2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)講義第06講利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立與能成立(有解)問(wèn)題(學(xué)生版+解析)-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

1. 5年真題考點(diǎn)分布
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為15-17分
【備考策略】1能用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性
2能求出函數(shù)的極值或給定區(qū)間的最值
3恒成立，恒成立，
4有解，有解，
【命題預(yù)測(cè)】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容,也是高考?jí)狠S題之一近幾年高考命題的趨勢(shì)，是穩(wěn)中求變、變中求新、新中求活，縱觀近幾年的高考題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題考查多個(gè)核心素養(yǎng)以及綜合應(yīng)用能力,有一定的難度,一般放在解答題的最后位置，對(duì)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等多個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)都有較深入的考查，需綜合復(fù)習(xí)
知識(shí)講解
恒成立問(wèn)題常見(jiàn)類型
假設(shè)為自變量，其范圍設(shè)為，為函數(shù)；為參數(shù)，為其表達(dá)式，
（1）的值域?yàn)?
①，則只需要
，則只需要
②，則只需要
，則只需要
（2）若的值域?yàn)?
① ，則只需要
，則只需要（注意與（1）中對(duì)應(yīng)情況進(jìn)行對(duì)比）
② ，則只需要
，則只需要（注意與（1）中對(duì)應(yīng)情況進(jìn)行對(duì)比）
恒成立問(wèn)題的解決策略
= 1 \* GB3 ①構(gòu)造函數(shù)，分類討論；②部分分離，化為切線；③完全分離，函數(shù)最值； = 4 \* GB3 ④換元分離，簡(jiǎn)化運(yùn)算；
在求解過(guò)程中，力求“腦中有‘形’，心中有‘?dāng)?shù)’”.依托端點(diǎn)效應(yīng)，縮小范圍，借助數(shù)形結(jié)合，尋找臨界.
一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解問(wèn)題設(shè)計(jì)獨(dú)特，試題形式多樣、變化眾多，涉及到函數(shù)、不等式、方程、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等知識(shí)，滲透著函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)換、分類討論、換元等思想方法，有一定的綜合性，屬于能力題，在提升學(xué)生思維的靈活性、創(chuàng)造性等數(shù)學(xué)素養(yǎng)起到了積極的作用，成為高考的一個(gè)熱點(diǎn)．
能成立（有解）問(wèn)題常見(jiàn)類型
假設(shè)為自變量，其范圍設(shè)為，為函數(shù)；為參數(shù)，為其表達(dá)式，
（1）若的值域?yàn)?
①，則只需要
，則只需要
②，則只需要
，則只需要
（2）若的值域?yàn)?
① ，則只需要（注意與（1）中對(duì)應(yīng)情況進(jìn)行對(duì)比）
，則只需要
② ，則只需要（注意與（1）中對(duì)應(yīng)情況進(jìn)行對(duì)比）
，則只需要
能成立（有解）問(wèn)題的解決策略
= 1 \* GB3 ①構(gòu)造函數(shù)，分類討論；②部分分離，化為切線；③完全分離，函數(shù)最值； = 4 \* GB3 ④換元分離，簡(jiǎn)化運(yùn)算；
在求解過(guò)程中，力求“腦中有‘形’，心中有‘?dāng)?shù)’”.依托端點(diǎn)效應(yīng)，縮小范圍，借助數(shù)形結(jié)合，尋找臨界.
一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解問(wèn)題設(shè)計(jì)獨(dú)特，試題形式多樣、變化眾多，涉及到函數(shù)、不等式、方程、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等知識(shí)，滲透著函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)換、分類討論、換元等思想方法，有一定的綜合性，屬于能力題，在提升學(xué)生思維的靈活性、創(chuàng)造性等數(shù)學(xué)素養(yǎng)起到了積極的作用，成為高考的一個(gè)熱點(diǎn)．
考點(diǎn)一、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)恒成立問(wèn)題
1．（2024·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；
(2)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．
2．（2023·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
(2)若恒成立，求a的取值范圍．
3．（2022·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍；
(3)設(shè)，證明：．
1．（2024·廣東汕頭·三模）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若恒成立，求的最小值．
2．（2024·江蘇蘇州·三模）已知函數(shù).
(1)時(shí)，求的零點(diǎn)個(gè)數(shù);
(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值;
(3)求證:.
3．（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)
(1)求的單調(diào)區(qū)間.
(2)若在時(shí)恒成立，求的取值范圍.
4．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，.（注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
(1)若無(wú)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
考點(diǎn)二、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)能成立（有解）問(wèn)題
1．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的極值；
(2)若對(duì)任意有解，求的取值范圍.
3．（2024·湖南婁底·一模）已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)證明：；
(3)設(shè)，若存在實(shí)數(shù)使得，求的最大值.
1．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中為常數(shù).
(1)過(guò)原點(diǎn)作圖象的切線，求直線的方程；
(2)若，使成立，求的最小值.
2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若不等式在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
3．（2024·山西運(yùn)城·一模）已知，函數(shù)，.
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)證明：存在唯一的極值點(diǎn)；
(3)若存在，使得對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
1．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．
2．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，實(shí)數(shù)使得對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．
3．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若恒成立，求a的值．
4．（23-24高三上·貴州安順·期末）已知函數(shù)
(1)求的單調(diào)增區(qū)間；
(2)方程在有解，求實(shí)數(shù)m的范圍.
5．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值；
(2)若對(duì)定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)都有，求的取值范圍．
6．（22-23高三上·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，求證：，．
7．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，其圖象在點(diǎn)處的切線方程為．
(1)求，的值與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若對(duì)，，不等式恒成立，求的取值范圍．
8．（23-24高三上·江蘇常州·期中）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)對(duì)于，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
9．（2024·吉林白山·二模）已知函數(shù).
(1)若，求曲線在處的切線方程；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
10．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，不等式在上存在實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
1．（2024·浙江紹興·二模）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
2．（23-24高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知．
(1)討論的單調(diào)性和極值；
(2)若時(shí)，有解，求的取值范圍．
3．（2024·陜西渭南·二模）已知函數(shù)，.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
4．（2024·山東德州·三模）設(shè)函數(shù)，，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
(1)求的值;
(2)求證:方程僅有一個(gè)實(shí)根;
(3)對(duì)任意，有，求正數(shù)的取值范圍.
