常見考點(diǎn)
考點(diǎn)一 與數(shù)列相結(jié)合問題
典例1．某商場擬在年末進(jìn)行促銷活動(dòng)，為吸引消費(fèi)者，特別推出“玩游戲，送禮券“的活動(dòng)，游戲規(guī)則如下：每輪游戲都拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子（形狀為正方體，六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6），若向上點(diǎn)數(shù)不超2點(diǎn)，獲得1分，否則獲得2分，進(jìn)行若干輪游戲，若累計(jì)得分為19分，則游戲結(jié)束，可得到200元禮券，若累計(jì)得分為20分，則游戲結(jié)束，可得到紀(jì)念品一份，最多進(jìn)行20輪游戲．
（1）當(dāng)進(jìn)行完3輪游戲時(shí)，總分為X，求X的期望；
（2）若累計(jì)得分為i的概率為，（初始得分為0分，）．
①證明數(shù)列，（i＝1，2，…，19）是等比數(shù)列；
②求活動(dòng)參與者得到紀(jì)念品的概率．
變式1-1．某商場調(diào)研了一年來日銷售額的情況，日銷售額ξ（萬元）服從正態(tài)分布．為了增加營業(yè)收入，該商場開展“游戲贏獎(jiǎng)券”促銷活動(dòng)，購物滿300元可以參加1次游戲，游戲規(guī)則如下：有一張共10格的方格子圖，依次編號為第1格、第2格、第3格、……、第10格，游戲開始時(shí)“跳子”在第1格，顧客拋擲一枚均勻的硬幣，若出現(xiàn)正面，則“跳子”前進(jìn)2格（從第k格到第k+2格），若出現(xiàn)反面，則“跳子”前進(jìn)1格（從第k格到第k+1格），當(dāng)“跳子”前進(jìn)到第9格或者第10格時(shí)，游戲結(jié)束．“跳子”落在第9格可以得到20元獎(jiǎng)券，“跳子”落在第10格可以得到50元獎(jiǎng)券．
（1）根據(jù)調(diào)研情況計(jì)算該商場日銷售額在8萬元到14萬元之間的概率；（參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．）
（2）記“跳子”前進(jìn)到第n格（1≤n≤10）的概率為，證明：（2≤n≤9）是等比數(shù)列；
（3）求某一位顧客參加一次這樣的游戲獲得獎(jiǎng)券金額的期望．
變式1-2．2020年春天隨著疫情的有效控制，高三學(xué)生開始返校復(fù)課學(xué)習(xí).為了減少學(xué)生就餐時(shí)的聚集排隊(duì)時(shí)間，學(xué)校食堂從復(fù)課之日起，每天中午都會提供、兩種套餐（每人每次只能選擇其中一種），經(jīng)過統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)：學(xué)生第一天選擇類套餐的概率為、選擇類套餐的概率為．而前一天選擇了類套餐第二天選擇類套餐的概率為、選擇套餐的概率為；前一天選擇類套餐第二天選擇類套餐的概率為、選擇類套餐的概率也是，如此往復(fù)．記某同學(xué)第天選擇類套餐的概率為．
（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）記高三某宿舍的3名同學(xué)在復(fù)課第二天選擇類套餐的人數(shù)為，求的分布列并求；
（3）為了貫徹五育并舉的教育方針，培養(yǎng)學(xué)生的勞動(dòng)意識，一個(gè)月后學(xué)校組織學(xué)生利用課余時(shí)間參加志愿者服務(wù)活動(dòng)，其中有20位學(xué)生負(fù)責(zé)為全體同學(xué)分發(fā)套餐．如果你是組長，如何安排分發(fā)、套餐的同學(xué)的人數(shù)呢，說明理由．
變式1-3．安慶市某學(xué)校高三年級開學(xué)之初增加晚自習(xí)，晚飯?jiān)谛Ｊ程镁筒腿藬?shù)增多，為了緩解就餐壓力，學(xué)校在原有一個(gè)餐廳的基礎(chǔ)上增加了一個(gè)餐廳，分別記做餐廳甲和餐廳乙，經(jīng)過一周左右統(tǒng)計(jì)調(diào)研分析：前一天選擇餐廳甲就餐第二天選擇餐廳甲就餐的概率是25%?選擇餐廳乙就餐的概率為75%，前一天選擇餐廳乙就餐第二天選擇餐廳乙就餐的概率是50%?選擇餐廳甲就餐的概率也為50%，如此往復(fù).假設(shè)學(xué)生第一天選擇餐廳甲就餐的概率是，擇餐廳乙就餐的概率是，記某同學(xué)第n天選擇甲餐廳就餐的概率為.
（1）記某班級的3位同學(xué)第二天選擇餐廳甲的人數(shù)為X，求X的分布列，并求E(X)；
（2）請寫出與的遞推關(guān)系；
（3）求數(shù)列的通項(xiàng)公式并幫助學(xué)校解決以下問題：為提高學(xué)生服務(wù)意識和團(tuán)隊(duì)合作精神，學(xué)校每天從20個(gè)班級中每班抽調(diào)一名學(xué)生志愿者為全體學(xué)生提供就餐服務(wù)工作，根據(jù)上述數(shù)據(jù)，如何合理分配到餐廳甲和餐廳乙志愿者人數(shù)？請說明理由.
典例2．為落實(shí)《關(guān)于全面加強(qiáng)和改進(jìn)新時(shí)代學(xué)校體育工作的意見》，完善學(xué)校體育“健康知識＋基本運(yùn)動(dòng)技能＋專項(xiàng)運(yùn)動(dòng)技能”教學(xué)模式，建立“校內(nèi)競賽－校級聯(lián)賽－選拔性競賽－國際交流比賽”為一體的競賽體系，構(gòu)建校、縣（區(qū)）、地（市）、省、國家五級學(xué)校體育競賽制度．某校開展“陽光體育節(jié)”活動(dòng)，其中傳統(tǒng)項(xiàng)目“定點(diǎn)踢足球”深受同學(xué)們喜愛．其間甲、乙兩人輪流進(jìn)行足球定點(diǎn)踢球比賽（每人各踢一次為一輪），在相同的條件下，每輪甲、乙兩人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0分，設(shè)甲每次踢球命中的概率為，乙每次踢球命中的概率為，且各次踢球互不影響．
（1）經(jīng)過1輪踢球，記甲的得分為，求的數(shù)學(xué)期望；
（2）若經(jīng)過輪踢球，用表示經(jīng)過第輪踢球累計(jì)得分后甲得分高于乙得分的概率．
①求，，；
②規(guī)定，且有，請根據(jù)①中，，的值求出、，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．
變式2-1．為迎接2020年國慶節(jié)的到來，某電視臺舉辦愛國知識問答競賽，每個(gè)人隨機(jī)抽取五個(gè)問題依次回答，回答每個(gè)問題相互獨(dú)立.若答對一題可以上升兩個(gè)等級，回答錯(cuò)誤可以上升一個(gè)等級，最后看哪位選手的等級高即可獲勝.甲答對每個(gè)問題的概率為，答錯(cuò)的概率為.
（1）若甲回答完5個(gè)問題后，甲上的臺階等級數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（2）若甲在回答過程中出現(xiàn)在第個(gè)等級的概率為，證明：為等比數(shù)列.
