常見(jiàn)考點(diǎn)
考點(diǎn)一 線線角
典例1．如圖，在多面體ABCEF中，和均為等邊三角形，D是AC的中點(diǎn)，，.
(1)證明：；
(2)若平面平面ACE，求異面直線AE與BF所成角的余弦值.
變式1-1．如圖，在平行四邊形中，，，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且.
(1)證明：平面平面；
(2)為線段上一點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，且，求異面直線與所成的角的余弦.
變式1-2．如圖，在直三棱柱中，，，，，是棱上一點(diǎn)．
(1)若，求；
(2)在（1）的條件下，求直線與所成角的余弦值．
變式1-3．如圖，在正方體中，、分別是、的中點(diǎn).
(1)求證：；
(2)求直線和所成角的大小.
考點(diǎn)二 線面角
典例2．如圖，在梯形ABCD中，，，，E，F(xiàn)分別為邊AB，CD上的動(dòng)點(diǎn)，且，G是BC的中點(diǎn)，沿EF將梯形ABCD翻折，使平面平面EBCF．
(1)求AE為何值時(shí)，；
(2)在（1）的條件下，求BD與平面ABF所成角的正弦值．
變式2-1．如圖所示的直四棱柱中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，E，F(xiàn)分別是棱BC，CD上的點(diǎn)，且，，點(diǎn)G為棱上的動(dòng)點(diǎn)，，為上底面的中心，平面EFG.
(1)求CG的長(zhǎng)度；
(2)求直線與平面EFG所成的角的正弦值.
變式2-2．如圖，三棱錐P－ABC中，為正三角形，側(cè)面PAB與底面ABC所成的二面角為150°，AB＝AC＝2，，E，M，N分別是線段AB，PB和BC的中點(diǎn).
(1)證明：平面PEN⊥平面ABC；
(2)求直線PN與平面MAC所成角的正弦值.
變式2-3．如圖，在直三棱柱中，，，.
(1)求證：；
(2)若點(diǎn)N在線段上，滿足平面ABC，求直線與平面所成角的正弦值.
考點(diǎn)三 二面角
典例3．如圖，在三棱柱中，側(cè)面是矩形，，，，，E，F(xiàn)分別為棱，BC的中點(diǎn)，G為線段CF的中點(diǎn)．
(1)證明：平面；
(2)求二面角的余弦值．
變式3-1．如圖，中，且，將沿中位線EF折起，使得，連結(jié)AB，AC，M為AC的中點(diǎn).
(1)證明：平面ABC；
(2)求二面角的余弦值.
變式3-2．如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，，，底面ABCD，且，M是棱PB的中點(diǎn).
(1)證明：平面平面PCD；
(2)求平面AMC與平面BMC的夾角的余弦值.
變式3-3．如圖，三棱錐中，，，，，，點(diǎn)是PA的中點(diǎn)，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在PB上，且.
(1)證明：平面CMN；
(2)求平面MNC與平面ABC所成角的余弦值.
鞏固練習(xí)
練習(xí)一 線線角
1．如圖，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，求異面直線 A1B與C1D所成角的余弦值.
2．如圖，直棱柱在底面中，，棱分別為的中點(diǎn).
（1）求異面直線?成角的余弦值；
（2）求證：平面.
3．如圖，在直三棱柱中，分別為的中點(diǎn).
（1）證明：平面；
（2）證明：；
（3）求異面直線所成角的余弦值.
4．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E，F(xiàn)，G分別是，BD，的中點(diǎn).
（1）求證：；
（2）求EF與CG所成角的余弦值；
（3）求CE的長(zhǎng).
練習(xí)二 線面角
5．如圖，已知三棱柱中，側(cè)面底面為等腰直角三角形，．
(1)若O為的中點(diǎn)，求證：；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
6．如圖，已知四棱錐中，平面，四邊形中，，，，，，點(diǎn)在平面內(nèi)的投影恰好是△的重心．
(1)求證：平面平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
7．已知平行四邊形，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，沿將翻折得，使得，且點(diǎn)為的中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
8．如圖1，在△MBC中，，A，D分別為棱BM，MC的中點(diǎn)，將△MAD沿AD折起到△PAD的位置，使，如圖2，連結(jié)PB，PC，BD．
(1)求證：平面PAD⊥平面ABCD；
(2)若E為PC中點(diǎn)，求直線DE與平面PBD所成角的正弦值．
練習(xí)三 二面角
9．如圖，在四棱柱中，，，，四邊形為菱形，在平面ABCD內(nèi)的射影O恰好為AD的中點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值.
