常見考點(diǎn)
考點(diǎn)一 并項(xiàng)求和
典例1．設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，．
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)設(shè)且前項(xiàng)和為，求．
變式1-1．在正項(xiàng)等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和；
(2)記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
變式1-2．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
變式1-3．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，n∈N*．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記，求數(shù)列{bn}的前100項(xiàng)的和．
考點(diǎn)二 奇偶求和
典例2．設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，公比大于0，已知，， ．
(1)求和的通項(xiàng)公式．
(2)設(shè)數(shù)列滿足，求．
變式2-1．已知數(shù)列滿足，．
(1)記，證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前2n項(xiàng)和．
變式2-2．設(shè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和為，等比數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，且滿足，，．
(1)求，的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前21項(xiàng)的和．（答案可保留指數(shù)冪的形式）
變式2-3．已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，，.
(1)求和的通項(xiàng)公式；
(2)記的前n項(xiàng)和為，求的最小值；
(3)設(shè)求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.
考點(diǎn)三 倒序相加
典例3．已知函數(shù)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上，函數(shù).
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求的值；
(3)令，求數(shù)列的前2020項(xiàng)和.
變式3-1．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，函數(shù)對(duì)任意的都有，數(shù)列滿足．
（1）分別求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列滿足，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，是否存在正實(shí)數(shù)，使不等式對(duì)于一切的恒成立？若存在請(qǐng)指出的取值范圍，并證明；若不存在請(qǐng)說明理由．
變式3-2．已知函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足，且.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若記，2，3，，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
變式3-3．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為
（1）若為等差數(shù)列，求證：；
（2）若，求證：為等差數(shù)列.
鞏固練習(xí)
練習(xí)一 并項(xiàng)求和
1．已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和滿足：．
(1)求數(shù)列{}的前3項(xiàng)；
(2)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(3)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
2．各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求；
(3)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使成立的的最小值.
3．已知數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，且數(shù)列是公差為的等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
4．已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)．記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求．
練習(xí)二 奇偶求和
5．定義為數(shù)列的“勻稱值”，若數(shù)列的“勻稱值”為.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，的前項(xiàng)和為，求．
6．已知數(shù)列滿足，.
(1)記，求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)求的前項(xiàng)和.
7．在①，②，③，在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并作答.在數(shù)列中，，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記______，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
8．設(shè)，數(shù)列滿足，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
(1)已知，求k的值；
(2)若，設(shè)，求數(shù)列最大項(xiàng)及相應(yīng)的序數(shù)；
(3)若，設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
練習(xí)三 倒序相加
9．已知函數(shù)
（1）求的值；
（2）已知數(shù)列滿足,求證數(shù)列是等差數(shù)列；
（3）已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
10．函數(shù)對(duì)任意x∈R都有.
（1）求的值.
（2）數(shù)列滿足:,數(shù)列是等差數(shù)列嗎?如果是請(qǐng)給予證明，不是，請(qǐng)說明理由.
11．設(shè)函數(shù)，設(shè)，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）若，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)一切成立，求的取值范圍．
12．設(shè)奇函數(shù)對(duì)任意都有
求和的值；
數(shù)列滿足：，數(shù)列是等差數(shù)列嗎？請(qǐng)給予證明；
第二篇 數(shù)列
專題05 數(shù)列求和之并項(xiàng)求和、奇偶求和、倒序相加
常見考點(diǎn)
考點(diǎn)一 并項(xiàng)求和
典例1．設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，．
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)設(shè)且前項(xiàng)和為，求．
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由已知變形得出，即可證得結(jié)論成立；
（2）計(jì)算，利用并項(xiàng)求和法可求得.
(1)
證明：對(duì)任意的，，則，且，
故數(shù)列為等比數(shù)列，且該數(shù)列的首項(xiàng)為，公比也為，故.
(2)
解：，
所以，，
因此，.
變式1-1．在正項(xiàng)等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和；
(2)記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
(1) 設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得d，從而得出通項(xiàng)公式，由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式得出前項(xiàng)和.
(2) 由題意，相鄰的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)之間的和為定值，再分為奇數(shù)，偶數(shù)分別求解，即可得出答案.
