2024年中考數(shù)學(xué)沖刺挑戰(zhàn)壓軸題專題匯編(江西專用)02挑戰(zhàn)壓軸題(填空題)(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1． (2023·江西）如圖，在邊長為的正六邊形中，連接，，其中點(diǎn)，分別為和上的動(dòng)點(diǎn)，若以，，為頂點(diǎn)的三角形是等邊三角形，且邊長為整數(shù)，則該等邊三角形的邊長為______．
2． (2023·江西）矩形紙片，長，寬，折疊紙片，使折痕經(jīng)過點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，點(diǎn)落在點(diǎn)處，展平后得到折痕，同時(shí)得到線段，，不再添加其它線段，當(dāng)圖中存在角時(shí)，的長為__________厘米．
3． (2023·江西）在平面直角坐標(biāo)系中，三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在直線上，若，于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為__________________．
4．（2018·江西）在正方形中，=6，連接，，是正方形邊上或?qū)蔷€上一點(diǎn)，若=2，則的長為____________ .
5．（2017·江西）已知點(diǎn)A(0，4)，B(7，0)，C(7，4)，連接AC，BC得到矩形AOBC，點(diǎn)D的邊AC上，將邊OA沿OD折疊，點(diǎn)A的對應(yīng)邊為．若點(diǎn)到矩形較長兩對邊的距離之比為1：3，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．
1． (2023·云南·中考真題）已知的三個(gè)頂點(diǎn)都是同一個(gè)正方形的頂點(diǎn)，的平分線與線段交于點(diǎn)D．若的一條邊長為6，則點(diǎn)D到直線的距離為__________．
2． (2023·浙江紹興·九年級(jí)學(xué)業(yè)考試）如圖，把邊長為4的正方形紙片分成五塊，其中點(diǎn)為正方形的中心，點(diǎn)，，，分別為，，，的中點(diǎn)．用這五塊紙片拼成與此正方形不全等的四邊形（要求這五塊紙片不重疊無縫隙），則四邊形的周長是______．
3． (2023·黑龍江齊齊哈爾·九年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)A在x軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，OB＝2，連接AB，△ABP與△ABO關(guān)于直線AB對稱．點(diǎn)C、點(diǎn)D分別是BO、BA的中點(diǎn)，連接CD并延長交PA于點(diǎn)E，連接PD，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ___時(shí)，△PDE為直角三角形．
4． (2023·四川成都·九年級(jí)期末）黃金分割是指把一條線段分割為兩部分，使較短線段與較長線段的比等于較長線段與原線段的比，其比值等于．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)G為邊BC延長線上一動(dòng)點(diǎn)，連接AG交對角線BD于點(diǎn)H，△ADH的面積記為S1，四邊形DHCG的面積記為S2．如果點(diǎn)C是線段BG的黃金分割點(diǎn)，則的值為___．
5． (2023·江蘇無錫·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，且，C為線段上一點(diǎn)，，若M為y軸上一點(diǎn)，且，設(shè)直線與直線相交于點(diǎn)N，則的長為________．
1． (2023·浙江·八年級(jí)期末）在矩形紙片中，，，，P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，如圖所示，沿折疊紙片，使點(diǎn)A落在矩形內(nèi)，記為，折痕為．若等腰三角形，則到邊的距離為______________．
2． (2023·浙江杭州·七年級(jí)期中）在“妙折生平——折紙與平行”的拓展課上，小潘老師布置了一個(gè)任務(wù)：如圖，有一張三角形紙片ABC，，，點(diǎn)D是AB邊上的固定點(diǎn)（），請?jiān)贐C上找一點(diǎn)E，將紙片沿DE折疊（DE為折痕），點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，使EF與三角形ABC的一邊平行，則為________度．
3． (2023·河南·平頂山市第九中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，點(diǎn)M，N分別在AD，BC上，且3AM＝AD，3BN＝BC，E為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，將DCE沿DE所在直線翻折得到，當(dāng)點(diǎn)恰好落在直線MN上時(shí)，CE的長為___．
4． (2023·廣東·珠海市九洲中學(xué)三模）如圖，正方形中，，，分別交、于、，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的有__________．
