【真題自測】2
【考點突破】2
【考點1】分離參數(shù)法求參數(shù)范圍2
【考點2】分類討論法求參數(shù)范圍4
【考點3】雙變量的恒(能)成立問題5
【分層檢測】6
【基礎篇】6
【能力篇】7
【培優(yōu)篇】8
真題自測
一、解答題
1．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)
(1)當時，討論的單調(diào)性；
(2)若恒成立，求a的取值范圍．
2．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)證明：當時，．
3．（2023·全國·高考真題）（1）證明：當時，；
（2）已知函數(shù)，若是的極大值點，求a的取值范圍．
4．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)．
(1)當時，討論的單調(diào)性；
(2)當時，，求a的取值范圍；
(3)設，證明：．
5．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)．
(1)若，求a的取值范圍；
(2)證明：若有兩個零點，則．
考點突破
【考點1】分離參數(shù)法求參數(shù)范圍
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
2．（23-24高三上·全國·階段練習）已知函數(shù)，則下列結論中正確的是（ ）
A．當時，曲線在處的切線方程為
B．在上的最大值與最小值之和為0
C．若在上為增函數(shù)，則a的取值范圍為
D．在上至多有3個零點
三、填空題
3．（2024·江西·模擬預測）已知關于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 .
四、解答題
4．（23-24高二下·江蘇·期中）設函數(shù)，．
(1)若曲線在點處的切線與直線垂直，求的值：（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）；
(2)在（1）的條件下求的單調(diào)區(qū)間和極小值：
(3)若在上存在增區(qū)間，求的取值范圍．
5．（23-24高二下·江蘇蘇州·階段練習）已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)在處取到極值，求實數(shù)a的值；
(2)若,對于任意,當時，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
6．（23-24高三下·四川巴中·階段練習）函數(shù)；
(1)當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)在恒成立，求整數(shù)的最大值.
反思提升：
分離參數(shù)法解決恒(能)成立問題的策略
(1)分離變量.構造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.
(2)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；
a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min；
a≥f(x)能成立?a≥f(x)min；
a≤f(x)能成立?a≤f(x)max.
【考點2】分類討論法求參數(shù)范圍
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
2．（2024·江西·二模）若恒成立，則實數(shù)的取值可以是（ ）
A．0B．C．D．
三、填空題
3．（2024·上海虹口·二模）已知關于的不等式對任意均成立，則實數(shù)的取值范圍為 .
四、解答題
4．（2024·吉林長春·模擬預測）已知，函數(shù).
(1)當時，求的最小值；
(2)若時，恒成立，求的取值范圍.
5．（2024·陜西渭南·二模）已知函數(shù)，其中.
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若恒成立，求.
6．（2024·浙江紹興·二模）已知函數(shù).
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)當時，，求實數(shù)的取值范圍.
反思提升：
根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)范圍的關鍵是將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，此類問題關鍵是對參數(shù)分類討論，在參數(shù)的每一段上求函數(shù)的最值，并判斷是否滿足題意，若不滿足題意，只需找一個值或一段內(nèi)的函數(shù)值不滿足題意即可.
【考點3】雙變量的恒(能)成立問題
一、單選題
1．（2024·河南鄭州·三模）設，且，則（ ）
A．若，則B．若，則存在且不唯一
C．D．
二、多選題
2．（23-24高三下·重慶·階段練習）設函數(shù)，下面四個結論中正確的是（ ）
A．函數(shù)在上單調(diào)遞增
B．函數(shù)有且只有一個零點
C．函數(shù)的值域為
D．對任意兩個不相等的正實數(shù)，若，則
三、填空題
3．（2023·山西臨汾·模擬預測）已知，恒成立，則 ．
四、解答題
4．（2024·重慶·模擬預測）函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)有兩個極值點，曲線上兩點，連線斜率記為k，求證：；
(3)盒子中有編號為1~100的100個小球（除編號外無區(qū)別），有放回的隨機抽取20個小球，記抽取的20個小球編號各不相同的概率為p，求證：．
5．（2024·河南商丘·模擬預測）已知函數(shù)的定義域為，其導函數(shù)．
(1)求曲線在點處的切線的方程，并判斷是否經(jīng)過一個定點；
(2)若，滿足，且，求的取值范圍．
6．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，．
(1)若存在零點，求a的取值范圍；
(2)若，為的零點，且，證明：．
反思提升：
含參不等式能成立問題(有解問題)可轉(zhuǎn)化為恒成立問題解決，常見的轉(zhuǎn)化有：
(1)?x1∈M，?x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x)min>g(x)min.
(2)?x1∈M，?x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x)min>g(x)max.
(3)?x1∈M，?x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x)max>g(x)min.
(4)?x1∈M，?x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x)max>g(x)max.
分層檢測
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·陜西·模擬預測），有恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二下·安徽蕪湖·期中）已知函數(shù)存在兩個零點，則實數(shù)t的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
3．（22-23高二上·山東菏澤·期末）已知函數(shù)與函數(shù)的圖像上恰有兩對關于軸對稱的點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·云南昆明·模擬預測）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（ ）
A．B．C．eD．
二、多選題
5．（23-24高三上·新疆伊犁·階段練習）下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（22-23高二下·甘肅定西·階段練習）若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)a的可能取值是（ ）
A．－10B．－9C．2D．3
7．（2023·全國·模擬預測）設函數(shù)，若恒成立，則滿足條件的正整數(shù)可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
三、填空題
8．（23-24高二下·天津濱海新·階段練習）已知函數(shù)，若關于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 .
9．（20-21高二下·河北石家莊·期末）已知函數(shù)，，如果對任意的，，都有成立，則實數(shù)a的取值范圍是 ．
10．（23-24高二上·陜西榆林·期末）已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則的最小值為 .