5．（2024·江蘇宿遷·三模）已知函數(shù)．
(1)若曲線在處的切線的方程為，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若函數(shù)恒成立，求的取值范圍．
6．（2024·青海海西·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)令，若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
7．（2024·四川瀘州·二模）已知函數(shù)．
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
8．（2024·廣東梅州·一模）已知函數(shù).
(1)若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，求的值；
(2)若在上恒成立，求的取值范圍；
(3)證明：（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.
9．（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)求過(guò)原點(diǎn)的切線方程；
(2)求證：存在，使得在區(qū)間內(nèi)恒成立，且在內(nèi)有解.
10．（2024·貴州安順·二模）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若對(duì)任意的，存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
1．（2021·天津·高考真題）已知，函數(shù)．
（I）求曲線在點(diǎn)處的切線方程：
（II）證明存在唯一的極值點(diǎn)
（III）若存在a，使得對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．
2．（2020·山東·高考真題）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；
（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍．
3．（2020·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù).
（1）當(dāng)a=1時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.
4．（2019·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)f（x）=2sinx－xcsx－x，f′（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù)．
（1）證明：f′（x）在區(qū)間（0，π）存在唯一零點(diǎn)；
（2）若x∈[0，π]時(shí)，f（x）≥ax，求a的取值范圍．
5．（2017·全國(guó)·高考真題）設(shè)函數(shù).
（I）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（II）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范
5年考情
考題示例
考點(diǎn)分析
關(guān)聯(lián)考點(diǎn)
2024年新I卷，第18題,17分
利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題
證明函數(shù)的對(duì)稱性
利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性
利用導(dǎo)數(shù)證明不等式
利用不等式求取值范圍
2023年新I卷，第19題,12分
利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題
含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
2023年新Ⅱ卷，第22題,12分
利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題
利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
(不含參)
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)
根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)
2022年新Ⅱ卷，第22題,12分
利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題
含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
裂項(xiàng)相消法求和
2020年新I卷，第21題,12分
利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題
求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程
2020年新Ⅱ卷，第22題,12分
利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題
求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程
第06講利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立與能成立（有解）問(wèn)題
（2類核心考點(diǎn)精講精練）
1. 5年真題考點(diǎn)分布
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為15-17分
【備考策略】1能用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性
2能求出函數(shù)的極值或給定區(qū)間的最值
3恒成立，恒成立，
4有解，有解，
【命題預(yù)測(cè)】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容,也是高考?jí)狠S題之一近幾年高考命題的趨勢(shì)，是穩(wěn)中求變、變中求新、新中求活，縱觀近幾年的高考題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題考查多個(gè)核心素養(yǎng)以及綜合應(yīng)用能力,有一定的難度,一般放在解答題的最后位置，對(duì)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等多個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)都有較深入的考查，需綜合復(fù)習(xí)
知識(shí)講解
恒成立問(wèn)題常見(jiàn)類型
假設(shè)為自變量，其范圍設(shè)為，為函數(shù)；為參數(shù)，為其表達(dá)式，
（1）的值域?yàn)?
①，則只需要
，則只需要
②，則只需要
，則只需要
（2）若的值域?yàn)?
① ，則只需要
，則只需要（注意與（1）中對(duì)應(yīng)情況進(jìn)行對(duì)比）
② ，則只需要
，則只需要（注意與（1）中對(duì)應(yīng)情況進(jìn)行對(duì)比）
恒成立問(wèn)題的解決策略
= 1 \* GB3 ①構(gòu)造函數(shù)，分類討論；
②部分分離，化為切線；
③完全分離，函數(shù)最值；
= 4 \* GB3 ④換元分離，簡(jiǎn)化運(yùn)算；
在求解過(guò)程中，力求“腦中有‘形’，心中有‘?dāng)?shù)’”.依托端點(diǎn)效應(yīng)，縮小范圍，借助數(shù)形結(jié)合，尋找臨界.
一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解問(wèn)題設(shè)計(jì)獨(dú)特，試題形式多樣、變化眾多，涉及到函數(shù)、不等式、方程、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等知識(shí)，滲透著函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)換、分類討論、換元等思想方法，有一定的綜合性，屬于能力題，在提升學(xué)生思維的靈活性、創(chuàng)造性等數(shù)學(xué)素養(yǎng)起到了積極的作用，成為高考的一個(gè)熱點(diǎn)．
能成立（有解）問(wèn)題常見(jiàn)類型
假設(shè)為自變量，其范圍設(shè)為，為函數(shù)；為參數(shù)，為其表達(dá)式，
（1）若的值域?yàn)?
①，則只需要
，則只需要
②，則只需要
，則只需要
（2）若的值域?yàn)?
① ，則只需要（注意與（1）中對(duì)應(yīng)情況進(jìn)行對(duì)比）
，則只需要
② ，則只需要（注意與（1）中對(duì)應(yīng)情況進(jìn)行對(duì)比）
，則只需要
能成立（有解）問(wèn)題的解決策略
= 1 \* GB3 ①構(gòu)造函數(shù)，分類討論；
②部分分離，化為切線；
③完全分離，函數(shù)最值；
= 4 \* GB3 ④換元分離，簡(jiǎn)化運(yùn)算；
在求解過(guò)程中，力求“腦中有‘形’，心中有‘?dāng)?shù)’”.依托端點(diǎn)效應(yīng)，縮小范圍，借助數(shù)形結(jié)合，尋找臨界.
一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解問(wèn)題設(shè)計(jì)獨(dú)特，試題形式多樣、變化眾多，涉及到函數(shù)、不等式、方程、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等知識(shí)，滲透著函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)換、分類討論、換元等思想方法，有一定的綜合性，屬于能力題，在提升學(xué)生思維的靈活性、創(chuàng)造性等數(shù)學(xué)素養(yǎng)起到了積極的作用，成為高考的一個(gè)熱點(diǎn)．
考點(diǎn)一、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)恒成立問(wèn)題
1．（2024·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；
(2)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．
【答案】(1)極小值為，無(wú)極大值.
(2)
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)可求函數(shù)的極值.
（2）求出函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，就、、分類討論后可得參數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
故，
因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，
故在上為增函數(shù)，而，
故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在處取極小值且極小值為，無(wú)極大值.