(1)
設(shè)等差數(shù)列的公差為d．依題意得
，即，
結(jié)合可化簡得，解得（負(fù)值舍去）
∴．
(2)
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，
綜上所述，
變式1-2．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）設(shè)數(shù)列公差為，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.
（2）根據(jù)分組求和法可得，再利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.
【詳解】
解:設(shè)公差為，依題意得
解得
所以.
，
.
變式1-3．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，n∈N*．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記，求數(shù)列{bn}的前100項(xiàng)的和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用得到等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式；（2）結(jié)合第一問利用等比數(shù)列求和公式及分組求和進(jìn)行求解.
(1)
由，得，
兩式相減得，即，
又當(dāng)n=1時(shí)，，解得：，
所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以；
(2)
由（1）可知，
所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，共有50項(xiàng)，所以．
考點(diǎn)二 奇偶求和
典例2．設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，公比大于0，已知，， ．
(1)求和的通項(xiàng)公式．
(2)設(shè)數(shù)列滿足，求．
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）首先設(shè)出等差數(shù)列的公差，等比數(shù)列的公比，根據(jù)題意，列出方程組，求出公差和公比，進(jìn)而求得等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）根據(jù)題中所給的所滿足的條件，將表示出來，之后應(yīng)用分組求和法，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，以及錯(cuò)位相減法求和，最后求得結(jié)果．
(1)
設(shè)等差數(shù)列的公差為,等比數(shù)列的公比為,則.
由題意,得,解得：,
故,
.
(2)

，
記①，
則 ②
②-①得
所以
變式2-1．已知數(shù)列滿足，．
(1)記，證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前2n項(xiàng)和．
【答案】(1)證明見解析；，；
(2).
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)給定的遞推公式依次計(jì)算并探求可得，求出即可得證，并求出通項(xiàng)公式.
(2)由(1)求出，再按奇偶分組求和即可計(jì)算作答.
(1)
依題意，，
而，
所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，.
(2)
由(1)知，，則有，
又，則，
于是有，
因此，，
所以.
【點(diǎn)睛】
思路點(diǎn)睛：涉及給出遞推公式探求數(shù)列性質(zhì)的問題，認(rèn)真分析遞推公式并進(jìn)行變形，有的可借助累加、
累乘求通項(xiàng)的方法分析、探討項(xiàng)間關(guān)系，有的可利用奇偶分析逐步計(jì)算探求項(xiàng)間關(guān)系而解決問題.
變式2-2．設(shè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和為，等比數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，且滿足，，．
(1)求，的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前21項(xiàng)的和．（答案可保留指數(shù)冪的形式）
【答案】(1)，；
(2).
【解析】
【分析】
(1)設(shè)等差數(shù)列公差d，正項(xiàng)等比數(shù)列公比q，根據(jù)給定條件列出方程組求解即可作答.
(2)利用分組求和方法分別求出等差數(shù)列前11個(gè)奇數(shù)項(xiàng)的和，等比數(shù)列前10個(gè)偶數(shù)項(xiàng)的和即可計(jì)算作答.
(1)
設(shè)等差數(shù)列公差為d，正項(xiàng)等比數(shù)列公比為q(q>0)，依題意，，解得，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
(2)
由(1)知，，數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為4，
，數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為4，公比為4，
而，數(shù)列的前21項(xiàng)的和：
，
所以數(shù)列的前21項(xiàng)的和為.
變式2-3．已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，，.
(1)求和的通項(xiàng)公式；
(2)記的前n項(xiàng)和為，求的最小值；
(3)設(shè)求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.
【答案】(1)，
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，然后由已知條件列方程求出，從而可求出和的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可得，然后利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可求得結(jié)果，
（3）分別由為奇數(shù)和為偶數(shù)求和，然后再相加即可
(1)
設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，
因?yàn)?，，?br>所以，，
解得，，
所以，
(2)
由（1）可得，
則，
因?yàn)楹瘮?shù)在上遞減，在是遞增，又因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，
(3)
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
對(duì)任意的正整數(shù)，有
，
所以
，
所以
，
所以數(shù)列的前2n項(xiàng)和為
考點(diǎn)三 倒序相加
典例3．已知函數(shù)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上，函數(shù).