四、解答題
11．（23-24高三上·河南·階段練習）已知函數(shù)．
(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，不等式在上存在實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．
12．（21-22高三上·安徽滁州·階段練習）已知函數(shù)，在處取得極小值．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)求函數(shù)的極值；
(3)設函數(shù)，若對于任意，總存在，使得，求實數(shù)a的取值范圍．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024高三·全國·專題練習）函數(shù)對任意成立，則的最小值為（ ）
A．4B．3C．D．2
二、多選題
2．（23-24高二下·河南·階段練習）已知函數(shù)，則下列結論正確的是（ ）
A．存在，使得的圖象與軸相切
B．存在，使得有極大值
C．若，則
D．若，則關于的方程有且僅有3個不等的實根
三、填空題
3．（2022高三上·河南·專題練習）已知，，若曲線上總存在不同的兩點，使曲線在兩點處的切線互相平行，則的取值范圍為 ．
四、解答題
4．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，，.
(1)若的最小值為0，求的值；
(2)當時，證明：方程在上有解.
【培優(yōu)篇】
一、解答題
1．（2024·上海楊浦·二模）函數(shù)、的定義域均為，若對任意兩個不同的實數(shù)，，均有或成立，則稱與為相關函數(shù)對.
(1)判斷函數(shù)與是否為相關函數(shù)對，并說明理由；
(2)已知與為相關函數(shù)對，求實數(shù)的取值范圍；
(3)已知函數(shù)與為相關函數(shù)對，且存在正實數(shù)，對任意實數(shù)，均有.求證：存在實數(shù)，使得對任意，均有.
2．（2024·河北保定·二模）已知函數(shù)為其導函數(shù)．
(1)若恒成立，求的取值范圍；
(2)若存在兩個不同的正數(shù)，使得，證明：．
3．（2023·河南·三模）已知函數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)．
(1)若此函數(shù)的圖象與直線交于點P，求該曲線在點P處的切線方程；
(2)判斷不等式的整數(shù)解的個數(shù)；
(3)當時，，求實數(shù)a的取值范圍．
專題18 利用導數(shù)研究不等式恒(能)成立問題（新高考專用）
目錄
【真題自測】2
【考點突破】12
【考點1】分離參數(shù)法求參數(shù)范圍12
【考點2】分類討論法求參數(shù)范圍20
【考點3】雙變量的恒(能)成立問題27
【分層檢測】37
【基礎篇】37
【能力篇】46
【培優(yōu)篇】50
真題自測
一、解答題
1．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)
(1)當時，討論的單調(diào)性；
(2)若恒成立，求a的取值范圍．
2．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)證明：當時，．
3．（2023·全國·高考真題）（1）證明：當時，；
（2）已知函數(shù)，若是的極大值點，求a的取值范圍．
4．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)．
(1)當時，討論的單調(diào)性；
(2)當時，，求a的取值范圍；
(3)設，證明：．
5．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)．
(1)若，求a的取值范圍；
(2)證明：若有兩個零點，則．
參考答案：
1．(1)答案見解析.
(2)
【分析】（1）求導,然后令,討論導數(shù)的符號即可;
（2）構造,計算的最大值,然后與0比較大小,得出的分界點,再對討論即可.
【詳解】（1）
令,則
則
當
當,即.
當,即.
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減
（2）設
設
所以.
若,
即在上單調(diào)遞減,所以.
所以當,符合題意.
若
當,所以.
.
所以,使得,即,使得.
當,即當單調(diào)遞增.
所以當,不合題意.
綜上,的取值范圍為.
【點睛】關鍵點點睛:本題采取了換元,注意復合函數(shù)的單調(diào)性在定義域內(nèi)是減函數(shù),若,當,對應當.
2．(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）先求導，再分類討論與兩種情況，結合導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系即可得解；
（2）方法一：結合（1）中結論，將問題轉(zhuǎn)化為的恒成立問題，構造函數(shù)，利用導數(shù)證得即可.
方法二：構造函數(shù)，證得，從而得到，進而將問題轉(zhuǎn)化為的恒成立問題，由此得證.
【詳解】（1）因為，定義域為，所以，
當時，由于，則，故恒成立，
所以在上單調(diào)遞減；
當時，令，解得，
當時，，則在上單調(diào)遞減；
當時，，則在上單調(diào)遞增；
綜上：當時，在上單調(diào)遞減；
當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）方法一：
由（1）得，，
要證，即證，即證恒成立，
令，則，
令，則；令，則；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，則恒成立，
所以當時，恒成立，證畢.
方法二：
令，則，
由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，
又，
所以當時，；當時，；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，則，當且僅當時，等號成立，
因為，
當且僅當，即時，等號成立，
所以要證，即證，即證，
令，則，
令，則；令，則；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，則恒成立，
所以當時，恒成立，證畢.
3．（1）證明見詳解（2）
【分析】（1）分別構建，，求導，利用導數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進而可得結果；
（2）根據(jù)題意結合偶函數(shù)的性質(zhì)可知只需要研究在上的單調(diào)性，求導，分類討論和，結合（1）中的結論放縮，根據(jù)極大值的定義分析求解.
【詳解】（1）構建，則對恒成立，
則在上單調(diào)遞增，可得，
所以；
構建，
則，
構建，則對恒成立，
則在上單調(diào)遞增，可得，
即對恒成立，
則在上單調(diào)遞增，可得，
所以；
綜上所述：.
（2）令，解得，即函數(shù)的定義域為，
若，則，
因為在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故是的極小值點，不合題意，所以.
當時，令
因為，
且，
所以函數(shù)在定義域內(nèi)為偶函數(shù)，
由題意可得：，
（i）當時，取，，則，
由（1）可得，
且，
所以，
即當時，，則在上單調(diào)遞增，
結合偶函數(shù)的對稱性可知：在上單調(diào)遞減，
所以是的極小值點，不合題意；
（ⅱ）當時，取，則，
由（1）可得，
構建，
則，
且，則對恒成立，
可知在上單調(diào)遞增，且，
所以在內(nèi)存在唯一的零點，
當時，則，且，
則，
即當時，，則在上單調(diào)遞減，
結合偶函數(shù)的對稱性可知：在上單調(diào)遞增，
所以是的極大值點，符合題意；
綜上所述：，即，解得或，
故a的取值范圍為.
