常見(jiàn)考點(diǎn)
考點(diǎn)一 點(diǎn)面、線面、面面距離
典例1．如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，，，，，平面平面，E，F(xiàn)分別是PD，AB中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)若CE與平面PCF成角為30°，求點(diǎn)B到平面CEF的距離d.
變式1-1．如圖，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，側(cè)棱，D、E分別是和的中點(diǎn).
(1)求證：平面平面；
(2)求點(diǎn)到平面ADE的距離.
變式1-2．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，，，在棱上取點(diǎn)，使得平面.
(1)求證：平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值；
(3)求直線到平面的距離.
變式1-3．如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)在棱上，，，，分別為，，的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）求證：平面平面；
（3）求平面與平面的距離.
考點(diǎn)二 點(diǎn)線、線線距離
典例2．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)到直線的距離；
（2）求直線到直線的距離；
（3）求點(diǎn)到平面的距離；
（4）求直線到平面的距離．
變式2-1．在如圖所示的多面體中，且.，且，且，平面ABCD，.
(1)求點(diǎn)F到直線EC的距離；
(2)求平面BED與平面EDC夾角的余弦值.
變式2-2．如圖，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，點(diǎn)E為CC1中點(diǎn)，點(diǎn)F為BD1中點(diǎn)．
（1）求異面直線BD1與CC1的距離；
（2）求直線BD1與平面BDE所成角的正弦值；
（3）求點(diǎn)F到平面BDE的距離．
變式2-3．如圖，三棱柱中，側(cè)面底面，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，已知點(diǎn)滿足.
（1）求二面角的大??；
（2）求異面直線與的距離；
（3）直線上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
鞏固練習(xí)
練習(xí)一 點(diǎn)面、線面、面面距離
1．如圖，直三棱柱中，，，，且.
(1)求平面BDC與平面所成角的余弦值；
(2)求點(diǎn)到平面BDC距離.
2．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形且，側(cè)面底面ABCD，且側(cè)面PAD是正三角形，E?F分別是AD，PB的中點(diǎn).
(1)求證：平面PCE；
(2)求直線CF與平面PCE所成角的正弦值；
(3)求點(diǎn)F到平面PCE的距離.
3．如圖在直三棱柱中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，是中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)，是與的交點(diǎn).
(1)求證：；
(2)求證：平面；
(3)求直線與平面的距離.
4．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1， M， N分別是BB1， B1C1的中點(diǎn)．
(1)求直線MN到平面ACD1的距離；
(2)若G是A1B1的中點(diǎn)，求平面MNG與平面ACD1的距離．
練習(xí)二 點(diǎn)線、線線距離
5．已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，，分別是棱的中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)求點(diǎn)到直線的距離.
6．已知四棱錐中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，，，點(diǎn)M在PD上，且.
(1)求的值；
(2)求點(diǎn)B到直線CM的距離.
7．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，底面ABCD，E是AB上一點(diǎn)，.已知，，.
（1）求直線AD與平面PBC間的距離；
（2）求異面直線EC與PB間的距離；
（3）求點(diǎn)B到平面PEC的距離.
8．如下圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，．
（1）求平面與平面所成夾角的余弦值；
（2）求異面直線與之間的距離．
第三篇 立體幾何
專題05 立體幾何中的距離問(wèn)題
常見(jiàn)考點(diǎn)
考點(diǎn)一 點(diǎn)面、線面、面面距離
典例1．如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，，，，，平面平面，E，F(xiàn)分別是PD，AB中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)若CE與平面PCF成角為30°，求點(diǎn)B到平面CEF的距離d.
【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）作出輔助線，構(gòu)造平行四邊形，證明線線平行，進(jìn)而證明線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行求解.
(1)
取PC中點(diǎn)G，連接EG，BG，因?yàn)镋是PD中點(diǎn)，所以EG是三角形PCD的中位線，所以EG∥CD且EG=CD，又因?yàn)镕是AB中點(diǎn)，四邊形ABCD是平行四邊形，所以BF∥CD，BF=AB，故EG∥BF，EG=BF，所以四邊形BFEG是平行四邊形，所以EF∥BG，因?yàn)镋F平面PBC，BG平面PBC，所以平面.