5． (2023·江西·贛州市第三中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，射線軸，直線交線段于點(diǎn)B，交x軸于點(diǎn)A，D是射線上一點(diǎn)．若存在點(diǎn)D，使得恰為等腰直角三角形，則b的值為______．
2024年中考數(shù)學(xué)沖刺挑戰(zhàn)壓軸題專題匯編（江西考卷）
02 挑戰(zhàn)壓軸題（填空題）
1． (2023·江西）如圖，在邊長為的正六邊形中，連接，，其中點(diǎn)，分別為和上的動(dòng)點(diǎn)，若以，，為頂點(diǎn)的三角形是等邊三角形，且邊長為整數(shù)，則該等邊三角形的邊長為______．
【答案】9或10或18
【解析】
【分析】
根據(jù)點(diǎn)，分別為和上的動(dòng)點(diǎn)，以，，為頂點(diǎn)的三角形是等邊三角形，先在腦海中生成運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)圖，通過從滿足條件的特殊的情況入手，然后再適當(dāng)左右擺動(dòng)圖形，尋找其它可能存在的解．
【詳解】
解：如下圖：
（1）當(dāng)M，N分別與B，F(xiàn)重合時(shí)，在中，由題意得：
，
易算得：，根據(jù)正多邊形的性質(zhì)得，
，
為等邊三角形，即為等邊三角形，邊長為18，
此時(shí)已為最大張角，故在左上區(qū)域不存在其它解；
（2）當(dāng)M，N分別與DF，DB的中點(diǎn)重合時(shí)，由（1）且根據(jù)三角形的中位線
得：，
，
為等邊三角形，邊長為9，
（3）在（2）的條件下，陰影部分等邊三角形會(huì)適當(dāng)?shù)淖笥覕[動(dòng)，使得存在無數(shù)個(gè)這樣的等邊三角形且邊長會(huì)在到之間，其中包含邊長為，，
，且等邊三角形的邊長為整數(shù)，
邊長在到之間只能取9或10，
綜上所述：該等邊三角形的邊長可以為9或10或18．
故答案是：9或10或18．
【點(diǎn)睛】
本題考查了正多邊形中動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生等邊三角形問題，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)等邊三角形的邊只能取整數(shù)為依據(jù)，進(jìn)行分類討論，難點(diǎn)在于陰部部分等邊三角形向左右適當(dāng)擺動(dòng)時(shí)如何取邊長的整數(shù)值．
2． (2023·江西）矩形紙片，長，寬，折疊紙片，使折痕經(jīng)過點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，點(diǎn)落在點(diǎn)處，展平后得到折痕，同時(shí)得到線段，，不再添加其它線段，當(dāng)圖中存在角時(shí)，的長為__________厘米．
【答案】或或
【解析】
【分析】
分∠ABE=30°或∠AEB=30°或∠ABA′=30°時(shí)三種情況，利用銳角三角函數(shù)進(jìn)行求解即可．
【詳解】
解：當(dāng)∠ABE=30°時(shí)，
∵AB=4cm，∠A=90°，
∴AE=AB·tan30°=cm；
當(dāng)∠AEB=30°時(shí)，則∠ABE=60°，
∵AB=4cm，∠A=90°，
∴AE=AB·tan60°=cm；
當(dāng)∠ABE=15°時(shí)，∠ABA′=30°，延長BA′交AD于F，如下圖所示，
設(shè)AE=x，則EA′=x，，
∵AF=AE+EF=ABtan30°=，
∴，
∴，
∴ cm．
故答案為：或或．
【點(diǎn)睛】
本題考查了矩形與折疊，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，分類討論是解答本題的關(guān)鍵．
3． (2023·江西）在平面直角坐標(biāo)系中，三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在直線上，若，于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為__________________．
【答案】
【解析】
【分析】
先由已知得出，，然后分類討論點(diǎn)的位置從而依次求出每種情況下點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】
解：，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，
軸
點(diǎn)在直線上，
，
如圖：
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)在處時(shí)，要使，即使
即
解得：
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)在處時(shí)，
，
的中點(diǎn)
點(diǎn)為以為圓心，長為半徑的圓與軸的交點(diǎn)
設(shè)，則
即
解得：
，，，
綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為或，或，．
【點(diǎn)睛】
本題考查了動(dòng)點(diǎn)型問題，主要涉及相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，圓的相關(guān)知識(shí)，本題比較復(fù)雜，難度較大．
4．（2018·江西）在正方形中，=6，連接，，是正方形邊上或?qū)蔷€上一點(diǎn)，若=2，則的長為____________ .
