2025年新高考數(shù)學精析考點考點19利用導數(shù)研究恒(能)成立問題(3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練)(原卷版+解析)-試卷下載-教習網(wǎng)

恒(能)成立問題是高考的常考考點，其中不等式的恒(能)成立問題經(jīng)常與導數(shù)及其幾何意義、函數(shù)、方程等相交匯，綜合考查學生分析問題、解決問題的能力，一般作為壓軸題出現(xiàn)，試題難度略大．
【核心題型】
題型一分離參數(shù)求參數(shù)范圍
分離參數(shù)法解決恒(能)成立問題的策略
(1)分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
(2)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；
a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min；
a≥f(x)能成立?a≥f(x)min；
a≤f(x)能成立?a≤f(x)max.
【例題1】（2024·全國·模擬預測）若關(guān)于的不等式在內(nèi)有解，則正實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】將由不等式轉(zhuǎn)化為，令，得到，令函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為存在，使得，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，得到且，即可求解.
【詳解】由不等式，即，
令，即有，
又由，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因為，所以，
令，問題轉(zhuǎn)化為存在，使得，
因為，令，可得；令，得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又因為，所以當時，，
若存在，使得成立，只需且，
解得，因為，所以.
故選：A.
【點睛】方法技巧：已知函數(shù)零點（方程根）的個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問題的三種常用方法：
1、直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍；
2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；
3、數(shù)形結(jié)合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.
結(jié)論拓展：與和相關(guān)的常見同構(gòu)模型
①，構(gòu)造函數(shù)或；
②，構(gòu)造函數(shù)或；
③，構(gòu)造函數(shù)或.
【變式1】（2024·四川宜賓·二模）已知不等式有解，則實數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)法求出，即為所求.
【詳解】不等式有解，即，，只需要，
令，
，，
令，，
，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又，，所以存在，使得，即，
，，即；，，即，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，又由，可得，
.
.
故選：A.
【點睛】思路點睛：由題意問題轉(zhuǎn)化為，，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求出的最小值，即只要.
【變式2】（2024·上海普陀·二模）已知，若關(guān)于的不等式的解集中有且僅有一個負整數(shù)，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】原式可化為，然后研究函數(shù)的圖象，只需當時，在下方時，只有一個負整數(shù)即可，構(gòu)造不等式組求解．
【詳解】原不等式可化為：，
令，，顯然時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增，
所以，且時，，,
同一坐標系中，作出與（過定點的圖象：
據(jù)圖可知，滿足題意的整數(shù)解為，此時應(yīng)滿足，
解得．
故答案為：．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查不等式解問題，關(guān)鍵是將不等式適當變形，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點問題.
【變式3】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若不等式在區(qū)間上有解，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)答案見解析；
(2)．
【分析】（1）求出，分類討論確定和的解得單調(diào)性；
（2）用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化問題為不等式在區(qū)間上有解，引入函數(shù)，求出的最小值即可得．
【詳解】（1）由題意知函數(shù)的定義域為，
而，
當時，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當時，由，得，
由，得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
綜上，當時，在上單調(diào)遞增；
當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
（2）因為不等式在區(qū)間上有解，
所以在區(qū)間上有解，此時，
即在區(qū)間上有解，
令，則．
令，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以．
當時；當時，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，所以，
綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是
題型二等價轉(zhuǎn)化求參數(shù)范圍
根據(jù)不等式恒成立構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題，一般需討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解．
【例題2】（2023·河南開封·模擬預測）若存在，使得關(guān)于的不等式成立，則實數(shù)的最小值為（）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】由兩邊取對數(shù)可得，令則不等式可轉(zhuǎn)化為，即，故根據(jù)題意可得求的最小值即可，令，通過求導可得的最小值即可
【詳解】由兩邊取對數(shù)可得①，
令則，因為，所以，
則①可轉(zhuǎn)化得，
因為，
因為存在，使得關(guān)于的不等式成立，
所以存在，成立，故求的最小值即可，
令
，
令
，
令，
，
所以在上單調(diào)遞減，所以，
，所以在上單調(diào)遞減，
所以
在上單調(diào)遞減，，
，所以實數(shù)的最小值為
故選：D
【點睛】方法點睛：對于利用導數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：
1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別
【變式1】（2023·貴州·二模）已知函數(shù)，，對任意，，都有不等式成立，則a的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為，利用導數(shù)求在上的最小值、在上的最小值，即可得結(jié)果.
【詳解】對任意，，都有不等式成立，
，，，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，
∴，
，，，則在上單調(diào)遞增，
，，則在上單調(diào)遞減，
，，故，
綜上，.
故選：C
【變式2】（2024·吉林延邊·一模）若對任意，存在實數(shù)，使得關(guān)于x的不等式成立，則實數(shù)的最小值為．
【答案】
【分析】根據(jù)題意分析可知，構(gòu)建，利用導數(shù)判斷其單調(diào)性和最值，結(jié)合恒成立問題分析求解.
【詳解】因為，，
可得，
構(gòu)建，則，
構(gòu)建，
因為在內(nèi)單調(diào)遞減，
可知在內(nèi)單調(diào)遞減，且，
當時，，即；
當時，，即；
可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，
可得，可得，
所以實數(shù)的最小值為.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：利用導數(shù)解決不等式存在性問題的方法技巧
根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為某函數(shù)在該區(qū)間上最大(小)值滿足的不等式成立問題，進而用導數(shù)求該函數(shù)在該區(qū)間上的最值問題，最后構(gòu)建不等式求解
【變式3】（2023·海南?？凇ひ荒＃┮阎瘮?shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)已知，若存在，不等式成立，求實數(shù)的最大值..
【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，
所以，∴令，則，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
又∵，∴當時，，∴，
∴函數(shù)在，上單調(diào)遞減.
（2）∵，且，，∴，
∴，∴，∴.
∵，由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
∴只需在上能成立，
∴兩邊同時取自然對數(shù)，得，即在上能成立.
令，則，
∵當時，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當時，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，
∴，∴，
又，∴，
∴實數(shù)的最大值為.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第二問的關(guān)鍵點在于由的單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為在上能成立，令，對求導，可求出，即可求出實數(shù)的最大值
題型三雙變量的恒(能)成立問題
“雙變量”的恒(能)成立問題一定要正確理解其實質(zhì)，深刻挖掘內(nèi)含條件，進行等價變換，常見的等價轉(zhuǎn)換有
(1)?x1，x2∈D，f(x1)>g(x2)?f(x)min>g(x)max.
(2)?x1∈D1，?x2∈D2，f(x1)>g(x2)?f(x)min>g(x)min.