(2)
因?yàn)椋現(xiàn)是AB中點(diǎn)，所以PF⊥AB，因?yàn)槠矫嫫矫妫痪€為AB，所以PF⊥平面ABCD，因?yàn)椋砸訤為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)C所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)F平行于BC的直線為y軸，F(xiàn)P所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，則，，，，設(shè)（），則，，其中平面PCF的法向量設(shè)為，則，解得：，，
設(shè)平面CEF的法向量為，則，解得：，設(shè)，則，所以，則
變式1-1．如圖，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，側(cè)棱，D、E分別是和的中點(diǎn).
(1)求證：平面平面；
(2)求點(diǎn)到平面ADE的距離.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量證明，然后可證；
（2）求出法向量，然后根據(jù)點(diǎn)到平面的距離向量公式可得.
(1)
易知、、兩兩垂直，于是如圖建立空間直角坐標(biāo)系
則、、、、、
所以、、、、
因?yàn)椋?br>所以
又因?yàn)槠矫?，平?br>所以平面
又平面
所以平面平面
(2)
設(shè)平面的法向量為
則，取得
則點(diǎn)到平面ADE的距離
變式1-2．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，，，在棱上取點(diǎn)，使得平面.
(1)求證：平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值；
(3)求直線到平面的距離.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證得結(jié)論成立.
（2）判斷出點(diǎn)的位置，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得平面與平面夾角的余弦值.
（3）利用向量法求得直線到平面的距離.
(1)
由于平面平面，且交線為，
平面，，
所以平面.
(2)
設(shè)，連接，
由于平面，平面，平面平面，
所以，由于是的中點(diǎn)，所以是的中點(diǎn).
由于平面，所以，
故兩兩垂直，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
，
設(shè)平面的法向量為，
所以，故可設(shè)，
平面的法向量為，
平面與平面夾角為，
則.
(3)
由于平面，則到平面的距離，即到平面的距離.
,
到平面的距離為.
即直線到平面的距離為.
變式1-3．如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)在棱上，，，，分別為，，的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）求證：平面平面；
（3）求平面與平面的距離.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.
【解析】
【分析】
（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證得平面.
（2）利用向量法證得平面平面.
（3）利用向量法求得平面與平面的距離.
【詳解】
（1）設(shè)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
，
，
，
所以，
即，所以平面.
（2），
，
即，所以平面.
所以平面平面.
（3）由（2）可知平面平面，平面，平面.
，
所以平面與平面的距離為.
考點(diǎn)二 點(diǎn)線、線線距離
典例2．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)到直線的距離；
（2）求直線到直線的距離；
（3）求點(diǎn)到平面的距離；
（4）求直線到平面的距離．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【解析】
【分析】
（1）建立坐標(biāo)系，求出向量在單位向量上的投影，結(jié)合勾股定理可得點(diǎn)到直線的距離；
（2）先證明再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離求解；
（3）求解平面的法向量，利用點(diǎn)到平面的距離公式進(jìn)行求解；
（4）把直線到平面的距離轉(zhuǎn)化為到平面的距離，利用法向量進(jìn)行求解.
【詳解】
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則
（1）
因?yàn)椋?br>所以.
所以點(diǎn)到直線的距離為.
（2）因?yàn)樗?，?br>所以點(diǎn)到直線的距離即為直線到直線的距離.
所以直線到直線的距離為
（3）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
.
由
令，則，即.
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
則，即點(diǎn)到平面的距離為.
（4）因?yàn)樗云矫妫?br>所以直線到平面的距離等于到平面的距離.
，由（3）得平面的一個(gè)法向量為，
所以到平面的距離為，
所以直線到平面的距離為.
變式2-1．在如圖所示的多面體中，且.，且，且，平面ABCD，.
(1)求點(diǎn)F到直線EC的距離；
(2)求平面BED與平面EDC夾角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，代入即可；
（2）求出平面與平面的法向量，再利用向量的夾角公式即可得解.
(1)
因?yàn)槠矫妫?br>平面，平面，
所以，且，
因?yàn)椋?br>如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，，
所以，，
所以求點(diǎn)F到直線EC的距離為
.