【點睛】關鍵點睛：
1.當時，利用，換元放縮；
2.當時，利用，換元放縮.
4．(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
(2)
(3)見解析
【分析】（1）求出，討論其符號后可得的單調(diào)性.
（2）設，求出，先討論時題設中的不等式不成立，再就結合放縮法討論符號，最后就結合放縮法討論的范圍后可得參數(shù)的取值范圍.
（3）由（2）可得對任意的恒成立，從而可得對任意的恒成立，結合裂項相消法可證題設中的不等式.
【詳解】（1）當時，，則，
當時，，當時，，
故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
（2）設，則，
又，設，
則，
若，則，
因為為連續(xù)不間斷函數(shù)，
故存在，使得，總有，
故在為增函數(shù)，故，
故在為增函數(shù)，故，與題設矛盾.
若，則，
下證：對任意，總有成立，
證明：設，故，
故在上為減函數(shù)，故即成立.
由上述不等式有，
故總成立，即在上為減函數(shù)，
所以.
當時，有，
所以在上為減函數(shù)，所以.
綜上，.
（3）取，則，總有成立，
令，則，
故即對任意的恒成立.
所以對任意的，有，
整理得到：，
故
，
故不等式成立.
【點睛】思路點睛：函數(shù)參數(shù)的不等式的恒成立問題，應該利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，注意結合端點處導數(shù)的符號合理分類討論，導數(shù)背景下數(shù)列不等式的證明，應根據(jù)已有的函數(shù)不等式合理構建數(shù)列不等式.
5．(1)
(2)證明見的解析
【分析】（1）由導數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性及最值，即可得解；
（2）利用分析法，轉(zhuǎn)化要證明條件為，再利用導數(shù)即可得證.
【詳解】（1）[方法一]：常規(guī)求導
的定義域為，則
令,得
當單調(diào)遞減
當單調(diào)遞增，
若,則,即
所以的取值范圍為
[方法二]：同構處理
由得：
令，則即
令，則
故在區(qū)間上是增函數(shù)
故，即
所以的取值范圍為
（2）[方法一]：構造函數(shù)
由題知,一個零點小于1,一個零點大于1，不妨設
要證,即證
因為,即證
又因為,故只需證
即證
即證
下面證明時，
設，
則
設
所以,而
所以,所以
所以在單調(diào)遞增
即,所以
令
所以在單調(diào)遞減
即,所以；
綜上, ,所以.
[方法二]：對數(shù)平均不等式
由題意得：
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，故只有1個解
又因為有兩個零點，故
兩邊取對數(shù)得：，即
又因為，故，即
下證
因為
不妨設，則只需證
構造，則
故在上單調(diào)遞減
故，即得證
【點睛】關鍵點點睛 ：本題是極值點偏移問題，關鍵點是通過分析法，構造函數(shù)證明不等式
這個函數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)，需要掌握
考點突破
【考點1】分離參數(shù)法求參數(shù)范圍
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
2．（23-24高三上·全國·階段練習）已知函數(shù)，則下列結論中正確的是（ ）
A．當時，曲線在處的切線方程為
B．在上的最大值與最小值之和為0
C．若在上為增函數(shù)，則a的取值范圍為
D．在上至多有3個零點
三、填空題
3．（2024·江西·模擬預測）已知關于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 .
四、解答題
4．（23-24高二下·江蘇·期中）設函數(shù)，．
(1)若曲線在點處的切線與直線垂直，求的值：（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）；
(2)在（1）的條件下求的單調(diào)區(qū)間和極小值：
(3)若在上存在增區(qū)間，求的取值范圍．
5．（23-24高二下·江蘇蘇州·階段練習）已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)在處取到極值，求實數(shù)a的值；
(2)若,對于任意,當時，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
6．（23-24高三下·四川巴中·階段練習）函數(shù)；
(1)當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)在恒成立，求整數(shù)的最大值.
參考答案：
1．D
【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為在上有解，得到在上有解，令，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最大值，即可求解.
【詳解】因為函數(shù)，可得，
因為函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，
可得在上有解，
即在上有解，
令，則，且，
當時，，所以；
當時，，所以，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，所以.
故選：D．
【點睛】結論點睛：“恒成立問題”與“有解問題”在等價轉(zhuǎn)化上的區(qū)別：
2．BCD
【分析】A項，求得切線斜率，寫出切線方程即可；B項，函數(shù)是奇函數(shù)，由圖象對稱性可知；C項，在上為增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為恒成立，分離參數(shù)法求解范圍；D項，結合導函數(shù)單調(diào)性，至多兩個零點，則至多個零點.
【詳解】選項A，當時，，
則，且，
曲線在處的切線方程為，故A錯誤；
選項B，，，
則是奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，
故在上的最值點也關于原點對稱，
所以在上的最大值與最小值之和為，故B正確；
選項C，若在上為增函數(shù)，則恒成立，
即恒成立，
設，
則，且為上的增函數(shù)，
注意到，
當時，，單調(diào)遞減；
當時，，單調(diào)遞增.
則有最小值，最小值為，
要使恒成立，則.故a的取值范圍為，故C正確；
選項D，，
令得，，設，
由C選項的分析， 在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
即方程至多兩個根，
當有兩個根時，不妨設兩根為，
當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減；
當時，，單調(diào)遞增.
則在上至多有3個零點，故D項正確.
故選：BCD.
3．
【分析】利用參變分離可得，然后構造函數(shù)，利用導數(shù)求函數(shù)的最值即得.
【詳解】因為關于的不等式在上恒成立，
即在上恒成立.
令，則，
令，則，
易得在上單調(diào)遞增，
又，
所以存在，使得，即，
則，
所以當時，，在上單調(diào)遞減，
當時，，在上單調(diào)遞增，
故，
所以在上恒成立，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，
所以，即實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
【點睛】本題的關鍵是利用參變分離，再運用函數(shù)的思想研究不等式，并結合導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值.