(3)?x1∈D1，?x2∈D2，f(x1)>g(x2)?f(x)max>g(x)max.
【例題3】（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知函數(shù)，函數(shù)．
(1)若直線與函數(shù)交于點A，直線與函數(shù)交于點B，且函數(shù)在點A處的切線與函數(shù)在點B處的切線相互平行，求a的取值范圍；
(2)函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點，，且，存在實數(shù)使得不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)a的取值范圍為
(2)的取值范圍為.
【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義可將問題轉(zhuǎn)化為在上有解；利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求其值域，列不等式求的范圍；
（2）根據(jù)極值點的定義可求得；將恒成立的不等式轉(zhuǎn)化為，令，化簡可得；令，求導后可知當時，不等式恒成立，由此可得結(jié)果.
【詳解】（1）因為，，
所以，，
所以，；
因為在處的切線與在處的切線相互平行，
所以，即在上有解，
所以在上有解，
設(shè)，則，
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)的值域為，
所以，
所以，
所以a的取值范圍為；
（2）因為，，
所以，
所以；
因為是的兩個極值點，
所以，，所以；
因為，，
則由得：，
所以，即，
所以；
令，則；
令，
則；
①當時，恒成立，在上單調(diào)遞增，
所以，即恒成立，滿足題意；
②當時，若，則，所以在上單調(diào)遞減，
此時，即，不合題意；
所以由不等式恒成立，可得，又，
所以，
所以的取值范圍為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)求解恒成立問題；本題求解恒成立問題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)極值點定義和恒成立的不等式將變量消除，從而得到新的恒成立的不等式，通過構(gòu)造函數(shù)的方式得到結(jié)果
【變式1】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，．
(1)證明：．
(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）方法一：構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)可求得單調(diào)性和最值，從而得到結(jié)論；
方法二：構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)可證得，左右同時取對數(shù)可得，由此可得到結(jié)論；
（2）方法一：利用特殊值可求得，進而通過放縮法和分析法知只需證得即可；分別在和的情況下，通過構(gòu)造函數(shù)的方式證得不等式恒成立，從而得到的范圍；
方法二：分離變量后，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)可求得的單調(diào)性，從而得到，進而得到的范圍.
【詳解】（1）方法一：設(shè)，
則定義域為，；
與均為增函數(shù)，
在上單調(diào)遞增，又，
當時，；當時，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，即；
方法二：設(shè)，則，
當時，；當時，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，即，
左右同時取對數(shù)得：，即，
，即．
（2）方法一：取得：，即，，
，，，下面證明恒成立，
即證明恒成立；
①當時，由（1）知：，只需證，
即證，即證，只需證，
即證；
令，則，
令，則，
在上單調(diào)遞增，，，
即當時，，
當時，恒成立；
②當時，由（1）知：，只需證；
設(shè)，則，
在上單調(diào)遞增，，即，
即當時，恒成立；
綜上所述：當時，恒成立，
實數(shù)的取值范圍為；
方法二：由已知得：恒成立；
設(shè)，
則，
令
當時，，，在上單調(diào)遞減；
當時，由（1）知：，
令，則，
在上單調(diào)遞減，，
，
，，
在上單調(diào)遞增，
，，即實數(shù)的取值范圍為．
【點睛】思路點睛：本題重點考查導數(shù)中的恒成立問題，第二問方法一的基本思路為：利用特殊化思想求出參數(shù)的取值范圍（必要條件），然后再證明這個必要條件就是充要條件．證明中用到分類討論思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想（三次轉(zhuǎn)化為加強不等式，第一次利用放縮轉(zhuǎn)化為加強不等式，第二次利用放縮轉(zhuǎn)化為加強不等式，第三次利用放縮轉(zhuǎn)化為加強不等式）．
【變式2】（2024·山西晉中·模擬預測）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)若對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
(2)設(shè)的導數(shù)為，若，求證：關(guān)于的方程在區(qū)間上有實數(shù)解.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為對于任意上恒成立，令，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，再由，令，求得單調(diào)性與最大值，即可求解.
（2）由題意，令，得到，求得在上的單調(diào)遞增，再由，令，求得遞減，得到，再由，令，得到在遞增，得到，結(jié)合零點存在定理知，即可得證.
【詳解】（1）解：因為，
則可化為對于任意上恒成立，
即對于任意上恒成立，
令，可得，所以在上單調(diào)遞增，
則，即，令，可得，
當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減，
所以，當時，取得最大值，最大值為，
所以，即實數(shù)的取值范圍為.
（2）解：因為，可得，
令，其中，
可得，所以在上的單調(diào)遞增，
因為且，
令，可得，所以在遞減，
所以，所以，所以，
又由且，
令，可得，
所以在遞增，所以，即，所以，
所以，
由零點存在定理知，方程在區(qū)間上有實數(shù)解.
【點睛】方法技巧：已知函數(shù)零點（方程根）的個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問題的三種常用方法：
1、直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；
3、數(shù)形結(jié)合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.
結(jié)論拓展：與和相關(guān)的常見同構(gòu)模型
①，構(gòu)造函數(shù)或；
②，構(gòu)造函數(shù)或；
③，構(gòu)造函數(shù)或
【變式3】（2024·遼寧·一模）已知函數(shù)，（其中a，b為實數(shù)，且）
(1)當時，恒成立，求b；
(2)當時，函數(shù)有兩個不同的零點，求a的最大整數(shù)值．（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)，利用導數(shù)分類討論的最大值；
（2）分離常數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程有兩個不同的解，設(shè)，利用導數(shù)求函數(shù)的極大值，則，
當時，設(shè)，驗證有兩解即可.
【詳解】（1）設(shè)，則其定義域為，
當時，，
當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減，
所以，對于恒成立，
即恒成立，所以合理．
當時，令，即，
解得（舍），
當時，，單調(diào)遞增；
又有，所以當時，，不合題意．
當時，令，即，
解得（舍），
當時，，單調(diào)遞減；
又有，所以當時，，不合題意．
綜上所述，．
（2）由題意，方程有兩個不同的解，
即關(guān)于的方程有兩個不同的解，
設(shè)，則，
設(shè)，由可知，
所以在上單調(diào)遞減，
又，，
所以存在使得，即，所以，
所以當時，，即，進而函數(shù)單調(diào)遞增；
當時，，即，進而函數(shù)單調(diào)遞減，
所以函數(shù)的極大值為
要使得關(guān)于的方程有兩個不同的解，則，
當時，設(shè)，
則，可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，，，
所以有兩個不同的零點，符合題意，
所以的最大整數(shù)值為．
【點睛】方法點睛：對于利用導數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：
（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別
【課后強化】
基礎(chǔ)保分練
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．若存在，使得成立，則實數(shù)a的最大值是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為“直線與函數(shù)的圖象有交點”，然后利用導數(shù)分析的單調(diào)性以及取值，由此求解出的最大值.