10．如圖所示，在四棱錐中，四邊形ABCD為菱形，為等邊三角形，，點(diǎn)S在平面ABCD內(nèi)的射影O為線段AD的中點(diǎn).
(1)求證：平面平面SBC；
(2)已知點(diǎn)E在線段SB上，，求二面角的余弦值.
11．如圖，在直棱柱中，，，，分別是，的中點(diǎn).
(1)求的長(zhǎng)；
(2)求證：；
(3)求二面角的余弦值.
12．如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為正方形，，，，.
(1)證明：平面ABCD；
(2)求二面角的正弦值．
第三篇 立體幾何
專題03 立體幾何中的夾角問(wèn)題
常見(jiàn)考點(diǎn)
考點(diǎn)一 線線角
典例1．如圖，在多面體ABCEF中，和均為等邊三角形，D是AC的中點(diǎn)，，.
(1)證明：；
(2)若平面平面ACE，求異面直線AE與BF所成角的余弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）證明一條直線垂直于另一條直線，可以先證明前者垂直于后者所在的那個(gè)平面；
（2）求異面直線的夾角，優(yōu)先考慮建立空間直角坐標(biāo)系，用向量的方法來(lái)計(jì)算.
(1)
證明：連接DE.
因?yàn)?，且D為AC的中點(diǎn)，所以.
因?yàn)?，且D為AC的中點(diǎn)，所以.
因?yàn)槠矫鍮DE，平面BDE，且，所以平面BDE.
因?yàn)椋云矫鍮DE，所以；
(2)
由（1）可知.
因?yàn)槠矫嫫矫鍭CE，平面平面，平面ACE，
所以平面ABC，所以DC，DB，DE兩兩垂直.
以D為原點(diǎn)，分別以，.的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
則，，，，
從而，.
則，
即異面直線AE與BF所成角的余弦值為；
故答案為：證明見(jiàn)解析，.
變式1-1．如圖，在平行四邊形中，，，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且.
(1)證明：平面平面；
(2)為線段上一點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，且，求異面直線與所成的角的余弦.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由題易知，由根據(jù)線面垂直的判定定理可推出平面，再由面面垂直的判定定理即可得證；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出異面直線所成角的余弦值；
(1)
證明： 平行四邊形，
，，即，
，，、平面，
平面，
平面，
平面平面．
(2)
解：由（1）平面平面，，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，令，所以，，，，所以，，設(shè)異面直線與所成的角為，則，
故異面直線與所成的角的余弦值為．
變式1-2．如圖，在直三棱柱中，，，，，是棱上一點(diǎn)．
(1)若，求；
(2)在（1）的條件下，求直線與所成角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量求解即可；
（2）利用向量求解即可.
(1)
如圖，以，，的單位向量為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，．
設(shè)，則，
又，，
∴，
∴，即為的中點(diǎn)，
∴．
(2)
由（1）得，，
∴，即所求余弦值為．
變式1-3．如圖，在正方體中，、分別是、的中點(diǎn).
(1)求證：；
(2)求直線和所成角的大小.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算得出，即可證得結(jié)論成立；
（2）利用空間向量法可求得直線和所成角的大小.
(1)
解：以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，
則、、、、、、，
，，所以，，.
(2)
解：，，
，
因此，直線和所成角為.
考點(diǎn)二 線面角
典例2．如圖，在梯形ABCD中，，，，E，F(xiàn)分別為邊AB，CD上的動(dòng)點(diǎn)，且，G是BC的中點(diǎn)，沿EF將梯形ABCD翻折，使平面平面EBCF．
(1)求AE為何值時(shí)，；
(2)在（1）的條件下，求BD與平面ABF所成角的正弦值．
【答案】(1)1
(2)
【解析】
【分析】
（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用，得出；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法得出BD與平面ABF所成角的正弦值．
(1)
沿將梯形翻折后，以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)，則，
，
，即，解得或（舍）
故當(dāng)時(shí)，
(2)
在（1）的條件下，，
設(shè)平面的法向量為，由，解得
故
設(shè)BD與平面ABF所成角為，則
故BD與平面ABF所成角的正弦值為.
