空間中直線與平面的位置關系
(1)位置關系：有且只有三種
①直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個公共點；
②直線與平面相交——有且只有一個公共點；
③直線與平面平行——沒有公共點．
直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外．
【點撥】“直線與平面不相交”和“直線與平面沒有公共點”表示不同的意義，前者包括直線與平面平行及直線在平面內(nèi)這兩種情況，而后者僅指直線與平面平行．
(2)符號表示：直線l在平面α內(nèi)，記為l?α；直線l與平面α相交于點M，記為l∩α＝M；直線l與平面α平行，記為l∥α．
(3)圖示：直線l在平面α內(nèi)，如圖a所示；直線l與平面α相交于點M，如圖b所示；直線l與平面α平行，如圖c所示．
直線與平面平行
1.直線與平面平行的判定定理
（1）定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.
（2）圖形語言：
（3）符號語言：a?α，b?α，且a∥b?a∥α；即：
（4）作用：證明直線與平面平行
2.直線與平面平行的性質(zhì)定理
（1）定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行.
（2）圖形語言：
（3）符號語言：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b
（4）作用：證明兩直線平行.
（三）直線與平面垂直
1. 直線與平面垂直
（1）定義：如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直.
（2）記法：l⊥α
（3）有關概念：直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面.它們唯一的公共點P叫做垂足.
（4）圖示與畫法：畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直.
2. 直線與平面垂直的判定定理
（1）定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直
（2）圖形語言
（3）符號語言：l⊥a，l⊥b，a?α，b?α， a∩b＝P?l⊥α
（4）作用：判斷直線與平面垂直.
3. 直線與平面垂直的性質(zhì)定理
（1）定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行
（2）圖形語言：
（3）符號語言：a⊥α，b⊥α?a∥b
（4）作用：證明兩直線平行.
（四）兩平面的位置關系
(1)位置關系：有且只有兩種
①兩個平面平行——沒有公共點；
②兩個平面相交——有一條公共直線．
(2)符號表示：兩個平面α、β平行，記為α∥β；兩個平面α、β相交于直線l，記為α∩β＝l．
(3)圖示：兩個平面α、β平行，如圖a所示；兩個平面α、β相交于直線l，如圖b所示．
（五）兩平面平行
1.判定定理
（1）定理：一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行
（2）圖形語言：
（3）符號語言：a?β，b?β， a∩b＝P，a∥α，b∥α?α∥β
（3）作用：證明兩個平面平行
2.性質(zhì)定理
（1）定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行.
（2）圖形語言：
（3）符號語言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?__a∥b__
（4）作用：證明兩直線平行
（六）兩平面垂直
1.二面角
（1）有關概念：平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常稱為半平面．從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面．
（2）平面角：在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，則這兩條射線構成的角叫做這個二面角的平面角.

如圖，OA?α，OB?β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l?∠AOB是二面角的平面角.
（3）范圍：[0，π]
（4）記法：棱為l，面分別為α，β的二面角記為α－l－β.如圖所示，也可在α，β內(nèi)(棱以外的半平面部分)分別取點P，Q，將這個二面角記作二面角P－l－Q
（5）度量：二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角
2.判定定理
（1）定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直
（2）圖形語言：
（3）符號語言：l⊥α，l?β?α⊥β
（4）作用：判斷兩平面垂直
3. 性質(zhì)定理
（1）定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直
（2）圖形語言：
（3）符號語言：α⊥β，l?β，α∩β＝a，l⊥a?l⊥α
（4）作用：證明直線與平面垂直
題型一 平行、垂直相關命題的判定
【典例1】（2023·全國·高一專題練習）已知三個不同的平面α，β，γ和兩條不重合的直線m，n，則下列四個命題中正確的是（ ）
A．若則
B．若則
C．若則
D．若則
【典例2】（2021春·江蘇無錫·高一江蘇省江陰市第一中學?？茧A段練習）設l是直線，是兩個不同的平面（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【總結提升】
1.平行關系的轉(zhuǎn)化：線線平行線面平行面面平行
2.垂直關系的轉(zhuǎn)化：
3.垂直、平行關系 的轉(zhuǎn)化
題型二 直線與平面平行的判定與證明
【典例3】（2023春·全國·高一專題練習）如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，、分別是、的中點．證明：平面．
【典例4】（2023春·全國·高一專題練習）如圖①，在直角梯形中，，，，為的中點，、、分別為、、的中點，將沿折起，得到四棱錐，如圖②.求證：在四棱錐中，平面.
【總結提升】
1.證明線面平行的常用方法與思路
證明直線與平面平行的關鍵是設法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，解題的思路是利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)，或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行．
2.證明線面平行有兩種常用方法：一是線面平行的判定定理；二是先利用面面平行的判定定理證明面面平行，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)證明線面平行．
題型三 直線與平面平行的性質(zhì)及應用
【典例5】（2023春·全國·高一專題練習）正四棱錐的底面邊長為1，側棱長為2，點，分別在和上，并且，平面，則線段的長為______．
【典例6】（2023春·全國·高一專題練習）如圖，四棱錐中，，，點為上一點，為，且平面.
