(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若f(x)≤0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
2.(2024·陜西西安聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=ln x-ax-.
(1)當(dāng)a=2時,求f(x)的極值;
(2)若不等式f(x)≤-e-ax恒成立,求a的取值范圍.
3.(2024·江蘇無錫模擬)已知函數(shù)f(x)=-x+ln x,g(x)=xex-2x-m.
(1)求函數(shù)f(x)的極值點;
(2)若f(x)≤g(x)恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
4.(2024·福建泉州模擬)已知函數(shù)f(x)=x2-mxln x+1,m∈R且m≠0.
(1)當(dāng)m=1時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)若關(guān)于x的不等式f(x)≥x恒成立,其中e是自然對數(shù)的底數(shù),求實數(shù)m的取值范圍.
課時規(guī)范練23 利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒(能)成立問題
1.解 (1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),且f'(x)=-2a=
當(dāng)a≤0時,f'(x)=>0,所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
當(dāng)a>0時,令f'(x)==0,解得x=,當(dāng)x∈(0,)時,f'(x)>0;
當(dāng)x∈(,+∞)時,f'(x)0時,f(x)在(0,)內(nèi)單調(diào)遞增,在(,+∞)上單調(diào)遞減.
(2)若f(x)≤0恒成立,則lnx-2ax≤0恒成立,又x>0,所以2a恒成立.
令g(x)=,只需2a≥g(x)max.
又g'(x)=,令g'(x)=0,得x=e.
當(dāng)x∈(0,e)時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x∈(e,+∞)時,g'(x)0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x∈(1,+∞)時,f'(x)0,h(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x∈(e,+∞)時,h'(x)0;當(dāng)x>1時,f'(x)0,故其必有兩個零點,且兩個零點的積為-1,所以兩個零點一正一負(fù),設(shè)其正零點為x0∈(0,+∞),則-mx0-1=0,即m=x0-,且當(dāng)x∈(0,x0)時,y=x2-mx-10,g(x)單調(diào)遞增,因此當(dāng)x=x0時,g(x)取得最小值g(x0)=x0+-(x0-)lnx0-,依題意應(yīng)有x0+-(x0-)lnx0-0.
令h(x)=x+-(x-)lnx-,則h'(x)=1--(1+)lnx-(1-)=-(1+)lnx,當(dāng)x∈(0,1)時,h'(x)>0,當(dāng)x∈(1,+∞)時,h'(x)

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