常見考點
考點一 討論零點個數(shù)
典例1．已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調性；
(2)討論函數(shù)的零點個數(shù)問題
(3)當時，證明不等式．
變式1-1．已知時，函數(shù)的圖象恒在直線的上方．
(1)求證：當時．；
(2)求函數(shù)在上的零點個數(shù)．
變式1-2．已知函數(shù)，
(1)證明：函數(shù)f（x）在內有且僅有一個零點；
(2)假設存在常數(shù)λ>1，且滿足f（λ）=0，試討論函數(shù)的零點個數(shù).
變式1-3．已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調性；
(2)討論函數(shù)的零點個數(shù).
考點二 根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍
典例2．已知函數(shù)．
(1)討論的單調性；
(2)若只有一個零點，求的取值范圍．
變式2-1．已知函數(shù)，其中，e為自然對數(shù)的底數(shù)，
(1)若函數(shù)在定義域上有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)當時，求證：
變式2-2．已知函數(shù)f（x）＝x3﹣ax2+3x+m在x＝3處取得極值.
(1)求實數(shù)a的值；
(2)函數(shù)y＝f（x）有三個零點，求m的取值范圍.
變式2-3．已知函數(shù)，當時，函數(shù)取得極值.
（1）求實數(shù)a的值；
（2）若時，方程有兩個根，求實數(shù)m的取值范圍.
鞏固練習
練習一 討論零點個數(shù)
1．已知函數(shù)，.
(1)判斷函數(shù)的零點個數(shù)；
(2)比較，，的大小，并說明理由.
2．已知函數(shù).
(1)當m＝1時，求f（x）在[1，e]上的值域；
(2)設函數(shù)f（x）的導函數(shù)為，討論零點的個數(shù).
3．已知函數(shù)，．
(1)當，時，求證：恒成立；
(2)當時，探討函數(shù)的零點個數(shù)．
4．已知函數(shù)，
(1)求函數(shù)的最值；
(2)令，求函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)，并說明理由．
練習二 根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍
5．已知函數(shù)，．
(1)討論函數(shù)的單調性；
(2)若方程在上有實根，求實數(shù)a的取值范圍．
6．已知函數(shù)．
(1)討論的單調性；
(2)若有兩個零點，求a的取值范圍．
7．若函數(shù)，當時，函數(shù)有極值．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)若關于x的方程有三個解，求實數(shù)k的取值范圍．
8．已知函數(shù)
(1)討論的單調性；
(2)設，若方程有三個不同的解，求a的取值范圍.
第六篇 導數(shù)
專題05 利用導數(shù)求函數(shù)的零點
常見考點
考點一 討論零點個數(shù)
典例1．已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調性；
(2)討論函數(shù)的零點個數(shù)問題
(3)當時，證明不等式．
【答案】(1)當a≤0時，在(0，＋∞)上單調遞減
當時，在上單調遞減，在上單調遞增
(2)當時有2個零點；時沒有零點；或者時有一個零點．
(3)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）求定義域，求導，對a進行分類討論，求解單調性；（2）在第一問的基礎上，討論得到的零點個數(shù)；（3）構造函數(shù)，用導函數(shù)證明不等式.
(1)
．當時，ax－10時，若01，且滿足f（λ）=0，試討論函數(shù)的零點個數(shù).
【答案】(1)證明見解析
(2)答案見解析
【解析】
【分析】
（1）由導函數(shù)判斷出函數(shù)f（x）的單調區(qū)間，依據(jù)零點存在定理即可證明函數(shù)f（x）在內有且僅有一個零點；
（2）把函數(shù)的零點個數(shù)問題，轉化為與兩函數(shù)圖像的交點個數(shù)問題，分類討論即可解決.
(1)
，令，則
所以在單調遞減，在單調遞增.
因為，
結合單調性，在有且僅有一個零點.
(2)
令，即，從而有，
令，
從而的零點個數(shù)等價于與圖像的交點個數(shù).
，令，得.
所以在單調遞減，在單調遞增，且，
當時，圖像與圖像有一個交點.
當時，圖像經過二?四象限，與圖像無交點.
當時，圖像經過一，三象限，與圖像至少有一個交點，當圖像圖像相切時，設切點橫坐標為，則有
即有，從而，
此時.
所以，當時時，圖像與圖像有兩個交點；
當時，圖像與圖像有三個交點；
當時，圖像與圖像有一個交點.
綜上所述，當時，沒有零點；當時，有三個零點；當，有兩個零點；當或時，有一個零點.
變式1-3．已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調性；
(2)討論函數(shù)的零點個數(shù).
【答案】(1)當時，函數(shù) 在上單調遞減；
當時，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增.
(2)當時，函數(shù)沒有零點；
當或時，函數(shù)有1個零點；
當時，函數(shù)有2個零點.
【解析】
【分析】
（1）對函數(shù)，求導得出，
對進行分類討論，根據(jù)導數(shù)和單調性的關系，即可求得函數(shù)的單調性.
（2）由題意可知，函數(shù)的零點個數(shù)轉化為函數(shù)與
圖像交點的個數(shù)，分別作出兩個函數(shù)的圖像即可求解.
(1)
函數(shù)的定義域為，.
