常見考點
考點一 數(shù)列通項證明
典例1．已知數(shù)列滿足﹒
(1)求證數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)求的通項公式；
(3)試判斷是否為數(shù)列中的項，并說明理由﹒
變式1-1．已知數(shù)列中，，，.
(1)設(shè)，求證是等差數(shù)列；
(2)求的通項.
變式1-2．已知數(shù)列滿足：，且，其中;
（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，為數(shù)列的前項和，求.
變式1-3．已知數(shù)列滿足，.
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
（2）求數(shù)列的前項和.
考點二 數(shù)列求和證明（先求和再放縮）
典例2．已知數(shù)列的前項和為.
從下面①②③中選擇其中一個作為條件解答試題，若選擇不同條件分別解答，則按第一個解答計分.
①數(shù)列是等比數(shù)列，，且，，成等差數(shù)列；
②數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，，；
③.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)已知數(shù)列的前項的和為，且.證明：.
變式2-1．已知數(shù)列滿足，.
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
(2)令，數(shù)列的前項和為，證明：對于任意的，都有.
變式2-2．已知數(shù)列為等差數(shù)列，是數(shù)列的前項和，且，，數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列、的通項公式；
(2)令，證明：.
變式2-3．已知數(shù)列的前n項和為滿足．
(1)求證：是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
(2)若，數(shù)列的前項和為．求證：．
考點三 數(shù)列求和證明（先放縮再求和）
典例3．已知數(shù)列的前n項和為，已知，．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）證明：．
變式3-1．已知數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：當時，.
變式3-2．已知數(shù)列滿足
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)證明：
變式3-3．已知正項數(shù)列滿足，.
（1）試比較與的大小，并說明理由；
（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，證明：當時，.
鞏固練習(xí)
練習(xí)一 數(shù)列通項證明
1．設(shè)數(shù)列是公比為正整數(shù)的等比數(shù)列，滿足，，設(shè)數(shù)列滿足，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
(3)已知數(shù)列，設(shè)，求數(shù)列的前項和.
2．已知數(shù)列的首項，且滿足.
(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)若，求數(shù)列前n項和.
3．已知數(shù)列的前n項和為，且.
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前n項和.
4．已知數(shù)列的首項，且滿足．
(1)證明：是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前n項和．
練習(xí)二 數(shù)列求和證明（先求和再放縮）
5．已知數(shù)列的首項，數(shù)列是等差數(shù)列，且，．
(1)求的通項公式．
(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為，證明：．
6．已知是公差不為零的等差數(shù)列，，且、、成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項公式：
(2)設(shè)．數(shù)列{}的前項和為，求證：．
7．已知等差數(shù)列的前項和為，，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)證明：數(shù)列的前項和.
8．已知數(shù)列的前n項和為，且組成等差數(shù)列．
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)，且數(shù)列的前n項和為，求證：．
練習(xí)三 數(shù)列求和證明（先放縮再求和）
9．已知正項數(shù)列滿足：﹣＝1，（n∈N+，n≥2），且a1＝4．
（1）求的通項公式；
（2）求證＜1（n∈N+）
10．數(shù)列滿足，.
（1）求的值；
（2）求數(shù)列的通項公式；
（3）設(shè)，求證：.
11．已知數(shù)列{}的前n項和為且滿足=-n.
(1)求{}的通項公式；
(2)證明：
12．數(shù)列滿足,．
（1）求證數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）證明：對一切正整數(shù)，有．
第二篇 數(shù)列
專題06 數(shù)列中的證明問題
常見考點
考點一 數(shù)列通項證明
典例1．已知數(shù)列滿足﹒
(1)求證數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)求的通項公式；
(3)試判斷是否為數(shù)列中的項，并說明理由﹒
【答案】(1)見解析；
(2)；
(3)是，理由見解析﹒
【解析】
【分析】
(1)已知條件兩邊同時取倒數(shù)，構(gòu)造等差數(shù)列求解；
(2)根據(jù)(1)中構(gòu)造的等差數(shù)列即可求通項公式；
(3)令通項等于，解出n，如果n為正整數(shù)，則是該數(shù)列的項，否則不是﹒
(1)
由題可得，
∴是以3為首項，3為公差的等差數(shù)列；
(2)
由(1)得，，
∴；
(3)
令，解得，故是為數(shù)列中的項﹒
變式1-1．已知數(shù)列中，，，.
(1)設(shè)，求證是等差數(shù)列；
(2)求的通項.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）式子變形后，可知是首項，公差為1的等差數(shù)列.
