常見(jiàn)考點(diǎn)
考點(diǎn)一 體積問(wèn)題
典例1．已知長(zhǎng)方體，，分別為和的中點(diǎn)，．
(1)求三棱錐體積；
(2)求證：平面平面．
變式1-1．在五面體EF﹣ABCD中，正方形CDEF所在平面與平面ABCD垂直，四邊形 ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AD＝DC＝BC＝AB．
(1)求證：AC⊥BF；
(2)若三棱錐A﹣BCE的體積為，求線段AB的長(zhǎng)．
變式1-2．如圖，在三棱錐中，平面平面BCD，，O為BD的中點(diǎn).
(1)證明：；
(2)若是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.
變式1-3．如圖①，在平面五邊形SBCDA中，ADBC，AD⊥AB，AD=2BC=2AB，將△SAB沿AB折起到P的位置，使得平面PAB⊥底面ABCD，如圖②，且E為PD的中點(diǎn).
(1)求證：CE平面PAB；
(2)若PA=PB=6，AB=4，求三棱錐A-BCE的體積.
考點(diǎn)二 表面積問(wèn)題
典例2．如圖所示正四棱錐，，，為側(cè)棱上的點(diǎn)，且，求：
（1）正四棱錐的表面積；
（2）側(cè)棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面．若存在，求的值：若不存在，試說(shuō)明理由．
變式2-1．如圖，在底面為矩形的四棱錐中，為棱上一點(diǎn)，底面．
(1)證明：；
(2)若，，過(guò)作平面，垂足為，求三棱錐的側(cè)面積．
變式2-2．已知圓柱的底面半徑為，上底面圓心為，正六邊形內(nèi)接于下底面圓，
（1）試用表示圓柱的表面積和體積;
（2）若圓柱體積為，求點(diǎn)到平面的距離.
變式2-3．如圖，O是圓錐底面圓的圓心，圓錐的軸截面為等腰直角三角形，為底面圓周上一點(diǎn).
（1）若弧的中點(diǎn)為，求證：平面；
（2）如果面積是9，求此圓錐的表面積及三棱錐-體積的最大值.
鞏固練習(xí)
練習(xí)一 體積問(wèn)題
1．如圖，在直四棱柱中，底面ABCD為菱形，且，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為與的交點(diǎn).
(1)求證：平面平面；
(2)若，求三棱錐的體積.
2．如圖，四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面平面ABCD，點(diǎn)O，M，E分別是AD，PC，BC的中點(diǎn)，，．
(1)求證：平面平面；
(2)求三棱錐的體積．
3．如圖所示的直四棱柱中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，E，F(xiàn)分別是棱BC，CD上的點(diǎn)，且BE=2EC，DF=2FC，，G在棱上，為上底面的中心，平面EFG.
(1)求的值；
(2)求三棱錐的體積.
4．如圖，在直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱上的點(diǎn)，滿足，是的中點(diǎn)．
(1)證明：平面；
(2)求三棱錐的體積．
練習(xí)二 表面積問(wèn)題
5．如圖，在四棱錐S－ABCD中，SA⊥底面ABCD，底面ABCD是梯形，其中，且.
(1)求四棱錐S－ABCD的側(cè)面積；
(2)求平面SCD與平面SAB的夾角的余弦值.
6．如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形（及其內(nèi)部）以邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的封閉圖形.
(1)設(shè)，，求這個(gè)幾何體的表面積；
(2)設(shè)G是弧DF的中點(diǎn)，設(shè)P是弧CE上的一點(diǎn)，且.求異面直線AG與BP所成角的大小.
7．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，且，，平面，，分別是線段，的中點(diǎn).
(1)證明：；
(2)求四棱錐的表面積；
(3)求直線與平面所成角的大小.
8．已知四棱錐的底面為直角梯形，，，，且，.
（1）證明：平面平面；
（2）求四棱錐的側(cè)面積.
第三篇 立體幾何
專題08 立體幾何中的體積表面積問(wèn)題
常見(jiàn)考點(diǎn)
考點(diǎn)一 體積問(wèn)題
典例1．已知長(zhǎng)方體，，分別為和的中點(diǎn)，．
(1)求三棱錐體積；
(2)求證：平面平面．
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
（1）由平面，可得結(jié)合題干條件，即得解；
（2）先證明平面，平面，結(jié)合面面平行的判斷定理，即得證
(1)
由題意可知：平面，，為的中點(diǎn)，
，，
，
；
(2)
∵ABCD-A1B1C1D1是長(zhǎng)方體
∴AD//BC且AD=BC
∵點(diǎn)E、F分別為CC1和BB1的中點(diǎn)
∴EF//BC且EF=BC
∴AD//EF且AD=EF
∴四邊形ADEF是平行四邊形
∴AF//DE
∵平面，平面
∴平面
又，分別是線段，的中點(diǎn)
平面，平面
平面
又
平面平面．
變式1-1．在五面體EF﹣ABCD中，正方形CDEF所在平面與平面ABCD垂直，四邊形 ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AD＝DC＝BC＝AB．
(1)求證：AC⊥BF；
(2)若三棱錐A﹣BCE的體積為，求線段AB的長(zhǎng)．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)AB＝4