【答案】2或或
【解析】
【分析】
根據(jù)題意分情況畫出符合題意的圖形，然后針對每一個(gè)圖形利用勾股定理進(jìn)行求解即可得到答案．
【詳解】
解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB=6，∠BAD=90°，∠DAC=45°，
∴AC=BD=6；
如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在AD上時(shí)，
∵AP+PD=AD=6，PD=2AP，
∴AP=2；
如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，
∵∠PAD=90°，
∴AP2+AD2=DP2，
∵AD=6，PD=2AP，
∴AP2+36=4AP2，
∴AP=；
如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在AC上時(shí)，作PN⊥AD于點(diǎn)N，
設(shè)AN=x，則有DN=6-x，PN=x，
由勾股定理得AP=x，PD=，
∵PD=2AP，
∴=2x，
∴x=或x=（不符合題意，舍去），
∴AP=x=，
當(dāng)點(diǎn)P在其余邊或?qū)蔷€上時(shí)，不存在可以使PD=2AP的點(diǎn)，
綜上，AP的長為2，，，
故答案為2或或．
【點(diǎn)睛】
本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，難度較大，解題的關(guān)鍵是正確畫出符合題意的圖形．
5．（2017·江西）已知點(diǎn)A(0，4)，B(7，0)，C(7，4)，連接AC，BC得到矩形AOBC，點(diǎn)D的邊AC上，將邊OA沿OD折疊，點(diǎn)A的對應(yīng)邊為．若點(diǎn)到矩形較長兩對邊的距離之比為1：3，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．
【答案】
【解析】
【詳解】
解：由點(diǎn)A（0，4），B（7，0），C（7，4），可得BC=OA=4，OB=AC=7，
分兩種情況：
（1）當(dāng)點(diǎn)A'在矩形AOBC的內(nèi)部時(shí)，過A'作OB的垂線交OB于F，交AC于E，如圖1所示：
①當(dāng)A'E：A'F=1：3時(shí)，
∵A'E+A'F=BC=4，
∴A'E=1，A'F=3，
由折疊的性質(zhì)得：OA'=OA=4，
在Rt△OA'F中，由勾股定理得：OF=，
∴A'（，3）；
②當(dāng)A'E：A'F=3：1時(shí)，同理得：A'（，1）；
（2）當(dāng)點(diǎn)A'在矩形AOBC的外部時(shí)，此時(shí)點(diǎn)A'在第四象限，過A'作OB的垂線交OB于F，交AC于E，如圖2所示：∵A'F：A'E=1：3，則A'F：EF=1：2，
∴A'F=EF=BC=2，
由折疊的性質(zhì)得：OA'=OA=4，
在Rt△OA'F中，由勾股定理得：OF==2，
∴A'（2，﹣2）；
故答案為（，3）或（，1）或（2，﹣2）．
考點(diǎn)：1、翻折變換（折疊問題）；2、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；3、矩形的性質(zhì)
1． (2023·云南·中考真題）已知的三個(gè)頂點(diǎn)都是同一個(gè)正方形的頂點(diǎn)，的平分線與線段交于點(diǎn)D．若的一條邊長為6，則點(diǎn)D到直線的距離為__________．
【答案】3或或或
【解析】
【分析】
將△ABC放入正方形中，分∠ABC=90°，∠BAC=90°，再分別分AB=BC=6，AC=6，進(jìn)行解答．
【詳解】
解：∵△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都是同一個(gè)正方形的頂點(diǎn)，
如圖，若∠ABC=90°，
則∠ABC的平分線為正方形ABCD的對角線，D為對角線交點(diǎn)，
