時(shí)，用作差法．步驟：①作差；②變形；③判斷差的符號(hào)；④下結(jié)論．變形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方；④分子、分母有理化；⑤通分．(2)作商法：要求兩個(gè)數(shù)(或式子)為正數(shù)．步驟：①作商；②變形；③判斷商與1的大?。虎芟陆Y(jié)論．(3)特殊值法：對(duì)于比較復(fù)雜的代數(shù)式比較大小，利用不等式的性質(zhì)不易比較大小時(shí)，可以采用特殊值法比較．
2．判斷不等式是否成立的方法(1)不等式性質(zhì)法：直接利用不等式的性質(zhì)逐個(gè)驗(yàn)證，利用不等式的性質(zhì)時(shí)要特別注意前提條件．(2)特殊值法：利用特殊值排除錯(cuò)誤答案．3．利用不等式的性質(zhì)求取值范圍的方法(1)已知x，y的范圍，求F(x，y)的范圍．可利用不等式的性質(zhì)直接求解．(2)已知f(x，y)，g(x，y)的范圍，求F(x，y)的范圍．可利用待定系數(shù)法解決，即設(shè)F(x，y)＝mf(x，y)＋ng(x，y)，用恒等變形求得m，n，再利用不等式的性質(zhì)求得F(x，y)的取值范圍．題型二  利用基本不等式證明不等式【典例5】【多選題】（2021·江蘇揚(yáng)州·高一期中）若，，，則下列不等式中對(duì)一切滿足條件的，恒成立的是（    ）A． B． C． D．【典例6】【多選題】（2021·徐州市第三十六中學(xué)（江蘇師范大學(xué)附屬中學(xué)）高一期中）設(shè)a＞0，b＞0，則（       ）A． B．C． D．【典例7】（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）已知均為正實(shí)數(shù)，且滿足證明：(1)；(2)．【方法技巧】利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，要從整體上把握運(yùn)用基本不等式，對(duì)不滿足使用基本不等式條件的可通過“變形”來轉(zhuǎn)換，常見的變形技巧有：拆項(xiàng)，并項(xiàng)，也可乘上一個(gè)數(shù)或加上一個(gè)數(shù)，“1”的代換法等．題型三：利用基本不等式求最值【典例8】【多選題】（2021·江蘇·鹽城市田家炳中學(xué)高一期中）以下結(jié)論正確的是（    ）A．函數(shù)的最小值是2；B．若且，則；C．的最小值是2；D．函數(shù)的最大值為0．【典例9】（2021·江蘇·姜堰中學(xué)高一期中）設(shè)，若，則的最大值是___________.【典例10】（2022·江蘇·高一）已知，，且，則的最小值是________.【典例11】（2021·江蘇省溧陽(yáng)中學(xué)高一期中）設(shè)實(shí)數(shù)，若函數(shù)的最小值為6，則________.【典例12】（2021·天津·高考真題）若，則的最小值為____________．【規(guī)律方法】1.利用基本不等式求最值的三種方法2.利用均值不等式求最值遵循的原則：“一正二定三等”（1）正：使用均值不等式所涉及的項(xiàng)必須為正數(shù)，如果有負(fù)數(shù)則考慮變形或使用其它方法（2）定：使用均值不等式求最值時(shí)，變形后的一側(cè)不能還含有核心變量.（3）等：若能利用均值不等式求得最值，則要保證等號(hào)成立，要注意以下兩點(diǎn)：① 若求最值的過程中多次使用均值不等式，則均值不等式等號(hào)成立的條件必須能夠同時(shí)成立（彼此不沖突）② 若涉及的變量有初始范圍要求，則使用均值不等式后要解出等號(hào)成立時(shí)變量的值，并驗(yàn)證是否符合初始范圍.題型四：基本不等式的實(shí)際應(yīng)用【典例13】（2021·江蘇揚(yáng)州·高一期中）為響應(yīng)創(chuàng)建文明衛(wèi)生城市的號(hào)召，某校計(jì)劃在學(xué)?？盏亟ㄔO(shè)一個(gè)面積為的長(zhǎng)方形花草坪，如圖所示，花草坪中間設(shè)計(jì)一個(gè)矩形種植花卉，矩形上下各留左右各留種植草坪，設(shè)花草坪長(zhǎng)度為（單位：），寬度為（單位：），矩形的面積為（單位：）.(1)試用表示；(2)求的最大值，并求出此時(shí)的值.【典例14】（2021·江蘇高考真題）某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本萬元與年產(chǎn)量噸之間的函數(shù)關(guān)系可以近似地表示為，已知此生產(chǎn)線的年產(chǎn)量最小為60噸，最大為110噸.（1）年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低?并求最低平均成本;（2）若每噸產(chǎn)品的平均出廠價(jià)為24萬元，且產(chǎn)品能全部售出，則年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)?并求最大利潤(rùn).【規(guī)律方法】1.用均值不等式解決此類問題時(shí)，應(yīng)按如下步驟進(jìn)行：(1)理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時(shí)一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；(4)正確寫出答案.2.利用基本不等式求解實(shí)際應(yīng)用題注意點(diǎn)：(1)此類型的題目往往較長(zhǎng)，解題時(shí)需認(rèn)真閱讀，從中提煉出有用信息，建立數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題求解．(2)當(dāng)運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，若等號(hào)成立的自變量不在定義域內(nèi)時(shí)，就不能使用基本不等式求解，此時(shí)可根據(jù)變量的范圍用對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求解．【易錯(cuò)警示】忽視不等式等號(hào)成立的條件！題型五：二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用【典例15】（2020·山東·高考真題）已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，則不等式的解集是（       ）A． B． C． D．【典例16】（2021·江蘇·海安高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）不等式的解集是，則下列結(jié)論正確的是（   ）A． B．C． D．題型六：一元二次不等式的解法【典例17】（2022·江蘇省如皋中學(xué)高一開學(xué)考試）不等式的解集為（    ）A．或 B．C．或 D．【典例18】（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）若不等式的解集為，則不等式的解集是（    ）A． B．