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求的值；
(3)令，求數(shù)列的前2020項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）由題意可得：，由即可求解；
（2）求出的表達(dá)式，由指數(shù)的運(yùn)算即可求解；
（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，利用倒序相加法即可求解.
(1)
因?yàn)辄c(diǎn)均在函數(shù)的圖象上，
所以，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，適合上式，所以.
(2)
因?yàn)?，所以?br>所以.
(3)
由（1）知，可得，
所以，①
又因?yàn)?，?br>因?yàn)椋?br>所以①②，得，
所以.
變式3-1．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，函數(shù)對(duì)任意的都有，數(shù)列滿足．
（1）分別求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列滿足，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，是否存在正實(shí)數(shù)，使不等式對(duì)于一切的恒成立？若存在請(qǐng)指出的取值范圍，并證明；若不存在請(qǐng)說明理由．
【答案】（1），；（2）存在，．
【解析】
【分析】
（1）利用求得，利用倒序相加法求得.
（2）利用錯(cuò)位相減求和法求得，由分離常數(shù)，結(jié)合基本不等式求得的取值范圍.
【詳解】
（1），，
，
時(shí)滿足上式，故（），
∵，∴，
∵ ①
∴ ②
∴①+②，得，∴.
（2）∵，∴，
∴ ①
②
得，
即，
要使得不等式恒成立，恒成立，
∴對(duì)于一切的恒成立，即，
令（），則，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，所以為所求．
變式3-2．已知函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足，且.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若記，2，3，，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由得到，然后變形為，利用等差數(shù)列的定義求解.
（2）由（1）得到，由，利用倒序相加法求解.
【詳解】
（1）因?yàn)?，所以由得?br>所以，，
所以是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，
所以，所以.
（2）由（1）知，
則，
，
，
所以，
，
，
兩式相加，得：
，
所以.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系，等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式以及倒序相加求和，話考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中等題.
變式3-3．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為
（1）若為等差數(shù)列，求證：；
（2）若，求證：為等差數(shù)列.
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【解析】
【分析】
（1）利用倒序相加法即可證明.
（2）利用與的關(guān)系分別求出與，然后作差，化簡即可證明其滿足，即可證明為等差數(shù)列.
【詳解】
（1）證明：已知數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，有
則
于是……①
又……②
由①②相加有即
（2）證明：由，有當(dāng)時(shí)，，
所以， ③
， ④
④－③并整理，得，即
所以數(shù)列是等差數(shù)列．
【點(diǎn)睛】
主要考查了倒序相加法，以及等差數(shù)列的證明，屬于中檔題.等差數(shù)列的證明常常運(yùn)用以下兩種方法：（1）定義法，通過證明（為常數(shù)，）即可；（2）等差中項(xiàng)法：通過證明其滿足即可.
鞏固練習(xí)
練習(xí)一 并項(xiàng)求和
1．已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和滿足：．
(1)求數(shù)列{}的前3項(xiàng)；
(2)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(3)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)；
(2)證明見解析；
(3).
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)，令n＝1，2，3即可求出前三項(xiàng)；
(2)利用與的關(guān)系得到{}的遞推公式，從而可以證明，其中k為常數(shù)；
(3)根據(jù)(2)求出，從而求出，根據(jù)通項(xiàng)公式的特征，分n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況進(jìn)行求和，求和時(shí)采用分組求和法與錯(cuò)誤相減法.
(1)
當(dāng)時(shí)，有：；
當(dāng)時(shí)，有：；
當(dāng)時(shí)，有：；
綜上可知；
(2)
由已知得：時(shí)，，
化簡得：
上式可化為：
故數(shù)列{}是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列.
(3)
由（2）知，∴，
∴
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
=
令，
①
②
則①②得
，
∴，=，
所以.
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，
，
所以.
綜上，.
2．各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求；
(3)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使成立的的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，結(jié)合等差數(shù)列的定義，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）化簡，結(jié)合裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的和；
（3）利用分組法求得，結(jié)合，即可求得的最小值.
(1)
解：因?yàn)楦黜?xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，
當(dāng)時(shí)，解得；
當(dāng)時(shí)，；
兩式相減可得，整理得（常數(shù)），
故數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列；
所以.