【詳解】存在，使得成立，
即在上有解，即在上有解，
所以直線與函數(shù)的圖象有交點，
又，令，則，
令，得，令，得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，
所以要使直線與函數(shù)的圖象有交點，只需，
所以的最大值是，
故選：A．
2．（2023·全國·模擬預測）定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，對任意，，都有恒成立，則下列結(jié)論成立的是（）
A．當為偶數(shù)時，在上為增函數(shù)
B．當為偶數(shù)時，存在使得
C．當為奇數(shù)時，在上為增函數(shù)
D．當為奇數(shù)時，存在使得
【答案】C
【分析】令，分為奇數(shù)或偶數(shù)判斷的符號得出的單調(diào)性，然后分，判斷的符號，即可得解．
【詳解】因為對任意，，都有，
所以，所以，
令，
當為奇數(shù)時，則，
在上為增函數(shù)，
∵，∴當時，，則；
當時，，則，∴恒大于0；
當為偶數(shù)時，當時，，
則在上單調(diào)遞增，且，則；
當時，，則在上單調(diào)遞減，
且，，∴恒大于0，
故選：C．
3．（2024·河南·模擬預測）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點，且的圖象在處的切線互相垂直，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】構(gòu)建，利用導數(shù)判斷原函數(shù)單調(diào)性和值域，結(jié)合題意分析可知，運算求解即可.
【詳解】因為，則，
構(gòu)建，則，
當時，；當時，；
可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
且，當趨近于時，趨近于，
可知的值域為，
由題意可知：存在，使得，
則，即，解得，
所以的取值范圍是.
故選：D.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：求的值域為，根據(jù)導數(shù)的幾何意義分析可知存在，使得，結(jié)合值域分析求解即可.
二、多選題
4．（2023·廣東廣州·一模）已知函數(shù)，點分別在函數(shù)的的圖像上，為坐標原點，則下列命題正確的是（）
A．若關(guān)于的方程在上無解，則
B．存在關(guān)于直線對稱
C．若存在關(guān)于軸對稱，則
D．若存在滿足，則
【答案】BCD
【分析】根據(jù)給定條件，求出方程在上有解的a范圍判斷A；設(shè)出點的坐標，由方程有解判斷B；設(shè)出點的坐標，建立函數(shù)關(guān)系，求出函數(shù)的值域判斷CD作答.
【詳解】函數(shù)，
對于A，方程在上有解，
顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，則有，解得，
因此關(guān)于的方程在上無解，則或，A錯誤；
對于B，設(shè)點，依題意，點Q關(guān)于直線對稱點在函數(shù)的圖象上，
即關(guān)于t的方程有解，即有解，此時，令函數(shù)，
，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，，
而函數(shù)在上都單調(diào)遞增，它們的取值集合分別為，
因此函數(shù)的值域為，又，于是在有解，
所以存在關(guān)于直線對稱，B正確；
對于C，設(shè)點，則點P關(guān)于y軸對稱點在函數(shù)的圖象上，
即，令，，
即函數(shù)在上單調(diào)遞減，，又，恒有，因此，C正確；
對于D，令，由得，
顯然，且，，令，，
當時，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
因此，即有，，
而，當且僅當時取等號，所以，即，D正確.
故選：BCD
5．（2023·山東泰安·模擬預測）已知函數(shù)，，則下列選項中正確的有（）
A．當時，函數(shù)和在處的切線互相垂直
B．若函數(shù)在內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則
C．函數(shù)在內(nèi)僅有一個零點
D．若存在，使得成立，則
【答案】ACD
【分析】對函數(shù)與求導，根據(jù)導數(shù)的幾何意義分別計算與，再根據(jù)直線垂直的斜率公式計算并判斷選項A，將條件轉(zhuǎn)化為在內(nèi)有解，參變分離后，求解的最小值即可得的取值范圍，判斷選項B，求解導函數(shù)，通過構(gòu)造新函數(shù)，求導判斷單調(diào)性，再結(jié)合零點存在定理判斷選項C，參變分離將成立轉(zhuǎn)化為，通過構(gòu)造兩次新函數(shù)，求解導函數(shù)并判斷單調(diào)性從而判斷得，進而得的取值范圍，判斷選項D.
【詳解】對于選項A，當時，，
所以，由，得到．
因為，
所以函數(shù)和在處的切線互相垂直，故A正確；
對于選項B，因為，
若函數(shù)在內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，
可知在內(nèi)有解，
則在時能成立，
所以，當時，
，即，故B不正確；
對于選項C，當時，，
，此時函數(shù)無零點；
當時，，
令，其中，
則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
可得，因為對任意的，，
可得，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，
由于，，
所以函數(shù)在上只有一個零點．
綜上函數(shù)在上只有一個零點，故C正確；
對于選項D，由，得，
令，，
則，
令，則，
當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當時，，
此時，則函數(shù)在上單調(diào)遞增．
當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，
因為，，
所以存在，使得，
變形可得，
當時，，當時，．
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，其中，
令函數(shù)，，因為，
所以在上單調(diào)遞減，
則，故，
所以成立，故D正確．
故選：ACD．
【點睛】利用導數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.
三、填空題
6．（2023·云南·三模）設(shè)函數(shù)，若存在唯一整數(shù)，使得，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】由題意轉(zhuǎn)化為存在唯一的整數(shù)使得在直線的下方，求得，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值，以及和，根據(jù)直線恒經(jīng)過原點，結(jié)合圖象，列出方程組，即可求解.
【詳解】由函數(shù)，設(shè)和
因為存在唯一整數(shù)，使得，
所以存在唯一的整數(shù)使得在直線的下方，如圖所示，
因為，當時，；當時，，
所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
當時，取得極小值，也為最小值，
且當時，，當時，，
又由直線恒經(jīng)過原點，斜率為（其中），
所以且，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：

7．（2023·遼寧錦州·模擬預測）若關(guān)于x的不等式的解集中恰有2個整數(shù)，則k的取值范圍是．
【答案】
【分析】將不等式變形為，構(gòu)造函數(shù)，求導得其單調(diào)性，進而結(jié)合函數(shù)的圖象，即可得不等式求解.