過點(diǎn)D作DF⊥AB，垂足為F，
當(dāng)AB=BC=6，
則DF=BC=3；
當(dāng)AC=6，
則AB=BC==，
∴DF=BC=；
如圖，若∠BAC=90°，過點(diǎn)D作DF⊥BC于F，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，AD=DF，
又∠BAD=∠BFD=90°，BD=BD，
∴△BAD≌△BFD（AAS），
∴AB=BF，
當(dāng)AB=AC=6，
則BC=，
∴BF=6，CF=，
在正方形ABEC中，∠ACB=45°，
∴△CDF是等腰直角三角形，則CF=DF=AD=；
當(dāng)BC=6，
則AB=AC==，
同理可得：，
綜上：點(diǎn)D到直線AB的距離為：3或或或，
故答案為：3或或或．
【點(diǎn)睛】
本題考查了正方形的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，知識(shí)點(diǎn)較多，解題時(shí)要結(jié)合題意畫出符合題意的圖形，分情況解答．
2． (2023·浙江紹興·九年級(jí)學(xué)業(yè)考試）如圖，把邊長為4的正方形紙片分成五塊，其中點(diǎn)為正方形的中心，點(diǎn)，，，分別為，，，的中點(diǎn)．用這五塊紙片拼成與此正方形不全等的四邊形（要求這五塊紙片不重疊無縫隙），則四邊形的周長是______．
【答案】20或或或
【解析】
【分析】
根據(jù)拆分開的圖形進(jìn)行拼接，拼成與正方形不同的四邊形即可．
【詳解】
∵正方形邊長為4，點(diǎn)G為正方形中心點(diǎn)F，K，E，H分別為AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)
∴AF=AH=HD=HG=DE=GK=EC=CK=BF=BK=42=2
HF=DG=EK=，HK=4
∴可構(gòu)成圖形如下：
周長為：
周長為：
周長為：
周長為：
故答案為：20或或或．
【點(diǎn)睛】
本題考查了以正方形為背景，圖形的應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖問題，熟練的掌握圖形的拼接技巧是解題的關(guān)鍵．
3． (2023·黑龍江齊齊哈爾·九年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)A在x軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，OB＝2，連接AB，△ABP與△ABO關(guān)于直線AB對稱．點(diǎn)C、點(diǎn)D分別是BO、BA的中點(diǎn)，連接CD并延長交PA于點(diǎn)E，連接PD，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ___時(shí)，△PDE為直角三角形．
【答案】##
【解析】
【分析】
由對折可得：所以分兩種情況討論，如圖，當(dāng)連接延長交于設(shè) 證明四邊形是矩形，可得再利用建立方程求解即可，如圖，當(dāng)時(shí)，證明四邊形是正方形，從而可得答案.
【詳解】
解：由對折可得：
如圖，當(dāng) 連接延長交于設(shè)
分別為BO、BA的中點(diǎn)，

四邊形是矩形，

整理得：
解得：
經(jīng)檢驗(yàn)：不符合題意，所以

如圖，當(dāng)時(shí)，
同理：
則
結(jié)合對折可得：

四邊形是正方形，

綜上，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí)，△PDE為直角三角形．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，一元二次方程的解法，矩形，正方形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，做到清晰的分類討論是解題的關(guān)鍵.