4．(1)
(2)單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，極小值為2
(3)
【分析】（1）先對函數(shù)求導，然后結合導數(shù)的幾何意義可求得的值；
（2）利用導數(shù)與單調(diào)性以及極值的關系即可求解；
（3）將在上存在增區(qū)間轉(zhuǎn)化為有解，分離參數(shù)，即可求出的取值范圍.
【詳解】（1）由題可得，
因為曲線在點處的切線與直線垂直，
所以，解得；
（2）由（1）知，令，解得
由，解得，由，解得，
所以的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，當時，取得極小值；
（3）由在上存在增區(qū)間，
即在上有解，
即在上有解，所以，
令，易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則，
所以
即的取值范圍為.
5．(1)1；
(2).
【分析】（1）根據(jù)，求得，再進行驗證即可；
（2）由題可得在單調(diào)遞減，則在恒成立，結合分離參數(shù)法，以及利用導數(shù)求函數(shù)最值，即可求得結果.
【詳解】（1），，
若函數(shù)在處取到極值，則，解得；
又當時，，，
故當，，單調(diào)遞增；當，，單調(diào)遞減；
當，，單調(diào)遞增；
則當時，滿足在處取到極值，故.
（2）當時，，
，即，令；
對于任意,當時，不等式恒成立，
即對于任意,當時，恒成立，也即在單調(diào)遞減；
又，故，
由題可知，在恒成立，即在恒成立，
也即在恒成立，令，
則，又對稱軸為，其在單調(diào)遞減，，
故在恒成立，則在單調(diào)遞減，又，
則，也即的取值范圍為：.
6．(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和
(2)2
【分析】
（1）求導后分解因式，解不等式即可得到函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由題意求出，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，利用導數(shù)求出的最小值，即可求解．
【詳解】（1）當時，，，
當單調(diào)遞減；
當或單調(diào)遞增；
故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和
（2）
因為，所以，即，
故，在恒成立，
即，則在恒成立，
設，
則，
設，
則，所以在上單調(diào)遞增，
又，，
所以方程有且只有一個實根，且，，
所以在上，，單調(diào)遞減；
在,上，，單調(diào)遞增，
所以函數(shù)的最小值為，
從而，又為整數(shù)，
所以的最大值為：2．
【點睛】
關鍵點點睛：本題考查不等式恒成立求參數(shù)，關鍵是利用零點存在定理判斷.
反思提升：
分離參數(shù)法解決恒(能)成立問題的策略
(1)分離變量.構造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.
(2)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；
a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min；
a≥f(x)能成立?a≥f(x)min；
a≤f(x)能成立?a≤f(x)max.
【考點2】分類討論法求參數(shù)范圍
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
2．（2024·江西·二模）若恒成立，則實數(shù)的取值可以是（ ）
A．0B．C．D．
三、填空題
3．（2024·上海虹口·二模）已知關于的不等式對任意均成立，則實數(shù)的取值范圍為 .
四、解答題
4．（2024·吉林長春·模擬預測）已知，函數(shù).
(1)當時，求的最小值；
(2)若時，恒成立，求的取值范圍.
5．（2024·陜西渭南·二模）已知函數(shù)，其中.
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若恒成立，求.
6．（2024·浙江紹興·二模）已知函數(shù).
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)當時，，求實數(shù)的取值范圍.
參考答案：
1．C
【分析】分和兩種情況討論，分別得出不等式，由不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，利用導數(shù)分別求出函數(shù)的最值即可求解．
【詳解】當時，由得；
當時，由得．
令，
則，令，解得，
所以當，；當，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因此的最小值為，
故當時，；
令，
則，令，解得，
所以當，；當，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因此的最大值為，
故當時，．
綜上，．
故選：C．
2．ABD
【分析】分類討論的取值范圍，構造函數(shù)，結合導函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、最值的關系即可求解．
【詳解】由題知，，
①當時，在恒成立，
②當時，由，則，即恒成立，
設，則，令得，
所以當時，，則在單調(diào)遞減，
當時，，則在單調(diào)遞增，
所以，則，
所以，即滿足題意；
③當時，設，則，令，，
當時，，則在單調(diào)遞減，
當時，，則在單調(diào)遞增，
所以在單調(diào)遞增，且，，
所以，使得；
當時，，即，設，
則，所以在上單調(diào)遞減，
所以當時，；
當時，即，設，
則，設，
，設，
則，
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，
所以，即，
所以，
所以，
所以在上單調(diào)遞增，
所以當時，，
又因為當時，，
所以當時， ，解得，
又，所以，
綜上，，
故選：ABD
【點睛】關鍵點點睛：當時，，使得，當時，設，求得最小值；當時，設，求得最小值，令即可．
3．
【分析】根據(jù)題意，分且和且，兩種情況討論，構造函數(shù)，利用導數(shù)和基本不等式，求得函數(shù)的最值，即可求解.
【詳解】因為關于的不等式對任意均成立，
①當對任意均成立時，可得對任意均成立，
令，可得，
當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減，
所以，所以，
又由對任意均成立，
可得對任意均成立，
因為，當且僅當時，即時，等號成立，
所以，所以.
②當且對于任意均成立時，
結合①可知且，此時無解.
綜上可得，實數(shù)實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：對于利用導數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：
1、合理轉(zhuǎn)化，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的最值之間的比較，列出不等式關系式求解；
2、構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
3、利用可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
4、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
4．(1)0；
(2).
【分析】（1）由已知可得，進而可求的單調(diào)區(qū)間；
（2）求導得，令進而求導，分類討論可求的取值范圍.
【詳解】（1）當時，，
單調(diào)遞減；單調(diào)遞增；
（2），
設，
①若，由（1）知，不合題意；
②若，
設單調(diào)遞減，
，令，
單調(diào)遞增，，
單調(diào)遞增，，不合題意；
③，
單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，；
綜上，.
5．(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關系，對求導，得，對分類討論，即可求出結果；
（2）先探求恒成立的必要條件，從而得到，再證明時，在上恒成立，即可解決問題.