(2)
解：由，可得，所以，
所以.
(3)
解：由，可得，
所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
因?yàn)?，且為偶?shù)，所以的最小值為48；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，不存在最小的值，
故當(dāng)為48時(shí)，滿足條件.
3．已知數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，且數(shù)列是公差為的等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1).
(2).
【解析】
【分析】
(1)由題意首先求得數(shù)列的前n項(xiàng)和，然后由前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)首先確定數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.
(1)
解：∵數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，且，∴，
，
∴當(dāng)時(shí)，.
∵符合，
∴.
(2)
解：由（1）得.
因?yàn)闉榕紨?shù)時(shí)，所以，
所以，.
4．已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)．記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)已知條件求得的首項(xiàng)和公差，由此求得的通項(xiàng)公式.
（2）利用并項(xiàng)求和法，結(jié)合三角函數(shù)的知識(shí)求得.
(1)
設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，
則，
結(jié)合可解得，所以.
(2)
，
，
，
，
，
，
，……以此類推，
的最小正周期，
，
所以.
練習(xí)二 奇偶求和
5．定義為數(shù)列的“勻稱值”，若數(shù)列的“勻稱值”為.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，的前項(xiàng)和為，求．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由已知可得出，由可求得的值，由，可得出，兩式作差可得出的表達(dá)式，然后就是否滿足在時(shí)的表達(dá)式進(jìn)行檢驗(yàn)，綜合可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用分組求和法結(jié)合裂項(xiàng)相消法可求得的值.
(1)
解：因?yàn)?，所?
當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，由得．
上述兩個(gè)等式作差得，即，
又因?yàn)闈M足，所以.
(2)
解：因?yàn)?，所?
所以，
所以．
所以，即．
6．已知數(shù)列滿足，.
(1)記，求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)求的前項(xiàng)和.
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【解析】
【分析】
(1)利用給定的遞推公式分段計(jì)算、推導(dǎo)作答.
(2)由(1)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和，再由已知可得，借助并項(xiàng)求和法計(jì)算作答.
(1)
依題意，因，則，
于是得，而，則，
所以是首項(xiàng)為6，公比為2的等比數(shù)列.
(2)
由(1)知，，則，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，
則，
因，則，從而有
因此，，
所以的前項(xiàng)和.
7．在①，②，③，在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并作答.在數(shù)列中，，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記______，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)；
(2)選①：；選②：；選③：.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題中條件，構(gòu)造出新數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，從而可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）選①：用錯(cuò)位相減求和法即可求出數(shù)列的前項(xiàng)和；
選②：用分組求和法即可求出數(shù)列的前項(xiàng)和；
選③：用裂項(xiàng)相消求和法即可求出數(shù)列的前項(xiàng)和.
(1)
因?yàn)椋裕?br>又因?yàn)?，所以?br>所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.
所以，即.
(2)
若選條件①：，
所以，
，
兩式相減，得，
所以.
若選條件②：，
所以
.
若選條件③：
所以.
8．設(shè)，數(shù)列滿足，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
(1)已知，求k的值；
(2)若，設(shè)，求數(shù)列最大項(xiàng)及相應(yīng)的序數(shù)；
(3)若，設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)最大項(xiàng)為，相應(yīng)的序數(shù)為57或58.
(3)
【解析】
【分析】
（1）由已知代入即可求解；
（2）由題，計(jì)算，分類討論n的取值，判斷與的大小即可得解；
（3）分類討論n為奇數(shù)和n為偶數(shù)，利用分組求和結(jié)合等差數(shù)列求和及等比數(shù)列求和公式可得解.
(1)
因?yàn)閿?shù)列滿足，
，解得
(2)
由題知
顯然，令，得
當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
，且
所以數(shù)列的最大項(xiàng)為，相應(yīng)的序數(shù)為57或58.
(3)
由已知，即
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
所以
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：求數(shù)列和常用的方法：
（1）等差等比數(shù)列：分組求和法；（2）倒序相加法；
（3）（數(shù)列為等差數(shù)列）：裂項(xiàng)相消法；
（4）等差等比數(shù)列：錯(cuò)位相減法.
