常見考點
考點一 翻折問題
典例1．如圖1五邊形中，，，，，將沿折到的位置，得到四棱錐，如圖2，點為線段的中點，且平面．
（1）求證：平面；
（2）若直線與所成角的正切值為，求二面角余弦值．
變式1-1．如圖，在中，，，，，，沿將點折至處，使得，點為的中點.
（1）證明：平面.
（2）求二面角的余弦值.
變式1-2．如圖，在等腰梯形ABCD中，，，，，AE為梯形ABCD的高，將沿AE折到的位置，使得．

（1）求證：平面ABCE；
（2）求平面PBC與平面PAE所成二面角的余弦值．
變式1-3．已知邊長為2的等邊（圖1），點和點分別是邊、上的中點，將沿直線折到的位置，使得平面平面（圖2），此時點和點分別是邊、上的中點.
（1）證明：平面；
（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
典例2．如圖1，在高為6的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝6，AB＝12，將它沿對稱軸OO1折起，使平面ADO1O⊥平面BCO1O，如圖2，點P為BC的中點，點E在線段AB上(不同于A，B兩點)，連接OE并延長至點Q，使AQ∥OB.
（1）證明：OD⊥平面PAQ；
（2）若BE＝2AE，求二面角C-BQ-A的余弦值．
變式2-1．如圖1，四邊形是正方形，四邊形和是菱形，，.分別沿，將四邊形和折起，使、重合于，、重合于，得到如圖2所示的幾何體.在圖2中，、分別是、的中點.
（1）證明：平面；
（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
變式2-2．如圖，已知四邊形是邊長為的正方形，與相交于點，為等邊三角形．現(xiàn)將沿折起到的位置，將沿折起到的位置，使得折后平面．
（1）求證：平面；
（2）求二面角的大小．
變式2-3．如圖1，在矩形中，，，點、分別在線段、上，且，，現(xiàn)將沿折到的位置，連結(jié)，，如圖2
（1）證明：；
（2）記平面與平面的交線為.若二面角為，求與平面所成角的正弦值.
鞏固練習
練習一 翻折問題
1．如圖1，在平面五邊形中，是等邊三角形.現(xiàn)將沿折起，記折后的點為，連接得到四棱錐，如圖2.
(1)證明：；
(2)若平面平面，求二面角的余弦值.
2．如圖所示，在邊長為12的正方形中，點B，在線段上，且，，作，分別交、于點、，作，分別交、于點、，將該正方形沿BB1、CC1折疊，使得與重合，構(gòu)成如圖2所示的三棱柱．
(1)試判斷直線AQ是否與平面平行，并說明理由；
(2)求平面APQ與平面ABC所成二面角的余弦值．
3．如圖，四邊形是一個邊長為2的菱形，且，現(xiàn)沿著將折到的位置，使得平面平面，，是線段，上的兩個動點（不含端點），且.
(1)證明：平面；
(2)求直線與平面所成的角的正弦值；
(3)設(shè)平面與平面所成銳二面角為，當時，求的值.
4．如圖，正方形的邊長為2，的中點分別為，正方形沿著折起形成三棱柱，三棱柱中，，.
(1)證明：當時，求證：平面；
(2)若二面角的余弦值為，求的值.
5．如圖甲所示，在矩形ABCD中，，，為的中點，沿AE將翻折，使D折至處，且二面角為直二面角（如圖乙）．
（1）求證：；
（2）求平面與平面ECB所成角的正切值．
6．如圖1，中，，，，D，E分別是，的中點.把沿折至的位置，平面，連接，，F(xiàn)為線段的中點，如圖2.
（1）求證：平面；
（2）當三棱錐的體積為時，求直線與所成角的正切值.