（2），
設(shè)，
則，
當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，
故，即，
所以在上為增函數(shù)，故.
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，
故在上為減函數(shù)，故在上，
即在上即為減函數(shù)，
故在上，不合題意，舍.
當(dāng)，此時(shí)在上恒成立，
同理可得在上恒成立，不合題意，舍；
綜上，.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)背景下不等式恒成立問(wèn)題，往往需要利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，有時(shí)還需要對(duì)導(dǎo)數(shù)進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)研究其符號(hào)特征，處理此類問(wèn)題時(shí)注意利用范圍端點(diǎn)的性質(zhì)來(lái)確定如何分類.
2．（2023·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
(2)若恒成立，求a的取值范圍．
【答案】(1)答案見(jiàn)解析.
(2)
【分析】（1）求導(dǎo),然后令,討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)即可;
（2）構(gòu)造,計(jì)算的最大值,然后與0比較大小,得出的分界點(diǎn),再對(duì)討論即可.
【詳解】（1）
令,則
則
當(dāng)
當(dāng),即.
當(dāng),即.
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減
（2）設(shè)
設(shè)
所以.
若,
即在上單調(diào)遞減,所以.
所以當(dāng),符合題意.
若
當(dāng),所以.
.
所以,使得,即,使得.
當(dāng),即當(dāng)單調(diào)遞增.
所以當(dāng),不合題意.
綜上,的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題采取了換元,注意復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性在定義域內(nèi)是減函數(shù),若,當(dāng),對(duì)應(yīng)當(dāng).
3．（2022·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍；
(3)設(shè)，證明：．
【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
(2)
(3)見(jiàn)解析
【分析】（1）求出，討論其符號(hào)后可得的單調(diào)性.
（2）設(shè)，求出，先討論時(shí)題設(shè)中的不等式不成立，再就結(jié)合放縮法討論符號(hào)，最后就結(jié)合放縮法討論的范圍后可得參數(shù)的取值范圍.
（3）由（2）可得對(duì)任意的恒成立，從而可得對(duì)任意的恒成立，結(jié)合裂項(xiàng)相消法可證題設(shè)中的不等式.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
（2）設(shè)，則，
又，設(shè)，
則，
若，則，
因?yàn)闉檫B續(xù)不間斷函數(shù)，
故存在，使得，總有，
故在為增函數(shù)，故，
故在為增函數(shù)，故，與題設(shè)矛盾.
若，則，
下證：對(duì)任意，總有成立，
證明：設(shè)，故，
故在上為減函數(shù)，故即成立.
由上述不等式有，
故總成立，即在上為減函數(shù)，
所以.
當(dāng)時(shí)，有，
所以在上為減函數(shù)，所以.
綜上，.
（3）取，則，總有成立，
令，則，
故即對(duì)任意的恒成立.
所以對(duì)任意的，有，
整理得到：，
故
，
故不等式成立.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)參數(shù)的不等式的恒成立問(wèn)題，應(yīng)該利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，注意結(jié)合端點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的符號(hào)合理分類討論，導(dǎo)數(shù)背景下數(shù)列不等式的證明，應(yīng)根據(jù)已有的函數(shù)不等式合理構(gòu)建數(shù)列不等式.
1．（2024·廣東汕頭·三模）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若恒成立，求的最小值．
【答案】(1)答案見(jiàn)詳解
(2)
【分析】（1）求導(dǎo)后，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，對(duì)與分類討論即可得；
（2）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，即可得解.
【詳解】（1）（），
當(dāng)時(shí)，由于，所以恒成立，從而在上遞增；
當(dāng)時(shí)，，；，，
從而在上遞增，在遞減；
綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，沒(méi)有單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）令，要使恒成立，
只要使恒成立，也只要使.
，
若，，所以恒成立，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，
所以，解得：，
可知的最小值為；
若，，所以恒成立，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，
所以在內(nèi)無(wú)最大值，且當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，不合題意；
綜上所述：的最小值為.
2．（2024·江蘇蘇州·三模）已知函數(shù).
(1)時(shí)，求的零點(diǎn)個(gè)數(shù);
(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值;
(3)求證:.
【答案】(1)2個(gè)
(2)
(3)證明見(jiàn)解答
【分析】（1），求導(dǎo)后令，再次求導(dǎo)可得，進(jìn)而可判斷的單調(diào)性，結(jié)合，的值可得結(jié)論；
（2）由題意可得，可得，進(jìn)而判斷時(shí)，不等式恒成立；
（3）利用，結(jié)合（2）以及放縮法可證明不等式.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，
所以，令，則，
所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，所以在上為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，所以在上為減函數(shù)，
又，，
且時(shí)，，則存在，，使得，
所以有兩個(gè)零點(diǎn).
（2）令由，得，
令所以，
令，可得，
所以在上為增函數(shù)，所以，
所以，所以，
所以在上單調(diào)遞增，所以，即，
所以恒成立，所以實(shí)數(shù)的最大值是實(shí)數(shù)；
（3）因?yàn)椋?br>由（2）可得，所以，
所以，
所以，
又，
所以.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：第三問(wèn)，考查放縮法證明不等式，其中證明不等式成立是關(guān)鍵.
3．（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)
(1)求的單調(diào)區(qū)間.
(2)若在時(shí)恒成立，求的取值范圍.
【答案】(1) 的單調(diào)遞增區(qū)間是單調(diào)遞減區(qū)間是
(2)
【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)有，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間即可；
（2）構(gòu)造函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：在時(shí)恒成立，求的取值范圍；根據(jù)，求出命題成立的必要條件，再驗(yàn)證充分性即可確定的取值范圍.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，定義域?yàn)椋?br>令，即，即，
解得，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
綜上所述，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是 .
（2）記，則，
所以，
根據(jù)題意原題可化為：在時(shí)恒成立，求的取值范圍；
因?yàn)?，所以在時(shí)恒成立的必要條件為，
即，即；
構(gòu)造函數(shù)，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
所以有，即在上恒成立，
令，當(dāng)時(shí)，有，
所以在上恒成立，
因?yàn)椋坏仁絻蛇呁瑫r(shí)乘以，
有在上恒成立，
即在上恒成立，
即時(shí)，在上恒成立，
綜上，是在時(shí)恒成立的充要條件，
所以的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：恒（能）成立問(wèn)題的解法：
若在區(qū)間上有最值，則
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分離常數(shù)，即將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：（或），則
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
4．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，.（注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
(1)若無(wú)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）法一，易知，無(wú)變號(hào)零點(diǎn)，考慮后參變分離為，原問(wèn)題等價(jià)于的圖像與無(wú)相交交點(diǎn)；法二，構(gòu)建，分，，結(jié)合根的存在性定理即可求解；
（2）法一，式子轉(zhuǎn)化為，即證即可，易知，則，分，，討論即可；法二，轉(zhuǎn)化為，求的最大值即可.