變式2-1．如圖所示的直四棱柱中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，E，F(xiàn)分別是棱BC，CD上的點(diǎn)，且，，點(diǎn)G為棱上的動(dòng)點(diǎn)，，為上底面的中心，平面EFG.
(1)求CG的長(zhǎng)度；
(2)求直線與平面EFG所成的角的正弦值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）假設(shè)當(dāng)時(shí)，平面，連，取棱AC的中點(diǎn)O，連，得到，設(shè)，連接GH，易證，再利用線面平行的判定定理證明；
（2）分別以DA，DC，所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面EFG的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面EFG所成的角為，由求解.
(1)
解：假設(shè)當(dāng)時(shí)，平面，
如圖所示，連，
因?yàn)闉樯系酌娴闹行?，所以是棱的中點(diǎn).
連AC，取棱AC的中點(diǎn)O，連，則，
設(shè)，連接GH，
由，；得，
又因?yàn)?，所以?br>所以，
又因?yàn)槠矫?，平面EFG，
所以平面EFG，所以假設(shè)成立，即.
(2)
由題可知DA，DC，兩兩相互垂直，
分別以DA，DC，所在直線為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
所以，，，
設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量為，
則，即，
令，得，，所以，
設(shè)直線與平面EFG所成的角為，
則，
.
變式2-2．如圖，三棱錐P－ABC中，為正三角形，側(cè)面PAB與底面ABC所成的二面角為150°，AB＝AC＝2，，E，M，N分別是線段AB，PB和BC的中點(diǎn).
(1)證明：平面PEN⊥平面ABC；
(2)求直線PN與平面MAC所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由為正三角形，可得，再由三角形中位線定理結(jié)合已知條件可得，再由線面垂直和面面垂直的判定可得結(jié)論，
（2）以E為原點(diǎn)，EB、EN所在的直線分別為x、y軸，過(guò)點(diǎn)E與平面ABC垂直的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量求解即可
(1)
由為正三角形，E是AB的中點(diǎn)，則知PE⊥AB，
因?yàn)镋，N分別是線段AB和BC的中點(diǎn)，
所以∥，
因?yàn)锳B⊥AC，所以EN⊥AB，
又，所以AB⊥平面PEN，
因?yàn)槠矫鍭BC
所以平面PEN⊥平面ABC.
(2)
由（1）知，∠PEN＝150°，
以E為原點(diǎn)，EB、EN所在的直線分別為x、y軸，過(guò)點(diǎn)E與平面ABC垂直的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則B（1，0，0），C（－1，2，0），A（－1，0，0），，，N（0，1，0），
∴，，，
設(shè)平面MAC的法向量為，則，即，
令x＝1，則y＝0，，∴，
設(shè)直線PN與平面MAC所成角為θ，則
，
故直線PN與平面MAC所成角的正弦值為.
變式2-3．如圖，在直三棱柱中，，，.
(1)求證：；
(2)若點(diǎn)N在線段上，滿足平面ABC，求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用線面垂直的判定定理證明出平面，即可證明.
（2）連接，MN，.先證明出N為的中點(diǎn).
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.
(1)
∵為直三棱柱，
∴平面ABC，∴，，
又，所以四邊形為正方形，
∴，又，，
∴平面，又平面，∴，
又，，∴平面，又平面，
∴.
(2)
連接，MN，.
∵平面ABC，又平面，平面平面，
∴.又M為的中點(diǎn)，∴N為的中點(diǎn).
如圖所示，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.
∴
設(shè)平面的法向量為，又，，
由得，不妨取z=2，
所以平面的一個(gè)法向量為
∴直線與平面所成角的正弦值為.
考點(diǎn)三 二面角
典例3．如圖，在三棱柱中，側(cè)面是矩形，，，，，E，F(xiàn)分別為棱，BC的中點(diǎn)，G為線段CF的中點(diǎn)．
(1)證明：平面；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）作圖，由對(duì)應(yīng)比例證明，即可證明平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得對(duì)應(yīng)平面向量的坐標(biāo)，求解出法向量，利用向量夾角計(jì)算公式代入計(jì)算.