【詳解】，不等式可化為，
令，，由解得，由解得，在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，
令，則的圖象恒過，若解集恰有個整數(shù)，
當時，有無數(shù)個整數(shù)解，不滿足題意；
當時，如圖，則兩個整數(shù)為1和2，故2滿足不等式且3不滿足不等式，即且，解得，
故答案為：

8．（2024·浙江·模擬預測）已知函數(shù)，，若關(guān)于的不等式有解，則的最小值是 .
【答案】/
【分析】參變分離可得有解，令，，利用導數(shù)求出，即可求出參數(shù)的取值范圍，從而得解.
【詳解】由得，顯然，
所以有解，
令，則，
令，則，所以當時，當時，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，即，
所以，則，即的最小值是.
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是參變分離得到有解，再構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求出.
四、解答題
9．（2023·四川成都·一模）已知函數(shù)，.
(1)當時，求在處的切線方程；
(2)當時，設(shè)函數(shù)，求證：有解.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）當時，求出、的值，利用點斜式可得出所求切線的方程；
（2）化簡得出函數(shù)的解析式，利用可證得結(jié)論成立.
【詳解】（1）解：當時，，則，
，則，
故當時，在處的切線方程為，即.
（2）證明：當時，，，
，
因為，故不等式有解.
10．（2024·湖南婁底·一模）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)證明：；
(3)設(shè)，若存在實數(shù)使得，求的最大值.
【答案】(1)增區(qū)間為，減區(qū)間為；
(2)證明見解析；
(3).
【分析】（1）求出，判斷導數(shù)正負得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）利用分析法轉(zhuǎn)化要證結(jié)論，要證，即證，令，即證，利用導數(shù)判斷單調(diào)性，求出最大值即可得證；
（3），分別討論當時和時是否存在使得，即可求解.
【詳解】（1）的定義域為，
所以當時，；當時，.
所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為.
（2）要證，即證，令，即證，
，令，則，所以在上單調(diào)遞減，又，
當時，；當時，.
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，所以，即得證.
（3）當時，，即存在滿足題意；
當時，由（2）知，
，
此時恒成立，不滿足題意；
綜上，所以的最大值為.
11．（2024·福建泉州·模擬預測）（1）已知，求的最大值與最小值；
（2）若關(guān)于x的不等式存在唯一的整數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1）最大值，最小值1；（2）
【分析】（1）求導，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合區(qū)間端點函數(shù)值比較大小即可求解最值；
（2）解法一：把不等式化為，由的單調(diào)性結(jié)合端點函數(shù)值分析求解即可；
解法二：令，求導，對a進行分類討論，判斷函數(shù)單調(diào)性及最大值，從而求得a的范圍，結(jié)合有唯一整數(shù)解，進一步求出a的取值范圍.
【詳解】（1）因為，，所以，
令，解得，，的變化情況如下表所示．
所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.
當時，有極大值，也是的最大值.
又因為，，而，
所以，所以為的最小值.
（2）解法一：因為，所以不等式可化為，
由（1）可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.
因為的最大值，，，，，
所以，時，最大，所以不等式，
即存在唯一的整數(shù)解只能為1，所以，所以a的取值范圍為.
解法二：令，由題意可知有唯一整數(shù)解，
，當時，，所以在單調(diào)遞增，
而，所以，與題意矛盾；
當時，由可得或（舍去），
當時，，時，，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以時，取最大值為，
由題意可知，解得，
因為，所以當即時，
由有唯一整數(shù)解知，解得，
若，由在單調(diào)遞增知，矛盾
所以，由在單調(diào)遞減可知，
所以符合題意；
當時，，，
由在單調(diào)遞減可知，，不符合題意；
綜上所述，a的取值范圍為.
綜合提升練
一、單選題
1．（22-23高三下·江西贛州·階段練習）設(shè)函數(shù)的導函數(shù)為，若在其定義域內(nèi)存在，使得，則稱為“有源”函數(shù).已知是“有源”函數(shù)，則a的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)“有源”函數(shù)概念，轉(zhuǎn)化為函數(shù)有解問題，利用導函數(shù)求出函數(shù)值域即可得到參數(shù)a的范圍
【詳解】∵，∴，
由是“有源”函數(shù)定義知，存在，使得，即有解，
記，所以a的取值范圍是就是函數(shù)的值域，
則，
當時，，此時單調(diào)遞增，
當時，，此時單調(diào)遞減，
所以，所以，
即a的取值范圍是.
故選：A
2．（2023·四川南充·三模）已知函數(shù)，，，使（為常數(shù)）成立，則常數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】存在性問題轉(zhuǎn)化為在上能成立，利用導數(shù)求的最大值即可得解.
【詳解】在上為增函數(shù)，
由知，，
令，則，
當時，，
即在上單調(diào)遞增，
所以，即，
所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，
不妨設(shè)，則，，
可化為，
即，
令，
則，
，使能成立，
在上能成立，
即在上能成立，
，，
令，，
則，令，
則，當時，，
故在上單調(diào)遞增，所以，
故，在上單調(diào)遞增，
，
.
故選：D
【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為存在，使能成立是其一，其二需要構(gòu)造函數(shù)后分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為在上能成立，再次構(gòu)造函數(shù)，多次利用導數(shù)求其最大值.
3．（2023·河北石家莊·模擬預測）已知，函數(shù).若存在，使得，則當取最大值時的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出，由結(jié)合參變量分離法可得出，可求得的最大值，將的最大值代入函數(shù)的解析式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最小值.
【詳解】因為，所以，
依題意，
因為存在，使得，
所以，即有解，
因為，則，
所以有解，所以，
因為，所以，所以，
所以的最大值為.
此時，當且僅當時，取等號，
所以的最小值為，
故選：C.
4．（2023·四川成都·模擬預測）若關(guān)于的不等式在內(nèi)有解，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】題設(shè)中的不等式等價于，令，結(jié)合導數(shù)可得該函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合可得的解，從而可求實數(shù)的取值范圍.
【詳解】由有意義可知，.
由，得.
令，即有.
因為，所以，令，
問題轉(zhuǎn)化為存在，使得.
因為，令，即，解得；
令，即，解得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
又，所以當時，.
因為存在，使得成立，所以只需且，解得.
故選：.
5．（2023·貴州畢節(jié)·模擬預測）已知函數(shù)與的圖象有交點，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】轉(zhuǎn)化為在時有解，令，利用導數(shù)判斷單調(diào)性可得答案.
【詳解】因為函數(shù)與的圖象有交點，
所以在時有解，，
令，，
令，
，
因為，所以，可得，
故在上單調(diào)遞增，又，
所以當時，即，在單調(diào)遞減，
當時，即，在單調(diào)遞增，
所以.