【詳解】（1）（方法一）易知，由無(wú)極值點(diǎn)可知，
無(wú)變號(hào)零點(diǎn)，令（*），
顯然時(shí)，（*）無(wú)零點(diǎn)，此時(shí)無(wú)極值點(diǎn)，滿足題意；
故當(dāng)（*）可變形得，
令，原問(wèn)題等價(jià)于的圖像與無(wú)相交交點(diǎn)，
又，則，，單調(diào)遞增；
，，單調(diào)遞減；
又趨于，趨于；趨于，趨于；.
可得的圖象如圖：
由圖可知，解得，
綜上，
（方法二）構(gòu)建，則
①當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)恒成立，在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，?br>所以有一個(gè)零點(diǎn)，即為的一個(gè)極值點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)恒成立，即無(wú)極值點(diǎn)；
③當(dāng)時(shí)，當(dāng)，；當(dāng)，，
所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，
若，則即.
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，，故，
故在上為增函數(shù)，
故，
故，
故當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)有兩個(gè)極值點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)恒成立，即無(wú)極值點(diǎn)；
綜上所述：
（2）（方法一）由可知，，
即，
令，即證，
易知，
則，
若，即時(shí)，
則，，單調(diào)遞增，，不符合題意；
若，即時(shí)，
則，，單調(diào)遞減，
，，單調(diào)遞增，
，，單調(diào)遞減，
又，故令，
解得，即，
若，即時(shí)，
則，，單調(diào)遞減，
，，單調(diào)遞增，
，，單調(diào)遞減，
故令
，
記，則恒成立，
所以在上單調(diào)遞減，
所以，即，
即對(duì)于任意，恒成立，
綜上所述，
（方法二）①當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，可得；
②當(dāng)時(shí)，可得恒成立，設(shè)，
則
.
可設(shè)，可得，
設(shè)，，
由，可得恒成立，可得在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞增，所以，
即恒成立，即在上單調(diào)遞增，所以，
再令，可得，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
所以，
所以，綜上可得的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，可通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值.
考點(diǎn)二、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)能成立（有解）問(wèn)題
1．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
(2)
【分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系即可求解；
（2）由已知不等式成立，先分離參數(shù)，結(jié)合成立與最值關(guān)系的轉(zhuǎn)化即可求解．
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>令，解得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
則的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
（2）依題意，存在，使得，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
故，因此，
故的取值范圍為．
2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的極值；
(2)若對(duì)任意有解，求的取值范圍.
【答案】(1)極小值為1，無(wú)極大值；
(2).
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可求極值；
（2）由題意可得任意有解，設(shè)，分、及討論即可求解.
【詳解】（1），得，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以的極小值為，無(wú)極大值；
（2）對(duì)任意即，
設(shè)，，
①當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，，成立；
②當(dāng)時(shí)，令單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，，成立；
③當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，，不成立.
綜上，.
3．（2024·湖南婁底·一模）已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)證明：；
(3)設(shè)，若存在實(shí)數(shù)使得，求的最大值.
【答案】(1)增區(qū)間為，減區(qū)間為；
(2)證明見(jiàn)解析；
(3).
【分析】（1）求出，判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）利用分析法轉(zhuǎn)化要證結(jié)論，要證，即證，令，即證，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求出最大值即可得證；
（3），分別討論當(dāng)時(shí)和時(shí)是否存在使得，即可求解.
【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為.
（2）要證，即證，令，即證，
，令，則，所以在上單調(diào)遞減，又，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，所以，即得證.
（3）當(dāng)時(shí)，，即存在滿足題意；
當(dāng)時(shí)，由（2）知，
，
此時(shí)恒成立，不滿足題意；
綜上，所以的最大值為.
1．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中為常數(shù).
(1)過(guò)原點(diǎn)作圖象的切線，求直線的方程；
(2)若，使成立，求的最小值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）設(shè)切點(diǎn)，求導(dǎo)得出切線方程，代入原點(diǎn)，求出參數(shù)即得切線方程；
（2）由題意，將其等價(jià)轉(zhuǎn)化為在有解，即只需求在上的最小值，利用導(dǎo)數(shù)分析推理即得的最小值.
【詳解】（1）
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線方程為，
因?yàn)榍芯€經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以，解得，
所以切線的斜率為，所以的方程為.
（2），，即成立，
則得在有解，
故有時(shí)，.
令，，，
令得；令得，
故在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
所以，
則，故的最小值為.
2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若不等式在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)答案見(jiàn)解析；
(2)．
【分析】（1）求出，分類討論確定和的解得單調(diào)性；
（2）用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化問(wèn)題為不等式在區(qū)間上有解，引入函數(shù)，求出的最小值即可得．
【詳解】（1）由題意知函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>而，
當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，由，得，
由，得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
（2）因?yàn)椴坏仁皆趨^(qū)間上有解，
所以在區(qū)間上有解，此時(shí)，
即在區(qū)間上有解，
令，則．
令，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以．
當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，所以，
綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．
3．（2024·山西運(yùn)城·一模）已知，函數(shù)，.
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)證明：存在唯一的極值點(diǎn)；
(3)若存在，使得對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
(3)
【分析】（1）求，代入計(jì)算即為斜率，求的值，結(jié)合點(diǎn)斜式即可求得切線方程.
（2）①研究當(dāng)時(shí)，的單調(diào)性，②研究當(dāng)時(shí)，令，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可知存在唯一，使得，即，進(jìn)而可證得的單調(diào)性，進(jìn)而可證得結(jié)果.
（3）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，由（2）可知，，，進(jìn)而可得存在，使得，設(shè)，，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求即可.
【詳解】（1）由題意知，，
所以，
又，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.
（2）證明：由，，
①當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，
②當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，
所以，故在上單調(diào)遞減，
又，，
所以由零點(diǎn)存在性定理可知，存在唯一，使得，即.