變式2-2．為搶占市場，特斯拉電動(dòng)車近期進(jìn)行了一系列優(yōu)惠促銷方案.要保證品質(zhì)兼優(yōu)，特斯拉上海工廠在車輛出廠前抽取100輛Mdel3型汽車作為樣本進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程的測試.現(xiàn)對測試數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖：
（1）估計(jì)這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替).
（2）根據(jù)大量的測試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為Mdel3這款汽車的單次最大續(xù)航里程近似地服從正態(tài)分布，經(jīng)計(jì)算第（1）問中樣本標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為50.用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計(jì)值，現(xiàn)從生產(chǎn)線下任取一輛汽車，求它的單次最大續(xù)航里程恰在250千米到400千米之間的概率.
（3）為迅速搶占市場舉行促銷活動(dòng)，特斯拉銷售公司現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，贏大獎(jiǎng)，送車?！被顒?dòng)，客戶可根據(jù)拋擲硬幣的結(jié)果，指揮車模在方格圖上行進(jìn)，若車模最終停在“幸運(yùn)之神”方格，則可獲得購車優(yōu)惠券6萬元；若最終停在“贈(zèng)送車模”方格時(shí)，則可獲得車模一個(gè).已知硬幣出現(xiàn)正?反面的概率都是0.5，方格圖上標(biāo)有第0格?第1格?第2格?……?第20格.車模開始在第0格，客戶每擲一次硬幣，車模向前移動(dòng)一次.若擲出正面，車模向前移動(dòng)一格(從k到k+1)，若擲出反面，車模向前移動(dòng)兩格(從k到k+2)，直到移到第19格(幸運(yùn)之神)或第20格(贈(zèng)送車模)時(shí)游戲結(jié)束.設(shè)車模移到第格的概率為，試證明是等比數(shù)列；若有6人玩游戲，每人參與一次，求這6人獲得優(yōu)惠券總金額的期望值(結(jié)果精確到1萬元).
參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則
變式2-3．某校園格局呈現(xiàn)四排八棟分布，學(xué)生從高一入學(xué)到高三畢業(yè)需踏著層層臺階登攀，這其中寓意著學(xué)校對學(xué)生的期盼與激勵(lì)．現(xiàn)假設(shè)臺階標(biāo)有第0，1，2，…，50級，有一位同學(xué)拋擲一枚均勻質(zhì)地的骰子進(jìn)行登攀臺階游戲，這位同學(xué)開始時(shí)位于第0級，若擲出偶數(shù)點(diǎn)，則向上一步登一級臺階，若擲出奇數(shù)點(diǎn)，則向上一步登兩級臺階，直到登上第49級（成功）或第50級（失?。螒蚪Y(jié)束．設(shè)為登攀至第n級的步數(shù)，這位同學(xué)登到第n級的概率為．
（I）求的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）證明：為等比數(shù)列．
鞏固練習(xí)
練習(xí)一 與數(shù)列相結(jié)合問題
1．某景點(diǎn)上山共有999級臺階，寓意長長久久.甲上臺階時(shí)，可以一步上一個(gè)臺階，也可以一步上兩個(gè)臺階，若甲每步上一個(gè)臺階的概率為，每步上兩個(gè)臺階的概率為，為了簡便描述問題，我們約定，甲從0級臺階開始向上走，一步走一個(gè)臺階記1分，一步走兩個(gè)臺階記2分，記甲登上第n個(gè)臺階的概率為，其中，且.
(1)若甲走3步時(shí)所得分?jǐn)?shù)為X，求X的概率分布；
(2)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(3)求甲在登山過程中，恰好登上第99級臺階的概率.
2．近年來，新能源汽車產(chǎn)業(yè)大規(guī)模發(fā)展，某汽車產(chǎn)品自生產(chǎn)并投人市場以來，受到多位消費(fèi)者質(zhì)疑其電池產(chǎn)品質(zhì)量，汽車廠家提供甲?乙兩家第三方檢測機(jī)構(gòu)對產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測，邀請多位車主進(jìn)行選擇，每位車主只能挑選一家.若選擇甲機(jī)構(gòu)記1分，若選擇乙機(jī)構(gòu)記2分，每位車主選擇兩個(gè)機(jī)構(gòu)的概率相等，且相互獨(dú)立.
(1)若參加的車主有3人，記總得分為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；
(2)若有位車主，記總得分恰好為n分的概率為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(3)在（2）的條件下，汽車廠商決定總得分為99分或100分時(shí)就停止計(jì)分，若總得為99分就選甲機(jī)構(gòu)，總得分為100分就選乙機(jī)構(gòu)，請分析這種方案是否合理.
3．武漢又稱江城，它不僅有深厚的歷史積淀與豐富的民俗文化，還有眾多名勝古跡與旅游景點(diǎn)，其中黃鶴樓與東湖被稱為武漢的兩張名片.為合理配置旅游資源，現(xiàn)對某日已游覽黃鶴樓景點(diǎn)的游客進(jìn)行隨機(jī)問卷調(diào)查，若不繼續(xù)游玩東湖記1分，繼續(xù)游玩東湖記2分，每位游客游玩東湖的概率均為，游客是否游玩東湖相互獨(dú)立.
（1）若從游客中隨機(jī)抽取m人，記總分恰為m分的概率為，求數(shù)列的前10項(xiàng)和；
（2）在對所有游客進(jìn)行隨機(jī)問卷調(diào)查過程中，記已調(diào)查過的游客的累計(jì)得分恰為n分的概率為，探討與之間的關(guān)系，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
4．某植物學(xué)家培養(yǎng)出一種觀賞性植物，會開出紅花或黃花，已知該植物第一代開紅花和黃花的概率都是，從第二代開始，若上一代開紅花，則這一代開紅花的概率是，開黃花的概率是，若上一代開黃花，則這一代開紅花的概率是，開黃花的概率是，記第代開紅花的概率是，第代開黃花的概率為，
（1）求；
（2）試求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）第代開哪種顏色的花的概率更大.
5．有一對夫妻打算購房，對本城市30個(gè)樓盤的均價(jià)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下頻數(shù)分布表：
（1）若同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，現(xiàn)任取一個(gè)樓盤的均價(jià)，假定，求均價(jià)恰在8.12千元到9.24千元之間的概率；
（2）經(jīng)過一番比較，這對夫妻選定了一個(gè)自己滿意的樓盤，恰巧該樓盤推出了趣味蹦臺階送憂惠活動(dòng)，由兩個(gè)客戶配合完成該活動(dòng)，在一個(gè)口袋中有大小材質(zhì)均相同的紅球40個(gè)，黑球20個(gè)，客戶甲可隨機(jī)從口袋中取出一個(gè)球，取后放回，若取出的是紅球，則客戶乙向上蹦兩個(gè)臺階，若取出的是黑球，則客戶乙向上蹦一個(gè)臺階，直到客戶乙蹦上第5個(gè)臺階（每平方米優(yōu)惠0.3千元）或第6個(gè)臺階（每平方米優(yōu)惠3千元）時(shí)（活動(dòng)開始時(shí)的位置記為第0個(gè)臺階），游戲結(jié)束.