故選：B.
6．（2023·新疆·一模）已知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先對函數(shù)求導得，然后分離構(gòu)造函數(shù)在定義域上恒成立，即可求解.
【詳解】由題意定義域為且單調(diào)遞增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
令，所以只需，所以，
當，，在單調(diào)遞增，
當，，在單調(diào)遞減，
當時，有極大值且為最大值，所以，故B正確.
故選：B.
7．（2023·四川樂山·二模）若存在，使不等式成立，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】等價變形給定的不等式，并令，構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為存在，使得成立，再借助導數(shù)求解即得.
【詳解】依題意，
，
令，即，由，得，
令，則原問題等價于存在，使得成立，
求導得，由，得，由，得，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
而，又，
則當時，，若存在，使得成立，
只需且，解得且，即，
所以的取值范圍為.
故選：D
【點睛】思路點睛：構(gòu)造函數(shù)是基本的解題思路，因此觀察題目所給的數(shù)的結(jié)構(gòu)特點，以及數(shù)與數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，合理構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.
8．（2024·四川成都·二模）已知函數(shù)存在極小值點，且，則實數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件，利用導數(shù)結(jié)合零點存在性定理探討極小值點，并求出極小值，利用導數(shù)求出的解集，再利用導數(shù)求出的范圍.
【詳解】函數(shù)的定義域為，求導得，
當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，
，則存在，使得，
當時，，遞增，當時，，遞減，
函數(shù)在取得極大值，無極小值，不符合題意；
當時，令，求導得，顯然在上單調(diào)遞增，
當時，，函數(shù)遞減，當時，，函數(shù)遞增，
于是，
當，即時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)無極值，
當時，，而，
存在，使得，當時，，函數(shù)遞增，
當時，，函數(shù)遞減，函數(shù)在取得極大值，
又，令，求導得，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，，則，
存在，使得，當時，，函數(shù)遞減，
當時，，函數(shù)遞增，函數(shù)在取得極小值，因此，
由，得，，
即有，令，求導得，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，而，即有，于是，
顯然，令，求導得，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，
因此，即，又，則，
所以實數(shù)的取值范圍為.
故選：A
【點睛】結(jié)論點睛：可導函數(shù)在點處取得極值的充要條件是，且在左側(cè)與右側(cè)的符號不同．
二、多選題
9．（2023·重慶·模擬預測）已知，當時，存在b，，使得成立，則下列選項正確的是（）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】對A，構(gòu)造函數(shù)，求導，再設(shè)，利用其單調(diào)性得到，然后對分類討論即可；對B，計算出在時的切線方程即可得到，即可得到的范圍，對于C,D，代入得，則可確定和的范圍，
【詳解】對A，由,令,
所以,
令,其對稱軸為,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,
所以,
當時,即時,,
則函數(shù)單調(diào)遞增,所以.
當時,即時,存在,使得,即,
當時,,則函數(shù)單調(diào)遞減,
所以0,與矛盾,綜上,，A正確;
對B，由可得與在上存在分隔直線,
，，，，，，
則在處的切線方程分別為:,
所以,可得,故B正確;
對C，取得,所以,得,故C正確,
對D，由C知，故D錯誤.
故選：ABC.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題A選項的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，然后求導，對進行分類討論，對B關(guān)鍵是得到在處的切線方程的斜率，從而得到不等式，對C和D通過代入得到，即可進行判斷.
10．（23-24高三上·安徽·階段練習）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列說法正確的是（）
A．函數(shù)的極值點為1
B．
C．若分別是曲線和上的動點.則的最小值為
D．若對任意的恒成立，則的最小值為
【答案】ACD
【分析】對于A，求導，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求出極值點；對于B，設(shè)，求導，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值即可求解；對于C，利用曲線與曲線互為反函數(shù)，可先求點到的最小距離，然后再求的最小值；對于D，利用同構(gòu)把恒成立問題轉(zhuǎn)化為，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求解最值即可.
【詳解】．所以，
當時，，當時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以的極值點為1，故A正確；
設(shè)，則，
由單調(diào)性的性質(zhì)知在上單調(diào)遞增．
又，則存在．使得，
即，，所以當時．，當時．．
所以在上單調(diào)遞減．在上單調(diào)遞增.
所以，又，則，
所以，故B錯誤；
因為函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于對稱，
設(shè)點到的最小距離為，設(shè)函數(shù)上斜率為的切線為，
，由得，所以切點坐標為，即，所以，
所以的最小值為，故C正確；
若對任意的恒成立，
則對任意的恒成立，
令，則．所以在上單調(diào)遞增，則，
即，令，所以，
當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，
所以，所以，即的最小值為，故D正確.
故選：ACD
【點睛】方法點睛：對于利用導數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：
1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.
3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.
11．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．若曲線上存在點，使得，則實數(shù)的值可以是（）
A．0B．1C．2D．3
【答案】BC
【分析】根據(jù)已知條件先證明，然后將問題轉(zhuǎn)化為“在上有解”，通過分離參數(shù)并構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)分析出的單調(diào)性并求解出其值域，則的范圍可求.
【詳解】由題意可知：，
因為曲線上存在點，使得，
所以存在，使得成立，
且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
下面證明：成立，
假設(shè)，則，所以不滿足，假設(shè)不成立，
假設(shè)，則，所以不滿足，假設(shè)不成立，
由上可知，；
則原問題等價于“在上有解”，即 “在上有解”，
設(shè)，所以，令,
則，
令，解得，
當時，，單調(diào)遞減，
當時，，單調(diào)遞增，
所以，
所以在上單調(diào)遞增，
所以的值域為，即為，所以，
故選：BC.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：（1）根據(jù)所給條件能證明；（2）將問題轉(zhuǎn)化為方程有解問題，從而通過導數(shù)進行分析求解.
三、填空題
12．（2023·浙江紹興·模擬預測）已知等比數(shù)列滿足且，則的取值范圍是．
【答案】
【分析】利用等比數(shù)列，將各項均用表示，然后構(gòu)造函數(shù)，分類討論和兩種情況下的單調(diào)性，進而確定為使方程有解，的取值范圍.
【詳解】因為為等比數(shù)列，所以.
令，
則.
因為，所以.
當時，，此時恒成立，在上單調(diào)遞增，
，所以一定有解，即，使得成立.
當時，，則，此時單調(diào)遞增；，則，此時單調(diào)遞減.
為使有解，則，
整理得，解得.
又，所以.
綜上，的取值范圍是.
故答案為：
13．（2024·全國·模擬預測）若存在正數(shù)，使得不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是．
【答案】
【分析】由轉(zhuǎn)化為，然后構(gòu)造函數(shù)，再利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，從而求解.