（2）利用累加法和錯位相減法即可得出結(jié)論.
(1)
解：由已知可得：
即
即，
所以是首項，公差為1的等差數(shù)列.
(2)
由（1）知
則
得到
①，
②
，得.
變式1-2．已知數(shù)列滿足：，且，其中;
（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，為數(shù)列的前項和，求.
【答案】（1）證明見解析，；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由題設(shè)遞推式得，根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證結(jié)論，進而寫出的通項公式；
（2）由（1）得，應(yīng)用裂項相消法求即可.
【詳解】
（1）由題設(shè)，，而，
∴是首項、公比均為2的等比數(shù)列，故，即.
（2）由（1）知：，
∴.
變式1-3．已知數(shù)列滿足，.
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
（2）求數(shù)列的前項和.
【答案】（1）證明見解析，；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由已知遞推關(guān)系可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證結(jié)論，進而可得，寫出通項公式即可.
（2）應(yīng)用錯位相減法即可求的前項和.
【詳解】
（1）證明：∵，，
∴，，又，
∴，故數(shù)列為首項為1，公比為的等比數(shù)列，
∴，故.
（2）∵①，
∴②，
①?②式錯位相減得：，
∴.
考點二 數(shù)列求和證明（先求和再放縮）
典例2．已知數(shù)列的前項和為.
從下面①②③中選擇其中一個作為條件解答試題，若選擇不同條件分別解答，則按第一個解答計分.
①數(shù)列是等比數(shù)列，，且，，成等差數(shù)列；
②數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，，；
③.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)已知數(shù)列的前項的和為，且.證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）若選①：根據(jù)等比數(shù)列基本量的計算，求出首項及公比即可求解；
若選②：根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)有，結(jié)合已知求出即可得公比，從而可得答案；
若選③：由，將已知再寫一式，然后兩式相減可得，最后根據(jù)等比數(shù)列的定義即可求解；
（2）由（1）根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)求出，然后利用裂項相消求和法求出即可證明.
(1)
解：若選①：因為數(shù)列是等比數(shù)列，設(shè)公比為，，且，，成等差數(shù)列，
所以，解得，所以；
若選②：因為數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，，，
所以，所以，，
所以；
若選③：因為，所以，
兩式相減可得，即，又時，，
所以，
所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以；
(2)
證明：由（1）知，
所以，
因為，所以，即.
變式2-1．已知數(shù)列滿足，.
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
(2)令，數(shù)列的前項和為，證明：對于任意的，都有.
【答案】(1)證明見解析；；
(2)證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）由遞推關(guān)系式可得，由此證得結(jié)論；利用等差數(shù)列通項公式可求得，進而得到；
（2）由（1）可得，采用裂項相消法可求得，結(jié)合，可證得結(jié)論.
(1)
由得：，又，
數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，，
；
(2)
由（1）得：，
，
，，.
變式2-2．已知數(shù)列為等差數(shù)列，是數(shù)列的前項和，且，，數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列、的通項公式；
(2)令，證明：.
【答案】(1)，.
(2)證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）利用等差數(shù)列基本量代換求出，利用前n項和的定義求出；
（2）用錯位相減法求和后即可證明.
(1)
設(shè)等差數(shù)列的公差為d.
因為，，所以，解得：，所以.
因為數(shù)列滿足，
所以n=1時，有，解得：.
當時， ，
因為，所以.
經(jīng)檢驗，對n=1也成立，所以.
(2)
由（1）知，.記是數(shù)列的前項和.
則①
①式同乘以得：②
①-②得：
所以
因為，所以，所以.
即證.
變式2-3．已知數(shù)列的前n項和為滿足．
(1)求證：是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
(2)若，數(shù)列的前項和為．求證：．
【答案】(1)證明見解析，
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）令可求得的值，令，由可得，兩式作差可得，利用等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立，確定該數(shù)列的首項和公比，可求得數(shù)列的通項公式；
（2）求得，利用錯位相減法可求得，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可證得結(jié)論成立.
(1)
證明：當時，，解得，
當時，由可得，
上述兩個等式作差得，所以，，則，
因為，則，可得，，，
以此類推，可知對任意的，，所以，，
因此，數(shù)列是等比數(shù)列，且首項為，公比為，
所以，，解得.
(2)
證明：，
則，其中，所以，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，則，
，
，
上式下式，得
，
所以，，因此，.