7．如圖是矩形和邊為直徑的半圓組成的平面圖形，將此圖形沿折疊，使平面垂直于半圓所在的平面，若點是折后圖形中半圓上異于的點．
（1）證明：；
（2）若，且異面直線和所成的角為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．
8．如圖是由正方形和長方形組成的平面圖形，且，、分別是、的中點．將其沿折起，使得二面角的平面角大小為，如圖．
（1）判斷直線與平面的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
第三篇 立體幾何
專題07 立體幾何中的翻折問題
常見考點
考點一 翻折問題
典例1．如圖1五邊形中，，，，，將沿折到的位置，得到四棱錐，如圖2，點為線段的中點，且平面．
（1）求證：平面；
（2）若直線與所成角的正切值為，求二面角余弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）取的中點，連結(jié)，，利用中位線定理可證明四邊形為平行四邊形，從而，可得平面，推出，，利用為等邊三角形，由邊角關(guān)系可得，結(jié)合線面垂直的判定定理證明即可；
（2）利用線線角的定義可得為直線與所成的角，從而得到，設(shè)，建立合適的空間直角坐標系，求出點的坐標和向量的坐標，利用待定系數(shù)法求出平面的法向量，由空間向量夾角公式計算即可．
【詳解】
（1）證明：取的中點，連接，
則，，
又，，
所以，，則四邊形為平行四邊形，
所以，
又平面，∴平面，∴，．
由即及為的中點，可得為等邊三角形，
∴，
又，∴，
∴，又在平面內(nèi)相交，
∴平面．

（2），∴為直線與所成的角，
由（1）可得，∴，∴，
設(shè)，則，，
取的中點，連接，易知平面過作的平行線，
可建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，∴，
所以，，，
設(shè)為平面的法向量，則，
取，則為平面的一個法向量，
又平面的法向量，設(shè)二面角為
∴，由圖可知二面角為鈍角，
所以二面角余弦值為．
變式1-1．如圖，在中，，，，，，沿將點折至處，使得，點為的中點.
（1）證明：平面.
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】
（1）先證明平面，可得，再利用勾股定理計算出，由三線合一得，即可證明出平面；（2）以為原點建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，得平面的法向量為，求出平面的法向量，再利用向量的夾角公式計算余弦值.
【詳解】
（1）證明：由，，且，
可得平面，又平面，因此.
由，，得，
因此，，由勾股定理可得.
又因為點為的中點，所以，
而，故平面.
（2）解：因為，，所以平面，又，所以平面.
如圖，以為原點，建立空間直角坐標系，則，，，則，.
易知是平面的一個法向量.
設(shè)平面的法向量為，則，即，
令，得.
，
易知二面角為銳角，故二面角的余弦值為.
【點睛】
本題考查了立體幾何中的線面垂直的判定和二面角的求解問題，意在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴密推理進行證明，同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.
變式1-2．如圖，在等腰梯形ABCD中，，，，，AE為梯形ABCD的高，將沿AE折到的位置，使得．

（1）求證：平面ABCE；
（2）求平面PBC與平面PAE所成二面角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）連接，易知，，，由勾股定理證得，再由線面垂直的判定定理，得證；
（2）以為原點建立空間直角坐標系，求得平面的法向量，由線面垂直的判定定理可證得平面，故平面的一個法向量為，再由，，即可得解．
【詳解】
（1）證明：折疊前，折疊后，折疊前由已知得，
在中，，折疊后，，
因為，所以可以計算得折疊后為直角三角形，即，，
因為，平面ABCE，平面ABCE，
所以平面ABCE．
（2）由（1）知，又
所以以E為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，，，
所以平面PAE的法向量為，
又，，，
設(shè)平面PBC的一個法向量為
則
可求得平面PBC的一個法向量為
計算得，
所以平面PBC與平面PAE所成二面角的余弦值為．
變式1-3．已知邊長為2的等邊（圖1），點和點分別是邊、上的中點，將沿直線折到的位置，使得平面平面（圖2），此時點和點分別是邊、上的中點.
（1）證明：平面；
（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先證明，再由平面平面證明，利用線面垂直的判定定理即可證明平面；
（2）以為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，利用向量法求出平面與平面所成銳二面角的余弦值.