①設(shè)客戶乙站到第個(gè)臺階的概率為，證明：當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列；
②若不參加蹦臺階活動(dòng)，則直接每平方米優(yōu)惠1.4千元，為了獲得更大的優(yōu)惠幅度，請問該對夫妻是否應(yīng)參與蹦臺階活動(dòng).
參考數(shù)據(jù)：取，.若，則，，.
6．根據(jù)各方達(dá)成的共識，軍運(yùn)會于2019年10月18日至27日在武漢舉行，賽期10天，共設(shè)置射擊、游泳、田徑、籃球等27個(gè)大項(xiàng)、329個(gè)小項(xiàng).其中，空軍五項(xiàng)、軍事五項(xiàng)、海軍五項(xiàng)、定向越野和跳傘5個(gè)項(xiàng)目為軍事特色項(xiàng)目，其他項(xiàng)目為奧運(yùn)項(xiàng)目.現(xiàn)對國在射擊比賽預(yù)賽中的得分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到如下的頻率分布直方圖：
（1）估計(jì)國射擊比賽預(yù)賽成績得分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；
（2）根據(jù)大量的射擊成績測試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為射擊成績X近似地服從正態(tài)分布，經(jīng)計(jì)算第（1）問中樣本標(biāo)準(zhǔn)差的近似值為50，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，求射擊成績得分恰在350到400的概率；（參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則：，，）.
（3）某汽車銷售公司在軍運(yùn)會期間推廣一款新能源汽車，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎(jiǎng)”，活動(dòng)，客戶可根據(jù)拋擲骰子的結(jié)果，操控微型遙控車在方格圖上行進(jìn)，若遙控車最終停在“勝利大本營”，則可獲得購車優(yōu)惠券.已知骰子出現(xiàn)任意點(diǎn)數(shù)的概率都是，方格圖上標(biāo)有第0格，第1格，第2格，……第50格.遙控車開始在第0格，客戶每拋擲一次骰子，遙控車向前移動(dòng)一次，若拋擲出正面向上的點(diǎn)數(shù)是1，2，3，4，5點(diǎn)，遙控車向前移動(dòng)一格（從到），若拋擲出正面向上的點(diǎn)數(shù)是6點(diǎn)，遙控車向前移動(dòng)兩格（從到），直到遙控車移動(dòng)到第49格（勝利大本營）或第50格（失敗大本營）時(shí)，游戲結(jié)束.設(shè)遙控車移動(dòng)到第格的概率為，試證明是等比數(shù)列，并求，以及根據(jù)的值解釋這種游戲方案對意向客戶是否有吸引力.
7．為了避免就餐聚集和減少排隊(duì)時(shí)間，某校開學(xué)后，食堂從開學(xué)第一天起，每餐只推出即點(diǎn)即取的米飯?zhí)撞秃兔媸程撞停阎惩瑢W(xué)每天中午會在食堂提供的兩種套餐中選擇，已知他第一天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?，而前一天選擇了米飯?zhí)撞秃笠惶炖^續(xù)選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿椋耙惶爝x擇面食套餐后一天繼續(xù)選擇面食套餐的概率為，如此往復(fù)．
（1）求該同學(xué)第二天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕剩?br>（2）記該同學(xué)第天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿椋?br>（i）證明：為等比數(shù)列；
（ii）證明：當(dāng)時(shí)，．
8．某商場擬在周年店慶進(jìn)行促銷活動(dòng)，為吸引消費(fèi)者，特別推出“玩游戲，送禮券”的活動(dòng)，游戲規(guī)則如下：每輪游戲都拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子（形狀為正方體，六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為，，，，，），若向上點(diǎn)數(shù)不超過點(diǎn)，獲得分，否則獲得分，進(jìn)行若干輪游戲，若累計(jì)得分為分，則游戲結(jié)束，可得到元禮券，若累計(jì)得分為分，則游戲結(jié)束，可得到紀(jì)念品一份，最多進(jìn)行輪游戲．
（1）當(dāng)進(jìn)行完輪游戲時(shí)，總分為，求的數(shù)學(xué)期望；
（2）若累計(jì)得分為的概率為，（初始分?jǐn)?shù)為分，記）．
（i）證明數(shù)列是等比數(shù)列；
（ii）求活動(dòng)參與者得到紀(jì)念品的概率．
均價(jià)（單位：千元）
頻數(shù)
2
2
11
10
4
1
第四篇 概率與統(tǒng)計(jì)
專題05 與數(shù)列相結(jié)合的概率綜合問題
常見考點(diǎn)
考點(diǎn)一 與數(shù)列相結(jié)合問題
典例1．某商場擬在年末進(jìn)行促銷活動(dòng)，為吸引消費(fèi)者，特別推出“玩游戲，送禮券“的活動(dòng)，游戲規(guī)則如下：每輪游戲都拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子（形狀為正方體，六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6），若向上點(diǎn)數(shù)不超2點(diǎn)，獲得1分，否則獲得2分，進(jìn)行若干輪游戲，若累計(jì)得分為19分，則游戲結(jié)束，可得到200元禮券，若累計(jì)得分為20分，則游戲結(jié)束，可得到紀(jì)念品一份，最多進(jìn)行20輪游戲．
（1）當(dāng)進(jìn)行完3輪游戲時(shí)，總分為X，求X的期望；
（2）若累計(jì)得分為i的概率為，（初始得分為0分，）．
①證明數(shù)列，（i＝1，2，…，19）是等比數(shù)列；
②求活動(dòng)參與者得到紀(jì)念品的概率．
【答案】（1）5；（2）①證明見解析；②．
【解析】
【分析】
（1）由題意可知每輪游戲獲得1分的概率為，獲得2分的概率為，而每輪游戲的結(jié)果互相獨(dú)立，設(shè)進(jìn)行完3輪游戲時(shí)，得1分的次數(shù)為，所以，，即可求出X的期望；
（2）①根據(jù)累計(jì)得分為i的概率為，分兩種情形討論得分情況，從而得到遞推式，再根據(jù)構(gòu)造法即可證出數(shù)列是等比數(shù)列；
②根據(jù)①可求出，再根據(jù)累加法即可求出，然后由從而解出．
【詳解】
（1）由題意可知每輪游戲獲得1分的概率為，獲得2分的概率為，設(shè)進(jìn)行完3輪游戲時(shí)，得1分的次數(shù)為，所以，，而，即隨機(jī)變量X可能取值為3，4，5，6，
，，
，．
∴X的分布列為：
E（X）＝＝5．
（2）①證明：n＝1，即累計(jì)得分為1分，是第1次擲骰子，向上點(diǎn)數(shù)不超過2點(diǎn)，，則，累計(jì)得分為i分的情況有兩種：
（Ⅰ）i＝（i﹣2）＋2，即累計(jì)得i﹣2分，又?jǐn)S骰子點(diǎn)數(shù)超過2點(diǎn)，其概率為，