【詳解】因為，，所以，不等式可以化為，
令，則，所以．
當時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增．
當時，，不合題意，舍去．
當時，，因為在上單調(diào)遞增，，
所以，即．令，則，
當時，，當時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
當時，，所以在上單調(diào)遞增，故，
所以，即，矛盾，故舍去．
當時，，所以當時，，
所以，即．
綜上可得，實數(shù)的取值范圍是．
【點睛】根據(jù)不等式構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究求解函數(shù)單調(diào)性，從而求解不等式.
14．（2024·陜西安康·模擬預測）1557年，英國數(shù)學家列科爾德首先使用符號“”表示相等關(guān)系，在萊布尼茨和其他數(shù)學家的共同努力下，這一符號才逐漸被世人所公認．1631年，英國數(shù)學家哈里奧特開始采用符號“”與“”，分別表示“大于”與“小于”，這就是我們使用的不等號．以上內(nèi)容是某校數(shù)學課外興趣小組在研究數(shù)學符號發(fā)展史時查閱到的資料，并組織小組成員研究了如下函數(shù)與不等式的綜合問題：已知函數(shù)，，若關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，則實數(shù)的取值范圍是．
【答案】
【分析】分離參數(shù)得，設(shè)，利用導數(shù)求最值.
【詳解】由題意，知，即．
因為，所以在上有解，只需．
設(shè)，對函數(shù)求導，
得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以．
故答案為：．
【點睛】結(jié)論點睛：本題考查不等式的恒成立問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：
一般地，已知函數(shù)，
（1）若，，總有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，則的值域是值域的子集．
四、解答題
15．（23-24高三上·江蘇常州·期中）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)對于，使得，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)答案見解析；
(2).
【分析】（1）對函數(shù)求導，討論、研究導數(shù)符號確定區(qū)間單調(diào)性；
（2）問題化為對恒成立，討論、求參數(shù)范圍.
【詳解】（1）由題設(shè)且，
當時在上遞減；
當時，令，
當時在區(qū)間上遞減；
當時在上遞增．
所以當時，的減區(qū)間為，無增區(qū)間；
當時，的增區(qū)間為，減區(qū)間為.
（2）由題設(shè)知對恒成立．
當時，此時，不合題設(shè)，舍去．
當時，在上遞增，只需符合．
綜上：．
16．（2023·青海西寧·二模）設(shè)函數(shù)．
(1)若函數(shù)在其定義域上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)當時，設(shè)函數(shù)，若在[上存在，使成立，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意在上恒成立，進一步化為在上恒成立，利用基本不等式求右側(cè)最值，即可得范圍；
（2）由題意時，求最小值，利用導數(shù)并討論參數(shù)a研究區(qū)間單調(diào)性確定最大值，即可求范圍.
【詳解】（1）因為函數(shù)在其定義域上為增函數(shù)，即在上恒成立，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
又（僅當x＝1時取等號），故a的取值范圍為；
（2）在上存在，，使成立，即當時，
又，所以當時，，
即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，
由（1）知，
因為，又的判別式，
①當時，則恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，
故，故，即，得，
又，所以；
②當時，的兩根為，，
此時，，故函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增．由①知，所以
綜上，a的取值范圍為．
17．（23-24高三上·廣東深圳·階段練習）已知．
(1)討論的單調(diào)性和極值；
(2)若時，有解，求的取值范圍．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）首先求函數(shù)的導數(shù)，，討論和兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性和極值；
（2）首先不等式參變分離為，在時有解，再構(gòu)造函數(shù)，，轉(zhuǎn)化為利用導數(shù)求函數(shù)的最大值.
【詳解】（1），
當時，恒成立，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，無極值；
當時，令，得，
，得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
，得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當，函數(shù)取得極小值，
綜上可知，時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，無增區(qū)間，無極值；
時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間，極小值，無極大值.
（2）由題意可知，，時有解，
則，在時有解，即，
設(shè)，，
，
令，得，
當時，，單調(diào)遞增，
當時，，單調(diào)遞減，
所以的最大值為，即，
所以實數(shù)的取值范圍是.
18．（2023·陜西寶雞·一模）已知函數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)當時，求整數(shù)的值，使得函數(shù)在區(qū)間上存在零點；
(2)若存在使得，試求的取值范圍.
【答案】(1)1或
(2)
【分析】（1）首先求函數(shù)的導數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，并結(jié)合零點存在性定理，求整數(shù)的值；（2）將不等式存在性問題，轉(zhuǎn)化為，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求函數(shù)的最值，代入不等式后，即可求解的取值范圍.
【詳解】（1），，
當時，，，故是上的增函數(shù)，
同理是上的減函數(shù)，
，且時，，
故當時，函數(shù)的零點在內(nèi)，滿足條件．
同理，當時，函數(shù)的零點在內(nèi)，滿足條件，
綜上．
（2）問題當時，，
，
①當時，由，可知；
②當時，由，可知；
③當時，，在上遞減，上遞增，
時，，
而，設(shè)
（僅當時取等號），
在上單調(diào)遞增，而，
當時，即時，，
即，
構(gòu)造，易知，在遞增，
，即的取值范圍是．
19．（2024·河北·二模）已知函數(shù)．
(1)求曲線在處的切線與坐標軸圍成的三角形的周長；
(2)若函數(shù)的圖象上任意一點關(guān)于直線的對稱點都在函數(shù)的圖象上，且存在，使成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義求切線方程,進而求得與軸的交點與軸的交點，計算可得結(jié)果；
（2）根據(jù)對稱性求函數(shù)的解析式，將問題轉(zhuǎn)化為存在，使成立，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題并求解.
【詳解】（1）由，得，
所以切線的斜率.
所以切線的方程為，即.
令，得，令，得，所以切線與軸交于點，與軸交于點，
所以切線與坐標軸圍成的三角形的周長為.
（2）設(shè)，則，
由題意知在的圖象上，
所以，所以.
由，
得，即，
因為存在，使成立，所以存在，使成立，
設(shè)，則，又，當且僅當時等號成立，
所以單調(diào)遞增，
所以當時，，
可得，即實數(shù)的取值范圍是
拓展沖刺練
一、單選題
1．（2023·山西·模擬預測）設(shè)函數(shù)，，若存在直線既是曲線的切線，也是曲線的切線，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分別設(shè)出直線與兩曲線的切點坐標，，利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程，根據(jù)題意得到，記且，利用導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
【詳解】設(shè)直線為曲線在點處的切線，，
所以，即；
設(shè)直線為曲線在點處的切線，，
所以，即，
由題意知，因為，
由可得，
將其代入可得：，
顯然，整理得.