考點三 數(shù)列求和證明（先放縮再求和）
典例3．已知數(shù)列的前n項和為，已知，．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）證明：．
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）先根據(jù)和項與通項關(guān)系得，再根據(jù)等差數(shù)列定義以及通項公式得，即得結(jié)果；
（2）先利用放縮得，（），再利用裂項相消法證得結(jié)果.
【詳解】
解：（1）因為，
所以，
故，
即，
又因為，所以，
故為等差數(shù)列，即，亦即；
（2）顯然
當時，，
故
【點睛】
本題考查利用和項與通項關(guān)系求通項、等差數(shù)列定義與通項公式、放縮法證不等式、裂項相消法求和，考查綜合分析論證與求解能力，屬較難題.
變式3-1．已知數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：當時，.
【答案】(1)；
(2)證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）利用前n項和與的關(guān)系即求；
（2）由題知，然后利用裂項相消法即證.
(1)
由，
可得，
兩式相減可得，
當時，，滿足，
所以.
(2)
∵，
因為，
所以當時，.
變式3-2．已知數(shù)列滿足
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)證明：
【答案】(1)
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）由已知條件得，進而構(gòu)造等比數(shù)列，從而即可求解數(shù)列的通項公式；
（2）因為當時，，從而利用放縮法即可證明原不等式成立.
(1)
解：由，得，
∴，
∴是以為首項，以2為公比的等比數(shù)列，
∴，
∴數(shù)列的通項公式為；
(2)
解：當時，，即時，，
∴
，
又時，，
綜上，.
變式3-3．已知正項數(shù)列滿足，.
（1）試比較與的大小，并說明理由；
（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，證明：當時，.
【答案】（1），理由見解析；（2）證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）推導(dǎo)出數(shù)列是等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，求得數(shù)列的通項公式，可求得，然后利用作差法可比較出與的大?。?br>（2）利用不等式的性質(zhì)得出，然后分和，結(jié)合放縮法以及等比數(shù)列的求和公式證明出，即可證得結(jié)論成立.
【詳解】
（1），即，，
，則且，
所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，
，可得，
，；
（2）當時，；
當時，由（1）可得，
則.
綜上所述，對任意的，.
【點睛】
本題考查利用作差法比較大小，同時也考查了利用放縮法證明數(shù)列不等式，利用不動點法求出數(shù)列的通項公式是解題的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于難題.
鞏固練習(xí)
練習(xí)一 數(shù)列通項證明
1．設(shè)數(shù)列是公比為正整數(shù)的等比數(shù)列，滿足，，設(shè)數(shù)列滿足，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
(3)已知數(shù)列，設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)
(2)證明見解析，
(3)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)等比數(shù)列列出方程組求解首項、公比即可得解；
（2）化簡后得，可證明數(shù)列是等差數(shù)列，即可得出，再求出即可;
（3）利用錯位相減法求出數(shù)列的和.
(1)
設(shè)公比為，由條件可知，，
所以；
(2)
，
又，所以，
所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，
所以，所以.
(3)
，
,
兩式相減可得，
，
.
2．已知數(shù)列的首項，且滿足.
(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)若，求數(shù)列前n項和.
【答案】(1)證明見解析;
(2).
【解析】
【分析】
（1）由遞推關(guān)系構(gòu)造等差數(shù)列即可證明；
（2）根據(jù)裂項相消法求出數(shù)列的和即可.
(1)
為常數(shù),
又,
∴是以為首項，為公差的等差數(shù)列
(2)
由（1）得
∴
∴
∴.
3．已知數(shù)列的前n項和為，且.
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前n項和.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)與的關(guān)系化簡，根據(jù)等比數(shù)列的定義求證即可；
（2）由（1）求出，利用錯位相減法求和即可得解.
(1)
由，得.
當時，，解得；
當時，，
整理得.
故數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.
(2)
由（1）可知，，則，故
，
則，
則，
故.
4．已知數(shù)列的首項，且滿足．
(1)證明：是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）將已知條件轉(zhuǎn)化為，由此證得數(shù)列是等比數(shù)列.
（2）利用分組求和法求得.
(1)
由，得，
又，故，
故，
所以，
所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列．
(2)
由（1）可知，所以，
所以．
練習(xí)二 數(shù)列求和證明（先求和再放縮）
5．已知數(shù)列的首項，數(shù)列是等差數(shù)列，且，．
(1)求的通項公式．
(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為，證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）首先求等差數(shù)列的基本量，首項和公差，求得數(shù)列的通項公式，再根據(jù)，即可求得的通項公式；
（2）由（1）可知，利用裂項相消法求和，即可求得，并證明不等式.