或C． D．【典例19】解不等式：ax2－(a＋1)x＋1＜0.（a為實(shí)數(shù)）【特別提醒】含參不等式的解法：(1)當(dāng)判別式Δ能寫成一個(gè)式子的平方的形式時(shí)，可先求方程的兩根，再討論兩根的大小，從而寫出解集．(2)三個(gè)方面討論：二次項(xiàng)系數(shù)的討論，根有無的討論，根大小的討論．(3)含參數(shù)分類討論問題最后要寫綜述．題型七：一元二次不等式恒成立問題【典例20】（2021·四川省南充高級(jí)中學(xué)高二期中（文））若命題“，”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________.【典例21】（2022·江蘇·高一）設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為______．【規(guī)律方法】一元二次不等式恒成立問題的解法(1)函數(shù)法(圖象法)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．①f(x)＞0在x∈R上恒成立?a＞0且Δ＜0；②f(x)＜0在x∈R上恒成立?a＜0且Δ＜0；③當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)＞0在x∈[α，β]上恒成立? 或或f(x)＜0在x∈[α，β]上恒成立? ④當(dāng)a＜0時(shí)，f(x)＞0在x∈[α，β]上恒成立?；f(x)＜0在x∈[α，β]上恒成立?或或(2)最值法對(duì)于含參數(shù)的不等式恒成立問題，常通過分離參數(shù)，把求參數(shù)的范圍問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．a＞f(x)恒成立?a＞f(x)max，a＜f(x)恒成立?a＜f(x)min.一、單選題1．（2022·江蘇·南京市中華中學(xué)高一階段練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（    ）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則2．（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集是（    ）A． B．或 C． D．或3．（2021·江蘇·鹽城市田家炳中學(xué)高一期中）不等式的解集是（    ）A． B． C． D．或4．（2022·江蘇·南京市中華中學(xué)高一階段練習(xí)）若命題“對(duì)任意的，恒成立”為假命題，則m的取值范圍為（    ）A． B． C． D．5．（2022·江蘇省如皋中學(xué)高一開學(xué)考試）命題“”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A．或 B．C． D．6．（2021·江蘇·高一單元測(cè)試）已知，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A．或 B．或C． D．7．（2022·江蘇·高一）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)在半圓上，點(diǎn)在直徑上，且，設(shè)，，則該圖形可以完成的無字證明為（    ）A． B．C． D．8．（2021·江蘇·揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）下列命題，錯(cuò)誤的是（    ）A．若，則的最小值為2 B．若，則的最小值為2C．若，則的最小值為2 D．若，則的最小值為2二、多選題9．（2022·江蘇省天一中學(xué)高一期末）已知、、、均為非零實(shí)數(shù)，則下列一定正確的有（    ）A． B．C．若，則 D．若，，則10．（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）已知，，且，則（    ）A．xy的取值范圍是 B．的取值范圍是C．的最小值是3 D．的最小值是11．（2020·江蘇·明達(dá)中學(xué)高一階段練習(xí)）在R上定義運(yùn)算：，若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的可能取值為（    ）A． B． C． D．12．（2022·江蘇南通·高一開學(xué)考試）已知不等式的解集是，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（    ）.A．B．若不等式的解集為，則C．若不等式的解集為，則D．若不等式的解集為，且，則三、填空題13．（2022·江蘇省響水中學(xué)高一開學(xué)考試）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為______．14．（2021·江蘇·無錫市市北高級(jí)中學(xué)高一期中）已知，，且滿足，則的最大值為__________.15．（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）已知不等式的解集是，，則不等式的解集是____________.16．（2022·江蘇·高一）已知，，，則的最小值為__．四、解答題17．（2020·江蘇·明達(dá)中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)，，比較與的大小18．（2021·江蘇·鹽城市田家炳中學(xué)高一期中）設(shè)全集，集合，集合，其中．(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若“”是“”的充分條件，求的取值范圍．19．（2021·江蘇·鹽城市田家炳中學(xué)高一期中）若正數(shù)，，滿足．(1)求的最大值；(2)求的最小值．20．（2021·江蘇·鹽城市田家炳中學(xué)高一期中）已知不等式的解集為．(1)求實(shí)數(shù)，的值；(2)解關(guān)于的不等式（其中為實(shí)數(shù)）．21．（2021·江蘇·揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)高一期中）（1）已知，比較與的大小；（2）已知正數(shù)，滿足，證明：22．（2022·江蘇·高一）為宣傳2022年北京冬奧會(huì)，某公益廣告公司擬在一張矩形海報(bào)紙（記為矩形，如圖）上設(shè)計(jì)三個(gè)等高的宣傳欄（欄面分別為一個(gè)等腰三角形和兩個(gè)全等的直角梯形），宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為.為了美觀，要求海報(bào)上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為.設(shè)直角梯形的高為.(1)當(dāng)時(shí)，求海報(bào)紙的面積；(2)為節(jié)約成本，應(yīng)如何選擇海報(bào)紙的尺寸，可使用紙量最少（即矩形的面積最小）？
 