（Ⅱ）累計(jì)得分為i﹣1分，又?jǐn)S骰子點(diǎn)數(shù)沒超過2點(diǎn)，得1分，其概率為，
∴，∴，（i＝2，3，???，19），∴數(shù)列，（i＝1，2，…，19）是首項(xiàng)為﹣，公比為﹣的等比數(shù)列．
②∵數(shù)列，（i＝1，2，…，19）是首項(xiàng)為﹣，公比為﹣的等比數(shù)列，
∴，
∴，，???，，
各式相加，得：，
∴，（i＝1，2，???，19），
∴活動(dòng)參與者得到紀(jì)念品的概率為：
．
【點(diǎn)睛】
本題第一問解題關(guān)鍵是明確得1分的次數(shù)為服從二項(xiàng)分布，從而找到所求變量與的關(guān)系，列出分布列，求得期望；第二問①主要是遞推式的建立，分析判斷如何得到分的情況，進(jìn)而得到，利用數(shù)列知識即可證出，②借由①的結(jié)論，求出，分析可知，從而解出．
變式1-1．某商場調(diào)研了一年來日銷售額的情況，日銷售額ξ（萬元）服從正態(tài)分布．為了增加營業(yè)收入，該商場開展“游戲贏獎(jiǎng)券”促銷活動(dòng)，購物滿300元可以參加1次游戲，游戲規(guī)則如下：有一張共10格的方格子圖，依次編號為第1格、第2格、第3格、……、第10格，游戲開始時(shí)“跳子”在第1格，顧客拋擲一枚均勻的硬幣，若出現(xiàn)正面，則“跳子”前進(jìn)2格（從第k格到第k+2格），若出現(xiàn)反面，則“跳子”前進(jìn)1格（從第k格到第k+1格），當(dāng)“跳子”前進(jìn)到第9格或者第10格時(shí)，游戲結(jié)束．“跳子”落在第9格可以得到20元獎(jiǎng)券，“跳子”落在第10格可以得到50元獎(jiǎng)券．
（1）根據(jù)調(diào)研情況計(jì)算該商場日銷售額在8萬元到14萬元之間的概率；（參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．）
（2）記“跳子”前進(jìn)到第n格（1≤n≤10）的概率為，證明：（2≤n≤9）是等比數(shù)列；
（3）求某一位顧客參加一次這樣的游戲獲得獎(jiǎng)券金額的期望．
【答案】（1）0．8186；（2）證明見解析；（3）期望為元．
【解析】
（1）由服從正態(tài)分布可得；
（2）計(jì)算出、，“跳子”前進(jìn)到第格的情況得到
，可得化簡可得答案；
（3）設(shè)某一位顧客參加一次這樣的游戲獲得獎(jiǎng)券金額為Χ元，則Χ的值可取20和50，
求出對應(yīng)的概率可列出分布列求出期望.
【詳解】
（1）由服從正態(tài)分布可得：
∴．
（2）“跳子”開始在第1 格為必然事件，．第一次擲硬幣出現(xiàn)反面，“跳子”移到第2格，其概率為，即，
“跳子”前進(jìn)到第格的情況是下面兩種，而且只有兩種：
①“跳子”先到第格，又?jǐn)S出正面，其概率為，
②“跳子”先到第格，又?jǐn)S出反面，其概率為，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為．
（3）設(shè)某一位顧客參加一次這樣的游戲獲得獎(jiǎng)券金額為Χ元，則Χ的值可取20和50，
由（2）可知，
∴
，也適合，
∴，．
Χ的分布列為：
則Χ的期望為（元）.
【點(diǎn)睛】
本題考查了正態(tài)分布、隨機(jī)變量的分布列，關(guān)鍵點(diǎn)是證明數(shù)列是等比數(shù)列、求出所有可能取值對應(yīng)的概率，考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力，是一道綜合題．
變式1-2．2020年春天隨著疫情的有效控制，高三學(xué)生開始返校復(fù)課學(xué)習(xí).為了減少學(xué)生就餐時(shí)的聚集排隊(duì)時(shí)間，學(xué)校食堂從復(fù)課之日起，每天中午都會提供、兩種套餐（每人每次只能選擇其中一種），經(jīng)過統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)：學(xué)生第一天選擇類套餐的概率為、選擇類套餐的概率為．而前一天選擇了類套餐第二天選擇類套餐的概率為、選擇套餐的概率為；前一天選擇類套餐第二天選擇類套餐的概率為、選擇類套餐的概率也是，如此往復(fù)．記某同學(xué)第天選擇類套餐的概率為．
（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）記高三某宿舍的3名同學(xué)在復(fù)課第二天選擇類套餐的人數(shù)為，求的分布列并求；
（3）為了貫徹五育并舉的教育方針，培養(yǎng)學(xué)生的勞動(dòng)意識，一個(gè)月后學(xué)校組織學(xué)生利用課余時(shí)間參加志愿者服務(wù)活動(dòng)，其中有20位學(xué)生負(fù)責(zé)為全體同學(xué)分發(fā)套餐．如果你是組長，如何安排分發(fā)、套餐的同學(xué)的人數(shù)呢，說明理由．
【答案】（1）證明見解析，；（2）分布列見解析，1；（3）套餐的8人， 套餐的12人；理由見解析．
【解析】
【分析】
（1）依題意得，根據(jù)遞推關(guān)系即可證明是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得的通項(xiàng)，即可求得的通項(xiàng)公式；
（2）依題意求得第二天選擇、類套餐的概率，列出的可能取值，結(jié)合二項(xiàng)分布求得分布列與數(shù)學(xué)期望；
（3）由的通項(xiàng)公式得，根據(jù)總?cè)藬?shù)即可求得分發(fā)、套餐的同學(xué)的人數(shù)．
【詳解】
（1）依題意，，
則.
當(dāng)時(shí)，可得，
∴數(shù)列是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列.
.
（2）第二天選擇類套餐的概率；
第二天選擇類套餐的概率，
∴3人在第二天的有個(gè)人選擇套餐，
的所有可能取值為0、1、2、3，
有，
∴的分布列為
故.
（3）由（1）知：，
∴，即第30次以后購買套餐的概率約為.
則，
∴負(fù)責(zé)套餐的8人，負(fù)責(zé)套餐的12人.
【點(diǎn)睛】
思路點(diǎn)睛：
求離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的一般步驟：
（1）根據(jù)題中條件確定隨機(jī)變量的可能取值；
（2）求出隨機(jī)變量所有可能取值對應(yīng)的概率，即可得出分布列；
（3）根據(jù)期望的概念，結(jié)合分布列，即可得出期望（在計(jì)算時(shí)，要注意隨機(jī)變量是否服從特殊的分布，如超幾何分布或二項(xiàng)分布等，可結(jié)合其對應(yīng)的概率計(jì)算公式及期望計(jì)算公式，簡化計(jì)算）
變式1-3．安慶市某學(xué)校高三年級開學(xué)之初增加晚自習(xí)，晚飯?jiān)谛Ｊ程镁筒腿藬?shù)增多，為了緩解就餐壓力，學(xué)校在原有一個(gè)餐廳的基礎(chǔ)上增加了一個(gè)餐廳，分別記做餐廳甲和餐廳乙，經(jīng)過一周左右統(tǒng)計(jì)調(diào)研分析：前一天選擇餐廳甲就餐第二天選擇餐廳甲就餐的概率是25%?選擇餐廳乙就餐的概率為75%，前一天選擇餐廳乙就餐第二天選擇餐廳乙就餐的概率是50%?選擇餐廳甲就餐的概率也為50%，如此往復(fù).假設(shè)學(xué)生第一天選擇餐廳甲就餐的概率是，擇餐廳乙就餐的概率是，記某同學(xué)第n天選擇甲餐廳就餐的概率為.