所以當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
綜述：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，存在唯一，使得.
故存在唯一的極值點(diǎn).
（3）由（2）可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故，
因?yàn)?，所以?br>由題意知，，
即，
化簡(jiǎn)得，，
設(shè)，，
由題存在，使得，
所以，.
又
設(shè)，，則，
所以在上單調(diào)遞減，
故，
當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，所以.
故的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：恒成立（能成立）問(wèn)題解題策略：
方法1：分離參數(shù)法求最值：
(1)分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題；
(2)恒成立?；
恒成立?；
能成立?；
能成立?；
方法2：根據(jù)不等式恒成立（能成立）構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問(wèn)題，一般需討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解．
1．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．
【答案】
【分析】方法一：令，所以，，再對(duì)分和兩種情況討論判斷是否成立即得解.
【詳解】[方法一]：由題得，
令，所以，
當(dāng)時(shí)，恒成立，僅當(dāng)時(shí)，
在單調(diào)遞增，所以，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.
所以滿足題意；
當(dāng)時(shí)，得，得，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
又，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，
又，所以函數(shù)在上，與已知矛盾，不合題意，所以舍去.
綜上所述：.
[方法二]：，由指數(shù)不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．
得，從而當(dāng)，即時(shí)，，
而，于是當(dāng)時(shí)，．
由可得
從而當(dāng)時(shí)，1），
故當(dāng)時(shí)，，而，當(dāng)時(shí)，0，不合題意．
綜合得的取值范圍為．
2．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，實(shí)數(shù)使得對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．
【答案】2
【分析】轉(zhuǎn)化為在上恒成立，根據(jù)且在上恒成立，得到，由得到，再論證時(shí)，即可.
【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)使得對(duì)恒成立，
所以在上恒成立．
∵且在上恒成立，
∴，又．
由，，使在單調(diào)遞增，解得．
當(dāng)時(shí)，在上恒成立，
即在上遞增，故恒成立．故滿足題意．
3．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若恒成立，求a的值．
【答案】(1)答案見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)分類討論進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)法進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?br>若，則，在上單調(diào)遞增．
若，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
（2）由（1）知，若，則當(dāng)時(shí)，，矛盾．
因此．由（1）知此時(shí)．
恒成立等價(jià)于恒成立．
設(shè)，即恒成立，
則，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，
顯然函數(shù)在處有唯一零點(diǎn)，且．
而恒成立，所以，
所以．
4．（23-24高三上·貴州安順·期末）已知函數(shù)
(1)求的單調(diào)增區(qū)間；
(2)方程在有解，求實(shí)數(shù)m的范圍.
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，；
(2).
【分析】（1）求導(dǎo)，解不等式求出單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）先求出在區(qū)間上的最大值為4，最小值為1，從而得到答案.
【詳解】（1）的定義域?yàn)镽，
，
當(dāng)時(shí)，；時(shí)，；
故單調(diào)增區(qū)間為，；
（2）由（1）知，函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，
在區(qū)間上單調(diào)遞減，
∵，，，，
∴，，
故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4，最小值為1，
∴，
∴.
5．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值；
(2)若對(duì)定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)都有，求的取值范圍．
【答案】(1)0
(2)
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的最值.
（2）先利用端點(diǎn)效應(yīng)猜想的取值范圍再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求證出猜想的正確性.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?br>所以，令，得，令，得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以的最大值為．
（2）因?yàn)楹愠闪?，所以，得?br>下面證明：當(dāng)時(shí)，．
證明如下：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，
又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，又因?yàn)?，所以時(shí)，．
綜上，的取值范圍為．
6．（22-23高三上·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，求證：，．
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
(2)見(jiàn)解析.
【分析】（1）求導(dǎo)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即可解決；（2）由令新函數(shù)，求導(dǎo)，由，再令新函數(shù)，證明在上恒成立，即可得證.
【詳解】（1）由題知，
所以，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，
（2）由題知，，，
所以，
因?yàn)椋?br>所以
令
即證在上恒成立，
因?yàn)?br>當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，?br>令，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，
所以恒成立，
因?yàn)椋?br>所以在上恒成立，即得證.
7．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，其圖象在點(diǎn)處的切線方程為．
(1)求，的值與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若對(duì)，，不等式恒成立，求的取值范圍．
【答案】(1)，；的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為
(2)
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得從而求得，．進(jìn)而令得增區(qū)間，令得減區(qū)間；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在上的最大值為8，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為，解不等式即可.
【詳解】（1），
，
函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為．
解得，．
，
令，解得或；令，解得．
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）由（1）可得：，．
令，則，
所以當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下：
由表格可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，，又．
函數(shù)在上的最大值為8．
由，不等式恒成立，．
，
解得或．
的取值范圍是．
8．（23-24高三上·江蘇常州·期中）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)對(duì)于，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)答案見(jiàn)解析；
(2).
【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，討論、研究導(dǎo)數(shù)符號(hào)確定區(qū)間單調(diào)性；
（2）問(wèn)題化為對(duì)恒成立，討論、求參數(shù)范圍.
【詳解】（1）由題設(shè)且，
當(dāng)時(shí)在上遞減；
當(dāng)時(shí)，令，
當(dāng)時(shí)在區(qū)間上遞減；
當(dāng)時(shí)在上遞增．
所以當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，無(wú)增區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，減區(qū)間為.
（2）由題設(shè)知對(duì)恒成立．
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，不合題設(shè)，舍去．
當(dāng)時(shí)，在上遞增，只需符合．
綜上：．
9．（2024·吉林白山·二模）已知函數(shù).
(1)若，求曲線在處的切線方程；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、直線的點(diǎn)斜式方程進(jìn)行求解即可；
（2）對(duì)不等式進(jìn)行常變量分離，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可.
【詳解】（1），
因此，而，
故所求切線方程為，即；
（2）依題意，，故對(duì)任意恒成立.
令，則，
令，解得.
故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
則當(dāng)時(shí)，取到極大值，也是最大值2.
故實(shí)數(shù)的取值范圍為.
