2022版新高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)課后集訓(xùn)：22+利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒（能）成立問(wèn)題+Word版含解析-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

課后限時(shí)集訓(xùn)(二十二)　利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒(能)成立問(wèn)題建議用時(shí)：40分鐘1．設(shè)f(x)＝＋xln x，g(x)＝x3－x2－3.(1)如果存在x1，x2∈[0,2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)M；(2)如果對(duì)于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[解]　(1)存在x1，x2∈[0,2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，等價(jià)于[g(x1)－g(x2)]max≥M.由g(x)＝x3－x2－3，得g′(x)＝3x2－2x＝3x.令g′(x)＞0得x＜0或x＞，令g′(x)＜0得0＜x＜，又x∈[0,2]，所以g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以g(x)min＝g＝－，又g(0)＝－3，g(2)＝1，所以g(x)max＝g(2)＝1.故[g(x1)－g(x2)]max＝g(x)max－g(x)min＝≥M，則滿足條件的最大整數(shù)M＝4.(2)對(duì)于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，等價(jià)于在區(qū)間上，函數(shù)f(x)min≥g(x)max，由(1)可知在區(qū)間上，g(x)的最大值為g(2)＝1.在區(qū)間上，f(x)＝＋xln x≥1恒成立等價(jià)于a≥x－x2ln x恒成立．設(shè)h(x)＝x－x2ln x，h′(x)＝1－2xln x－x，令m(x)＝xln x，由m′(x)＝ln x＋1＞0得x＞.即m(x)＝xln x在上單調(diào)遞增，可知h′(x)在區(qū)間上是減函數(shù)，又h′(1)＝0，所以當(dāng)1＜x＜2時(shí)，h′(x)＜0；當(dāng)＜x＜1時(shí)，h′(x)＞0.即函數(shù)h(x)＝x－x2ln x在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減，所以h(x)max＝h(1)＝1，所以a≥1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，＋∞)．2．(2020·煙臺(tái)模擬)已知函數(shù)f(x)＝px2－(4p＋1)x＋2ln x，其中p∈R.(1)當(dāng)p＞0時(shí)，試求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若不等式f(x)≤px2－(4p＋1)x－2q(x－1)·ex在x∈(1，＋∞)時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)q的取值范圍．[解]　(1)f′(x)＝2px－(4p＋1)＋＝(x＞0，p＞0)，當(dāng)＜2即p＞時(shí)，由f′(x)＞0解得x＞2或0＜x＜；當(dāng)＝2即p＝時(shí)，f′(x)≥0在(0，＋∞)恒成立；當(dāng)＞2即0＜p＜時(shí)，由f′(x)＞0解得x＞或0＜x＜2.綜上，當(dāng)p＞時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，(2，＋∞)；當(dāng)p＝時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)；當(dāng)0＜p＜時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2)，.(2)由f(x)≤px2－(4p＋1)x－2q(x－1)ex，化簡(jiǎn)得：ln x＋q(x－1)ex≤0在(1，＋∞)時(shí)恒成立，記g(x)＝ln x＋q(x－1)ex，當(dāng)q≥0時(shí)，g(x)在x∈(1，＋∞)為單調(diào)遞增，g(1)＝0，所以g(x)＞0，不合題意；當(dāng)q＜0時(shí)，g′(x)＝＋qxex在x∈(1，＋∞)為單調(diào)遞減，g′(1) ＝1＋qe，若g′(1)＝1＋qe≤0，即q≤－時(shí)，g′(x)＜g′(1)，所以g′(x)＜0，所以g(x)在x∈(1，＋∞)為單調(diào)遞減，所以g(x)＜g(1)＝0，所以q≤－符合題意．若g′(1)＝1＋qe＞0，即q＞－時(shí)，g′(x)＝＋qxex在x∈(1，＋∞)為單調(diào)遞減，?x0∈(1，＋∞)使得x∈(1，x0)，g′(x)＞0，即g(x)在x∈(1，x0)為單調(diào)遞增，所以g(x)＞g(1)＝0與g(x)≤0矛盾，所以q＞－，不合題意．綜上，q∈.3．(2020·龍巖模擬)已知函數(shù)f(x)＝ln x(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．(1)證明：f(x)≤f(e)；(2)對(duì)任意正實(shí)數(shù)x、y，不等式a(ln y－ln x)－2x≤0恒成立，求正實(shí)數(shù)a的最大值．[解]　(1)證明：f′(x)＝－ln x＋＝－ln x＋－＝，令g(x)＝－xln x＋2e－x，g′(x)＝－ln x＋(－x)·－1＝－ln x－2，在(0，e－2)上，g′(x)＞0，g(x)單調(diào)遞增，在(e－2，＋∞)上，g′(x)＜0，g(x)單調(diào)遞減，所以g(x)max＝g(e－2)＝－e－2ln e－2＋2e－e－2＝2e－2＋2e－e－2＝e－2＋2e＞0，又因?yàn)?/span>x→0時(shí)，g(x)→0；g(e)＝0，所以在(0，e)上，g(x)＞0，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增，在(e，＋∞)上，g(x)＜0，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減，所以f(x)max＝f(e)，即f(x)≤f(e)．(2)因?yàn)?/span>x，y，a，都大于0，由a(ln y－ln x)－2x≤0兩邊同除以ax整理得：≥ln ，令＝t(t＞0)，所以≥ln t恒成立，記h(t)＝ln t，則≥h(t)max，由(1)知h(t)max＝g(e)＝1，所以≥1，即0＜a≤2，amax＝2. 所以正實(shí)數(shù)a的最大值是2.

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