練習(xí)三 倒序相加
9．已知函數(shù)
（1）求的值；
（2）已知數(shù)列滿足,求證數(shù)列是等差數(shù)列；
（3）已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】(1)；(2)證明見解析；(3).
【解析】
【分析】
(1)由題意結(jié)合函數(shù)解析式的特征倒序相加即可求得的值；
(2)由題意結(jié)合遞推關(guān)系式，證得后項(xiàng)與前項(xiàng)作差為常數(shù)即可證得題中的結(jié)論；
(3)結(jié)合(2)中的通項(xiàng)公式錯(cuò)位相減可得數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【詳解】
(1)因?yàn)?
所以設(shè)S=…………（1）
S=. ………（2）
(1)+(2)得:
,
所以S=.
(2)由兩邊同減去1,得.
所以,
所以,
是以2為公差以為首項(xiàng)的等差數(shù)列.
（3）因?yàn)?
因?yàn)?，所?br>（3）
（4）
由（3）-（4）得
=
所以=.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查等差數(shù)列的證明，錯(cuò)位相減求和的方法，倒序相加求和的方法等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.
10．函數(shù)對(duì)任意x∈R都有.
（1）求的值.
（2）數(shù)列滿足:,數(shù)列是等差數(shù)列嗎?如果是請(qǐng)給予證明，不是，請(qǐng)說明理由.
【答案】（1）；（2）見解析
【解析】
【分析】
（1）在給出的等式中，取x＝，整理后即可得到答案；
（2）在給出等式中取x＝，得到，把倒序后兩式相加求出，然后判斷是否為常數(shù)．
【詳解】
（1）由f（x）+f（1﹣x）＝，令，得
（2）數(shù)列{}是等差數(shù)列．事實(shí)上，令x＝，得，
即，
又，
兩式相加得：，
∴，則．
故數(shù)列{}是等差數(shù)列．
【點(diǎn)睛】
本題考查了等差數(shù)列的確定，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，關(guān)鍵是利用倒序相加法求得，屬于中檔題．
11．設(shè)函數(shù)，設(shè)，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）若，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)一切成立，求的取值范圍．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）計(jì)算的值，然后用倒序相加法計(jì)算；
（2）由裂項(xiàng)相消法求得，注意分類，，時(shí)可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)（數(shù)列）的最大值．
【詳解】
（1）；
時(shí)，，
，
相加得，
所以，又，
所以對(duì)一切正整數(shù)，有；
（2），
，，，即，，
時(shí)，，
，
，即，
，
，，所以即時(shí)，取得最大值，，
綜上，．
【點(diǎn)睛】
本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，考查倒序相加法求和，考查數(shù)列不等式恒成立問題．注意一個(gè)和滿足首尾兩項(xiàng)的和與到尾兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)的和相等時(shí)，可用倒序相加法求和，在函數(shù)式的計(jì)算中也常用到這種方法．?dāng)?shù)列不等式恒成立問題，需把不等式化簡，能求和的求和，不能求和的用放縮法放縮后求和，然后還可能結(jié)合函數(shù)的知識(shí)求解，但要注意此函數(shù)的定義域是正整數(shù)集合．
12．設(shè)奇函數(shù)對(duì)任意都有
求和的值；
數(shù)列滿足：，數(shù)列是等差數(shù)列嗎？請(qǐng)給予證明；
【答案】解：（1），；（2）是等差數(shù)列.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)，且f（x）是奇函數(shù)，將代入，可求的值，再結(jié)合奇函數(shù)得到．令，即可求得結(jié)論；
（2）利用倒序相加法結(jié)合第一問的結(jié)論，求出Sn，進(jìn)而求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，再根據(jù)定義即可證得數(shù)列{an}是等差數(shù)列．
【詳解】
解：（1）∵，且f（x）是奇函數(shù)
∴
∴，故
因?yàn)?，所以?br>令，得，即．
（2）令
又
兩式相加．
所以，
故，
又．故數(shù)列{an}是等差數(shù)列．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查數(shù)列與不等式的綜合問題，考查奇函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，考查倒序相加求和，屬于中檔題.

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