常見考點(diǎn)
考點(diǎn)一 最大值問題
典例1．如圖，在中，，，為的外心，平面，且.
(1)求證：平面；
(2)設(shè)平面面，若點(diǎn)在線段（不含端點(diǎn)）上運(yùn)動，當(dāng)直線與平面所成角取最大值時，求二面角的正弦值.
變式1-1．如圖，在正三棱柱中，，點(diǎn)D在邊BC上，E為的中點(diǎn).
(1)如果D為BC的中點(diǎn)，求證：平面平面；
(2)設(shè)銳二面角的平面角為，，，當(dāng)取何值時，取得最大值？
變式1-2．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，側(cè)棱底面ABCD，AB垂直于AD和BC，，，M是棱SB的中點(diǎn)．
(1)求證：平面SCD；
(2)求平面SCD與平面SAB的夾角的余弦值；
(3)設(shè)點(diǎn)N是線段CD上的動點(diǎn)，MN與平面SAB所成的角為，求的最大值.
變式1-3．如圖，在正四棱錐中，點(diǎn)，分別是，中點(diǎn)，點(diǎn)是上的一點(diǎn).
(1)證明：；
(2)若四棱錐的所有棱長為，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.
考點(diǎn)二 最小值問題
典例2．如圖，在梯形ABCD中，，，，四邊形BFED為矩形，，平面平面ABCD.
(1)求證：平面BDEF；
(2)點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動，設(shè)平面PAB與平面ADE所成的夾角為，試求的最小值.
變式2-1．如圖，在中，，，，將繞邊翻轉(zhuǎn)至，使面面，是的中點(diǎn).
(1)求二面角的平面角的余弦值；
(2)設(shè)是線段上的動點(diǎn)，當(dāng)與所成角取得最小值時，求線段的長度.
變式2-2．如圖，四棱錐的底面為矩形，底面，設(shè)平面與平面的交線為m．
（1）證明：，且平面；
（2）已知，R為m上的點(diǎn)求與平面所成角的余弦值的最小值．
變式2-3．如圖，在梯形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，.
（1）求證：平面，平面；
（2）點(diǎn)在線段上運(yùn)動，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，試求的最小值.
鞏固練習(xí)
練習(xí)一 最大值問題
1．如圖所示，在三棱柱中，，點(diǎn)在平面的射影為線段的中點(diǎn)，側(cè)面是菱形，過點(diǎn)的平面與棱交于點(diǎn)．
(1)證明：四邊形為矩形；
(2)求與平面所成角的正弦值的最大值．
2．如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是線段AB、CD的中點(diǎn)，，，將沿DM翻折，在翻折過程中A點(diǎn)記為P點(diǎn)．
(1)從翻折至的過程中，求點(diǎn)P運(yùn)動的軌跡長度；
(2)翻折過程中，二面角P?BC?D的平面角為θ，求的最大值.
3．在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，，，為棱上的點(diǎn)，且．
(1)求證：平面；
(2)若二面角的平面角的正切值為，求的長；
(3)在（2）的條件下，若為線段上一點(diǎn)，求與面所成角為，求的最大值．
4．如圖，在直角三角形中，，斜邊，直角三角形可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角，動點(diǎn)在斜邊上.
(1)求證：平面平面；
(2)當(dāng)為的中點(diǎn)時，求異面直線與所成角的正切值；
(3)求與平面所成角的正切值的最大值.
練習(xí)二 最小值問題
5．如圖，為正方形，為直角梯形，，平面平面，且.
（1）若和延長交于點(diǎn)，求證：平面；
（2）若為邊上的動點(diǎn)，求直線與平面所成角正弦值的最小值.
6．如圖，在梯形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，，設(shè)點(diǎn)在線段上運(yùn)動.
（1）證明：；
（2）設(shè)平面與平面所成銳二面角為，求的最小值.
7．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，四邊形BFED為矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF＝1.
(1)求證：AD⊥平面BFED；
(2)點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動，設(shè)平面PAB與平面ADE所成銳二面角為θ，試求θ的最小值．
8．如圖，正方形邊長為1，平面，平面，且（，在平面同側(cè)），為線段上的動點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）求的最小值，并求取得最小值時二面角的余弦值．