【詳解】
（1）
連接
∵點和點分別是邊、上的中點.
∴
∵等邊中，點是邊的中點
∴∴
∵等邊中，點是邊的中點
∴
又∵平面
∵平面平面且平面平面
∴平面∴
∵∴平面
（2）
設(shè)的中點，由圖1得以為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，
則，，，所以，
設(shè)平面的法向量為.
由，取，得；
因為平面的法向量為
設(shè)平面與平面所成銳二面角為
所以，平面與平面所成銳二面角的余弦值為.
【點睛】
立體幾何解答題的基本結(jié)構(gòu)：
(1)第一問一般是幾何關(guān)系的證明，用判定定理；
(2)第二問是計算，求角或求距離（求體積通常需要先求距離），通?？梢越⒖臻g直角坐標系，利用向量法計算．
典例2．如圖1，在高為6的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝6，AB＝12，將它沿對稱軸OO1折起，使平面ADO1O⊥平面BCO1O，如圖2，點P為BC的中點，點E在線段AB上(不同于A，B兩點)，連接OE并延長至點Q，使AQ∥OB.
（1）證明：OD⊥平面PAQ；
（2）若BE＝2AE，求二面角C-BQ-A的余弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】
（1）由OA，OB，OO1兩兩垂直建立空間直角坐標系，由向量坐標運算得到⊥，⊥證得OD⊥平面PAQ；
（2）由空間直角坐標系求得平面CBQ的法向量和平面ABQ的法向量，根據(jù)數(shù)量積的夾角公式可得答案.
【詳解】
(1)證明：由題設(shè)知OA，OB，OO1兩兩垂直，
∴以O(shè)為坐標原點，OA，OB，OO1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
設(shè)AQ的長為m，則O(0，0，0)，A(6，0，0)，B(0，6，0)，C(0，3，6)，D(3，0，6)，Q(6，m，0)．
∵點P為BC的中點，∴P，
∴＝(3，0，6)，＝(0，m，0)，＝.
∵·＝0，·＝0，
∴⊥，⊥，
即OD⊥AQ，OD⊥PQ，又AQ∩PQ＝Q，
∴OD⊥平面PAQ.
(2)∵BE＝2AE，AQ∥OB，∴AQ＝OB＝3，
則Q(6，3，0)，∴＝(－6，3，0)，＝(0，－3，6)．
設(shè)平面CBQ的法向量為＝(x，y，z)，
由得
令z＝1，則y＝2，x＝1，＝(1，2，1)．
易得平面ABQ的一個法向量為＝(0，0，1)．
設(shè)二面角C-BQ-A的大小為θ，由圖可知，θ為銳角，
則cs θ＝＝，
即二面角C-BQ-A的余弦值為.
【點睛】
本題考查了立體幾何，建立空間直角坐標系是解題的關(guān)鍵，線面垂直可以通過直線的方向向量進行相應(yīng)的計算，二面角的平面角可以通過法向量之間進行相應(yīng)的計算，就能夠得到問題的解決.
變式2-1．如圖1，四邊形是正方形，四邊形和是菱形，，.分別沿，將四邊形和折起，使、重合于，、重合于，得到如圖2所示的幾何體.在圖2中，、分別是、的中點.
（1）證明：平面；
（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先利用菱形與等邊三角形的垂直關(guān)系得平面，再根據(jù)得平面，再得，又根據(jù)是的中點得，故平面；
（2）根據(jù)題意，以為原點，，，所在的直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，利用法向量求解即可.
【詳解】
（1）連接，由圖1知，四邊形為菱形，且，
所以為等邊三角形，從而.
同理，又，∴平面.
∵，∴平面，又∵平面，∴.
∵，是的中點，∴.
又平面，平面，，∴平面.
（2）取的中點，連接，∵四邊形是正方形，.如圖，
以為原點，，，所在的直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，
則M，，，，，
∴，，.
設(shè)平面的法向量為，由得，取，
∵平面，∴取平面的法向量，
∴，
設(shè)平面與平面所成銳二面角的平面角為，∴，
故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.