4． (2023·四川成都·九年級(jí)期末）黃金分割是指把一條線段分割為兩部分，使較短線段與較長線段的比等于較長線段與原線段的比，其比值等于．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)G為邊BC延長線上一動(dòng)點(diǎn)，連接AG交對角線BD于點(diǎn)H，△ADH的面積記為S1，四邊形DHCG的面積記為S2．如果點(diǎn)C是線段BG的黃金分割點(diǎn)，則的值為___．
【答案】或．
【解析】
【分析】
由AD∥BC，得△DHG的面積＝△AHB的面積，再由△AHB≌△CHB（SAS），得出S2＝△GBH的面積，然后證△ADH∽△GBH，得＝，分兩種情況：①點(diǎn)C是線段BG的黃金分割點(diǎn)，BC＞CG，則BC＝；②點(diǎn)C是線段BG的黃金分割點(diǎn)，BC＜CG，則BC＝；分別求解即可．
【詳解】
解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，AD∥BC，∠ABH＝∠CBH＝45°，
∴△ABD的面積＝△AGD的面積，
又∵BH＝BH，
∴△AHB≌△CHB（SAS），
∴△AHB的面積＝△DHG的面積，
∴S2＝△GBH的面積，
∵AD∥BC，
∴△ADH∽△GBH，
∴＝（）2，
分兩種情況：
①點(diǎn)C是線段BG的黃金分割點(diǎn)，BC＞CG，
則AD＝BC＝BG，
∴＝（）2＝（）2＝；
②點(diǎn)C是線段BG的黃金分割點(diǎn)，BC＜CG，
則AD＝BC＝BG，
∴＝（）2＝（）2＝；
綜上所述，如果點(diǎn)C是線段BG的黃金分割點(diǎn)，
則的值為或；
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】
本題考查了黃金分割的定義、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形面積等知識(shí)；熟練掌握黃金分割的定義和相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5． (2023·江蘇無錫·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，且，C為線段上一點(diǎn)，，若M為y軸上一點(diǎn)，且，設(shè)直線與直線相交于點(diǎn)N，則的長為________．
【答案】或
【解析】
【分析】
過點(diǎn)C作CD⊥x軸于D，證明△ACD∽△ABO，得到，求出CD和AD，得到點(diǎn)C坐標(biāo)，求出直線OC的解析式，再求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，分兩種情況，聯(lián)立解析式，求出點(diǎn)N坐標(biāo)，利用勾股定理得到ON的長．
【詳解】
解：過點(diǎn)C作CD⊥x軸于D，則∠ADC=∠AOB=90°，
又∵∠CAD=∠BAO，
∴△ACD∽△ABO，
∴，
∵B（0，6），
∴OB=6，
∵∠OAB=30°，
∴AB=2OB=12，
∴AO==，
∵BC：CA=1：2，
∴AC=，
∴BC=AB-AC=4，
∴，
解得：CD=4，AD=，
∴OD=OA-AD=，
∴C（，4），
設(shè)直線OC的解析式為y=kx，將C代入，
則，解得：，
∴直線OC的解析式為，
∵OM：OB=1：2，OB=6，
∴OM=3，
∴M的坐標(biāo)為（3，0）或（-3，0），
當(dāng)M（3，0）時(shí)，記為點(diǎn)M′，設(shè)直線AM′的解析式為y=ax+b，
則，解得：，
∴直線AM′的解析式為，
聯(lián)立直線AM′和直線OC的解析式得，解得：，
∴N（，），
∴ON=；
當(dāng)M（-3，0）時(shí)，同理求得直線AM的解析式為，
聯(lián)立得，解得：，
∴N（，-4），
∴ON==，
綜上：ON的長為或，
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)與二元一次方程組，勾股定理，有一定難度，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，分類討論解決問題．
1． (2023·浙江·八年級(jí)期末）在矩形紙片中，，，，P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，如圖所示，沿折疊紙片，使點(diǎn)A落在矩形內(nèi)，記為，折痕為．若等腰三角形，則到邊的距離為______________．
【答案】或
【解析】
【分析】
分A′C=BC和BA′=A′C兩種情況，畫出圖形，結(jié)合矩形的性質(zhì)和勾股定理分別求解．
【詳解】
解：當(dāng)A′C=BC時(shí)，