相關(guān)試卷

【寒假作業(yè)】蘇教版2019 高中數(shù)學(xué) 高一寒假提升訓(xùn)練 專題03 不等式（14大考點(diǎn)，知識(shí)串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）-：

這是一份【寒假作業(yè)】蘇教版2019 高中數(shù)學(xué) 高一寒假提升訓(xùn)練 專題03 不等式（14大考點(diǎn)，知識(shí)串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）-，文件包含寒假作業(yè)蘇教版2019高中數(shù)學(xué)高一寒假提升訓(xùn)練專題03不等式14大考點(diǎn)知識(shí)串講+熱考題型+專題訓(xùn)練原卷版講義docx、寒假作業(yè)蘇教版2019高中數(shù)學(xué)高一寒假提升訓(xùn)練專題03不等式14大考點(diǎn)知識(shí)串講+熱考題型+專題訓(xùn)練解析版講義docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共53頁(yè)， 歡迎下載使用。

專題03 計(jì)數(shù)原理、排列、組合（知識(shí)串講 熱考題型 專題訓(xùn)練）-2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末考點(diǎn)大串講（蘇教版2019選擇性必修第二冊(cè)）：

這是一份專題03 計(jì)數(shù)原理、排列、組合（知識(shí)串講 熱考題型 專題訓(xùn)練）-2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末考點(diǎn)大串講（蘇教版2019選擇性必修第二冊(cè)），文件包含專題03計(jì)數(shù)原理排列組合解析版docx、專題03計(jì)數(shù)原理排列組合原卷版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共63頁(yè)， 歡迎下載使用。

專題03 排列與組合（知識(shí)串講 熱考題型 專題訓(xùn)練）-2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末考點(diǎn)大串講（人教A版2019）：

這是一份專題03 排列與組合（知識(shí)串講 熱考題型 專題訓(xùn)練）-2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末考點(diǎn)大串講（人教A版2019），文件包含專題03排列與組合解析版docx、專題03排列與組合原卷版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共41頁(yè)， 歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

專題05 函數(shù)概念與性質(zhì)（知識(shí)串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末考點(diǎn)大串講（蘇教版2019必修第一冊(cè)）

專題05 函數(shù)概念與性質(zhì)（知識(shí)串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末考點(diǎn)大串講（蘇教版2019必修第一冊(cè)）
專題04 指數(shù)與對(duì)數(shù) （知識(shí)串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末考點(diǎn)大串講（蘇教版2019必修第一冊(cè)）

專題04 指數(shù)與對(duì)數(shù) （知識(shí)串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末考點(diǎn)大串講（蘇教版2019必修第一冊(cè)）
專題02 常用邏輯用語(yǔ) （知識(shí)串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末考點(diǎn)大串講（蘇教版2019必修第一冊(cè)）

專題02 常用邏輯用語(yǔ) （知識(shí)串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末考點(diǎn)大串講（蘇教版2019必修第一冊(cè)）
專題01 集合 （知識(shí)串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末考點(diǎn)大串講（蘇教版2019必修第一冊(cè)）

專題01 集合 （知識(shí)串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末考點(diǎn)大串講（蘇教版2019必修第一冊(cè)）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期中專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部