10．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，不等式在上存在實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為
(2)
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的遞增遞減區(qū)間即得；
（2）通過(guò)代入不等式整理成在上存在實(shí)數(shù)解問(wèn)題，故可轉(zhuǎn)化成求函數(shù)在得最小值問(wèn)題，計(jì)算即得.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
∴，由，得，由，得，
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；
（2）原條件等價(jià)于：在上存在實(shí)數(shù)解．
化為在上存在實(shí)數(shù)解，
令，
則，
∴在上，，得，故在上單調(diào)遞增，
∴的最小值為，
∴時(shí)，不等式在上存在實(shí)數(shù)解．
1．（2024·浙江紹興·二模）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，進(jìn)而求出切線方程；
（2）分和討論，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合不等式放縮判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)，結(jié)合單調(diào)性驗(yàn)證恒成立是否滿足.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，
所以切線斜率為，又，
所以，切線方程是.
（2）①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以?br>所以.
記，則，
令，則.
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，，
所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，，所以.
②當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
令，則，
若，則，即在區(qū)間上單調(diào)遞增.
若，則，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.
所以當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增.
因?yàn)椋?br>所以，存在，使得，
所以，當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，不滿足題意.
綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
2．（23-24高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知．
(1)討論的單調(diào)性和極值；
(2)若時(shí)，有解，求的取值范圍．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，，討論和兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性和極值；
（2）首先不等式參變分離為，在時(shí)有解，再構(gòu)造函數(shù)，，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值.
【詳解】（1），
當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，無(wú)極值；
當(dāng)時(shí)，令，得，
，得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
，得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當(dāng)，函數(shù)取得極小值，
綜上可知，時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，無(wú)增區(qū)間，無(wú)極值；
時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間，極小值，無(wú)極大值.
（2）由題意可知，，時(shí)有解，
則，在時(shí)有解，即，
設(shè)，，
，
令，得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以的最大值為，即，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
3．（2024·陜西渭南·二模）已知函數(shù)，.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】(1)遞減區(qū)間為，無(wú)遞增區(qū)間；
(2).
【分析】（1）求出函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間.
（2）等價(jià)變形給定不等式得，令并求出值域，再換元并分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最小值即得.
【詳解】（1）依題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>求導(dǎo)得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
即在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)的遞減區(qū)間為，無(wú)遞增區(qū)間.
（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，
令，求導(dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即函數(shù)在上遞減，在上遞增，則當(dāng)時(shí)，，
令，依題意，，恒成立，
令，求導(dǎo)得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，因此，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：涉及不等式恒成立問(wèn)題，將給定不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)單調(diào)性、最值是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.
4．（2024·山東德州·三模）設(shè)函數(shù)，，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
(1)求的值;
(2)求證:方程僅有一個(gè)實(shí)根;
(3)對(duì)任意，有，求正數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
(3)
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合切線和曲線，以及切點(diǎn)的關(guān)系，即可列式求解；
（2）分，和三種情況，分析函數(shù)的性質(zhì)，判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（3）令，分和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的最值，即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br>又點(diǎn)在切線上，所以，所以，
又，即，所以；
（2）證明: 欲證方程僅有一個(gè)實(shí)根，只需證明僅有一個(gè)實(shí)根，
令，且，則，
令，則，
討論: 當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，所以，即，
所以在上單調(diào)遞增，，即此時(shí)無(wú)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)有一個(gè)零點(diǎn):
當(dāng)時(shí)，，
即
所以，當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)無(wú)零點(diǎn)，
綜上，僅有一個(gè)零點(diǎn)，得證.
（3）當(dāng)時(shí)，，即恒成立，
令，則，
由（2）可知，時(shí)，，
所以，
討論: 當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以?br>即，所以，
所以在時(shí)單調(diào)遞增，
所以恒成立，即滿足條件，
當(dāng)時(shí)，由，可知，
又，所以存在，使得，
所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，即不能保證恒成立
綜上，正數(shù)的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的第二問(wèn)的關(guān)鍵是需分三段討論函數(shù)的性質(zhì)，第三問(wèn)的關(guān)鍵是對(duì)分2種情況討論函數(shù)的性質(zhì).
5．（2024·江蘇宿遷·三模）已知函數(shù)．
(1)若曲線在處的切線的方程為，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若函數(shù)恒成立，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出，由建立等式求出，代入計(jì)算即可；
（2）先求出，令，設(shè)，使得，即，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求出，根據(jù)不等式恒成立建立不等式得，計(jì)算即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋瘮?shù)的定義域?yàn)椋?br>所以，
由曲線在處的切線的方程為，得，
所以，
設(shè)，，
所以函數(shù)是上的遞增函數(shù)，又，
所以方程有唯一解，
所以，，
所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，代入直線方程得．
（2），定義域?yàn)椋?br>，
設(shè)，所以，
所以在上遞減，又，，
所以當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)遞增，
當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)遞減，
所以函數(shù)的最大值，
又，
所以，
所以，
因?yàn)楹愠闪?，即恒成立?br>設(shè)，則，所以遞增，
所以，即恒成立，
因?yàn)樵谏线f減，且，
所以只需恒成立，即，
又，所以．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第一問(wèn)求解的關(guān)鍵在于根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立等式求出，在解的過(guò)程中要注意說(shuō)明解得唯一性；第二問(wèn)求解關(guān)鍵在于分母恒大于零，在探究導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性時(shí)只需對(duì)導(dǎo)函數(shù)分子求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出，再根據(jù)不等式恒成立建立不等式得，最后計(jì)算可得.
6．（2024·青海海西·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)令，若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)答案見(jiàn)解析
(2)．
【分析】（1）求導(dǎo)得，利用判別式分類討論可求單調(diào)區(qū)間；
（2），可得，進(jìn)而證明時(shí)恒成立，利用放縮法與構(gòu)造函數(shù)法可求解.
【詳解】（1）由，，
①當(dāng)時(shí)，，可得，此時(shí)函數(shù)在R上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，，關(guān)于x的一元方程的兩根為，
此時(shí)函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，；
（2）若恒成立，必有，可得，
下面證明時(shí)恒成立.
由及，有，
要證不等式，只需證，
又由，只需證，
令，
有，
令，有，
①當(dāng)時(shí)，，，
有；
②當(dāng)時(shí)，，，
有．
由①②可知，故函數(shù)單調(diào)遞增，
又由，可知當(dāng)時(shí)，即；
當(dāng)時(shí)，即，可得函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，
有．
由上知，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問(wèn)題的求解策略：
（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．
（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別．
7．（2024·四川瀘州·二模）已知函數(shù)．
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；
（2）先利用導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性，再構(gòu)造，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，利用的單調(diào)性，分析得，從而得解.