（1）記某班級的3位同學(xué)第二天選擇餐廳甲的人數(shù)為X，求X的分布列，并求E(X)；
（2）請寫出與的遞推關(guān)系；
（3）求數(shù)列的通項(xiàng)公式并幫助學(xué)校解決以下問題：為提高學(xué)生服務(wù)意識和團(tuán)隊(duì)合作精神，學(xué)校每天從20個(gè)班級中每班抽調(diào)一名學(xué)生志愿者為全體學(xué)生提供就餐服務(wù)工作，根據(jù)上述數(shù)據(jù)，如何合理分配到餐廳甲和餐廳乙志愿者人數(shù)？請說明理由.
【答案】（1）分布列答案見解析，；
（2）；
（3）分配到餐廳甲和餐廳乙志愿者人數(shù)8人和12人，理由見解析.
【解析】
【分析】
（1）依題意可得，進(jìn)而可得分布列和期望；
（2）由可得結(jié)果；
（3）由（2）求得，且，由此可得分配方案.
【詳解】
（1）某同學(xué)第二天選擇餐廳甲就餐的概率，
某同學(xué)第二天選擇餐廳乙就餐的概率，
位同學(xué)第二天選擇餐廳甲就餐的人數(shù)為，則.
，
的分布列為
故.
（2）依題意，，即.
（3）由（2）知，則當(dāng)時(shí)，可得，
數(shù)列是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列.
，即.
，
所以，分配到餐廳甲的志愿者人數(shù)為，分配到餐廳乙的志愿者人數(shù)為.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第（1）問的關(guān)鍵點(diǎn)是：探究得到；后兩問的關(guān)鍵點(diǎn)是得到遞推關(guān)系.
典例2．為落實(shí)《關(guān)于全面加強(qiáng)和改進(jìn)新時(shí)代學(xué)校體育工作的意見》，完善學(xué)校體育“健康知識＋基本運(yùn)動(dòng)技能＋專項(xiàng)運(yùn)動(dòng)技能”教學(xué)模式，建立“校內(nèi)競賽－校級聯(lián)賽－選拔性競賽－國際交流比賽”為一體的競賽體系，構(gòu)建校、縣（區(qū)）、地（市）、省、國家五級學(xué)校體育競賽制度．某校開展“陽光體育節(jié)”活動(dòng)，其中傳統(tǒng)項(xiàng)目“定點(diǎn)踢足球”深受同學(xué)們喜愛．其間甲、乙兩人輪流進(jìn)行足球定點(diǎn)踢球比賽（每人各踢一次為一輪），在相同的條件下，每輪甲、乙兩人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0分，設(shè)甲每次踢球命中的概率為，乙每次踢球命中的概率為，且各次踢球互不影響．
（1）經(jīng)過1輪踢球，記甲的得分為，求的數(shù)學(xué)期望；
（2）若經(jīng)過輪踢球，用表示經(jīng)過第輪踢球累計(jì)得分后甲得分高于乙得分的概率．
①求，，；
②規(guī)定，且有，請根據(jù)①中，，的值求出、，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【答案】（1）；（2）①，，；②，.
【解析】
【分析】
（1）的可能取值為，0，1，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出的分布列與期望；
（2）①，經(jīng)過2輪投球甲的累計(jì)得分高有兩種情況：一是2輪甲各得1分，二是2輪中有1輪甲得0分，有1輪甲得1分，由此能求出．經(jīng)過3輪投球，甲累計(jì)得分高于乙有四種情況：甲3輪各得1分；甲3輪中有2輪各得1分，1輪得0分；甲3輪中有1輪得1分，2輪各得0分；甲3輪中有2輪各得1分，1輪得分．由此能求出．
②推導(dǎo)出，將，代入得，，推導(dǎo)出是首項(xiàng)與公比都是的等比數(shù)列，由此能求出結(jié)果．
【詳解】
（1）記一輪踢球，甲命中為事件，乙命中為事件，，相互獨(dú)立．
由題意，，甲的得分的可能取值為，0，1．
，
．
，
∴的分布列為：
．
（2）①由（1），
．
經(jīng)過三輪踢球，甲累計(jì)得分高于乙有四種情況：甲3輪各得1分；甲3輪中有2輪各得1分，1輪得0分；甲3輪中有1輪得1分，2輪各得0分；甲3輪中有2輪各得1分，1輪得分．
∴，
②∵規(guī)定，且有，
∴代入得：，
∴，∴數(shù)列是等比數(shù)列，
公比為，首項(xiàng)為，∴．
∴．
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用待定系數(shù)法得到后，緊扣等比數(shù)列定義是解決問題的關(guān)鍵.
變式2-1．為迎接2020年國慶節(jié)的到來，某電視臺舉辦愛國知識問答競賽，每個(gè)人隨機(jī)抽取五個(gè)問題依次回答，回答每個(gè)問題相互獨(dú)立.若答對一題可以上升兩個(gè)等級，回答錯(cuò)誤可以上升一個(gè)等級，最后看哪位選手的等級高即可獲勝.甲答對每個(gè)問題的概率為，答錯(cuò)的概率為.
（1）若甲回答完5個(gè)問題后，甲上的臺階等級數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（2）若甲在回答過程中出現(xiàn)在第個(gè)等級的概率為，證明：為等比數(shù)列.
【答案】（1）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：；（2）證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）首先確定的所有可能取值，根據(jù)概率公式分別求出對應(yīng)發(fā)生的概率，列出分布列，即可求出數(shù)學(xué)期望；
（2）根據(jù)已知的關(guān)系，求出與，的關(guān)系式，再通過化簡和等比數(shù)列的定義求解即可.
【詳解】
解：（1）依題意可得，，
，，
，，
，，
則的分布列如表所示.
.
（2）處于第個(gè)等級有兩種情況：
由第等級到第等級，其概率為；
由第等級到第等級，其概率為；
所以，所以，
即.
所以數(shù)列為等比數(shù)列.
【點(diǎn)睛】
本題考查概率公式?隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，考查運(yùn)算求解能力?數(shù)據(jù)處理能力，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算?邏輯推理核心素養(yǎng).其中第二問解題的關(guān)鍵在于尋找與，的關(guān)系式，即：，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的定義證明.
變式2-2．為搶占市場，特斯拉電動(dòng)車近期進(jìn)行了一系列優(yōu)惠促銷方案.要保證品質(zhì)兼優(yōu)，特斯拉上海工廠在車輛出廠前抽取100輛Mdel3型汽車作為樣本進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程的測試.現(xiàn)對測試數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖：
（1）估計(jì)這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替).
（2）根據(jù)大量的測試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為Mdel3這款汽車的單次最大續(xù)航里程近似地服從正態(tài)分布，經(jīng)計(jì)算第（1）問中樣本標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為50.用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計(jì)值，現(xiàn)從生產(chǎn)線下任取一輛汽車，求它的單次最大續(xù)航里程恰在250千米到400千米之間的概率.