【詳解】（1）因為，易知其定義域為，，
當時，在上恒成立，
當時，由，得到，
所以，當時，，時，，
綜上所述，當時，的單調(diào)增區(qū)間為，無減區(qū)間，
當時，的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間.
（2）令，
由于恒成立，且，又在區(qū)間上連續(xù)，
所以是的一個極大值點，又，
所以，得到，
下證明時，在上恒成立，
由（1）知，時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，又恒成立，所以，
綜上所述，.
【點睛】關鍵點點晴：本題的關鍵在于根據(jù)條件得到是的一個極大值點，從而得恒成立的一個必要條件，再證明時，在上恒成立，即可解決問題.
6．(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，進而求出切線方程；
（2）分和討論，利用導數(shù)結合不等式放縮判斷導數(shù)正負，結合單調(diào)性驗證恒成立是否滿足.
【詳解】（1）當時，，則，
所以切線斜率為，又，
所以，切線方程是.
（2）①當時，因為，所以，
所以.
記，則，
令，則.
因為當時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，，
所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，，所以.
②當時，，
因為當時，，
令，則，
若，則，即在區(qū)間上單調(diào)遞增.
若，則，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.
所以當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增.
因為，，
所以，存在，使得，
所以，當時，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，不滿足題意.
綜上可知，實數(shù)的取值范圍為.
反思提升：
根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)范圍的關鍵是將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，此類問題關鍵是對參數(shù)分類討論，在參數(shù)的每一段上求函數(shù)的最值，并判斷是否滿足題意，若不滿足題意，只需找一個值或一段內(nèi)的函數(shù)值不滿足題意即可.
【考點3】雙變量的恒(能)成立問題
一、單選題
1．（2024·河南鄭州·三模）設，且，則（ ）
A．若，則B．若，則存在且不唯一
C．D．
二、多選題
2．（23-24高三下·重慶·階段練習）設函數(shù)，下面四個結論中正確的是（ ）
A．函數(shù)在上單調(diào)遞增
B．函數(shù)有且只有一個零點
C．函數(shù)的值域為
D．對任意兩個不相等的正實數(shù)，若，則
三、填空題
3．（2023·山西臨汾·模擬預測）已知，恒成立，則 ．
四、解答題
4．（2024·重慶·模擬預測）函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)有兩個極值點，曲線上兩點，連線斜率記為k，求證：；
(3)盒子中有編號為1~100的100個小球（除編號外無區(qū)別），有放回的隨機抽取20個小球，記抽取的20個小球編號各不相同的概率為p，求證：．
5．（2024·河南商丘·模擬預測）已知函數(shù)的定義域為，其導函數(shù)．
(1)求曲線在點處的切線的方程，并判斷是否經(jīng)過一個定點；
(2)若，滿足，且，求的取值范圍．
6．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，．
(1)若存在零點，求a的取值范圍；
(2)若，為的零點，且，證明：．
參考答案：
1．C
【分析】構造函數(shù)，根據(jù)零點存在性定理即可求解A，構造函數(shù)，求導根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求解最值即可求解B，令，得構造函數(shù)，利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性即可求解CD.
【詳解】對于A，當時，則，記，由于均為單調(diào)遞增函數(shù)，故為單調(diào)遞增，
由于，故零點大于，故A錯誤，
對于B，若，由得，記，
則，由于均為上的單調(diào)遞增函數(shù)，
故在單調(diào)遞增，且當時，， ，
故存在唯一的，使得，即，
且在單調(diào)遞減，當在單調(diào)遞增，
故，又，
故，故無零點，故不存在使得，故B錯誤，
對于C， 先證，記，，
當單調(diào)遞增，當單調(diào)遞減，
所以，故，
設，由于，所以，故
則，由于，
所以，故在單調(diào)遞增，故，
故故C正確，
對于D, ，
所以在單調(diào)遞減，故,
則，故D錯誤，
故選:C
【點睛】方法點睛：利用導數(shù)比較大小的基本步驟
(1)作差或變形；
(2)構造新的函數(shù)；
(3)利用導數(shù)研究的單調(diào)性或最值；
(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．
2．AB
【分析】
利用導數(shù)判斷時，的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可求值域，然后結合時，，從而可判斷選項A，C；首先利用導數(shù)判斷時，的零點個數(shù)；然后再利用單調(diào)性判斷時，的零點個數(shù)，從而可判斷選項B；不妨設，根據(jù)題意把要證明，轉(zhuǎn)化為證明；然后構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可證明，從而判斷選項D.
【詳解】當時，，所以，
所以當時，，所以在單調(diào)遞增，
當時，，所以在單調(diào)遞減，
且當時，故時，，
又當時，，所以，
所以函數(shù)在單調(diào)遞增，值域為，所以A正確，C錯誤；
當時，令，則，
所以在單調(diào)遞減，所以當時，，
所以函數(shù)在上沒有零點；
當時，令，
所以只需求函數(shù)在上零點個數(shù)，
又因為在上單調(diào)遞減，且，
所以函數(shù)在上只有一個零點．
所以函數(shù)有且僅有一個零點，所以B正確；
當時，若，因為函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以不妨設，則，
所以要證，只需證，即只需證，
又因為，所以只需證.
因為，
所以令函數(shù)，
則，
所以在單調(diào)遞增，所以，
即恒成立，所以，
即，所以，
從而成立， 所以D錯誤.
故選：AB.
【點睛】方法點睛：利用導數(shù)證明或判定不等式問題：
1．通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關系；
2．利用可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關系；
3．適當放縮構造法：根據(jù)已知條件適當放縮或利用常見放縮結論，從而判定不等關系；
4．構造“形似”函數(shù)，變形再構造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結構構造輔助函數(shù).
3．
【分析】構造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，再由必要性入手得到，再證明當時滿足題意，從而得解.
【詳解】依題意，，
因為恒成立，
所以恒成立，
令，則，上式化為恒成立，
令，則，
注意到，而恒成立，即，
所以，即，故；
當時，，顯然在上單調(diào)遞增，
而，
所以當時，，當時，，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以；
綜上，.