第三篇 立體幾何
專題07 立體幾何中的最值問題
常見考點(diǎn)
考點(diǎn)一 最大值問題
典例1．如圖，在中，，，為的外心，平面，且.
(1)求證：平面；
(2)設(shè)平面面，若點(diǎn)在線段（不含端點(diǎn)）上運(yùn)動，當(dāng)直線與平面所成角取最大值時，求二面角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】
(1)
如圖，連接，交于點(diǎn)，為的外心，
所以，又因?yàn)?，所以?br>所以，
故和都為等邊三角形，可得，
即四邊形為菱形，所以；
又平面、平面，
所以平面，
(2)
因?yàn)椋矫?，平面，所以平面?br>因?yàn)槠矫?，平面平面，所?
如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以，所在的直線為，軸，過點(diǎn)垂直于面的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
所以，，，.
因?yàn)辄c(diǎn)在線段不含端點(diǎn)）上運(yùn)動，所以，設(shè)，
所以，設(shè)平面的法向量為，
則
可得：，令可得，所以，
所以直線與平面所成角的正弦值為：，
即當(dāng)時直線與平面所成角取最大值.
此時，所以，，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，，，
所以，所以，
設(shè)二面角的平面角為，則，
所以，則二面角的正弦值為.
變式1-1．如圖，在正三棱柱中，，點(diǎn)D在邊BC上，E為的中點(diǎn).
(1)如果D為BC的中點(diǎn)，求證：平面平面；
(2)設(shè)銳二面角的平面角為，，，當(dāng)取何值時，取得最大值？
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用幾何法證明，若要證明面面平行，只要證明其中一個平面中的兩條相交直線平行于另一個平面即可；
（2）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，利用法向量來求二面角的大小即可得解.
(1)
證明：在正三棱柱中，
因?yàn)镈，E分別為BC，的中點(diǎn)，所以，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
又因?yàn)槠矫妫矫妫?br>所以平面，同理可證平面，
，，平面，所以平面平面；
(2)
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)閥軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
所以，，，，
設(shè)平面的法向量為，
則即
令，得，，所以，
由，，得，
設(shè)平面的法向量為，即
令，得，，所以，
由，得，
因?yàn)殇J二面角的平面角為，
所以，
令，則，故，
所以，
令，則在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞減，
當(dāng)，此時，即點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時，取得最大值.
變式1-2．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，側(cè)棱底面ABCD，AB垂直于AD和BC，，，M是棱SB的中點(diǎn)．
(1)求證：平面SCD；
(2)求平面SCD與平面SAB的夾角的余弦值；
(3)設(shè)點(diǎn)N是線段CD上的動點(diǎn)，MN與平面SAB所成的角為，求的最大值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證得平面SCD.
（2）利用向量法求得平面SCD與平面SAB所成的角的余弦值.
（3）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求得的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最大值.
(1)
底面ABCD，所以，
由于，所以兩兩垂直，
以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
，，．
設(shè)平面SCD的法向量為，
則，，
令，得是平面SCD的一個法向量．
，，
平面，
平面SCD．
(2)
平面SAB的一個法向量為，
設(shè)平面SCD與平面SAB的夾角為，
則
平面SCD與平面SAB的夾角的余弦值為．
(3)
由題可設(shè)，
則．
平面SAB的一個法向量為，
，
當(dāng)，即時，取得最大值，最大值為．
變式1-3．如圖，在正四棱錐中，點(diǎn)，分別是，中點(diǎn)，點(diǎn)是上的一點(diǎn).
(1)證明：；