(2)
，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
令，有，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
令，有，
設(shè)平面和平面的夾角為，
，
所以平面和平面的夾角的余弦值為．
變式2-2．如圖，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，點(diǎn)E為CC1中點(diǎn)，點(diǎn)F為BD1中點(diǎn)．
（1）求異面直線BD1與CC1的距離；
（2）求直線BD1與平面BDE所成角的正弦值；
（3）求點(diǎn)F到平面BDE的距離．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
【分析】
（1）以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，由?0，?0，知EF為BD1與CC1的公垂線，再計(jì)算||，即可；
（2）求得平面BDE的法向量，設(shè)直線BD1與平面BDE所成角為θ，由sinθ＝|cs，|，即可得解；
（3）點(diǎn)F到平面BDE的距離為，代入相關(guān)數(shù)據(jù)，進(jìn)行運(yùn)算即可得解．
【詳解】
（1）以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則B（1，1，0），D1（0，0，2），C（0，1，0），C1（0，1，2），E（0，1，1），F(xiàn)（，，1），
∴（﹣1，﹣1，2），（0，0，2），（，，0），
∴?0，?0，
∴BD1⊥EF，CC1⊥EF，即EF為BD1與CC1的公垂線，
而||，
∴異面直線BD1與CC1的距離為．
（2）由（1）知，（1，1，0），（0，1，1），（﹣1，﹣1，2），
設(shè)平面BDE的法向量為（x，y，z），則，即，
令y＝1，則x＝﹣1，z＝﹣1，∴（﹣1，1，﹣1），
設(shè)直線BD1與平面BDE所成角為θ，
則sinθ＝|cs，|＝||＝||，
故直線BD1與平面BDE所成角的正弦值為．
（3）由（1）知，（，，1），
由（2）知，平面BDE的法向量為（﹣1，1，﹣1），
∴點(diǎn)F到平面BDE的距離為||．
變式2-3．如圖，三棱柱中，側(cè)面底面，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，已知點(diǎn)滿足.
（1）求二面角的大??；
（2）求異面直線與的距離；
（3）直線上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1）（2）（3）存在點(diǎn)，其坐標(biāo)為，即恰好為點(diǎn)
【解析】
（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量和平面的法向量，計(jì)算出二面角的余弦值，由此求得其大小.
（2）求得異面直線與的公垂線的方向向量，并由此計(jì)算出異面直線與的距離.
（3）根據(jù)求得點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)、與平面的法向量垂直列方程組，解方程組求得點(diǎn)的坐標(biāo)，由此判斷出存在點(diǎn)符合題意.
【詳解】
（1）側(cè)面底面，又均為正三角形，取得中點(diǎn)，連接，，
則底面，
故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸、軸、軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則
設(shè)平面的法向量為
取，可得
又平面的一個(gè)法向量為
由圖知二面角為銳角，故二面角的大小為.
（2）異面直線與的公垂線的方向向量，則
易得，異面直線與的距離
（3），而
又，點(diǎn)的坐標(biāo)為
假設(shè)存在點(diǎn)符合題意，則點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為
平面為平面的一個(gè)法向量，
由，得.
又平面，
故存在點(diǎn)，使平面，其坐標(biāo)為，即恰好為點(diǎn).
【點(diǎn)睛】
本小題主要考查利用空間向量法計(jì)算二面角、異面直線公垂線段的長(zhǎng)，考查利用空間向量法研究線面平行的條件，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查空間想象能力，屬于中檔題.
鞏固練習(xí)
練習(xí)一 點(diǎn)面、線面、面面距離
1．如圖，直三棱柱中，，，，且.
(1)求平面BDC與平面所成角的余弦值；
(2)求點(diǎn)到平面BDC距離.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）以C為原點(diǎn).的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求得平面BDC的法向量與平面的法向量，利用數(shù)量積公式計(jì)算即可得出結(jié)果.
（2）利用向量公式計(jì)算即可得出結(jié)果.
(1)
依題意兩兩互相垂直，以C為原點(diǎn).的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則
設(shè)平面BDC的一個(gè)法向量為，則令，則得，此時(shí).
設(shè)平面的一個(gè)法向量為則
令則得此時(shí)
因?yàn)?