(1)若平面與平面的交線為，求證：平面；
(2)求證：.
【總結提升】
1.應用線面平行性質(zhì)定理的關鍵是確定交線的位置，有時需要經(jīng)過已知直線作輔助平面來確定交線．
2.在應用線面平行的判定定理進行平行轉(zhuǎn)化時，一定注意定理成立的條件，通常應嚴格按照定理成立的條件規(guī)范書寫步驟，如：把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時，必須說清經(jīng)過已知直線的平面和已知平面相交，這時才有直線與交線平行．
題型四 面面平行的判定與證明
【典例7】（2023春·全國·高一專題練習）（1）敘述兩個平面平行的判定定理，并證明;
（2）如圖，正方體中，分別為的中點，求證:平面平面.
【典例8】（2023·全國·高一專題練習）如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點．求證：
(1)B，C，H，G四點共面；
(2)平面EFA1平面BCHG.
【總結提升】
1.證明兩個平面平行的方法有：
①用定義，此類題目常用反證法來完成證明；
②用判定定理或推論(即“線線平行?面面平行”)，通過線面平行來完成證明；
③根據(jù)“垂直于同一條直線的兩個平面平行”這一性質(zhì)進行證明(l⊥α，l⊥β?α∥β)；
④借助“傳遞性”來完成(α∥β，β∥γ?α∥γ)．
2.面面平行問題常轉(zhuǎn)化為線面平行，而線面平行又可轉(zhuǎn)化為線線平行，需要注意轉(zhuǎn)化思想的應用．
題型五 平面與平面平行的性質(zhì)及應用
【典例9】（2023·全國·高一專題練習）如圖，直線被三個平行平面所截．求證：．
【典例10】（2023·高一課時練習）如圖，平面平面平面，異面直線 分別與平面 相交于點和點．已知，，，求、、的長．
【規(guī)律方法】
(1)兩平面平行，構造與之相交的第三個平面，可得交線平行．
(2)兩平面平行，其中一個平面內(nèi)的任意一條直線與另一個平面平行，可用于證明線面平行．
題型六 線面垂直的判定與證明
【典例11】（2023春·全國·高一專題練習）如圖所示的長方體中，底面是邊長為2的正方形，O為與的交點，，M是線段的中點.
(1)求證：平面；
(2)求證：平面.
【典例12】（2023·全國·高一專題練習）如圖，正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，
(1)求證：.
(2)求證：.
【規(guī)律方法】
證明線面垂直的常用方法及關鍵
(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質(zhì)．
(2)證明線面垂直的關鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)．因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想．
題型七 線線垂直的判定與證明
【典例13】（2023·全國·高一專題練習）如圖所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2.將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D－ABC.求證：BC⊥平面ACD.
【典例14】（2023春·全國·高一專題練習）如圖，已知四邊形和四邊形都是直角梯形，，，，，，．設分別為的中點．證明：.
【規(guī)律方法】
證明線線垂直的基本方法：
(1)證明一條直線垂直于經(jīng)過另一直線的平面，稱之為線面垂直法．
(2)計算兩條直線所成角等于90°，稱之為計算角度法
題型八 面面垂直的判定與證明
【典例15】（2023·全國·高一專題練習）如圖，在邊長為a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求證：平面PDB⊥平面PAC.
【典例16】（2023·全國·高一專題練習）如圖所示，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，分別是的中點.求證：
(1)平面PCE
(2)平面平面
【規(guī)律方法】
1.面面垂直判定的兩種方法與一個轉(zhuǎn)化
(1)兩種方法：
①面面垂直的定義；
②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．
(2)一個轉(zhuǎn)化：
在已知兩個平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進行轉(zhuǎn)化．在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．
2．證面面垂直的思路
(1)關鍵是考慮證哪條線垂直哪個面．這必須結合條件中各種垂直關系充分發(fā)揮空間想象綜合考慮．
(2)條件中告訴我們某種位置關系，就要聯(lián)系到相應的性質(zhì)定理，如已知兩平面互相垂直，我們就要聯(lián)系到兩平面互相垂直的性質(zhì)定理．
題型九 面面垂直性質(zhì)的應用
【典例17】（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預測）已知四棱錐的五個頂點都在球面O上，底面ABCD是邊長為4的正方形，平面平面ABCD，且，則球面O的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【典例18】（2023·全國·高一專題練習）直三棱柱的所有棱長均為2，以為球心，為半徑的球面與側面的交線長為______．
【規(guī)律方法】
1.在垂直關系的證明中，線線垂直是問題的核心，可以根據(jù)已知的平面圖形通過計算的方式(如勾股定理)證明線線垂直，也可以根據(jù)已知的垂直關系證明線線垂直．
2.兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運用時要注意“平面內(nèi)的直線”．
3.兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面．
題型十 平行、垂直的綜合問題
【典例19】（2021秋·陜西渭南·高一?？茧A段練習）如圖1，已知菱形的對角線交于點，四邊形是平行四邊形.將三角形沿線段折起到的位置，如圖2所示.