(1)
令，得，再由，得
設(shè)的公差為d，由，得，解得．
所以，
因為，得，
所以．
(2)
由（1）得，則，
故，所以成立．
6．已知是公差不為零的等差數(shù)列，，且、、成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項公式：
(2)設(shè)．數(shù)列{}的前項和為，求證：．
【答案】(1)；
(2)證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，根據(jù)題意可得出關(guān)于的方程，求出的值，利用等差數(shù)列的通項公式可求得數(shù)列的通項公式；
（2）求得，利用裂項相消法求出，即可證得結(jié)論成立.
(1)
解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，
由題意可得，即，整理可得，，解得，
因此，.
(2)
證明：，
因此，，
故原不等式得證.
7．已知等差數(shù)列的前項和為，，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)證明：數(shù)列的前項和.
【答案】(1)
(2)證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個量的值，可得出數(shù)列的通項公式；
（2）求得，利用裂項法可求得，即可證得原不等式成立.
(1)
解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，
因此，.
(2)
證明：，
因此，
.
故原不等式得證.
8．已知數(shù)列的前n項和為，且組成等差數(shù)列．
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)，且數(shù)列的前n項和為，求證：．
【答案】(1)；
(2)證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)已知條件，利用的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式，即可求得結(jié)果；
（2）根據(jù)（1）中所求，結(jié)合裂項求和法，求得關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，再求其值域即可證明.
(1)
∵組成等差數(shù)列，∴，當時可得
∴，即，又當時，，解得，
故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，則.
(2)
由（1）可知，故
則
∵ 故，
故，即證.
練習(xí)三 數(shù)列求和證明（先放縮再求和）
9．已知正項數(shù)列滿足：﹣＝1，（n∈N+，n≥2），且a1＝4．
（1）求的通項公式；
（2）求證＜1（n∈N+）
【答案】（1）＝（n+1）2；（2）見解析
【解析】
【分析】
（1）由等差數(shù)列的定義可知數(shù)列是首項是2，公差為1的等差數(shù)列，從而求出的通項公式，即可求出{an}的通項公式；
（2）根據(jù)，代入，可證得不等式成立．
【詳解】
（1）已知正項數(shù)列滿足：﹣＝1，（n∈N+，n≥2），且a1＝4．
得數(shù)列是首項是2，公差為1的等差數(shù)列，∴
∴＝（n+1）2
（2）證明：
∴＜1﹣﹣+…+﹣＝1﹣＜1
【點睛】
本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，以及利用放縮法和裂項相消求和法進行證明不等式，屬于中檔題．
10．數(shù)列滿足，.
（1）求的值；
（2）求數(shù)列的通項公式；
（3）設(shè)，求證：.
【答案】（1）；（2） ；（3）證明見解析.
【解析】
【詳解】
試題分析：（1）分別令，，可得；（2）借助題設(shè)條件運用數(shù)列的遞推關(guān)系求解；（3）借助題設(shè)運用放縮法和不等式的性質(zhì)推證.
試題解析：
（1）令，得；令，有，得；
令，有，得.
（2）∵， （1）式
所以，當時，，（2）式
兩式相減得：，∴.
當時，也適合，
∴.
（3），
當時，；當時，；
當時，，
，
綜合可得：.
考點：數(shù)列的遞推關(guān)系及不等式的放縮法等有關(guān)知識的綜合運用．
【易錯點晴】本題考查的是數(shù)列的遞推關(guān)系及放縮法和不等式的性質(zhì)等有關(guān)知識的綜合運用.解答第一問時,充分借助題設(shè)條件,運用數(shù)列遞推式賦值直接求出；第二問的求解中,借助數(shù)列遞推關(guān)系式,運用兩等式相減的方法求得；第三問的推證過程中運用放縮法縮放成,再運用裂項相消法推證得不等式.
11．已知數(shù)列{}的前n項和為且滿足=-n.
(1)求{}的通項公式；
(2)證明：
【答案】(1)
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）利用得到遞推公式，再構(gòu)造等比數(shù)列求出通項公式；（2）等比放縮，證明不等式.
(1)
因為=-n.
所以=-n-1，
所以a1=1，an+1=3an+1，n∈N?
所以，
所以是首項為，公比為的等比數(shù)列.
所以，
所以；
(2)
即證明：23?1+232?1+?+23n?1

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