(2)若四棱錐的所有棱長為，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）作出輔助線，證明線面垂直，進(jìn)而證明線線垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行求解.
(1)
如圖，連接SO和OE，
因?yàn)槭钦睦忮F，所以平面ABCD，
又因?yàn)槠矫鍭BCD，所以
因?yàn)锳BCD是正方形，所以，
又因?yàn)辄c(diǎn)O，E分別是BD，BC中點(diǎn)，所以∥，
所以
又因?yàn)?，OE、平面SOE，
所以平面SOE，
因?yàn)槠矫鍿OE，所以.
(2)
易知OB，OC，OS兩兩相互垂直，如圖，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OB，OC，OS為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)樗睦忮F的所有棱長為，所以，，
所以，，，，
設(shè)，得，則
，，
設(shè)平面SDE的法向量為，則
，解得，取，得，
設(shè)直線OF與平面SDE所成角為，則
，
當(dāng)時，取得最小值，此時取得最大值.
考點(diǎn)二 最小值問題
典例2．如圖，在梯形ABCD中，，，，四邊形BFED為矩形，，平面平面ABCD.
(1)求證：平面BDEF；
(2)點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動，設(shè)平面PAB與平面ADE所成的夾角為，試求的最小值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由已知條件可得，再由平面平面ABCD，可得平面ADB，則，然后由線面垂直的判定定理可證得結(jié)論，
（2）由于，，，所以建立直線DA，DB，DE為x軸，y軸，z軸的如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，然后利用空間向量求解即可
(1)
證明，在梯形ABCD中，
∵，，，
∴，，
∴，∴.
又∵平面平面ABCD，平面平面，，
∴平面ADB，∴.
又∵，∴平面BDEF.
(2)
由（1）可知，，.
可建立直線DA，DB，DE為x軸，y軸，z軸的如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，則
，，，，
∴，
設(shè)為平面的法向量，由，得，
取，
∵是平面的一個法向量，∴.
∵，∴當(dāng)時，有最大值，∴的最小值為
變式2-1．如圖，在中，，，，將繞邊翻轉(zhuǎn)至，使面面，是的中點(diǎn).
(1)求二面角的平面角的余弦值；
(2)設(shè)是線段上的動點(diǎn)，當(dāng)與所成角取得最小值時，求線段的長度.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）延長，過點(diǎn)作,垂足為，過點(diǎn)作,垂足為,連接,則是二面角的平面角，再解三角形即得解；
（2）連接,以為原點(diǎn)，由題得,以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出當(dāng)=時，與所成的角最小，即得解.
(1)
解：
由題得.
所以，所以是鈍角.
延長，過點(diǎn)作,垂足為，過點(diǎn)作,垂足為,連接,
則是二面角的平面角.
由題得，
所以，
所以,.
所以二面角的平面角的余弦值為.
(2)
解：連接,以為原點(diǎn)，由題得,以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由題得設(shè)
即,
因?yàn)?br>所以
令，
令
時，函數(shù)單調(diào)遞增，時，，函數(shù)單調(diào)遞減.
所以當(dāng)=時，取最大值，此時與所成的角最小，
.
變式2-2．如圖，四棱錐的底面為矩形，底面，設(shè)平面與平面的交線為m．
（1）證明：，且平面；
（2）已知，R為m上的點(diǎn)求與平面所成角的余弦值的最小值．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）先由證明平面，再由線面平行推線線平行，可得；
由，可得平面，再由，即得證；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，計算平面的法向量，表示與平面所成角，計算最值即得解
【詳解】
（1）由題意，四棱錐的底面為矩形，可知，
又平面，平面
所以平面
又m為平面與平面的交線，且平面，故
因?yàn)榈酌?，平面，所以?br>又，且，
所以平面，
又，所以平面
（2）
由（1）可知，，，兩兩互相垂直，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的方向分別為x軸，y軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系