∵AQ=A′Q=3，A′C=BC=AD=5，
連接QC，過A′作A′H⊥AD，垂足為H，
∵QD=2，CD=，∠CDA=90°，
∴CQ==4，
∴∠CQD=60°，
∵，
∴∠A′QC=90°，
∴∠AQA′=30°，
∴A′H=A′Q=，
∴點(diǎn)A′到BC的距離為；
當(dāng)BA′=A′C時(shí)，同理：A′Q=3，CQ=4，
過A′作A′H⊥AD，垂足為H，
∵BA′=A′C，
∴點(diǎn)A′在BC的垂直平分線上，
∴HQ=AQ-AH==，
∴A′H==，
∴A′到BC的距離為CD-A′H=，
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】
本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，折疊問題，熟練掌握矩形和翻折變換的性質(zhì)，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．
2． (2023·浙江杭州·七年級(jí)期中）在“妙折生平——折紙與平行”的拓展課上，小潘老師布置了一個(gè)任務(wù)：如圖，有一張三角形紙片ABC，，，點(diǎn)D是AB邊上的固定點(diǎn)（），請?jiān)贐C上找一點(diǎn)E，將紙片沿DE折疊（DE為折痕），點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，使EF與三角形ABC的一邊平行，則為________度．
【答案】35°或75°或125°
【解析】
【分析】
由于EF不與BC平行，則分EF∥AB和EF∥AC，畫出圖形，結(jié)合折疊和平行線的性質(zhì)求出∠BDE的度數(shù)．
【詳解】
解：當(dāng)EF∥AB時(shí)，
∠BDE=∠DEF，
由折疊可知：∠DEF=∠DEB，
∴∠BDE=∠DEB，又∠B=30°，
∴∠BDE=（180°-30°）=75°；
當(dāng)EF∥AC時(shí)，
如圖，∠C=∠BEF=50°，
由折疊可知：∠BED=∠FED=25°，
∴∠BDE=180°-∠B=∠BED=125°；
如圖，EF∥AC，
則∠C=∠CEF=50°，
由折疊可知：∠BED=∠FED，又∠BED+∠CED=180°，
則∠CED+50°=180°-∠CED，
解得：∠CED=65°，
∴∠BDE=∠CED-∠B=65°-30°=35°；
綜上：∠BDE的度數(shù)為35°或75°或125°．
【點(diǎn)睛】
本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，折疊問題，解題的關(guān)鍵是注意分類討論，畫圖圖形推理求解．
3． (2023·河南·平頂山市第九中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，點(diǎn)M，N分別在AD，BC上，且3AM＝AD，3BN＝BC，E為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，將DCE沿DE所在直線翻折得到，當(dāng)點(diǎn)恰好落在直線MN上時(shí)，CE的長為___．
【答案】或10
【解析】
【分析】
由矩形的性質(zhì)得到DC=AB=5，∠A=90°，AD=BC=6，根據(jù)已知條件得到AM=BN，推出四邊形ABNM是矩形，得到∠NMA=∠NMD=90°，MN=AB=5，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到DC′=DC=5，C′E=CE，根據(jù)勾股定理得到C′M=，根據(jù)矩形的判定和性質(zhì)得到CN=DM=4，∠CNM=90°，再分兩種情況由勾股定理即可得到結(jié)論．
【詳解】
解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴DC＝AB＝5，∠A＝90°，AD＝BC＝6，
∵，，
∴AM＝BN，
∵AM∥BN，
∴四邊形ABNM是平行四邊形，
又∵∠A=90°，
∴四邊形ABNM是矩形，
∴∠NMA＝∠NMD＝90°，MN＝AB＝5，
∵將△DCE沿DE所在直線翻折得到△DC′E，
∴DC′＝DC＝5，C′E＝CE，
∵AM＝2，
∴DM＝AD﹣AM＝6﹣2＝4，
如圖1，
在Rt△C′MD中，C′M＝，
∴C′N＝MN﹣C′M＝5﹣3＝2，
∵∠CDM＝∠DCN＝∠NMD＝90°，
∴四邊形CDMN是矩形，
∴CN＝DM＝4，∠CNM＝90°，NE＝CN﹣CE＝4﹣CE，
在Rt△C′NE中，∵NE2+C′N2＝C′E2，
∴（4﹣CE）2+22＝CE2，
解得：CE＝．
如圖2，
在Rt△C′MD中，C′M＝，
∴C′N＝MN+C′M＝5+3＝8，
∵∠CDM＝∠DCN＝∠NMD＝90°，
∴四邊形CDMN是矩形，