【點睛】
本題考查線面垂直的證明，利用向量方法求解二面角問題，考查數(shù)學運算能力，是中檔題.
變式2-2．如圖，已知四邊形是邊長為的正方形，與相交于點，為等邊三角形．現(xiàn)將沿折起到的位置，將沿折起到的位置，使得折后平面．
（1）求證：平面；
（2）求二面角的大?。?br>【答案】(1)見解析;(2).
【解析】
【分析】
(1)推導出,,由此能證明平面．
(2)以為原點,,,為,,軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出二面角的大小．
【詳解】
(1)證明:平面,平面,∴，
∵在正方形中,為與的交點,
,平面.
(2)解:,為中點,
以為原點,,,為,,軸,建立空間直角坐標系
,,,,
平面,平面的一個法向量為
平面,
設(shè),則,
,,，
解得或(舍).
設(shè)平面的法向量
則,取,得
設(shè)二面角為,則
由圖知, 二面角的大小為.
【點睛】
本題考查了線面垂直的判定,考查了二面角的求法.在證明線面垂直時,關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到兩條直線與已知直線垂直,常運用勾股定理、矩形的臨邊、正方形的對角線、等腰三角形三線合一、線面垂直的性質(zhì)等來證明線線垂直.求二面角的大小時,建立空間直角坐標系,求出兩個平面的法向量,進而可求.
變式2-3．如圖1，在矩形中，，，點、分別在線段、上，且，，現(xiàn)將沿折到的位置，連結(jié)，，如圖2
（1）證明：；
（2）記平面與平面的交線為.若二面角為，求與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析 （2）
【解析】
(1)建立坐標系證明，再由線面垂直的判定定理以及線面垂直的性質(zhì)證明；
(2)根據(jù)公理得到平面與平面的交線，再根據(jù)二面角定義得到二面角的平面角，建立空間直角坐標系，利用向量法求與平面所成角的正弦值.
【詳解】
解：（1）證明：如圖，線段交于點
在中，由，，
以點A為坐標原點，建立直角坐標系，則，
即
，從而有，，
即在圖2中有，，，平面
平面
平面，；
（2）延長，交于點，連接
根據(jù)公理得到直線即為，再根據(jù)二面角定義得到.
在平面內(nèi)過點作底面垂線，為原點，分別以、、及所作為軸、軸、軸建立空間直角坐標
則，，，，
，，，
設(shè)平面的一個法向量為，
由，
取，得.
與平面所成角的正弦值為.
【點睛】
本題主要考查了由線面垂直證線線垂直以及利用向量法證明線面角，屬于較難題.
鞏固練習
練習一 翻折問題
1．如圖1，在平面五邊形中，是等邊三角形.現(xiàn)將沿折起，記折后的點為，連接得到四棱錐，如圖2.
(1)證明：；
(2)若平面平面，求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）構(gòu)建所在的面，通過線面垂直證明線線垂直
（2）建立坐標系，通過法向量夾角的余弦值求解二面角的余弦值
(1)
如上圖所示，設(shè)為中點，連接，因為是等邊三角形，所以，因為所以，因為所以且，所以，因為所以
又、平面， 平面，又因為
平面，所以
(2)
如下圖所示，過作于點，由平面平面，平面平面，平面又因為平面，所以 又，相交，、平面
平面
以C為原點建立如圖所示的坐標系
，
設(shè)平面的法向量
滿足
設(shè)平面的法向量
滿足
.所以二面角的余弦值為
2．如圖所示，在邊長為12的正方形中，點B，在線段上，且，，作，分別交、于點、，作，分別交、于點、，將該正方形沿BB1、CC1折疊，使得與重合，構(gòu)成如圖2所示的三棱柱．
(1)試判斷直線AQ是否與平面平行，并說明理由；
(2)求平面APQ與平面ABC所成二面角的余弦值．
【答案】(1)直線AQ是否與平面不平行，理由見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，看向量是否與平面的法向量垂直，從而得到答案；（2）求出平面APQ與平面ABC的法向量，從而求出平面APQ與平面ABC所成二面角的余弦值.