(1)求證：；
(2)在線段上是否分別存在點，使得平面平面？若存在，請指出點的位置，并證明；若不存在，請說明理由.
【典例20】（2023·全國·高一專題練習）如圖，已知四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，AD⊥CD，，CD=2AB．
(1)求證：平面PAB⊥平面PAD；
(2)在側棱PC上是否存在點M，使得平面PAD，若存在，確定點M位置；若不存在，說明理由．
【規(guī)律方法】
1.存在、探索性問題解答策略：
(1)對于線面關系中的存在性問題，首先假設存在，然后在該假設條件下，利用線面關系的相關定理、性質(zhì)進行推理論證，尋找假設滿足的條件，若滿足則肯定假設，若得出矛盾的結論則否定假設．
(2)對于探索性問題用向量法比較容易入手，一般先假設存在，設出空間點的坐標，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問題，若有解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在．
2.易錯提醒：
（1）在推證線面平行時，一定要強調(diào)直線不在平面內(nèi)，否則，會出現(xiàn)錯誤.
（2）線面平行關系證明的難點在于輔助面和輔助線的添加，在添加輔助線、輔助面時一定要以某一性質(zhì)定理為依據(jù)，絕不能主觀臆斷.
（3）解題中注意符號語言的規(guī)范應用.
一、單選題
1．（2023·全國·高一專題練習）已知m，n是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列結論正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
2．（2023·全國·高一專題練習）如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·高一單元測試）已知在正方體中，交于點，則（ ）
A．平面B．平面
C．平面D．
4．（2023·全國·高一專題練習）已知兩條不同的直線與兩個不同的平面，則下列結論中正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，，，則
C．若，，則
D．若，，則
5．（2023·全國·高一專題練習）m，n表示直線，α，β，γ表示平面，給出下列結論：
①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β，
②若α⊥β，m⊥α，n⊥β，則m⊥n，
③若α∩β＝m，n?α，n⊥m，則n⊥β，
④若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，則n⊥m，
其中正確的結論個數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．3
6．（2020春·江蘇徐州·高一?？计谥校┰Om，n是不同的直線，α、β、γ是不同的平面，有以下四個命題：①；② ；③ ；④ .其中正確的命題是（ ）
A．①④B．②③
C．①③D．②④
7．（2023春·全國·高一專題練習）如圖一，矩形中，，交對角線于點，交于點，現(xiàn)將沿翻折至的位置，如圖二，點為棱的中點，則下列判斷一定成立的是（ ）
A．B．平面
C．平面D．平面平面
二、多選題
8．（2023·高一單元測試）如圖，用正方體ABCD一A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點，則下列說法正確的是（ ）
A．MN與CC1垂直
B．MN與AC垂直
C．MN與BD平行
D．MN與A1B1平行
9.（2023春·全國·高一專題練習）如圖，長方體被平面BCFE截成兩個幾何體，其中E，F(xiàn)分別在和上，且，則以下結論正確的是（ ）
A．B．平面
C．幾何體為棱臺D．幾何體為棱柱
10．（2023·全國·高一專題練習）如圖，在長方體中，M，N分別為棱，的中點，則下列判斷正確的是（ ）.
A．直線與是異面直線B．平面
C．平面D．
11．（2023·全國·高一專題練習）如圖，在正方體中，下列結論正確的是（ ）
A．平面B．平面
C．平面平面D．平面平面
三、填空題
12.（2023春·上海浦東新·高二華師大二附中校考階段練習）在矩形ABCD中，，，現(xiàn)將△CBD沿對角線BD翻折，使得平面ABD與平面CBD垂直，此時A、C兩點之間的距離為_____________
四、解答題
13．（2023春·全國·高一專題練習）如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且邊長為的菱形，側面PAD為正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD．
(1)若G為AD邊的中點，求證：BG⊥平面PAD；
(2)若E為BC邊的中點，能否在棱PC上找一點F，使得PA//平面DEF？并證明你的結論．
14.（2023春·全國·高一專題練習）如圖，在三棱柱中，底面是中點，與相交于點.
(1)證明： 平面；
(2)若四邊形是正方形，，求證：平面平面.
15．（2023·全國·高一專題練習）如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，分別為的中點.
(1)證明：AF平面；
(2)在線段上是否存在一點，使得平面，并給出必要的證明.
16．（2023·河南·開封高中校考模擬預測）如圖所示，正方形與矩形所在平面互相垂直，，，E為線段上一點．
(1)當∥平面，求證：為的中點；
(2)在線段上是否存在點，使得平面平面？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．

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