∴CN＝DM＝4，∠CNM＝∠MNE＝90°，NE＝CE﹣CN＝CE﹣4，
在Rt△C′NE中，∵NE2+C′N2＝C′E2，
∴（CE﹣4）2+82＝CE2，
解答：CE＝10，
故答案為：或10．
【點(diǎn)睛】
本題考查了翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理，正確的識(shí)別圖形利用勾股定理與折疊的性質(zhì)求解是解題的關(guān)鍵．
4． (2023·廣東·珠海市九洲中學(xué)三模）如圖，正方形中，，，分別交、于、，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的有__________．
【答案】①③④
【解析】
【分析】
根據(jù)正方形性質(zhì)及，，易證△ABF≌△BGC，進(jìn)而可證AF⊥BG；由△BFN∽△BGC，可證得；由全等三角形性質(zhì)可得，轉(zhuǎn)化為，；延長AD、BG交于點(diǎn)H，易知△HDG∽△HAB，△BEM∽△HAM，可證明結(jié)論④正確．
【詳解】
∵正方形ABCD中，BE=EF=FC，CG=2GD，
∴AB=BC=CD，∠ABC=∠C=90°，
∴BE=EF=FC=BC，BF=BC，CG=CD= BC
∴ BF=CG，
在△ABF和△BCG中，

∴△ABF≌△BCG(SAS)，
∴∠AFB=∠BGC，
∵∠BGC+∠CBG=90°，
∴∠AFB+∠CBG=90°，
∴∠BNF=90°，
∴AF⊥BG，
故結(jié)論①正確；
∵∠BNF=∠C，∠FBN=∠GBC，
∴△BFN∽△BGC，
∴，
∴，
故結(jié)論②錯(cuò)誤；
∵△ABF≌△BCG，
∴S△ABF=S△BCG，
即：S△ABN+S△BNF=S△BNF+S四邊形CGNF，
∴S四邊形CGNF=S△ABN，
故結(jié)論③正確；
延長AD、BG交于點(diǎn)H，如圖，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AD∥BC， CG=2GD，BE=BC，
∴△HDG∽△HAB，△BEM∽△HAM，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴MG=BH－BM－HG=，
∴；
故結(jié)論④正確．
即正確的有①③④．
故答案為：①③④．
【點(diǎn)睛】
本題是一道幾何綜合題，有一定的難度，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，相似三角形判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是正確添加輔助線構(gòu)造相似三角形．
5． (2023·江西·贛州市第三中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，射線軸，直線交線段于點(diǎn)B，交x軸于點(diǎn)A，D是射線上一點(diǎn)．若存在點(diǎn)D，使得恰為等腰直角三角形，則b的值為______．
【答案】或或2
【解析】
【分析】
分三種情況討論：①當(dāng)∠ABD=90°時(shí)，證得△DBC≌△BAO，得出BC=OA，即4-b=2b，求得b=；②當(dāng)∠ADB=90°時(shí)，作AF⊥CE于F，同理證得△BDC≌△DAF，得出BC=DF，即2b-4=4-b，求得b=；③當(dāng)∠DAB=90°時(shí)，作DF⊥OA于F，同理證得△AOB≌△DFA，得出OA=DF，即2b=4，解得b=2．
【詳解】
解：①當(dāng)∠ABD=90°時(shí)，如圖1，則∠DBC+∠ABO=90°，
∴∠DBC=∠BAO，
由直線交線段OC于點(diǎn)B，交x軸于點(diǎn)A可知OB=b，OA=2b，
∵點(diǎn)C（0，4），
∴OC=4，
∴BC=4-b，
在△DBC和△BAO中，
，
∴△DBC≌△BAO（AAS），
∴BC=OA，
即4-b=2b，
∴b=，
②當(dāng)∠ADB=90°時(shí)，如圖2，作AF⊥CE于F，
同理證得△BDC≌△DAF，
∴CD=AF=4，BC=DF，
∵OB=b，OA=2b，
∴BC=DF=2b-4，
∵BC=4-b，
∴2b-4=4-b，
∴b=；
③當(dāng)∠DAB=90°時(shí)，如圖3，作DF⊥OA于F，
同理證得△AOB≌△DFA，
∴OA=DF，
∴2b=4，
∴b=2；
綜上，b的值為或或2，
故答案為：或或2．
【點(diǎn)睛】
本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，作出輔助性構(gòu)建求得三角形上解題的關(guān)鍵．

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