【解析】
【分析】
（1）取AB中點(diǎn)O，連CO，通過(guò)證明FC⊥面ABCD，得到FC⊥AC，再結(jié)合AC⊥BC可得答案；
（2）利用可得答案.
(1)
證明：取AB中點(diǎn)O，連CO．
∵AD＝DC＝BC＝AB，AB∥CD，
∴四邊形AOCD為菱形，∴CO＝OA＝OB，∴△OCB為正三角形，
∴AC⊥BC，
∵正方形CDEF所在平面與平面ABCD垂直，
∴FC⊥面ABCD，AC?面ABCD，
∴FC⊥AC．
BC∩FC＝C，∴AC⊥面BCF，
∵BF?面BCF，∴AC⊥BF．
(2)
解：設(shè)BC＝x，則AB＝2x，由勾股定理得AC＝，
由（1）可知ED⊥面ABCD，
故，
即，解得x＝2．
∴AB＝4．
變式1-2．如圖，在三棱錐中，平面平面BCD，，O為BD的中點(diǎn).
(1)證明：；
(2)若是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2)4.
【解析】
【分析】
（1）證明平面BCD，原題即得證；
（2）過(guò)點(diǎn)E作交BD于N.過(guò)點(diǎn)N作交BC于點(diǎn)M，連接ME，求出，即得三棱錐的體積.
(1)
證明：∵，O為BD中點(diǎn)，∴，
因?yàn)槠矫鍭BD，平面平面BCD，且平面平面，
∴平面BCD，∵平面BCD，∴.
(2)
解：過(guò)點(diǎn)E作交BD于N.過(guò)點(diǎn)N作交BC于點(diǎn)M，連接ME，
因?yàn)榍矣桑?）知平面BCD，
所以平面BCD， ∵平面BCD，∴
在△BCD中，∵，∴，
因?yàn)?，∴，∴平面MNE
∴
∴為所求的二面角的平面角，
∴，∴
∵，，∴，
因?yàn)?，∴?br>∵，∴.∴，∴.
∴
∴.
變式1-3．如圖①，在平面五邊形SBCDA中，ADBC，AD⊥AB，AD=2BC=2AB，將△SAB沿AB折起到P的位置，使得平面PAB⊥底面ABCD，如圖②，且E為PD的中點(diǎn).
(1)求證：CE平面PAB；
(2)若PA=PB=6，AB=4，求三棱錐A-BCE的體積.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）設(shè)F為PA的中點(diǎn)，連接EF，F(xiàn)B，證明四邊形BCEF為平行四邊形，然后根據(jù)線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可；
（2）設(shè)O為AB中點(diǎn)，連接PO?OD，過(guò)E作EHPO交OD于點(diǎn)H，然后根據(jù)
進(jìn)行求解即可.
(1)
證明：設(shè)F為PA的中點(diǎn)，連接EF，F(xiàn)B，
∵E為PD的中點(diǎn)，∴EFAD且EF=AD，
又∵ADBC且AD=2BC，
∴EFBC且EF=BC，
∴四邊形BCEF為平行四邊形，
∴CEBF，
又∵BF平面PAB，CE平面PAB，
∴CE平面PAB；
(2)
如圖，設(shè)O為AB中點(diǎn)，連接PO?OD，過(guò)E作EHPO交OD于點(diǎn)H，
∵PA=PB=6，AB=4，
∴PO⊥AB，即，
又∵平面PAB⊥底面ABCD，平面PAB底面ABCD=AB，
∴PO⊥底面ABCD，
又∵EHPO，∴ EH⊥底面ABCD，
∴EH是三棱錐E-ABC的底面ABC上的高，且，
又∵ADBC，AD⊥AB，BC=AB，
∴AB⊥BC，S△ABC=AB?BC×4×4=8，
所以.
VA-BCE=VE-ABC=?S△ABC?EH=×8×.
考點(diǎn)二 表面積問(wèn)題
典例2．如圖所示正四棱錐，，，為側(cè)棱上的點(diǎn)，且，求：
（1）正四棱錐的表面積；
（2）側(cè)棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面．若存在，求的值：若不存在，試說(shuō)明理由．
【答案】（1）；（2）存在，2.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)棱錐的表面積的計(jì)算公式即可求出結(jié)果；
（2）分析可得在側(cè)棱上存在一點(diǎn)，使平面，滿足．證得平面平面，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理即可證出結(jié)論.
【詳解】
（1）正四棱錐中，，，
側(cè)面的高，
正四棱錐的表面積．
（2）在側(cè)棱上存在一點(diǎn)，使平面，滿足．
理由如下：
取中點(diǎn)為，因?yàn)?，則，
過(guò)作的平行線交于，連接，．
在中，有，
平面，平面，平面，
由于，．
又由于，
平面，平面，平面，
，平面平面，得平面，
變式2-1．如圖，在底面為矩形的四棱錐中，為棱上一點(diǎn)，底面．
(1)證明：；
(2)若，，過(guò)作平面，垂足為，求三棱錐的側(cè)面積．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)．
【解析】
【分析】
（1）由線面垂直的性質(zhì)定理證明，結(jié)合由線面垂直判定定理證明平面，由此可證；
(2)由面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理平面，由此求三棱錐的各個(gè)側(cè)面的面積，由此可求其側(cè)面積.
【詳解】
（1）證明：因?yàn)榈酌妫?br>所以．
在矩形中，，
因?yàn)椋?br>所以平面，
因?yàn)槠矫妫?br>所以．
（2）解：因?yàn)?，平面，所以平面?
因?yàn)槠矫妫?br>所以平面平面．
又平面平面，平面，
所以．
因?yàn)椋?br>所以為的中點(diǎn)．
連接，，，易知，
所以的面積為．
又的面積為，