，，，，因?yàn)辄c(diǎn)R在平面內(nèi)的m上，且，所以可設(shè)
，，
設(shè)平面的法向量為，則
即可取
設(shè)與平面所成角為
則
因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時等號成立
所以，
所以與平面所成角的余弦值的最小值為
變式2-3．如圖，在梯形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，.
（1）求證：平面，平面；
（2）點(diǎn)在線段上運(yùn)動，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，試求的最小值.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)已知條件轉(zhuǎn)化垂直關(guān)系，利用線面垂直的判斷定理，即可證明；
（2）分別以直線，，為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，令，然后寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面和平面的法向量，由法向量夾角與二面角的關(guān)系求得（為的函數(shù)），由函數(shù)知識可得最小值．
【詳解】
解：（1）證明，在梯形中，
∵，，，
∴，，∴，∴.
∵平面平面，平面平面，平面，，
又∵，∴平面.
又四邊形是矩形，∴，∴平面，∴，
∵，∴平面.
（2）由（1）可建立直線，，為軸，軸，軸的如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，則，，，，
∴，.
設(shè)為平面的法向量，由，得，
取，則.
∵是平面的一個法向量，∴.
∵，∴當(dāng)時，有最大值，∴的最小值為.
鞏固練習(xí)
練習(xí)一 最大值問題
1．如圖所示，在三棱柱中，，點(diǎn)在平面的射影為線段的中點(diǎn)，側(cè)面是菱形，過點(diǎn)的平面與棱交于點(diǎn)．
(1)證明：四邊形為矩形；
(2)求與平面所成角的正弦值的最大值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】
【分析】
(1)由已知線面平行的判定定理得到平面，在運(yùn)用面面平行的判定與性質(zhì)得四邊形為平行四邊形．運(yùn)用線面垂直判定定理可得平面，從而得出結(jié)論.
(2) 以，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,依題意得 ，分別求解平面的法向量和的方向向量，運(yùn)用線面角的向量求解方法得到答案.
(1)
取中點(diǎn)為，連接，．
在三棱柱中，側(cè)面為平行四邊形，所以，
因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?br>因?yàn)槠矫?，且平面平面，所以?br>因?yàn)樵谌庵?，平面平面，平面平面?br>平面平面，所以，所以四邊形為平行四邊形．
在△中，因?yàn)椋堑闹悬c(diǎn)，所以．
由題可知平面，所以，，
因?yàn)?，所以平面?br>所以，所以四邊形為矩形．
(2)
由（1）知，，兩兩垂直，以，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)，，在中，，，所以，
所以，，，，則，．
因?yàn)?，所以，即?br>因?yàn)椋裕O(shè)平面的法向量為，
則即所以
令，則，，所以．
設(shè)與平面所成角為，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．
故與平面所成角的正弦值最大為．
2．如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是線段AB、CD的中點(diǎn)，，，將沿DM翻折，在翻折過程中A點(diǎn)記為P點(diǎn)．
(1)從翻折至的過程中，求點(diǎn)P運(yùn)動的軌跡長度；
(2)翻折過程中，二面角P?BC?D的平面角為θ，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）取DM的中點(diǎn)E，則從翻折至的過程中，點(diǎn)P運(yùn)動的軌跡是以點(diǎn)E為圓心，AE為半徑的半圓，由此可求得點(diǎn)P運(yùn)動的軌跡長度.
（2）由（1）得，連接AN，并延長交BC延長線于F，過P作，再過點(diǎn)O 作，則就是二面角P?BC?D的平面角θ，設(shè)，，，可得，令，運(yùn)用輔助角公式和正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得最大值.
(1)
解：取DM的中點(diǎn)E，則從翻折至的過程中，點(diǎn)P運(yùn)動的軌跡是以點(diǎn)E為圓心，AE為半徑的半圓，
因?yàn)?，，所以，所以點(diǎn)P運(yùn)動的軌跡長度為.