故答案為：.
【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是將雙變量轉(zhuǎn)化為單變量，從而將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)恒成立問題，由此得解.
4．(1)答案見解析
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）求導后對分類討論即可得；
（2）借助斜率公式表示出后化簡，可轉(zhuǎn)化為證明，借助換元法令，構造函數(shù)，結合（1）問中所的即可得解；
（3）借助概率公式可得，借助放縮法可得，結合（2）中所得可得，即可得證.
【詳解】（1）定義域為，，
對于方程，，
當，即時，，，在上單增，
當，即或時，方程有兩不等根，
，，而，，
所以當時，，在上恒成立，在上單增；
當時，，或時，，時，，
所以在和上單增，在上單減，
綜上，當時，在上單增；
當時，在和上單增，
在上單減；
（2）
，
所以要證，即證，即證，
也即證（*）成立．
設，函數(shù)，由（1）知在上單增，且，
所以時，，所以（*）成立，原不等式得證；
（3）由題可得，
因為，，…，，
所以，
又由（2）知，，
取，有，
即，即，
所以．
【點睛】關鍵點點睛：最后一問關鍵點在于得出后，借助（2）問中所得，取，代入可得，即可得解.
5．(1)，經(jīng)過一個定點
(2)
【分析】（1）利用求導法則得，根據(jù)條件及導數(shù)的幾何意義、直線的點斜式計算即可；
（2）利用導函數(shù)有兩個零點得出的關系及范圍，消元化簡得，構造函數(shù)，利用導數(shù)研究其單調(diào)性及最值即可.
【詳解】（1）因為，
所以（c為常數(shù)）．
因為，所以，
所以．
又，
所以曲線在點處的切線的方程為，
即，
所以經(jīng)過定點．
（2）令，可得．
因為，滿足，且，
所以關于的方程有兩個不相等的正實數(shù)根，
則，
所以
，
令函數(shù)，
則，
令，得，
因為當時，，
當時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
又當時，，
所以的取值范圍為，
即的取值范圍為．
6．(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）利用導數(shù)求出函數(shù)的最小值，解不等式即可求解；
（2）由零點的定義可得，只需證，令，利用導數(shù)證明不等式即可.
【詳解】（1）的定義域為，
令，即，等價于，
設，則（），
令，可得，
當時，，單調(diào)遞減，
當時，，單調(diào)遞增，
則的最小值為，，
要使得存在零點，則，
即，得．
（2）由為的零點，得，
即，即
兩式相減得，即.
要證當時，，
只需證，只需證，，
，．
令，，只需證，
，則在上單調(diào)遞增，
∴，即可得證.
【點睛】方法點睛：利用導數(shù)證明不等式的求解策略
形如的求解策略：
1、構造函數(shù)法：令，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，只需恒成立即可；
2、參數(shù)分離法：轉(zhuǎn)化為或恒成立，即或恒成立，只需利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值即可；
3，數(shù)形結合法：結合函數(shù)的圖象在的圖象的上方（或下方），進而得到不等式恒成立.
反思提升：
含參不等式能成立問題(有解問題)可轉(zhuǎn)化為恒成立問題解決，常見的轉(zhuǎn)化有：
(1)?x1∈M，?x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x)min>g(x)min.
(2)?x1∈M，?x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x)min>g(x)max.
(3)?x1∈M，?x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x)max>g(x)min.
(4)?x1∈M，?x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x)max>g(x)max.
分層檢測
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·陜西·模擬預測），有恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二下·安徽蕪湖·期中）已知函數(shù)存在兩個零點，則實數(shù)t的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
3．（22-23高二上·山東菏澤·期末）已知函數(shù)與函數(shù)的圖像上恰有兩對關于軸對稱的點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·云南昆明·模擬預測）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（ ）
A．B．C．eD．
二、多選題
5．（23-24高三上·新疆伊犁·階段練習）下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（22-23高二下·甘肅定西·階段練習）若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)a的可能取值是（ ）
A．－10B．－9C．2D．3
7．（2023·全國·模擬預測）設函數(shù)，若恒成立，則滿足條件的正整數(shù)可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
三、填空題
8．（23-24高二下·天津濱海新·階段練習）已知函數(shù)，若關于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 .
9．（20-21高二下·河北石家莊·期末）已知函數(shù)，，如果對任意的，，都有成立，則實數(shù)a的取值范圍是 ．
10．（23-24高二上·陜西榆林·期末）已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則的最小值為 .
四、解答題
11．（23-24高三上·河南·階段練習）已知函數(shù)．
(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，不等式在上存在實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．
12．（21-22高三上·安徽滁州·階段練習）已知函數(shù)，在處取得極小值．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)求函數(shù)的極值；
(3)設函數(shù)，若對于任意，總存在，使得，求實數(shù)a的取值范圍．
參考答案：
1．C
【分析】構造函數(shù)，求導可得函數(shù)的單調(diào)性，即可求解最值，進而即可.
【詳解】由在上恒成立，令，
則．令，則，
當時，，故在上單調(diào)遞增；
當時，，故在上單調(diào)遞減；
則，所以，
故選:C．
2．C
【分析】采用參變分離法，將函數(shù)存在兩個零點轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點，利用導數(shù)探究函數(shù)的圖象及趨勢特征即得參數(shù)范圍.
【詳解】由，，可得：，令，
依題意，函數(shù)存在兩個零點，等價于函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點.
又，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，
故時，取得極大值，且當時，，當時，，
故要使函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點.，需使，解得.
故選：C.
3．C
【分析】根據(jù)題意函數(shù)與的圖像上恰有兩對關于軸對稱的點，得到方程有兩解，分離參數(shù)構造新函數(shù)，利用導數(shù)求出最值，結合題意分析即可得.