故三棱錐的側(cè)面積為
變式2-2．已知圓柱的底面半徑為，上底面圓心為，正六邊形內(nèi)接于下底面圓，
（1）試用表示圓柱的表面積和體積;
（2）若圓柱體積為，求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】（1），；（2）..
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)，可求得圓柱得高h(yuǎn)，再根據(jù)圓柱得表面積和體積公式即可得出答案；
（2）根據(jù)圓柱體積為，求出r，計(jì)算出和，由，利用等體積法即可求得點(diǎn)到平面的距離.
【詳解】
（1）連接，設(shè)圓柱得高為h，
因?yàn)椋瑒t，，
所以，圓柱的表面積為；
體積；
（2）連接，
，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
由題意知，，，
，，
所以，，
，
由，，，
即點(diǎn)到平面的距離為.
變式2-3．如圖，O是圓錐底面圓的圓心，圓錐的軸截面為等腰直角三角形，為底面圓周上一點(diǎn).
（1）若弧的中點(diǎn)為，求證：平面；
（2）如果面積是9，求此圓錐的表面積及三棱錐-體積的最大值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）表面積；的最大值為9
【解析】
【分析】
（1）證明即可；
（2）由條件可得，，然后由的面積是9求出，當(dāng)是弧中點(diǎn)時(shí)，三棱錐-體積的最大，最后利用相關(guān)公式可算出答案.
【詳解】
（1） ∵是底面圓的直徑，
∴
∵弧的中點(diǎn)為，
∴
又，共面，
∴
又平面，平面，
∴平面
（2）設(shè)圓錐底面半徑為，高為，母線長(zhǎng)為，
∵圓錐的軸截面為等腰直角三角形，
∴，
由，得
∴圓錐的表面積
易知當(dāng)是弧中點(diǎn)時(shí)，三棱錐-體積的最大，
且最大值為：
鞏固練習(xí)
練習(xí)一 體積問(wèn)題
1．如圖，在直四棱柱中，底面ABCD為菱形，且，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為與的交點(diǎn).
(1)求證：平面平面；
(2)若，求三棱錐的體積.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【解析】
【分析】
(1)如圖，連接BD，根據(jù)題意可得DE⊥CD，利用線面垂直的性質(zhì)和判定定理可得DE⊥平面，進(jìn)而即可證明面面垂直；
(2)結(jié)合(1)和線面垂直的性質(zhì)和判定定理可得平面，取的中點(diǎn)G，連接GF，進(jìn)而可得平面，求出、、，利用三棱錐的體積公式計(jì)算即可.
(1)
如圖，連接BD.
在菱形ABCD中，∠BAD=60°，所以為正三角形，
因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，所以DE⊥AB.
因?yàn)锳B//CD，所以DE⊥CD.
因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，
而，且，平面，
所以DE⊥平面.又因?yàn)槠矫鍰EF，
所以平面DEF⊥平面.
(2)
由（1）知.
因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以.
而，且，平面，所以平面.
如圖，取的中點(diǎn)G，連接GF.
因?yàn)镕為的中點(diǎn)，所以，所以平面.
由條件知，，，，
所以三棱錐的體積.
2．如圖，四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面平面ABCD，點(diǎn)O，M，E分別是AD，PC，BC的中點(diǎn)，，．
(1)求證：平面平面；
(2)求三棱錐的體積．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2)．
【解析】
【分析】
（1）證明平面后可得面面垂直；
（2）利用棱錐體積公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換后計(jì)算．
(1)
是正方形，分別為中點(diǎn)，則，
又，所以，
，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
(2)
平面平面ABCD，，平面，平面平面，
所以平面，
是中點(diǎn)，
所以．
3．如圖所示的直四棱柱中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，E，F(xiàn)分別是棱BC，CD上的點(diǎn)，且BE=2EC，DF=2FC，，G在棱上，為上底面的中心，平面EFG.
(1)求的值；
(2)求三棱錐的體積.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）連接，，則，連接AC，BD，設(shè)，連接，易知，再根據(jù)平面EFG，利用線面平行的性質(zhì)定理得到求解；
（2）利用等體積法，由求解.
(1)
解：如圖所示，連接，，
因?yàn)闉樯系酌娴闹行?，所以?br>連接AC，BD，設(shè)，連接，則，
設(shè)，由BE=2EC，DF=2FC，可得，
因?yàn)槠矫鍱FG，所以平面EFG，
又因?yàn)槠矫妫?br>記平面平面EFG=HG，則，
所以.
(2)
因?yàn)椋杂桑?）的證明可知，可知CG=1，
又由BE=2EC及BC=2，可知，
所以，
所以三棱錐的體積為.
4．如圖，在直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱上的點(diǎn)，滿足，是的中點(diǎn)．