(2)
解：由（1）得，連接AN，并延長交BC延長線于F，，折起后，有面，過P作，則面，再過點(diǎn)O 作，則就是二面角P?BC?D的平面角θ，
設(shè)， ，，
，
令，所以，所以，解得.
所以的最大值為.

3．在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，，，為棱上的點(diǎn)，且．
(1)求證：平面；
(2)若二面角的平面角的正切值為，求的長；
(3)在（2）的條件下，若為線段上一點(diǎn)，求與面所成角為，求的最大值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）如圖建系，設(shè)，求出、、的坐標(biāo)，計算，，可證明，，由線面垂直的判定定理即可求證；
（2）設(shè)二面角的平面角為，由圖知為銳角，則，所以，分別求出平面和平面的一個法向量，利用空間向量夾角公式列方程求出的值即可求解；
（3）設(shè)，則，由（2）知平面的一個法向量，利用空間向量夾角公式將表示為關(guān)于的函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
(1)
因?yàn)槠矫?，面，所以，?br>因?yàn)?，所以兩兩垂直?br>如圖以為原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，，，，，
所以，，，
因?yàn)椋?，所以，?br>即，，因?yàn)?，所以平?br>(2)
由（1）知：平面，取平面的法向量，
因?yàn)?，?br>設(shè)平面的一個法向量為，
由，取，則，，所以，
設(shè)二面角的平面角為，且為銳角，
則，所以
所以，
整理可得：，解得：，所以的長為.
(3)
由（2）知的長為，即，
因?yàn)闉榫€段上一點(diǎn)，所以，設(shè)，
所以，
平面的一個法向量，
則
，
當(dāng)時，最小為，
所以最大值為，
綜上所述：的最大值為.
4．如圖，在直角三角形中，，斜邊，直角三角形可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角，動點(diǎn)在斜邊上.
(1)求證：平面平面；
(2)當(dāng)為的中點(diǎn)時，求異面直線與所成角的正切值；
(3)求與平面所成角的正切值的最大值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)．
【解析】
【分析】
（1）證明為二面角的平面角，然后證明平面，得證面面垂直；
（2）取中點(diǎn)．連接，證明異面直線與所成角為（或其補(bǔ)角），在中計算其正切值；
（3）證明是與平面所成角，求出的最小值即到的距離即可得結(jié)論．
(1)
證明：因?yàn)?，，所以為二面角的平面角，即，?br>又，平面，所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以平面平面?br>(2)
解：取中點(diǎn)．連接，如圖，
因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，所以異面直線與所成角為（或其補(bǔ)角），
由已知，，，平面，所以平面，
而平面，所以，所以，
又，，所以，，從而，，
，
；
(3)
由（1）知平面，所以是與平面所成角，
又平面，則，
，
直角中，到上點(diǎn)的距離的最小值為邊上的高即，
所以的最大值為．
練習(xí)二 最小值問題
5．如圖，為正方形，為直角梯形，，平面平面，且.
（1）若和延長交于點(diǎn)，求證：平面；
（2）若為邊上的動點(diǎn)，求直線與平面所成角正弦值的最小值.
【答案】（1）見解析（2）
【解析】
【詳解】
試題分析：（1）先根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得為中點(diǎn)，再根據(jù)為平行四邊形得，最后根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論,（2）利用空間向量求線面角,關(guān)鍵求出平面法向量:先建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo),利用方程組求出平面法向量,根據(jù)向量數(shù)量積求出直線方向向量與平面法向量夾角的余弦值,最后根據(jù)線面角與兩向量夾角之間關(guān)系求線面角正弦值,再根據(jù)自變量取值范圍求最小值.
試題解析：（1）證明：在梯形PDCE中，PD＝2EC，為中點(diǎn)，，且AB//CF，為平行四邊形，面，面，BF∥平面PAC.
（2）方法一：令點(diǎn)在面PBD上的射影為，直線與平面PDB所成角．
EC∥PD，所以EC平行于平面PBD，因?yàn)锳BCD為正方形，所以，又因?yàn)镻D⊥平面ABCD，所以PD⊥AC，所以AC⊥平面PBD，所以點(diǎn)C到面PBD的距離為，因?yàn)镋C平行于平面PBD，所以點(diǎn)到PBD的距離，
令，所以，所以．
方法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O－xyz，可知平面PDB的一個法向量為，，，
，令直線與平面PDB所成角為，
．
6．如圖，在梯形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，，設(shè)點(diǎn)在線段上運(yùn)動.
（1）證明：；
（2）設(shè)平面與平面所成銳二面角為，求的最小值.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】
（1）由平面幾何知識，余弦定理可得.，再由面面垂直、線面垂直的性質(zhì)可得證；
（2）由（1）可建立分別以直線，，為軸，軸，軸的如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，由二面角的向量求解方法可表示，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求得最值.
【詳解】
（1）證明：在梯形中，因?yàn)椋?，?br>所以，所以，
所以，所以.
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫?br>因?yàn)槠矫?，所以平?所以；
（2）解：由（1）可建立分別以直線，，為軸，軸，軸的如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
令，則，，，.∴，.