（3）為迅速搶占市場舉行促銷活動(dòng)，特斯拉銷售公司現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，贏大獎(jiǎng)，送車模”活動(dòng)，客戶可根據(jù)拋擲硬幣的結(jié)果，指揮車模在方格圖上行進(jìn)，若車模最終停在“幸運(yùn)之神”方格，則可獲得購車優(yōu)惠券6萬元；若最終停在“贈(zèng)送車?！狈礁駮r(shí)，則可獲得車模一個(gè).已知硬幣出現(xiàn)正?反面的概率都是0.5，方格圖上標(biāo)有第0格?第1格?第2格?……?第20格.車模開始在第0格，客戶每擲一次硬幣，車模向前移動(dòng)一次.若擲出正面，車模向前移動(dòng)一格(從k到k+1)，若擲出反面，車模向前移動(dòng)兩格(從k到k+2)，直到移到第19格(幸運(yùn)之神)或第20格(贈(zèng)送車模)時(shí)游戲結(jié)束.設(shè)車模移到第格的概率為，試證明是等比數(shù)列；若有6人玩游戲，每人參與一次，求這6人獲得優(yōu)惠券總金額的期望值(結(jié)果精確到1萬元).
參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則
【答案】（1）(千米)；（2）；（3）證明見解析，優(yōu)惠券總金額的期望萬元.
【解析】
（1）利用頻率分布直方圖能估計(jì)這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值．
（2）服從正態(tài)分布，由此能求出它的單次最大續(xù)航里程恰在250千米到400千米之間的概率．
（3）遙控車開始在第0格為必然事件，，第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，遙控車移到第一格，其概率為，即．遙控車移到第格的情況是下列兩種，而且也只有兩種．①遙控車先到第格，又?jǐn)S出反面，其概率為，②遙控車先到第格，又?jǐn)S出正面，其概率為，從而，進(jìn)而能證明當(dāng)時(shí)，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，由此能求出結(jié)果．
【詳解】
（1）（千米）
（2）因?yàn)榉恼龖B(tài)分布
所以
（3）第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，車模從第0格移到第一格，其概率為即移動(dòng)到第二格有兩類情況.車模移到第()格的情況是下列兩種，而且也只有兩種.
①車模先到第格，又?jǐn)S出反面，其概率為
②車模先到第格，又?jǐn)S出正面，其概率為
所以，，
當(dāng)時(shí)，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.
，經(jīng)驗(yàn)證也滿足.是公比為的等比數(shù)列.
以上各式相加，得
即
()，經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)也符合.
，
獲得優(yōu)惠券的概率
獲得車模的概率
設(shè)參與游戲的6人獲得優(yōu)惠券的有人，由題可知
的期望
設(shè)優(yōu)惠卷總金額為萬元，
優(yōu)惠券總金額的期望萬元
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)睛：由于頻率分布直方圖中是沒有樣本數(shù)據(jù)的，平均值等于每個(gè)小長方形面積乘每組橫坐標(biāo)的中點(diǎn)，然后相加求和，且所有矩形的面積之和為1.
變式2-3．某校園格局呈現(xiàn)四排八棟分布，學(xué)生從高一入學(xué)到高三畢業(yè)需踏著層層臺階登攀，這其中寓意著學(xué)校對學(xué)生的期盼與激勵(lì)．現(xiàn)假設(shè)臺階標(biāo)有第0，1，2，…，50級，有一位同學(xué)拋擲一枚均勻質(zhì)地的骰子進(jìn)行登攀臺階游戲，這位同學(xué)開始時(shí)位于第0級，若擲出偶數(shù)點(diǎn)，則向上一步登一級臺階，若擲出奇數(shù)點(diǎn)，則向上一步登兩級臺階，直到登上第49級（成功）或第50級（失?。螒蚪Y(jié)束．設(shè)為登攀至第n級的步數(shù)，這位同學(xué)登到第n級的概率為．
（I）求的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）證明：為等比數(shù)列．
【答案】（Ⅰ）分布列見解析，；（Ⅱ）證明見解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由題意，登至第3級的基本事件{3次偶數(shù)，1次奇數(shù)1次偶數(shù)}，即可能取值為2，3，每次擲奇數(shù)、偶數(shù)的概率都為，根據(jù)二項(xiàng)分布，并結(jié)合古典概型求概率，寫出分布列并出求期望；
（Ⅱ）從第級登至第級的概率為，從第級登至第級的概率為，由條件概率及概率加法公式得并整理，又即可證等比數(shù)列.
【詳解】
（Ⅰ）由定義知，可能取值為2，3．
根據(jù)條件概率計(jì)算公式得：，．
的分布列為
∴．
（Ⅱ）證明：由題意，，則；
又，
∴數(shù)列是首項(xiàng)、公比均為的等比數(shù)列．
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：
（1）由登至第n級的各個(gè)基本事件都是獨(dú)立試驗(yàn)，應(yīng)用二項(xiàng)分布公式求概率，再由概率加法公式，結(jié)合古典概率求登至第n級概率；
（2）理解登至第級可以從第級或第級一次性完成，結(jié)合概率加法公式確定的關(guān)系式.
鞏固練習(xí)
練習(xí)一 與數(shù)列相結(jié)合問題
1．某景點(diǎn)上山共有999級臺階，寓意長長久久.甲上臺階時(shí)，可以一步上一個(gè)臺階，也可以一步上兩個(gè)臺階，若甲每步上一個(gè)臺階的概率為，每步上兩個(gè)臺階的概率為，為了簡便描述問題，我們約定，甲從0級臺階開始向上走，一步走一個(gè)臺階記1分，一步走兩個(gè)臺階記2分，記甲登上第n個(gè)臺階的概率為，其中，且.
(1)若甲走3步時(shí)所得分?jǐn)?shù)為X，求X的概率分布；
(2)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(3)求甲在登山過程中，恰好登上第99級臺階的概率.
【答案】(1)分布列見解析
(2)證明見解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）考慮甲走3步時(shí),是一步上一個(gè)臺階還是一步上兩個(gè)臺階,從而寫出X的所有可能取值，求出每一個(gè)值對應(yīng)的概率，即可得X 的分布列；
（2）由題意可得到遞推式，構(gòu)造數(shù)列，從而證明結(jié)論；
（3）利用（2）的結(jié)論，采用累加求和，結(jié)合等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，求得答案.
(1)
由題意可得X的所有可能取值為3，4，5，6，
，，
，，
∴X的分布列為：
(2)
證明：由題可得，
∴，∵，，∴，
∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.
(3)
由（2）可得
.
2．近年來，新能源汽車產(chǎn)業(yè)大規(guī)模發(fā)展，某汽車產(chǎn)品自生產(chǎn)并投人市場以來，受到多位消費(fèi)者質(zhì)疑其電池產(chǎn)品質(zhì)量，汽車廠家提供甲?乙兩家第三方檢測機(jī)構(gòu)對產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測，邀請多位車主進(jìn)行選擇，每位車主只能挑選一家.若選擇甲機(jī)構(gòu)記1分，若選擇乙機(jī)構(gòu)記2分，每位車主選擇兩個(gè)機(jī)構(gòu)的概率相等，且相互獨(dú)立.