(1)證明：平面；
(2)求三棱錐的體積．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）取的中點(diǎn)，得到且，證得且，得到，結(jié)合線面平行的判定定理，即可證得平面．
（2）根據(jù)題意先證得平面，得到點(diǎn)到平面的距離，結(jié)合和錐體的體積公式，即可求解.
(1)
證明：如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以且，
又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以且，
所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，
又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?
(2)
解：由直三棱柱中，可得，
又由，且，平面，
所以平面，
又因?yàn)槠矫?，且?br>所以點(diǎn)到平面的距離，
由，
所以三棱錐的體積為．
練習(xí)二 表面積問(wèn)題
5．如圖，在四棱錐S－ABCD中，SA⊥底面ABCD，底面ABCD是梯形，其中，且.
(1)求四棱錐S－ABCD的側(cè)面積；
(2)求平面SCD與平面SAB的夾角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)垂直關(guān)系依次求解每個(gè)側(cè)面三角形邊長(zhǎng)和面積即可得解；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.
(1)
由題可得：，則，
SA⊥底面ABCD，所以，
SA平面SAB，平面SAB⊥底面ABCD，交線，
所以BC⊥平面SAB，BC⊥BS，
，
所以四棱錐的側(cè)面積
(2)
以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：
設(shè)平面SCD的法向量，
，取
所以
取為平面SAB的的法向量
所以平面SCD與平面SAB的夾角的余弦值.
6．如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形（及其內(nèi)部）以邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的封閉圖形.
(1)設(shè)，，求這個(gè)幾何體的表面積；
(2)設(shè)G是弧DF的中點(diǎn)，設(shè)P是弧CE上的一點(diǎn)，且.求異面直線AG與BP所成角的大小.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）將幾何體的表面積分成上下兩個(gè)扇形、兩個(gè)矩形和一個(gè)圓柱形側(cè)面的一部分組成，分別求出后相加即可；
（2）先根據(jù)條件得到面，通過(guò)平移將異面直線轉(zhuǎn)化為同一個(gè)平面內(nèi)的直線夾角即可
(1)
上下兩個(gè)扇形的面積之和為：
兩個(gè)矩形面積之和為：4
側(cè)面圓弧段的面積為：
故這個(gè)幾何體的表面積為：
(2)
如下圖，將直線平移到下底面上為
由，且，，可得：面
則
而G是弧DF的中點(diǎn)，則
由于上下兩個(gè)平面平行且全等，則直線與直線的夾角等于直線與直線的夾角，即為所求，則
則直線與直線的夾角為
7．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，且，，平面，，分別是線段，的中點(diǎn).
(1)證明：；
(2)求四棱錐的表面積；
(3)求直線與平面所成角的大小.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）由勾股定理逆定理可得，由線面垂直的性質(zhì)可得，由線面垂直的判定定理可證明面即可求證；
（2）證明，，分別求五個(gè)面的面積之和即可求解；
（3）利用三棱錐等體積求出點(diǎn)到平面的距離為，設(shè)直線與平面所成角為，求出的值即可得角.
(1)
底面是矩形，且，，，分別是線段，的中點(diǎn)，
連接，則，且，
因?yàn)?，所以，所以?br>因?yàn)槠矫妫?，所以?br>因?yàn)椋悦妫?br>因?yàn)槊?，所?
(2)
因?yàn)槠矫?，面，所以?br>因?yàn)?，，所以面?br>因?yàn)槊?，所以?br>因?yàn)槠矫?，面，所以?br>因?yàn)椋?，所以面?br>因?yàn)槊?，所以?br>；；
；；
；
所以四棱錐的表面積為.
(3)
連接，，，
，
所以，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
由可得，
因?yàn)?，，?br>因?yàn)?，所以?br>所以，
所以，可得，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
所以直線與平面所成角為.
8．已知四棱錐的底面為直角梯形，，，，且，.
（1）證明：平面平面；
（2）求四棱錐的側(cè)面積.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由平面得，再結(jié)合幾何關(guān)系得，進(jìn)而平面，再根據(jù)判定定理即可得平面平面.
（2）由（1）知平面四棱錐的四個(gè)側(cè)面均為直角三角形，再計(jì)算即可得答案.
【詳解】
（1）由，知，故，
又，，，平面，
所以平面.
因?yàn)槠矫?，所?
又在直角梯形中，易求得，
所以，故.
又，，平面，
所以平面.
又平面，
所以平面平面.
（2）由（1）知平面四棱錐的四個(gè)側(cè)面均為直角三角形，
所以，，，
.
故四棱錐的側(cè)面積為.