記且，則，
當時，；當時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，則，即，
化簡得，解得.
故選：D.
【點睛】求曲線的切線問題主要分兩大類：
一類是切點已知，那么只需將切點橫坐標代入到原函數(shù)與導函數(shù)中求出切點和斜率即可；
另一類是切點未知，那么先要設(shè)出切點坐標，利用導數(shù)表示切線的斜率以及切線方程，根據(jù)所過的點求切點，得出切線方程.
2．（2023·陜西咸陽·模擬預測）已知不等式有實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】構(gòu)造兩個函數(shù)，先利用導數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，從而得到在處取到最小值，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)知在處取到最大值，從而可求出結(jié)果.
【詳解】，所以不等式有實數(shù)解，即不等式成立，
設(shè)，，
當時，，當時，，
所以在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，，
又因為，當時，，
因為不等式有實數(shù)解，則
故選：C.
【點睛】關(guān)鍵點睛：處理本題的關(guān)鍵在于，通過構(gòu)造兩個函數(shù)，利用導數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，分別求出兩個函數(shù)的最值，兩個函數(shù)均在處取到最值，從而得解.
3．（2022·青海西寧·模擬預測）函數(shù)，且存在，使得，若對任意，恒成立，則的最大值為（）
A．1B．C．2D．3
【答案】B
【分析】由題意先得出有解，即可求出，又對任意，恒成立，則，
由此可以求出，由此即可得解.
【詳解】解：∵函數(shù)，且存在，使得，
∴有解，即為有解，
令，則，則函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，則．
∵函數(shù)對任意，恒成立，∴，即，
令，則，當時，，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，
當時，，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，∴當時，取最大值3，
∴的最大值為．
故選：B．
4．（2023·四川達州·一模）已知，，若不等式的解集中只含有個正整數(shù)，則的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由已知，二次求導，可得當時，，由有且只有個正整數(shù)解，即有且只有個正整數(shù)解，求導可知至多有一個解，則需滿足，，，再根據(jù)導數(shù)可得在上單調(diào)遞減，即可證當時，，即可得參數(shù)范圍.
【詳解】由，
可得，
設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞增，
又，所以當時，，
即當時，，單調(diào)遞增，
所以當時，，
所以若不等式的解集中只含有個正整數(shù)，
即不等式的解集中只含有個正整數(shù)，
又的定義域為，且，
則，
設(shè)，則，
當時，，
所以在上單調(diào)遞減，且至多有一個解，
所以若有且只有個正整數(shù)解
則需滿足，解得，
現(xiàn)證當時，在上恒成立，
由時，，
即當時，，單調(diào)遞減，
所以當時，，
綜上所述，
故選：C.
【點睛】導函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．
二、多選題
5．（23-24高二上·重慶·期末）已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（）
A．若函數(shù)存在兩個極值，則實數(shù)的取值范圍為
B．當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增
C．當時，若存在，使不等式成立，則實數(shù)的最小值為
D．當時，若，則的最小值為
【答案】BC
【分析】對A選項：由極值點的性質(zhì)結(jié)合導數(shù)討論單調(diào)性即可得；對B選項：結(jié)合導數(shù)討論單調(diào)性即可得；對C選項：結(jié)合單調(diào)性，可轉(zhuǎn)化為當時，有成立，求出最小值即可得；對D選項：采用同構(gòu)法可確定，再將多變量化為單變量后結(jié)合導數(shù)討論單調(diào)性即可得.
【詳解】對A選項：，
若函數(shù)存在兩個極值，則函數(shù)必有兩個變號零點，
令，則，
令，則，
則當時，，當時，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故，
又當時，恒成立，
當時，，
故當，函數(shù)有兩個變號零點，
即若函數(shù)存在兩個極值，則實數(shù)的取值范圍為，
故A錯誤；
對B選項：當時，，
，
令，則，
則當時，，當時，；
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；
故B正確；
對C選項：當時，，
，
令，則，
則當時，；當時，；
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，故在上單調(diào)遞增，
則存在，使不等式成立，
等價于存在，使不等式成立，
則當時，有成立，
由當時，，且在上單調(diào)遞增，
故，即實數(shù)的最小值為，故C正確；
對D選項：當時，由B、C可知，、均為定義域上的增函數(shù)，
由，，故有，，
由，則，
即，故，
又，故，
令，則，令，
則，
則當時，，當時，；
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
即，故在上單調(diào)遞增，
故無最小值，即無最小值，
故D錯誤.
故選：BC.
【點睛】思路點睛：本題考查導數(shù)在研究函數(shù)中的綜合應(yīng)用問題，其中D選項中涉及到多變量問題的求解，求解此類問題的基本思路是根據(jù)已知中的等量關(guān)系，將多變量轉(zhuǎn)化為單變量的問題，從而將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題的求解.
6．（2023·山東泰安·二模）已知函數(shù)，.（）
A．若曲線在點處的切線方程為，且過點，則，
B．當且時，函數(shù)在上單調(diào)遞增
C．當時，若函數(shù)有三個零點，則
D．當時，若存在唯一的整數(shù)，使得，則
【答案】BCD
【分析】A選項，由導數(shù)幾何意義結(jié)合題意可知，即可判斷選項正誤；B選項，利用導數(shù)知識結(jié)合可得的單調(diào)區(qū)間，即可判斷選項正誤；C選項，有三個零點等價于直線與函數(shù)圖象有3個交點，利用函數(shù)研究單調(diào)性，極值情況，即可判斷選項正誤；D選項，由題可得，存在唯一整數(shù)，使圖象在直線下方.，利用導數(shù)研究單調(diào)性，極值情況，可得其大致圖象，后利用切線知識結(jié)合圖象可確定及相關(guān)不等式，即可判斷選項正誤.
【詳解】A選項，，由題，，則，，故A錯誤；
B選項，當時，，.因，則.
或在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，故B正確；
C選項，當時，令，
注意到當時，，則，則函數(shù)有三個零點，相當于直線與函數(shù)圖象有三個交點.
令，其中.
.
令或在上單調(diào)遞增；
或或或
在，
上單調(diào)遞減，又，
則可得大致圖象如下，則由圖可得，當，
直線與函數(shù)圖象有三個交點，即此時函數(shù)有三個零點，故C正確；
D選項，由題可得，，
即存在唯一整數(shù)，使圖象在直線下方.
則，，
得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，過定點，
可在同一坐標系下做出與圖象.又設(shè)過點切線方程的切點為，
則切線方程為：，因其過，
則或，又注意到
結(jié)合兩函數(shù)圖象，可知或2.