(1)若參加的車主有3人，記總得分為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；
(2)若有位車主，記總得分恰好為n分的概率為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(3)在（2）的條件下，汽車廠商決定總得分為99分或100分時(shí)就停止計(jì)分，若總得為99分就選甲機(jī)構(gòu)，總得分為100分就選乙機(jī)構(gòu)，請分析這種方案是否合理.
【答案】(1)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：；
(2)；
(3)這方案不合理，分析答案見解析.
【解析】
【分析】
（1）由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值有3，4，5，6.分別求得隨機(jī)變量取每一值時(shí)的概率得其分布列，由數(shù)學(xué)期望公式可求得答案；
（2）依題意，總得分恰好為n分時(shí)，得不到n分的情況是先得（）分，再得，概率為，即有，由此可求得答案；
（3）由（2）求得，，比較可得結(jié)論.
(1)
解：由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值有3，4，5，6.
，，，.
∴隨機(jī)變量X的分布列如下表所示：
∴.
(2)
解：依題意，總得分恰好為n分時(shí)，得不到n分的情況是先得（）分，再得2分，概率為，
∴，即.
又，，∴，即.
(3)
解：因?yàn)椋?，∴?br>∴選擇乙機(jī)構(gòu)的概率大于甲機(jī)構(gòu)，這方案不合理.
3．武漢又稱江城，它不僅有深厚的歷史積淀與豐富的民俗文化，還有眾多名勝古跡與旅游景點(diǎn)，其中黃鶴樓與東湖被稱為武漢的兩張名片.為合理配置旅游資源，現(xiàn)對某日已游覽黃鶴樓景點(diǎn)的游客進(jìn)行隨機(jī)問卷調(diào)查，若不繼續(xù)游玩東湖記1分，繼續(xù)游玩東湖記2分，每位游客游玩東湖的概率均為，游客是否游玩東湖相互獨(dú)立.
（1）若從游客中隨機(jī)抽取m人，記總分恰為m分的概率為，求數(shù)列的前10項(xiàng)和；
（2）在對所有游客進(jìn)行隨機(jī)問卷調(diào)查過程中，記已調(diào)查過的游客的累計(jì)得分恰為n分的概率為，探討與之間的關(guān)系，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【答案】（1）；（2），.
【解析】
【分析】
（1）由題意求出，利用等比數(shù)列求和即可；
（2）根據(jù)概率關(guān)系可得，構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)公式即可.
【詳解】
（1）總分恰為分的概率為，
∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
則其前10項(xiàng)和.
（2）已調(diào)查過的游客的累計(jì)得分恰為分的概率為，得不到分的情況只有先得分，再得2分，概率為，.
∴，即，
∴.
∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
∴.
4．某植物學(xué)家培養(yǎng)出一種觀賞性植物，會開出紅花或黃花，已知該植物第一代開紅花和黃花的概率都是，從第二代開始，若上一代開紅花，則這一代開紅花的概率是，開黃花的概率是，若上一代開黃花，則這一代開紅花的概率是，開黃花的概率是，記第代開紅花的概率是，第代開黃花的概率為，
（1）求；
（2）試求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）第代開哪種顏色的花的概率更大.
【答案】（1）；（2）；（3）第n代開黃花的概率更大.
【解析】
【分析】
（1）由計(jì)算；
（2）由關(guān)系式可得是等比數(shù)列，從而求得；
（3）由的表達(dá)式可得，從而，從而可得結(jié)論．
【詳解】
解（1）第二代開紅花包含兩個(gè)互斥事件，即第一代開紅花后第二代也開紅花，第一代開黃花而第二代開紅花，
故由，得：
（2）由題意可知，第n代開紅花的概率與第代的開花的情況相關(guān)，故有
則有，
由于，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.
所以，所以
（3）由（2），
故有當(dāng)n時(shí)，，因此第代開黃花的概率更大.
5．有一對夫妻打算購房，對本城市30個(gè)樓盤的均價(jià)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下頻數(shù)分布表：
（1）若同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，現(xiàn)任取一個(gè)樓盤的均價(jià)，假定，求均價(jià)恰在8.12千元到9.24千元之間的概率；
（2）經(jīng)過一番比較，這對夫妻選定了一個(gè)自己滿意的樓盤，恰巧該樓盤推出了趣味蹦臺階送憂惠活動(dòng)，由兩個(gè)客戶配合完成該活動(dòng)，在一個(gè)口袋中有大小材質(zhì)均相同的紅球40個(gè)，黑球20個(gè)，客戶甲可隨機(jī)從口袋中取出一個(gè)球，取后放回，若取出的是紅球，則客戶乙向上蹦兩個(gè)臺階，若取出的是黑球，則客戶乙向上蹦一個(gè)臺階，直到客戶乙蹦上第5個(gè)臺階（每平方米優(yōu)惠0.3千元）或第6個(gè)臺階（每平方米優(yōu)惠3千元）時(shí)（活動(dòng)開始時(shí)的位置記為第0個(gè)臺階），游戲結(jié)束.
①設(shè)客戶乙站到第個(gè)臺階的概率為，證明：當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列；
②若不參加蹦臺階活動(dòng)，則直接每平方米優(yōu)惠1.4千元，為了獲得更大的優(yōu)惠幅度，請問該對夫妻是否應(yīng)參與蹦臺階活動(dòng).
參考數(shù)據(jù)：取，.若，則，，.
【答案】（1）；（2）①證明見解析；②應(yīng)參與.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)頻數(shù)分布表計(jì)算均值與方差，得，然后由對稱性和特定區(qū)間的概率得出結(jié)論；
（2）①由已知，，而時(shí)，即客戶到第人臺階分為兩種情況：一是從第個(gè)臺階跳一級過來，另一個(gè)是從第個(gè)臺階跳2級過來，由此可得遞推關(guān)系，變形后可證題設(shè)結(jié)論；
②利用①求得，計(jì)算參加活動(dòng)的期望值與比較可得．
【詳解】
（1），
.
因?yàn)?，，，所?
所以.
（2）①證明：客戶開始游戲時(shí)在第0個(gè)臺階為必然事件，故，客戶甲第一次摸得黑球，客戶乙邁上第一個(gè)臺階，其概率為，故.
客戶乙邁入第個(gè)臺階的情況為下列兩種，而且也只有兩種.
一是客戶乙先到第格，客戶甲又摸出紅球，其概率為；
二是客戶乙先到第格，客戶甲又摸出黑球，其概率為，
所以，則.
所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.
②由①知，當(dāng)時(shí)，，
所以
，
整理得，所以，
且.
設(shè)這對夫妻參與游戲獲得優(yōu)惠的期望為每平方米千元，
則（千元）.
因?yàn)?，所以參與游戲比較劃算.