相關(guān)試卷

備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題08數(shù)列中的新定義問(wèn)題(原卷版+解析)：

這是一份備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題08數(shù)列中的新定義問(wèn)題(原卷版+解析)，共29頁(yè)。試卷主要包含了“取整與取最值”數(shù)列，“新定義”數(shù)列等內(nèi)容，歡迎下載使用。

備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題08利用導(dǎo)數(shù)處理極值點(diǎn)偏移問(wèn)題(原卷版+解析)：

這是一份備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題08利用導(dǎo)數(shù)處理極值點(diǎn)偏移問(wèn)題(原卷版+解析)，共39頁(yè)。試卷主要包含了極值點(diǎn)偏移問(wèn)題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題07立體幾何中的最值問(wèn)題(原卷版+解析)：

這是一份備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題07立體幾何中的最值問(wèn)題(原卷版+解析)，共44頁(yè)。試卷主要包含了最大值問(wèn)題，最小值問(wèn)題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題06數(shù)列中的證明問(wèn)題(原卷版+解析)

備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題06數(shù)列中的證明問(wèn)題(原卷版+解析)
高中數(shù)學(xué)高考專題25 立體幾何中綜合問(wèn)題（原卷版）

高中數(shù)學(xué)高考專題25 立體幾何中綜合問(wèn)題（原卷版）
高中數(shù)學(xué)高考專題08 立體幾何-備戰(zhàn)2019年高考數(shù)學(xué)（文）之糾錯(cuò)筆記系列（原卷版）

高中數(shù)學(xué)高考專題08 立體幾何-備戰(zhàn)2019年高考數(shù)學(xué)（文）之糾錯(cuò)筆記系列（原卷版）
高中數(shù)學(xué)高考專題08 立體幾何-備戰(zhàn)2019年高考數(shù)學(xué)（理）之糾錯(cuò)筆記系列（原卷版）

高中數(shù)學(xué)高考專題08 立體幾何-備戰(zhàn)2019年高考數(shù)學(xué)（理）之糾錯(cuò)筆記系列（原卷版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部