【詳解】（1）因?yàn)椋瑒t，
所以，，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）因?yàn)?，且?br>所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增；
不妨令，
當(dāng)，即時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
且，
所以，此時(shí)符合題意；
當(dāng)，即時(shí)，在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
顯然在處取得極小值，此時(shí)極小值為，
而，
所以，
要使，則必有，解得，故，
綜上:的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：
（1）有解；有解．
（2）有解；有解．
（3）有解；有解．
（4），，．
8．（2024·廣東梅州·一模）已知函數(shù).
(1)若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，求的值；
(2)若在上恒成立，求的取值范圍；
(3)證明：（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.
【答案】(1)
(2)
(3)證明詳見(jiàn)解析
【分析】（1）由求得，驗(yàn)證后確定的值.
（2）對(duì)進(jìn)行分類討論，根據(jù)在區(qū)間上的最小值不小于求得的取值范圍.
（3）將要證明的不等式轉(zhuǎn)化為證明，結(jié)合（2）的結(jié)論來(lái)證得不等式成立.
【詳解】（1），定義域?yàn)椋?br>，因?yàn)槭堑囊粋€(gè)極值點(diǎn)，
所以.
此時(shí)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，
在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以是的極小值點(diǎn)，符合題意，
所以.
（2）因?yàn)樵谏虾愠闪?，所?
當(dāng)時(shí)，在上恒成立，
在上單調(diào)遞增，所以成立，符合題意.
當(dāng)時(shí)，令，得，
令，得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，這與矛盾.
綜上所述，的取值范圍是.
（3）要證明，即證明，即證明，
由（2）得時(shí)，在上單調(diào)遞增，
所以，
從而原不等式成立.
【點(diǎn)睛】求解函數(shù)在區(qū)間上的最值的步驟：（1）確定的定義域；（2）計(jì)算導(dǎo)數(shù)；（3）求出的根；（4）用的根將的定義域分成若干個(gè)區(qū)間，考查這若干個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，進(jìn)而確定的單調(diào)區(qū)間；（5）根據(jù)單調(diào)區(qū)間來(lái)求得最值.
9．（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)求過(guò)原點(diǎn)的切線方程；
(2)求證：存在，使得在區(qū)間內(nèi)恒成立，且在內(nèi)有解.
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的切線方程；
（2）利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷恒成立問(wèn)題
【詳解】（1），設(shè)切點(diǎn)
切線方程：
切線過(guò)原點(diǎn)，解得
切線方程：
（2）設(shè)，
則，故
當(dāng)時(shí)，，則，即在單調(diào)遞增，
且且時(shí)，存在唯一使得①.
在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.
滿足在區(qū)間內(nèi)有唯一解，只需滿足即可.
所以，
將①帶入化簡(jiǎn)得：，
即，得（舍），，
則，此時(shí)①變形為，
不妨設(shè)，顯然在上單調(diào)遞增.
.
，則結(jié)論得證
10．（2024·貴州安順·二模）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若對(duì)任意的，存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)答案見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）求出定義域，求導(dǎo)，分和兩種情況，得到函數(shù)的單調(diào)性；
（2）變形得到，在（1）的基礎(chǔ)上得到，從而，再令，，得到，令，，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，求出最小值為，從而得到不等式，求出的取值范圍.
【詳解】（1）的定義域?yàn)椋瑒t，
當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
（2）由題意得，對(duì)任意的，存在，使得，即，
由（1）知，時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
故在處取得極小值，也是最小值，
故，即證，
令，，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故，
令，，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故在處取得極小值，也是最小值，且，
綜上，都在上取得最值，從而，解得，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問(wèn)題，一般有三個(gè)方法，一是分離參數(shù)法, 使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，通過(guò)對(duì)具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)，通過(guò)兩個(gè)函數(shù)圖像確定條件.
1．（2021·天津·高考真題）已知，函數(shù)．
（I）求曲線在點(diǎn)處的切線方程：
（II）證明存在唯一的極值點(diǎn)
（III）若存在a，使得對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．
【答案】（I）；（II）證明見(jiàn)解析；（III）
【分析】（I）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即切線斜率，求出，即可求出切線方程；
（II）令，可得，則可化為證明與僅有一個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出的變化情況，數(shù)形結(jié)合即可求解；
（III）令，題目等價(jià)于存在，使得，即，利用導(dǎo)數(shù)即可求出的最小值.
【詳解】（I），則，
又，則切線方程為；
（II）令，則，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，畫出大致圖像如下：
所以當(dāng)時(shí)，與僅有一個(gè)交點(diǎn)，令，則，且，
當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞減，
為的極大值點(diǎn)，故存在唯一的極值點(diǎn)；
（III）由（II）知，此時(shí)，
所以，
令，
若存在a，使得對(duì)任意成立，等價(jià)于存在，使得，即，
，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，故，
所以實(shí)數(shù)b的取值范圍.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第二問(wèn)解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為證明與僅有一個(gè)交點(diǎn)；第三問(wèn)解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為存在，使得，即.
2．（2020·山東·高考真題）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；
（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出在點(diǎn)切線方程，即可得到坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)三角形面積公式得結(jié)果；
（2）方法一：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)a=1時(shí)，由得,符合題意；當(dāng)a>1時(shí)，可證，從而存在零點(diǎn)，使得，得到，利用零點(diǎn)的條件，結(jié)合指數(shù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)后，利用基本不等式可以證得恒成立；當(dāng)時(shí)，研究.即可得到不符合題意.綜合可得a的取值范圍.
【詳解】（1），，.
，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1+e),
∴函數(shù)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為,即,
切線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)分別為,
∴所求三角形面積為．
（2）［方法一］：通性通法
,，且.
設(shè),則
∴g(x)在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，,∴,∴成立.
當(dāng)時(shí)，，，,
∴存在唯一，使得，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，
因此
>1,
∴∴恒成立；
當(dāng)時(shí)， ∴不是恒成立.
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).