(1)
連接，交于點(diǎn)，連接，由題意，四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)镋為中點(diǎn)，∴，∴，且相似比為，∴，又∵，為，中點(diǎn)，∴，∴，又平面，平面，∴平面.
(2)
連接，因?yàn)?，，所以，，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)平面和平面的法向量分別為，則AE?m=0EF?m=0?32x1?32y1=0?3x1+y1+32z1=0?m=33,3,4，BE?n=0EF?n=0?332x2?12y2=0?3x2+y2+32z2=0?n=3,9,?4，所以，因?yàn)槎娼堑钠矫娼菫殇J角，所以二面角的余弦值為.
【點(diǎn)睛】
對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問(wèn)題，往往可以利用空間向量法，通過(guò)求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.
變式3-1．如圖，中，且，將沿中位線EF折起，使得，連結(jié)AB，AC，M為AC的中點(diǎn).
(1)證明：平面ABC；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)得出，，再由線面垂直的判定證明即可；
（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法得出面面角.
(1)
設(shè)，則
，，平面
平面，
連接，，，
，
，即
又
，平面ABC
(2)
，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系
設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為
，令，則
同理可得，
又二面角為鈍角，故二面角的余弦值為.
變式3-2．如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，，，底面ABCD，且，M是棱PB的中點(diǎn).
(1)證明：平面平面PCD；
(2)求平面AMC與平面BMC的夾角的余弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)線面垂直的判定定理先證明平面PAD，再根據(jù)面面垂直的判定定理證明平面平面PCD；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)，繼而求得相關(guān)向量的坐標(biāo)，再求出相關(guān)平面AMC和平面BMC的法向量，根據(jù)向量的夾角公式求得答案
(1)
∵底面ABCD，底面ABCD，∴,
又由題設(shè)知，且直線PA與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，
∴平面PAD.
又平面PCD，∴平面平面PCD.
(2)
∵，，，
∴以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AD為x軸，以AB為y軸，以AP為z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
則，，，,，
,,
設(shè)平面AMC的法向量為，
則由，得，得，
令，得為平面AMC的一個(gè)法向量.
由，,
設(shè)平面BMC的一個(gè)法向量為，
則,即 ，
令 ,可得平面BMC的一個(gè)法向量為.
∴,
故所求平面AMC與平面BMC的夾角的余弦值為.
變式3-3．如圖，三棱錐中，，，，，，點(diǎn)是PA的中點(diǎn)，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在PB上，且.
(1)證明：平面CMN；
(2)求平面MNC與平面ABC所成角的余弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【解析】
【分析】
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，得到相關(guān)點(diǎn)和相關(guān)向量的坐標(biāo),
（1）求出平面的法向量，利用證明即可；
（2）由（1）知平面的法向量，再求平面的法向量，利用向量的夾角公式即可求解.
(1)
證明：三棱錐中，，，
∴分別以，，為，，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系
∵，，點(diǎn)M是PA的中點(diǎn)，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在PB上且
∴，，，，，
設(shè)平面的法向量，
，，，
由得
令
得
∴
∵
∴又平面
∴平面；
(2)
，，
∴平面
∴為平面的法向量
則與的夾角的補(bǔ)角是平面與平面所成二面角的平面角
.
∴平面與平面所成角的余弦值為.
鞏固練習(xí)
練習(xí)一 線線角
1．如圖，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，求異面直線 A1B與C1D所成角的余弦值.
【答案】
【解析】
【分析】
建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法求解.
【詳解】
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：
則，
所以，
設(shè)異面直線 A1B與C1D所成的角為，
所以.
2．如圖，直棱柱在底面中，，棱分別為的中點(diǎn).
（1）求異面直線?成角的余弦值；
（2）求證：平面.
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)條件中的垂直關(guān)系，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求向量和的坐標(biāo)，再根據(jù)公式的值；（2）利用向量數(shù)量積證明，證明線面垂直.
【詳解】
（1）如圖所示，以C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，
依題意得
又
故所成角的余弦值為
（2）證明：依題意得
又：面面
平面
3．如圖，在直三棱柱中，分別為的中點(diǎn).