(1)
直線AQ是否與平面不平行，理由如下：
如圖，以B為原點，BA為x軸，BC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，所以，
設(shè)平面的法向量為，則
，因為，所以直線AQ與平面不平行；
(2)
設(shè)平面APQ的法向量
則
所以，面APQ的法向量為，
由題意得：面ABC的法向量為，所以，設(shè)平面APQ與平面ABC所成二面角為，顯然為銳角，故
所以平面APQ與平面ABC所成二面角的余弦值為．
3．如圖，四邊形是一個邊長為2的菱形，且，現(xiàn)沿著將折到的位置，使得平面平面，，是線段，上的兩個動點（不含端點），且.
(1)證明：平面；
(2)求直線與平面所成的角的正弦值；
(3)設(shè)平面與平面所成銳二面角為，當時，求的值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)已知條件可得、，進而可得，再由線面平行的判定定理即可求證；
（2）取的中點，連接，證明兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量以及的坐標，由空間向量夾角公式即可求解；
（3）由（2）知平面的法向量，根據(jù)，求出和的坐標，再求出平面的一個法向量，根據(jù)空間向量夾角公式計算，解方程即可得的值.
(1)
因為，所以，
因為四邊形是一個邊長為2的菱形，所以，
所以，
因為平面，平面，所以平面.
(2)
因為，取的中點，連接，則，，
因為平面平面，平面平面，面，
所以面，可得兩兩垂直，
如圖：以為原點，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標系，
則，，，，
所以，，，
設(shè)平面的一個法向量，
則，令，可得，，所以，
設(shè)直線與平面所成的角為，
則.
所以直線與平面所成的角的正弦值為.
(3)
由（2）知：平面的法向量為，
因為，所以，，
，，
設(shè)平面的一個法向量，
則，令，可得，，
所以，
所以，
整理可得：，解得：.
4．如圖，正方形的邊長為2，的中點分別為，正方形沿著折起形成三棱柱，三棱柱中，，.
(1)證明：當時，求證：平面；
(2)若二面角的余弦值為，求的值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由題知點D是的中點，進而根據(jù)幾何關(guān)系得，再根據(jù)已知條件證明平面得，最后結(jié)合判定定理證明即可；
（2）根據(jù)題意，點C為原點，以，，作為，，軸的正方向建立空間直角坐標系，利用坐標法求解即可.
(1)
證明：當時，點D是的中點，
因為，所以，
又，
所以，所以，
因為，，，
所以平面，平面，
所以，且，
所以平面BCD；
(2)
解：因為，CA，CB兩兩互相垂直，所以以點C為原點，以，，作為，，軸的正方向，建立空間直角坐標系，如下圖，
平面，所以向量是平面的法向量，設(shè)
，，，，，
設(shè)平面的法向量，
所以，即，令，，，
所以平面的一個法向量，
，解得
所以，即，此時二面角的余弦值是
5．如圖甲所示，在矩形ABCD中，，，為的中點，沿AE將翻折，使D折至處，且二面角為直二面角（如圖乙）．
（1）求證：；
（2）求平面與平面ECB所成角的正切值．
【答案】（1）答案見解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）建立空間直角坐標系，求出各點的坐標，進而得到，計算出數(shù)量積為0，由此即可得證；
（2）求得是平面的一個法向量，求出平面的一個法向量，再利用向量的夾角公式求得所求二面角的余弦值，進而求得正切值．
【詳解】
（1）證明：由題意，，為的中點，為等腰三角形，取的中點，則，又因為二面角為直二面角，平面平面，所以平面，以為原點，過分別作的平行線作為軸，為軸建立如圖坐標系：
則，
，
，
；
（2），是平面的一個法向量，
設(shè)平面的一個法向量為，則，則可取，
，
，即平面與平面夾角的正切值為．
6．如圖1，中，，，，D，E分別是，的中點.把沿折至的位置，平面，連接，，F(xiàn)為線段的中點，如圖2.