6．根據(jù)各方達(dá)成的共識，軍運(yùn)會于2019年10月18日至27日在武漢舉行，賽期10天，共設(shè)置射擊、游泳、田徑、籃球等27個(gè)大項(xiàng)、329個(gè)小項(xiàng).其中，空軍五項(xiàng)、軍事五項(xiàng)、海軍五項(xiàng)、定向越野和跳傘5個(gè)項(xiàng)目為軍事特色項(xiàng)目，其他項(xiàng)目為奧運(yùn)項(xiàng)目.現(xiàn)對國在射擊比賽預(yù)賽中的得分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到如下的頻率分布直方圖：
（1）估計(jì)國射擊比賽預(yù)賽成績得分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；
（2）根據(jù)大量的射擊成績測試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為射擊成績X近似地服從正態(tài)分布，經(jīng)計(jì)算第（1）問中樣本標(biāo)準(zhǔn)差的近似值為50，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，求射擊成績得分恰在350到400的概率；（參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則：，，）.
（3）某汽車銷售公司在軍運(yùn)會期間推廣一款新能源汽車，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎(jiǎng)”，活動(dòng)，客戶可根據(jù)拋擲骰子的結(jié)果，操控微型遙控車在方格圖上行進(jìn)，若遙控車最終停在“勝利大本營”，則可獲得購車優(yōu)惠券.已知骰子出現(xiàn)任意點(diǎn)數(shù)的概率都是，方格圖上標(biāo)有第0格，第1格，第2格，……第50格.遙控車開始在第0格，客戶每拋擲一次骰子，遙控車向前移動(dòng)一次，若拋擲出正面向上的點(diǎn)數(shù)是1，2，3，4，5點(diǎn)，遙控車向前移動(dòng)一格（從到），若拋擲出正面向上的點(diǎn)數(shù)是6點(diǎn)，遙控車向前移動(dòng)兩格（從到），直到遙控車移動(dòng)到第49格（勝利大本營）或第50格（失敗大本營）時(shí)，游戲結(jié)束.設(shè)遙控車移動(dòng)到第格的概率為，試證明是等比數(shù)列，并求，以及根據(jù)的值解釋這種游戲方案對意向客戶是否有吸引力.
【答案】（1）300；（2）0.1359；（3）證明見解析，，對意向客戶有吸引力.
【解析】
【分析】
（1）利用組中值代入求平均值；
（2）寫出正態(tài)分布，代入即可；
（3）根據(jù)題意確定，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，寫出通項(xiàng)公式，利用差分求出，求出，通過比較，可得結(jié)論.
【詳解】
（1）；
（2）因?yàn)椋?br>所以；
（3）搖控車開始在第0格為必然事件，，
第一次擲骰子，正面向上不出現(xiàn)6點(diǎn)，搖控車移動(dòng)到第1格，其概率為，即；搖控車移到第格格的情況是下列兩種，而且也只有兩種；
①搖控車先到第格，拋擲出正面向上的點(diǎn)數(shù)為6點(diǎn)，其概率為；
②搖控車先到第格，拋擲骰子正面向上不出現(xiàn)6點(diǎn)，其概率為，
故，，
故時(shí)，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
故，
，
，
，
故這種游戲方案客戶參與中獎(jiǎng)的可能性較大，對意向客戶有吸引力.
7．為了避免就餐聚集和減少排隊(duì)時(shí)間，某校開學(xué)后，食堂從開學(xué)第一天起，每餐只推出即點(diǎn)即取的米飯?zhí)撞秃兔媸程撞停阎惩瑢W(xué)每天中午會在食堂提供的兩種套餐中選擇，已知他第一天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?，而前一天選擇了米飯?zhí)撞秃笠惶炖^續(xù)選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿椋耙惶爝x擇面食套餐后一天繼續(xù)選擇面食套餐的概率為，如此往復(fù)．
（1）求該同學(xué)第二天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕剩?br>（2）記該同學(xué)第天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿椋?br>（i）證明：為等比數(shù)列；
（ii）證明：當(dāng)時(shí)，．
【答案】（1）；（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）設(shè)“第天選擇米飯?zhí)撞汀?，“第天選擇米飯?zhí)撞汀?，“第天不選擇米飯?zhí)撞汀保扇怕使接校?jì)算可得；
（2）（i）設(shè)“第天選擇米飯?zhí)撞汀?，則，依照（1）可得與的關(guān)系，然后根據(jù)等比數(shù)列定義證明；
（ii）求出通項(xiàng)公式，然后分類討論證明結(jié)論．
【詳解】
解：（1）設(shè)“第天選擇米飯?zhí)撞汀?，“第天選擇米飯?zhí)撞汀保?br>則“第天不選擇米飯?zhí)撞汀保?br>根據(jù)題意，，，．
由全概率公式，得．
（2）（i）設(shè)“第天選擇米飯?zhí)撞汀?，則，，
根據(jù)題意，．
由全概率公式，得．
因此．
因?yàn)椋?br>所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．
（ii）由（i）可得．
當(dāng)為大于的奇數(shù)時(shí)，．
當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，．
因此當(dāng)時(shí)，．
8．某商場擬在周年店慶進(jìn)行促銷活動(dòng)，為吸引消費(fèi)者，特別推出“玩游戲，送禮券”的活動(dòng)，游戲規(guī)則如下：每輪游戲都拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子（形狀為正方體，六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為，，，，，），若向上點(diǎn)數(shù)不超過點(diǎn)，獲得分，否則獲得分，進(jìn)行若干輪游戲，若累計(jì)得分為分，則游戲結(jié)束，可得到元禮券，若累計(jì)得分為分，則游戲結(jié)束，可得到紀(jì)念品一份，最多進(jìn)行輪游戲．
（1）當(dāng)進(jìn)行完輪游戲時(shí)，總分為，求的數(shù)學(xué)期望；
（2）若累計(jì)得分為的概率為，（初始分?jǐn)?shù)為分，記）．
（i）證明數(shù)列是等比數(shù)列；
（ii）求活動(dòng)參與者得到紀(jì)念品的概率．
【答案】（1）4；（2）（i）證明見解析；（ii）.
【解析】
【分析】
（1）由題意求出的可能取值，然后求出對應(yīng)的概率，進(jìn)而列出分布列，并根據(jù)我期望的概念求出期望即可；
（2）（i）若累計(jì)得分為的概率為，分兩種情況討論得分情況，從而得到遞推公式，再結(jié)合構(gòu)造法即可得證；
（ii）根據(jù)（i）求出，再結(jié)合累加法即可求出，進(jìn)而可以求得結(jié)果.
【詳解】
解：（Ⅰ）由題意得每輪游戲獲得分的概率為，獲得分的概率為，可能取值為，，，，
，，
，，
的分布列：
；
（Ⅱ）（i）（證明：，即累計(jì)得分為分，是第次擲骰子，向上點(diǎn)數(shù)不超過點(diǎn)的概率，則，累計(jì)得分為分的情況有兩種：
（1），即前一輪累計(jì)得分，又?jǐn)S骰子點(diǎn)數(shù)超過點(diǎn)其概率為，
（2）前一輪累計(jì)得分為分，又?jǐn)S骰子點(diǎn)數(shù)沒超過點(diǎn)得分其概率為，
，
，
數(shù)列，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．
（ii）數(shù)列，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．
，
，，……，，
各式相加，得：，
，，
活動(dòng)參與者得到紀(jì)念品的概率為：．
X
3
4
5
6
P
Χ
20
50
P
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
5
6
7
8
9
10
X
3
4
5
6
P
X
3
4
5
6
P
均價(jià)（單位：千元）
頻數(shù)
2
2
11
10
4
1

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