（1）證明：平面；
（2）證明：；
（3）求異面直線所成角的余弦值.
【答案】（1）證明詳見(jiàn)解析；（2）證明詳見(jiàn)解析；（3）.
【解析】
【分析】
（1）通過(guò)證明來(lái)證得平面.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證得.
（3）利用向量法求得異面直線與所成角的余弦值.
【詳解】
（1）在三角形中，分別是的中點(diǎn)，所以是三角形的中位線，所以，由于平面，平面，所以平面.
（2）以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則
，
所以，
，所以，即.
（3），設(shè)異面直線與所成角為，
則.
所以異面直線與所成角的余弦值為.
4．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E，F(xiàn)，G分別是，BD，的中點(diǎn).
（1）求證：；
（2）求EF與CG所成角的余弦值；
（3）求CE的長(zhǎng).
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，證明即可；
（2）求出即可；
（3）利用空間兩點(diǎn)間距離公式即可求出.
【詳解】
如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
則.
（1），，
則,
，；
（2）設(shè)EF與CG所成角為，
，，
則，
所以EF與CG所成角的余弦值為；
（3）
練習(xí)二 線面角
5．如圖，已知三棱柱中，側(cè)面底面為等腰直角三角形，．
(1)若O為的中點(diǎn)，求證：；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)題意可得，由面面垂直的性質(zhì)可得平面，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)即可證明；
(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出平面的法向量和，
結(jié)合空間向量的數(shù)量積計(jì)算即可.
(1)
為等腰直角三角形，，由O為的中點(diǎn)，，
又平面平面，平面平面．
平面，又平面．
(2)
為等腰直角三角形，，
又四邊形為菱形，為正三角形，，又平面平面，平面平面，
平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，．
又，
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，即
令，則．
設(shè)直線與平面所成的角為，
則．
6．如圖，已知四棱錐中，平面，四邊形中，，，，，，點(diǎn)在平面內(nèi)的投影恰好是△的重心．
(1)求證：平面平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）通過(guò)線線垂直先證明平面，即可由線面垂直證明面面垂直；
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得直線的方向向量和平面的法向量，即可由向量法求得線面角的正弦值.
(1)
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，平面，平面?br>所以平面，
又因?yàn)槠矫?，所以平面平面，所以平面平面?br>(2)
取中點(diǎn)，連接，
因?yàn)椋?，，?br>所以四邊形是矩形，所以，
因?yàn)槠矫妫?，?br>所以、、兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：
，，，，，
設(shè)，則，
，，，
因?yàn)辄c(diǎn)在平面內(nèi)的投影恰好是△的重心，所以，
所以，所以，，又，，
令，
因?yàn)?，?br>所以是平面的法向量，
的方向向量是，
所以直線與平面所成角的正弦值為
.
故直線與平面所成角的正弦值為.
7．已知平行四邊形，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，沿將翻折得，使得，且點(diǎn)為的中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）取PD的中點(diǎn)H，證明四邊形FHEB為平行四邊形，由線面平行判定定理即可得證；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求線面角即可.
(1)
取PD的中點(diǎn)H,連接EH,HF
∵F，H分別為PC，PD的中點(diǎn)，∴
又∵E為AB的中點(diǎn)，∴，
∴，∴FHEB為平行四邊形，∴，
又∵面PDE，面PDE，∴平面PDE.
(2)
∵，，，
∴，如圖建立平面直角坐標(biāo)系：
令，由條件可知，，，，
由，∴，∴
∴.
∴，又∵面BCDE的法向是，
記PE與面BCDE所成角為.
∴，
即PE與面BCDE所成角的正弦值為.
8．如圖1，在△MBC中，，A，D分別為棱BM，MC的中點(diǎn)，將△MAD沿AD折起到△PAD的位置，使，如圖2，連結(jié)PB，PC，BD．
(1)求證：平面PAD⊥平面ABCD；
(2)若E為PC中點(diǎn)，求直線DE與平面PBD所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2).
【解析】
【分析】
(1)推導(dǎo)出，，利用線面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理即可證明；
(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求出直線DE與平面所成角的正弦值.
(1)
由題意知，因?yàn)辄c(diǎn)A、D分別為MB、MC中點(diǎn)，所以，
又，所以，所以.