設(shè)為平面的一個法向量，
由得，取，則，
∵是平面的一個法向量，
∴
∵，∴當(dāng)時，有最大值，的最小值為.
【點(diǎn)睛】
向量法求二面角的步驟：建、設(shè)、求、算、取.
1、建：建立空間直角坐標(biāo)系.以三條互相垂直的垂線的交點(diǎn)為原點(diǎn)，沒有三垂線時需做輔助線;建立右手直角坐標(biāo)系,讓盡量多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上。
2、設(shè)：設(shè)所需點(diǎn)的坐標(biāo)，并得出所需向量的坐標(biāo).
3、求：求出兩個面的法向量.
4、算：運(yùn)用向量的數(shù)量積運(yùn)算，求兩個法向量的夾角的余弦值；
5、取：根據(jù)二面角的范圍和圖示得出的二面角是銳角還是鈍角,再取值.
7．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，四邊形BFED為矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF＝1.
(1)求證：AD⊥平面BFED；
(2)點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動，設(shè)平面PAB與平面ADE所成銳二面角為θ，試求θ的最小值．
【答案】（1）證明見解析 （2）θ最小值為60°
【解析】
【分析】
（1）在梯形ABCD中，利用勾股定理，得到AD⊥BD，再結(jié)合面面垂直的判定，證得DE⊥平面ABCD，即可證得AD⊥平面BFED；
（2）以D為原點(diǎn)，直線DA，DB，DE分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求得平面PAB與平面ADE法向量，利用向量的夾角公式，即可求解。
【詳解】
（1）證明：在梯形ABCD中，
∵AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，∴AB＝2.
∴BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cs 60°＝3.
∴AB2＝AD2＋BD2，∴AD⊥BD.
∵平面BFED⊥平面ABCD，平面BFED∩平面ABCD＝BD，
DE?平面BFED，DE⊥DB，∴DE⊥平面ABCD，
∴DE⊥AD，又DE∩BD＝D，∴AD⊥平面BFED.
（1）由(1)知，直線AD，BD，ED兩兩垂直，故以D為原點(diǎn)，直線DA，DB，DE分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
令EP＝λ(0≤λ≤)，則D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0，，0)，P(0，λ，1)，
所以＝(－1，，0)，＝(0，λ－，1)．
設(shè)n1＝(x，y，z)為平面PAB的法向量，
由得，取y＝1，則n1＝(，1，－λ)．
因?yàn)閚2＝(0,1,0)是平面ADE的一個法向量，
所以cs θ＝＝＝.
因?yàn)?≤λ≤，所以當(dāng)λ＝時，cs θ有最大值，所以θ的最小值為60°.
【點(diǎn)睛】
本題考查了線面垂直關(guān)系的判定與證明，以及空間角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，通過嚴(yán)密推理是線面位置關(guān)系判定的關(guān)鍵，同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.
8．如圖，正方形邊長為1，平面，平面，且（，在平面同側(cè)），為線段上的動點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）求的最小值，并求取得最小值時二面角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）最小值，二面角的余弦值為．
【解析】
【分析】
法一：（1）將幾何體補(bǔ)形為正方體，分別證明，，可得平面，即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，將轉(zhuǎn)化為向量的模長問題，即可求解的最小值，然后利用向量的方法求二面角即可.
法二：（1）直接建立空間直角坐標(biāo)系，用證明；（2）將轉(zhuǎn)化為向量的模長問題，即可求解的最小值，然后利用向量的方法求二面角即可.
【詳解】
法一:（1）分別作平面，平面，取，順次連接，，，,如圖，
易得幾何體為正方體，連接，∴，
∵平面，平面，
∴，又∵，
平面，平面，
∴平面，又∵平面，∴，同理可證，
又∵，平面，平面，
∴平面，∵平面，∴．
（2）∵平面，，故以為原點(diǎn)，，，的正方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得，，，，，，，
∵在上，∴設(shè)（），則有
，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值，
此時在平面中，，，
設(shè)平面的法向量為，則有即
設(shè)，得，，，
此時在平面中，，，
設(shè)平面的法向量為，則有
即
設(shè)，得，，，
設(shè)二面角大小為，
則，
由題意可知，為銳角，所以．
法二:（1）∵平面，，故以為原點(diǎn)，，，的正方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得，，，，，，，
∵在上，∴設(shè)（），則有
，
，
∵，
∴．
（2）由（1）得：
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值，
此時在平面中，，，
設(shè)平面的法向量為，則有即
設(shè)，得，，，
此時在平面中，，，
設(shè)平面的法向量為，則有
即
設(shè)，得，，，
設(shè)二面角大小為，
則，
由題意可知，為銳角，所以．
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：本題主要考查線面垂直的判定定理、利用向量的方法解決垂直問題及二面角問題，屬于中檔題. 利用向量法證明垂直問題的3種方法：
(1)證明線線垂直：兩條直線的方向向量的數(shù)量積為0.
(2)證明線面垂直：直線的方向向量與平面的法向量平行．
(3)證明面面垂直：
①其中一個平面與另一個平面的法向量平行；
②兩個平面的法向量垂直．