所以平面BDC與平面所成角的余弦值為.
(2)
因?yàn)?
點(diǎn)到平面BDC距離為.
2．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形且，側(cè)面底面ABCD，且側(cè)面PAD是正三角形，E?F分別是AD，PB的中點(diǎn).
(1)求證：平面PCE；
(2)求直線CF與平面PCE所成角的正弦值；
(3)求點(diǎn)F到平面PCE的距離.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）作出輔助線，證明線線平行，進(jìn)而證明出線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解線面角；（3）在第二問(wèn)的基礎(chǔ)上求解點(diǎn)面距離.
(1)
取PC的中點(diǎn)M，連接MF，ME，因?yàn)镕是PB的中點(diǎn)，所以MF是三角形PBC的中點(diǎn)，所以MF∥BC，且，因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，E是AD的中點(diǎn)，所以AE∥BC，，所以∥，且MF=AE，所以四邊形AFME是平行四邊形，故AF∥ME，因?yàn)槠矫鍼CE，平面PCE，所以平面PCE
(2)
因?yàn)閭?cè)面PAD是正三角形，E是AD的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)閭?cè)面底面ABCD，交線為，所以底面，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，取BC中點(diǎn)H，EH所在直線為y軸，EP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，解得：，令得：，所以，，設(shè)直線CF與平面PCE所成角為，故；
所以直線CF與平面PCE所成角的正弦值為.
(3)
點(diǎn)F到平面PCE的距離.
3．如圖在直三棱柱中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，是中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)，是與的交點(diǎn).
(1)求證：；
(2)求證：平面；
(3)求直線與平面的距離.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）法一：通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量數(shù)量積證明，法二：通過(guò)線面垂直證明，法三:根據(jù)三垂線證明；
（2）法一：通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量數(shù)量積證明，法二：通過(guò)面面平行證明線面平行；
（3）法一：通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量方法求解，法二：運(yùn)用等體積法求解.
(1)
證明：法一：在直三棱柱中，因?yàn)?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，
方向分別為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.
因?yàn)?，所以?br>所以
所以，
所以.
法二：連接，在直三棱柱中，有面，
面，所以，又，則，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)槊?，所?br>因?yàn)椋?br>所以四邊形為正方形，所以
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)槊?，所?
法三：用三垂線定理證明：連接，在直三棱柱中，有面
因?yàn)槊?，所以，又，則，
因?yàn)?，所以?br>所以在平面內(nèi)的射影為，
因?yàn)樗倪呅螢檎叫危裕?br>因此根據(jù)三垂線定理可知
(2)
證明：法一：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)，所以?，依題意可知為重心，則，
可得所以，
，設(shè)為平面的法向量，
則即取得
則平面的一個(gè)法向量為.
所以，則，
因?yàn)槠矫?，所以平?
法二：連接.在正方形中，為的中點(diǎn)，所以且
，所以四邊形是平行四邊形，所以
又為中點(diǎn)，所以四邊形是矩形，所以且
因?yàn)榍?，所以?br>所以四邊形為平行四邊形，
所以.
因?yàn)椋?br>平面平面
平面平面，
所以平面平面，
平面，所以平面
(3)
法一：由（2）知平面的一個(gè)法向量，且平面，
所以到平面的距離與到平面的距離相等，
，所以，
所以點(diǎn)到平面的距離
所以到平面的距離為
法二：因?yàn)榉謩e為和中點(diǎn)，所以為的重心，
所以，所以到平面的距離是到平面距離的.
取中點(diǎn)則，又平面
平面，所以平面，
所以到平面的距離與到平面的距離相等.
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由
得，又，所以，
所以到平面的距離是，
所以到平面的距離為.
4．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1， M， N分別是BB1， B1C1的中點(diǎn)．
(1)求直線MN到平面ACD1的距離；
(2)若G是A1B1的中點(diǎn)，求平面MNG與平面ACD1的距離．
【答案】(1)
(2).
【解析】
【分析】
（1）證明MN∥平面ACD1，轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)M到平面ACD1的距離，利用向量法求解即可；
（2）證明平面MNG∥平面ACD1，轉(zhuǎn)化為求直線MN到平面ACD1的距離，由（1）得解.