當時，如圖1，需滿足；
當時，如圖2，需滿足；
綜上：，故D正確.
故選：BCD
【點睛】關(guān)鍵點睛：對于選填題，為便于快速找到答案，常使用數(shù)形結(jié)合思想，用直觀的圖象解決函數(shù)零點與函數(shù)不等式成立問題，而做出圖象的關(guān)鍵就是利用導數(shù)知識研究函數(shù)的單調(diào)性，極值.
三、填空題
7．（2023·四川攀枝花·二模）已知函數(shù)，若存在非零實數(shù)，使得成立，則實數(shù)k的取值范圍是．
【答案】
【分析】不妨設(shè)，化簡可得，令，求出的值域即可求k的取值范圍.
【詳解】因為，且
不妨設(shè)，則，即，
從而可得，由已知方程有正數(shù)解，
令，則函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有交點，
因為，
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，則上值域為，上值域為，
所以實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
8．（2023·江蘇連云港·模擬預測）已知定義在R上的函數(shù) ，若有解，則實數(shù)a的取值范圍是．
【答案】
【分析】分析的奇偶性和單調(diào)性，根據(jù)奇偶性和單調(diào)性求解.
【詳解】，所以是奇函數(shù)，
又，在R的范圍內(nèi)是增函數(shù)，
有解等價于，有解，
令，
當時，是增函數(shù)，當x趨于時，趨于，滿足題意；
當時，當時，，是增函數(shù)，當時，是減函數(shù)，
；
令，則，當時，，
是增函數(shù)，當時，是減函數(shù)，
并且當時，，，
當時，即當時，滿足題意，
所以a的取值范圍是；
故答案為：.
9．（2023·上海金山·二模）已知函數(shù)和的表達式分別為，，若對任意，若存在，使得，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為，由二次函數(shù)性質(zhì)可求得在上的最大值為，分別在、和的情況下，結(jié)合導數(shù)討論的單調(diào)性，從而得到，由可構(gòu)造不等式求得的范圍.
【詳解】對任意，若存在，使得，；
當時，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；
當時，，
①當時，，，
則在上恒成立，在上單調(diào)遞增，
，，解得：，
；
②當時，，，
令，解得：，
（i）當，即時，在上恒成立，
在上單調(diào)遞減，，
，解得：，；
（ii）當，即時，在上恒成立，
在上單調(diào)遞增，，
，解得：（舍）；
（iii）當，即時，
若，則；若，則；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，，解得：（舍）；
③當時，，，
當時，；當時，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，
，，
當，即時，，
，解得：，；
當，即時，，
，解得：，；
綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
四、解答題
10．（2023·山東青島·模擬預測）已知函數(shù).
(1)當時，求曲線在處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積；
(2)若存在，使成立，求a的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)先求導，把切點的橫坐標代入導數(shù)方程得切線的斜率，再求切點坐標，從而求出切線方程，由方程求出切線與軸的交點即可求出三角形的面積.
(2) 令，則只要函數(shù)在區(qū)間的最小值小于即可.通過求導討論函數(shù)的單調(diào)性，從而可求函數(shù)的最小值，最后求出a的取值范圍.
【詳解】（1）當時，，
，所以曲線在處的切線的斜率，又，
切線方程為.
與軸的交點分別是，
切線與坐標軸圍成的三角形的面積·
（2）存在，使即，即.
即存在，使成立.
令，因此，只要函數(shù)在區(qū)間的最小值小于即可·
下面求函數(shù)在區(qū)間的最小值.
，
令，因為，
所以為上的增函數(shù)，且.
在恒成立·
在遞調(diào)遞增，
函數(shù)在區(qū)間的最小值為，
，得.
【點睛】易錯點點睛：第二問的關(guān)鍵點在于把不等式能成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題，在這類問題中，最容易錯的地方是分不清恒成立和能成立的區(qū)別，若在給定區(qū)間內(nèi)恒成立，則要大于的最大值；若在給定區(qū)間內(nèi)能成立，則只需要大于的最小值.
11．（2023·廣西南寧·三模）已知函數(shù)．
(1)若曲線在處的切線與直線垂直，求實數(shù)的值．
(2)，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為，即可得到所求的值；
（2）由題意可得，使得成立，運用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)運用導數(shù)，判斷單調(diào)性即可得到最小值，進而得到的范圍．
【詳解】（1）函數(shù)的導數(shù)為，
即有曲線在處的切線斜率為，
由切線與直線垂直，可得，解得；
（2）因為，使得成立，
即，使得成立，
由，則，
當，即時，
此時顯然不滿足，
當，即有，，
令，，則，
由于，所以，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，
所以，解得，
則實數(shù)的取值范圍是．
12．（2024·江蘇揚州·模擬預測）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若存在正數(shù)，使成立，求的取值范圍；
(3)若，證明：對任意，存在唯一的實數(shù)，使得成立.
【答案】(1)當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）計算，然后分類討論即可得到單調(diào)性；
（2）對和兩種情況分別討論，即可得到取值范圍是；
（3）首先證明單調(diào)遞減，即得唯一性；然后求導證明對任意的，都有；而對任意的，都有. 再利用該結(jié)論證明，從而得到存在性. 最后綜合兩方面即證得結(jié)論.
【詳解】（1）對求導得.
當時，對有，故在上單調(diào)遞增；
當時，有，而當時，，故當時，當時，從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
綜上，當時，在上單調(diào)遞增；
當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）若，由于，故存在正數(shù)使得，條件滿足；
若，則由（1）的結(jié)論，知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而此時對任意的都有，條件不滿足.
綜上，的取值范圍是.
（3）設(shè)，，我們分唯一性和存在性兩方面來證明.
唯一性：由，知的導數(shù)等于，而，故顯然恒為負，從而在上單調(diào)遞減.
特別地，在上單調(diào)遞減.
這表明，使得的至多有一個，從而唯一性得證.
存在性：我們先考慮函數(shù)，這里. 由于，故當時，當時，從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而對于任意的，都有，即.
這就得到，對任意，有.
從而，對任意的，都有；而對任意的，都有.
然后回到原題，首先我們有
.
同時我們又有
，，
故.
由零點存在定理，知一定存在，使得.
綜合上述的存在性和唯一性兩個方面，知存在唯一的，使得.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點在于，對于存在唯一性的證明，將唯一性和存在性分開論證，則證明的邏輯會更加清晰，不易出現(xiàn)錯誤.
x
1
+
0
單調(diào)遞增
單調(diào)遞減
1

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