（1）求證：平面；
（2）當三棱錐的體積為時，求直線與所成角的正切值.
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)已知容易得出，再由平面，可得，從而可證平面；
（2）根據(jù)三棱錐的體積為及的面積可得平面，以點為坐標原點建立空間直角坐標系，利用向量法即可求得直線與所成角的正切值.
【詳解】
（1）證明：因為D是的中點，
所以，即，
又因F為線段的中點，所以，
因為D，E分別是，的中點，
所以，
因為，所以，
即，，
因為，
所以平面，
所以平面，
因為平面，
所以，
又因，
所以平面；
（2）解：因為，，D，E分別是，的中點，
所以，，
由（1）得為直角三角形，
故，
設(shè)三棱錐的高為，
則，
所以，
所以線段即為三棱錐的高，
所以平面，則，
如圖，以點為坐標原點建立空間直角坐標系，
則，，，，
故，，
所以，
又因直線與所成角的范圍為，
所以直線與所成角的余弦值為，則正弦值為，
所以直線與所成角的正切值為.
7．如圖是矩形和邊為直徑的半圓組成的平面圖形，將此圖形沿折疊，使平面垂直于半圓所在的平面，若點是折后圖形中半圓上異于的點．
（1）證明：；
（2）若，且異面直線和所成的角為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由面面垂直的性質(zhì)得圓O，由線面垂直的性質(zhì)得，根據(jù)線面垂直的判定可得面，再由線面垂直的性質(zhì)可證.
（2）法一：以點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，首先求得，再分別求平面和平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值；法二：首先作出兩個平面的交線，再作出二面角的平面角，再求二面角的余弦值.
【詳解】
（1）∵平面垂直于圓所在的平面，兩平面的交線為，平面，，∴垂直于圓所在的平面．又在圓所在的平面內(nèi)，∴．
∵是直角，∴．而，∴平面．
又∵平面，∴．
（2）法1（向量法）：
如圖，以點為坐標原點，
所在的直線為軸，過點與平行的直線為軸，
建立空間直角坐標系．由異面直線和所成的角為，知，
∴，∴．
由題設(shè)可知，，∴，．
設(shè)平面的一個法向量為，
由， 得，，取，得．
∴．又平面的一個法向量為，
∴．
故平面與平面所成的銳二面角的余弦值
法2（幾何法）：
如圖，過點作直線，
則是平面與平面的交線．
再過點作，為垂足，連接，則
是平面與平面所成銳二面角的平面角．
在直角三角形中，，，所以
在直角三角形中，，所以．
在直角三角形中，．
故平面與平面所成的銳二面角的余弦值．
8．如圖是由正方形和長方形組成的平面圖形，且，、分別是、的中點．將其沿折起，使得二面角的平面角大小為，如圖．
（1）判斷直線與平面的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）平面，證明見解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）取的中點，連接、，證明出四邊形為平行四邊形，可得出，利用線面平行的判定定理可得出結(jié)論；
（2）以點為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.
【詳解】
（1）平面，理由如下：
取的中點，連接、，
因為四邊形為正方形，則且，
為的中點，所以，且，
、分別為、的中點，則且，
所以，且，故四邊形為平行四邊形，從而．
而平面，平面，所以平面；
（2），，所以，二面角的平面角為，
所以．
而，，由余弦定理可得，
由勾股定理可得，從而．
在圖中，，，，平面，
，平面，
以點為原點，為軸，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標系．
則、、、．
從而，，．
設(shè)平面的法向量為，由，得，
取，則，
所以，，
所以直線與平面所成角的正弦值為．
【點睛】
方法點睛：計算線面角，一般有如下幾種方法：
（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；
（2）在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（為斜線段長），進而可求得線面角；
（3）建立空間直角坐標系，利用向量法求解，設(shè)為直線的方向向量，為平面的法向量，則線面角的正弦值為.

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