相關(guān)試卷

專題07 與圓有關(guān)的軌跡問題與最值問題（高考真題專練）（解析版）：

這是一份專題07 與圓有關(guān)的軌跡問題與最值問題（高考真題專練）（解析版），共13頁。

專題03 立體幾何中的動點(diǎn)問題和最值問題練）（高考真題專練）（解析版）：

這是一份專題03 立體幾何中的動點(diǎn)問題和最值問題練）（高考真題專練）（解析版），共30頁。

高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 平面向量中的范圍與最值問題（原卷版+解析版）：

這是一份高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 平面向量中的范圍與最值問題（原卷版+解析版），共73頁。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

專題07 立體幾何之角度的范圍與最值問題-備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)大題保分專練(全國通用)

專題07 立體幾何之角度的范圍與最值問題-備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)大題保分專練(全國通用)
高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)《圓中的范圍與最值問題》（2份打包，解析版+原卷版）

高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)《圓中的范圍與最值問題》（2份打包，解析版+原卷版）
新高考數(shù)學(xué)二輪專題《立體幾何》第8講 立體幾何范圍與最值問題（2份打包，解析版+原卷版）

新高考數(shù)學(xué)二輪專題《立體幾何》第8講 立體幾何范圍與最值問題（2份打包，解析版+原卷版）
專題17 立體幾何中的最值問題-備戰(zhàn)2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)沖破壓軸題講與練

專題17 立體幾何中的最值問題-備戰(zhàn)2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)沖破壓軸題講與練
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部