【詳解】因為函數(shù)與的圖像上恰有兩對關于軸對稱的點，
所以，
即有兩解，
所以有兩解，
令，
則，
所以當時，0，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以在處取得極大值，，
且時，的值域為，
時，的值域為，
因此有兩解時，實數(shù)的取值范圍為，
故選：C.
4．A
【分析】在上恒成立，即，構造函數(shù)，，求導得到其單調(diào)性，得到，得到，求出答案.
【詳解】由題意得在上恒成立，
，故，
即，
令，，
則在上恒成立，
故在上單調(diào)遞減，
故，
故，故a的最小值為.
故選：A
5．CD
【分析】
根據(jù)存在性和任意性的定義，結合對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】
A：因為，所以本選項不正確；
B：當時，，所以本選項不正確；
C：畫出兩個函數(shù)的圖象如下圖所示：

顯然有一個交點，因此本選項正確；
D：設，
當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，
故，所以本選項正確，
故選：CD
6．BCD
【分析】根據(jù)已知，把函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為方程根的問題，再分離參數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)圖象，結合圖行進行求解.
【詳解】函數(shù)有三個零點，等價于有3個根，
即函數(shù)與函數(shù)有3個交點，令，
則，由有：或，由有：，
所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
又，，所以的大致圖象為：

所以，解得，故A錯誤.
故選：BCD.
7．ABC
【分析】根據(jù)題意可得，利用導數(shù)結合分類討論解決恒成立問題.
【詳解】若恒成立，則恒成立，
構建，則，
∵，故，則有：
當，即時，則當時恒成立，
故在上單調(diào)遞增，則，
即符合題意，故滿足條件的正整數(shù)為1或2；
當，即時，令，則，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，
構建，則當時恒成立，
故在上單調(diào)遞減，則，
∵，
故滿足的整數(shù)；
綜上所述：符合條件的整數(shù)為1或2或3，A、B、C正確，D錯誤.
故選：ABC.
8．
【分析】
根據(jù)給定條件，求出函數(shù)在上的最小值即可得解.
【詳解】函數(shù)，求導得，當時，，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，，
由不等式在上恒成立，得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
9．
【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為 ，求導函數(shù)，分別求出函數(shù)的最大值，的最小值，進而可建立不等關系，即可求出a的取值范圍．
【詳解】由，可得，
當，，所以在單調(diào)遞減，
，
，在上單調(diào)遞增，
，
對任意的，都有成立，
，
，
故答案為：．
10．
【分析】由函數(shù)單調(diào)性得恒成立，分離參數(shù)后構造函數(shù)求最值即得.
【詳解】因為函數(shù)是上的增函數(shù)，
所以，即：.
令，則，令，得，
當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減.
所以，
要使恒成立，則，故的最小值為.
故答案為：.
11．(1)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為
(2)
【分析】（1）根據(jù)導函數(shù)的正負判斷函數(shù)的遞增遞減區(qū)間即得；
（2）通過代入不等式整理成在上存在實數(shù)解問題，故可轉(zhuǎn)化成求函數(shù)在得最小值問題，計算即得.
【詳解】（1）當時，，
∴，由，得，由，得，
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；
（2）原條件等價于：在上存在實數(shù)解．
化為在上存在實數(shù)解，
令，
則，
∴在上，，得，故在上單調(diào)遞增，
∴的最小值為，
∴時，不等式在上存在實數(shù)解．
12．(1)
(2)極小值；極大值
(3)．
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)在極值處導函數(shù)為，極小值為聯(lián)立方程組即可求得，，求得函數(shù)解析式，求導，利用導數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，檢驗求得，值是否滿足題意；
（2）由（1）即可求得極大值和極小值；
（3）依題意只需即可，當時，函數(shù)有最小值，即對任意總存在，使得的最小值不大于；對于，分、、三種情況討論即可．
【詳解】（1）∵，則，
由題意可得 ，解得，
則函數(shù)的解析式為，且，
令，解得：，
則當變化時，的變化情況如下表：
故符合題意，即.
（2）由（1）可得：當時，函數(shù)有極小值；當時，函數(shù)有極大值2.
（3）∵函數(shù)在時，，在時，且，
∴由（1）知：當時，函數(shù)有最小值，
又∵對任意總存在，使得，則當時，的最小值不大于，
對于開口向上，對稱軸為，
當時，則在上單調(diào)遞增，故的最小值為，得；
當時，則在上單調(diào)遞減，故的最小值為，得；
當時，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的最小值為，得或，不合題意，舍去；
綜上所述：的取值范圍是.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024高三·全國·專題練習）函數(shù)對任意成立，則的最小值為（ ）
A．4B．3C．D．2
二、多選題
2．（23-24高二下·河南·階段練習）已知函數(shù)，則下列結論正確的是（ ）
A．存在，使得的圖象與軸相切
B．存在，使得有極大值
C．若，則
D．若，則關于的方程有且僅有3個不等的實根
三、填空題
3．（2022高三上·河南·專題練習）已知，，若曲線上總存在不同的兩點，使曲線在兩點處的切線互相平行，則的取值范圍為 ．
四、解答題
4．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，，.
(1)若的最小值為0，求的值；
(2)當時，證明：方程在上有解.
參考答案：
1．D
【分析】求得，結合，得到，求得函數(shù)的單調(diào)性，結合題意，轉(zhuǎn)化為，令，利用求得函數(shù)的單調(diào)性和最小值，進而求得實數(shù)的最小值.
【詳解】由函數(shù)，可得，且，
若時，恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增，
當時，，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，
所以存在，使得時，，不符合題意，則有，
當時，；當時，，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，則，
令，可得，
當時，；當時，，
所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，
所以的最小值為.
故選：D.
2．ACD
【分析】對求導，分析單調(diào)性即可判斷極值，由，可參變分離，根據(jù)新函數(shù)的單調(diào)性極值最值趨勢即可判斷.
【詳解】由題知，當時，
當時，所以在處的切線斜率為0，
此時的圖象與軸相切.故A正確.
由，當時，，
所以在R上單調(diào)遞減，無極大值，
當時，時，時，，
所以的圖像先減后增，有極小值無極大值，故B錯誤.