因?yàn)?，所以，又?br>所以平面，又平面，所以平面平面；
(2)
因?yàn)?，，，所以兩兩垂直?br>以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
，
則，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，得，
所以，設(shè)直線DE與平面所成角為，
則，
所以直線DE與平面所成角的正弦值為.
練習(xí)三 二面角
9．如圖，在四棱柱中，，，，四邊形為菱形，在平面ABCD內(nèi)的射影O恰好為AD的中點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）先證明，，即可證明平面；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.
(1)
因?yàn)镺為在平面ABCD內(nèi)的射影，
所以平面ABCD，
因?yàn)槠矫鍭BCD，所以.
如圖，連接BD，在中，.
設(shè)CD的中點(diǎn)為P，連接BP，
因?yàn)椋?，?br>所以，且，則.
因?yàn)椋?br>所以，
易知，所以.
因?yàn)槠矫妫矫?，?br>所以平面.
(2)
由（1）知平面ABCD，
所以可以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A，，所在直線分別為x，z，以平面ABCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)O且垂直于OA的直線為y軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
所以,,，，
設(shè)平面的法向量為，，，
則可取平面的一個(gè)法向量為.
設(shè)平面的法向量為，，，
則
令，得平面的一個(gè)法向量為.
設(shè)平面與平面的平面角為，
由法向量的方向可知與法向量的夾角大小相等，
所以，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
10．如圖所示，在四棱錐中，四邊形ABCD為菱形，為等邊三角形，，點(diǎn)S在平面ABCD內(nèi)的射影O為線段AD的中點(diǎn).
(1)求證：平面平面SBC；
(2)已知點(diǎn)E在線段SB上，，求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）證明和，利用線面垂直的判定定理證明出平面SOB，再利用面面垂直的判定定理證明出平面平面SBC.
（2）以為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解.
(1)
（1）如圖，連接BD.在菱形ABCD中，，故為等邊三角形.
因?yàn)镺為AD的中點(diǎn)，所以.
因?yàn)?，所?
由條件可知底面ABCD，又平面ABCD，所以，
因?yàn)椋琌S，平面SOB，所以平面SOB.
因?yàn)槠矫鍿BC，故平面平面SBC.
(2)
因?yàn)榈酌鍭BCD，，所以可以以為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
不妨設(shè)，則.
因?yàn)椋?，，，所?
由，得，
設(shè)是平面OEC的法向量，由OE·m=0OC·m=0得，
令，則，，則，
又因?yàn)槠矫鍮OE的一個(gè)法向量為，所以，
故由圖可知二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為.
11．如圖，在直棱柱中，，，，分別是，的中點(diǎn).
(1)求的長(zhǎng)；
(2)求證：；
(3)求二面角的余弦值.
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求得向量的坐標(biāo)求解；
（2）求得向量，的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求解；
（3）先求得平面的一個(gè)法向量，易知為平面的一個(gè)法向量，再由求解.
(1)
解：依題意，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），
則,，，，,,,，
所以向量
則；
(2)
向量，向量，
因?yàn)?，所以
所以；
(3)
向量，向量，
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，
則，即,
不妨令，可得，
又為平面的一個(gè)法向量，
則.
12．如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為正方形，，，，.
(1)證明：平面ABCD；
(2)求二面角的正弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）取AD的中點(diǎn)為M，連接EM，易證平面ECD，得到，再由，得到平面ADEF，進(jìn)而得到，再利用線面垂直的判定定理證明；
（2）連接BE，BD，以A為原點(diǎn)，，，所在方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面BED的一個(gè)法向量和平面CED的一個(gè)法向量，然后由求解.
(1)
證明：取AD的中點(diǎn)為M，連接EM，
則，又，，
故四邊形AFEM為正方形，
故，故，
又，，
故平面ECD，則．
又，，
故平面ADEF，
則．
又，，AD，平面ABCD，
故平面ABCD．
(2)
連接BE，BD，以A為原點(diǎn)，，，所在方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：
則B（4，0，0），C（4，4，0），D（0，4，0），E（0，2，2），
則，，，．
設(shè)平面BED的一個(gè)法向量為．
則即
令，則．
設(shè)平面CED的一個(gè)法向量為，
則即
令，則，
，
則，故二面角的正弦值為．

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