［方法二］【最優(yōu)解】：同構(gòu)
由得，即，而，所以．
令，則，所以在R上單調(diào)遞增．
由，可知，所以，所以．
令，則．
所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．
所以，則，即．
所以a的取值范圍為．
［方法三］：換元同構(gòu)
由題意知，令，所以，所以．
于是．
由于，而在時(shí)為增函數(shù)，故，即，分離參數(shù)后有．
令，所以．
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為．所以．
［方法四］：
因?yàn)槎x域?yàn)?，且，所以，即?br>令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．
因?yàn)?，所以時(shí)，有，即．
下面證明當(dāng)時(shí)，恒成立．
令，只需證當(dāng)時(shí)，恒成立．
因?yàn)椋栽趨^(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則．
因此要證明時(shí)，恒成立，只需證明即可．
由，得．
上面兩個(gè)不等式兩邊相加可得，故時(shí)，恒成立．
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋@然不滿足恒成立．
所以a的取值范圍為．
【整體點(diǎn)評(píng)】（2）方法一：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出其最小值，由即可求出，解法雖稍麻煩，但是此類題，也是本題的通性通法；
方法二：利用同構(gòu)思想將原不等式化成，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及分離參數(shù)法即可求出，是本題的最優(yōu)解；
方法三：通過(guò)先換元，令，再同構(gòu)，可將原不等式化成，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及分離參數(shù)法求出；
方法四：由特殊到一般，利用可得的取值范圍，再進(jìn)行充分性證明即可．
3．（2020·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù).
（1）當(dāng)a=1時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.
【答案】（1）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.（2）
【分析】(1)由題意首先對(duì)函數(shù)二次求導(dǎo)，然后確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，最后確定原函數(shù)的單調(diào)性即可.
(2)方法一：首先討論x=0的情況，然后分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)研究構(gòu)造所得的函數(shù)的最大值即可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，，，
由于，故單調(diào)遞增，注意到，故：
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.
(2) [方法一]【最優(yōu)解】：分離參數(shù)
由得，，其中，
①.當(dāng)x=0時(shí)，不等式為：，顯然成立，符合題意；
②.當(dāng)時(shí)，分離參數(shù)a得，，
記，，
令，
則，，
故單調(diào)遞增，，
故函數(shù)單調(diào)遞增，，
由可得：恒成立，
故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
因此，,
綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
[方法二]：特值探路
當(dāng)時(shí)，恒成立．
只需證當(dāng)時(shí)，恒成立．
當(dāng)時(shí)，．
只需證明⑤式成立．
⑤式，
令，
則，
所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；
當(dāng)單調(diào)遞增；
當(dāng)單調(diào)遞減．
從而，即，⑤式成立．
所以當(dāng)時(shí)，恒成立．
綜上．
[方法三]：指數(shù)集中
當(dāng)時(shí)，恒成立，
記，
，
①.當(dāng)即時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，不合題意；
②.若即時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，
所以若滿足，只需，即，所以當(dāng)時(shí)，成立；
③當(dāng)即時(shí)，，又由②可知時(shí)，成立，所以時(shí)，恒成立，
所以時(shí)，滿足題意.
綜上，.
【整體點(diǎn)評(píng)】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問(wèn)題，常用方法技巧有：
方法一，分離參數(shù)，優(yōu)勢(shì)在于分離后的函數(shù)是具體函數(shù)，容易研究；
方法二，特值探路屬于小題方法，可以快速縮小范圍甚至得到結(jié)果，但是解答題需要證明，具有風(fēng)險(xiǎn)性；
方法三，利用指數(shù)集中，可以在求導(dǎo)后省去研究指數(shù)函數(shù)，有利于進(jìn)行分類討論，具有一定的技巧性！
4．（2019·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)f（x）=2sinx－xcsx－x，f′（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù)．
（1）證明：f′（x）在區(qū)間（0，π）存在唯一零點(diǎn)；
（2）若x∈[0，π]時(shí)，f（x）≥ax，求a的取值范圍．
【答案】（1）見(jiàn)解析；
（2）.
【分析】（1）求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)后，設(shè)為進(jìn)行再次求導(dǎo)，可判斷出當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，從而得到單調(diào)性，由零點(diǎn)存在定理可判斷出唯一零點(diǎn)所處的位置，證得結(jié)論；（2）構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)二次求導(dǎo)可判斷出，；分別在，，和的情況下根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷單調(diào)性，從而確定恒成立時(shí)的取值范圍.
【詳解】（1）
令，則
當(dāng)時(shí)，令，解得：
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減
又，，
即當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無(wú)零點(diǎn)，即無(wú)零點(diǎn)
，使得
又在上單調(diào)遞減為，即在上的唯一零點(diǎn)
綜上所述：在區(qū)間存在唯一零點(diǎn)
（2）若時(shí)，，即恒成立
令
則，
由（1）可知，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減
且，，
，
①當(dāng)時(shí)，，即在上恒成立
在上單調(diào)遞增
，即，此時(shí)恒成立
②當(dāng)時(shí)，，，
，使得
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
又，
在上恒成立，即恒成立
③當(dāng)時(shí)，，
，使得
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
時(shí)，，可知不恒成立
④當(dāng)時(shí)，
在上單調(diào)遞減
可知不恒成立
綜上所述：
【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)、根據(jù)恒成立的不等式求解參數(shù)范圍的問(wèn)題.對(duì)于此類端點(diǎn)值恰為恒成立不等式取等的值的問(wèn)題，通常采用構(gòu)造函數(shù)的方式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)變成函數(shù)最值與零之間的比較，進(jìn)而通過(guò)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來(lái)確定所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，從而得到最值.
5．（2017·全國(guó)·高考真題）設(shè)函數(shù).
（I）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（II）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（I）函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（II）.
【詳解】試題分析：（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)確定單調(diào)區(qū)間；（2）對(duì)分類討論，當(dāng)a≥1時(shí)，，滿足條件；當(dāng)時(shí)，取，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，取，.
試題解析：解（1）f ’(x)=(1-2x-x2)ex
令f’(x)=0得x=-1- ，x=-1+
當(dāng)x∈（-∞，-1-）時(shí)，f’(x)0；當(dāng)x∈（-1+，+∞）時(shí)，f’(x)

相關(guān)學(xué)案

相關(guān)學(xué)案更多

相關(guān)學(xué)案

相關(guān)學(xué)案 更多

相關(guān)學(xué)案更多