(1)
以分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
，，，
故.
因?yàn)橹本€MN與AD1不重合，所以MN∥AD1.
又因?yàn)镸N?平面ACD1， AD1?平面ACD1，所以MN∥平面ACD1.
故直線MN到平面ACD1的距離等于點(diǎn)M到平面ACD1的距離．
設(shè)平面ACD1的一個(gè)法向量為，
所以，令，則，所以，
所以點(diǎn)M到平面ACD1的距離為，
即直線MN到平面ACD1的距離為.
(2)
連接A1C1，
因?yàn)镚， N分別為A1B1， B1C1的中點(diǎn)，所以GN∥A1C1.
又因?yàn)锳1C1∥AC，所以GN∥AC.
因?yàn)镚N?平面ACD1， AC?平面ACD1，所以GN∥平面ACD1.
同理可得MN∥平面ACD1.
因?yàn)镸N∩GN＝N， MN, GN?平面MNG， 所以平面MNG∥平面ACD1，
所以平面MNG與平面ACD1的距離即為直線MN到平面ACD1的距離，由(1)知其為.
練習(xí)二 點(diǎn)線、線線距離
5．已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，，分別是棱的中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)求點(diǎn)到直線的距離.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2).
【解析】
【分析】
(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量證明和即可；
(2)利用向量投影即可求解.
(1)
∵三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，
∴以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
∵，分別是棱的中點(diǎn)，
∴，
,
∵，，∴，，
∵,平面,平面，∴平面.
(2)
∵，∴，,
∴，∴，
故點(diǎn)到直線的距離為.
6．已知四棱錐中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，，，點(diǎn)M在PD上，且.
(1)求的值；
(2)求點(diǎn)B到直線CM的距離.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算得到結(jié)果；
（2）在棱上取點(diǎn)，使得，則長(zhǎng)即為所求.
(1)
以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：
則，0，，，0，，，2，，，2，，
，0，，，2，，，0，，
設(shè)，，，則，，，
，
即，，
∴
(2)
在棱上取點(diǎn)，使得，
設(shè)，，，
則，又，
∴
故，
因?yàn)椋?br>則，
解得，，
∴
∴.
∴點(diǎn)B到直線CM的距離.
7．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，底面ABCD，E是AB上一點(diǎn)，.已知，，.
（1）求直線AD與平面PBC間的距離；
（2）求異面直線EC與PB間的距離；
（3）求點(diǎn)B到平面PEC的距離.
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，根據(jù)得到，再利用向量法求解直線AD與平面PBC間的距離即可.
（2）利用向量法求解異面直線EC與PB間的距離即可.
（3）利用向量法求解求點(diǎn)B到平面PEC的距離即可.
【詳解】
（1）由題知：以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
設(shè)，，由題知：，，，
，.
因?yàn)椋?，解?
即，，，.
設(shè)平面的法向量，
則，令得.
又因?yàn)椋?br>所以直線與平面間的距離.
（2）設(shè)，滿足設(shè)，，
因?yàn)?，?br>所以 ，令，得，
又因?yàn)椋?br>所以異面直線EC與PB間的距離.
（3）設(shè)平面的法向量，，，
所以，令，得，
又因?yàn)椋?br>所以點(diǎn)B到平面PEC的距離.
8．如下圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，．
（1）求平面與平面所成夾角的余弦值；
（2）求異面直線與之間的距離．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，（1）分別求兩個(gè)平面的法向量，利用二面角的向量公式即得解；（2）設(shè)為直線上一點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線的距離的最小值，即，分析即得解
【詳解】
以為原點(diǎn)，所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則．
（1）因?yàn)槠矫?，且平面?br>所以，又，且，
所以平面，
所以是平面的一個(gè)法向量．
易知，
設(shè)平面的法向量為，
則即，
令解得．
所以是平面的一個(gè)法向量，
從而，由圖得，平面與平面所成夾角為銳角
所以平面與平面所成夾角的余弦值為．
（2），設(shè)為直線上一點(diǎn)，
且，因?yàn)椋?br>所以，又，
所以點(diǎn)到直線的距離
，
因?yàn)?，所以?br>所以異面直線與之間的距離為．

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