當時，即，
即令，，
當時，，當時，，
所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，所以，
令，
因為，所以當或時，
當時，所以在和上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，極大值為，
又時，，所以最大值為，
所以當時，恒成立，即恒成立，故C正確.
由C選項的判斷知，極小值為，
又時，，所以當時，有且僅有3個不等的實根，
故有且僅有3個不等的實根，故D正確.
故選：ACD.
3．
【分析】由曲線在兩點處的切線互相平行，可得，求導整理可得，結合基本不等式可得對于恒成立，利用換元法結合倒數(shù)得到函數(shù)單調(diào)性，即可得的取值范圍.
【詳解】因為函數(shù)，所以，
由題意可得，，且，
即有，整理得，
因為，所以，
所以對于恒成立，
令，則，，
令，，則，對于恒成立，
即在上單調(diào)遞增，所以，
所以，所以，
即的取值范圍是．
故答案為：．
4．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的最小值求參數(shù)即可；
（2）轉(zhuǎn)化為在上有解，根據(jù)圖象特征即可證明；
【詳解】（1）由已知得，則.
令，解得.
當時，，單調(diào)遞減；
當時，，單調(diào)遞增.
所以，所以.
（2）要證在上有解，即證在上有解，
即證在上有解.
令，則.
設，則.
當時，；當時，.
所以即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
又因為，，
，
所以由零點存在性定理知，，使，即，
所以當時，；當時，.
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
所以.
因為，所以，即，且時，
，所以當時，直線與函數(shù)的圖像在上有交點，即在上有解.
【點睛】思路點睛：將方程在上有解轉(zhuǎn)化為在上有解，求出在上的單調(diào)性，則直線與函數(shù)的圖像在上有交點即可證明；
【培優(yōu)篇】
一、解答題
1．（2024·上海楊浦·二模）函數(shù)、的定義域均為，若對任意兩個不同的實數(shù)，，均有或成立，則稱與為相關函數(shù)對.
(1)判斷函數(shù)與是否為相關函數(shù)對，并說明理由；
(2)已知與為相關函數(shù)對，求實數(shù)的取值范圍；
(3)已知函數(shù)與為相關函數(shù)對，且存在正實數(shù)，對任意實數(shù)，均有.求證：存在實數(shù)，使得對任意，均有.
2．（2024·河北保定·二模）已知函數(shù)為其導函數(shù)．
(1)若恒成立，求的取值范圍；
(2)若存在兩個不同的正數(shù)，使得，證明：．
3．（2023·河南·三模）已知函數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)．
(1)若此函數(shù)的圖象與直線交于點P，求該曲線在點P處的切線方程；
(2)判斷不等式的整數(shù)解的個數(shù)；
(3)當時，，求實數(shù)a的取值范圍．
參考答案：
1．(1)是，理由見解析；
(2)
(3)證明見解析；
【分析】（1）由與不為相關函數(shù)對，得到且，從而若為相關函數(shù)，由成立求解；
（2）根據(jù)與為相關函數(shù)對，由成立求解；
（3）采用反證法，假設對任意均存在，均有，根據(jù)與為相關函數(shù)對，分，，得出矛盾即可.
【詳解】（1）解：若與不為相關函數(shù)對，則且，
則，所以只要即可，
當，時，
，
所以函數(shù)與是相關函數(shù)對；
（2）因為與為相關函數(shù)對，
所以，
令，，當時，；當時，，
所以是極小值點，，
所以，
所以；
（3）假設對任意均存在，
均有，
則取，，，使得，
對任意，，有，，
又函數(shù)與為相關函數(shù)對，
則①若，則；
②若，則，
由①②知：，由，將其分為很多個子區(qū)間，
如，，，……
則以上每個區(qū)間至多包含一個，矛盾，假設不成立，
故存在實數(shù)，使得對任意，均有．
【點睛】關鍵點點睛：本題第三問關鍵是由假設，，根據(jù)函數(shù)與為相關函數(shù)對，分別由和，構造，找出矛盾而得證.
2．(1)
(2)證明見解析.
【分析】（1）利用導數(shù)求函數(shù)的最大值，轉(zhuǎn)化為最大值小于等于1，即可求解；
（2）不等式轉(zhuǎn)化為證明，即證明，構造函數(shù)，利用導數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性，即可證明.
【詳解】（1），當時，單調(diào)遞增；
當時，單調(diào)遞減．所以，
解得，即的取值范圍為．
（2）證明：不妨設，則，要證，
即證，則證，則證，
所以只需證，即．
令，則，．
當時，，則，
所以在上單調(diào)遞減，則．所以．
由（1）知在上單調(diào)遞增，所以，從而成立．
【點睛】關鍵點點睛：本題第二問的關鍵是利用分析法，轉(zhuǎn)化為證明.
3．(1)
(2)3
(3)
【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義可求得直線的斜率，繼而可解；
（2）利用導數(shù)考查函數(shù)的單調(diào)性，確定零點所在區(qū)間即可求解；
（3）變形不等式，參變分離后，利用換元法變形不等式，利用導數(shù)考查函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
【詳解】（1），所以，又
所以該曲線在點P處的切線方程為:，即
（2）的定義域為，，
當時，，單調(diào)遞增；
當，，單調(diào)遞減．
又，，
，，
所以，不等式的整數(shù)解的個數(shù)為3．
（3）不等式
可整理為，
令，，
所以當，，單調(diào)遞增，
當，，單調(diào)遞減，
所以，又，
所以令，則
令，
則
令，
則
令，，
則，，
所以單調(diào)遞減，，
所以，單調(diào)遞減，，
所以，
所以，
所以單調(diào)遞減，
所以.
【點睛】方法點睛：導函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．
恒成立問題
有解問題
①恒成立；恒成立．
②恒成立；
恒成立．
③恒成立
；
恒成立
．
④
．
①有解；
有解．
②有解；
有解．
③有解；
有解．
④，使得
．
減
極小值
增
極大值
減

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