當時，恒成立，所以在上單調遞減；
當時，令，得，令，得，
所以在上單調遞減，在上單調遞增.
(2)
令，得.
令，則，
令，得；令，得，
所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減.
所以；
當時，，
當時，，所以，
所以函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可得，
當時，直線與函數(shù)的圖象沒有交點，函數(shù)沒有零點；
當或時，直線與函數(shù)的圖象有1個交點，函數(shù)有1個零點；
當時，直線與函數(shù)的圖象有2個交點，函數(shù)有2個零點.
考點二 根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍
典例2．已知函數(shù)．
(1)討論的單調性；
(2)若只有一個零點，求的取值范圍．
【答案】(1)答案見解析；
(2)或或.
【解析】
【分析】
（1）求出導函數(shù)并因式分解，進而討論a的范圍，然后根據(jù)導數(shù)的符號求出單調區(qū)間；
（2）結合（1）中函數(shù)的單調性及零點存在定理即可求得答案.
(1)
函數(shù)的定義域為，，
①若，，則在單調遞減；
②若，時，，單調遞減，時，，單調遞增.
綜上：時，在上單調遞減；時，在上單調遞減，在上單調遞減.
(2)
若，，.
結合函數(shù)的單調性可知，有唯一零點.
若，因為函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞減，所以要使得函數(shù)有唯一零點，只需，解得或.
綜上：或或.
【點睛】
第（2）問較難，我們一定要注意，導數(shù)中的零點問題往往與函數(shù)的單調性和零點存在定理聯(lián)系緊密.
變式2-1．已知函數(shù)，其中，e為自然對數(shù)的底數(shù)，
(1)若函數(shù)在定義域上有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)當時，求證：
【答案】(1)
(2)證明過程見解析.
【解析】
【分析】
（1）求定義域，求導，對a分類討論，結合單調性及最小值，列出不等關系，求出實數(shù)a的取值范圍；（2）先進行簡單放縮，構造函數(shù)，進行證明.
(1)
的定義域為，，當時，恒成立，故在上單調遞增，故函數(shù)在定義域上不可能有兩個零點；
當時，令得：，令得：，故在單調遞減，在上單調遞增，故在處取得極小值，也是最小值，，要想函數(shù)在定義域上有兩個零點，則，解得：，又，當時，，由零點存在性定理可知：在與范圍內各有一個零點，綜上：實數(shù)a的取值范圍是.
(2)
證明：當時，即證，（）
由于，故，只需證，令，則，因為，所以，令得：，令得：，所以在處取得極大值，也是最大值，，故在上恒成立，結論得證.
【點睛】
導函數(shù)證明不等式，常常需要對不等式進行變形放縮，常見放縮有三角函數(shù)有界性放縮，切線放縮，如，，等.
變式2-2．已知函數(shù)f（x）＝x3﹣ax2+3x+m在x＝3處取得極值.
(1)求實數(shù)a的值；
(2)函數(shù)y＝f（x）有三個零點，求m的取值范圍.
【答案】(1)5
(2)
【解析】
【分析】
（1）求導f'（x）＝3x2﹣2ax+3，根據(jù)函數(shù)f（x）在x＝3處取得極值，由f'（3）＝0求解；27﹣6a+3＝0，
（2）利用導數(shù)法求得函數(shù)的極值，再根據(jù)函數(shù)f（x）有三個不同零點求解.
(1)
解：f'（x）＝3x2﹣2ax+3，
因為函數(shù)f（x）＝x3﹣ax2+3x+m在x＝3處取得極值，
所以f'（3）＝0，即27﹣6a+3＝0，
解得a＝5，經檢驗符號題意；
(2)
因為f（x）＝x3﹣5x2+3x+m，
令f'（x）＝3x2﹣10x+3＝0，
得或，
由f'（x）＞0，得或，此時f（x）為增函數(shù)，
由f'（x）＜0，得，此時f（x）為減函數(shù)，
即當時，函數(shù)f（x）取得極大值，當x＝3時，f（x）取得極小值，
即f（x）極小值＝f（3）＝m﹣9，f（x）極大值＝f（）＝m+，
因為函數(shù)f（x）有三個不同零點，
所以，即，
解得，
故m的范圍是.
變式2-3．已知函數(shù)，當時，函數(shù)取得極值.
（1）求實數(shù)a的值；
（2）若時，方程有兩個根，求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用可得的值，注意檢驗.
（2）令，利用導數(shù)討論函數(shù)在的單調性后可得的取值范圍.
【詳解】
（1）由，則，
因在時，取到極值，所以，
解得.
又當時，，
當時，，當時，，
故當時，函數(shù)取得極值，
綜上，.
（2）令，由（1）得，且，
故，
則，
當時，令，解得，令，解得，
的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，
故，而，故.
要有兩個根，則，故.
【點睛】
本題考查三次函數(shù)的極值以及函數(shù)的零點，后者應結合函數(shù)的單調性來討論，注意合理構建新函數(shù).
鞏固練習
練習一 討論零點個數(shù)
1．已知函數(shù)，.
(1)判斷函數(shù)的零點個數(shù)；
(2)比較，，的大小，并說明理由.
【答案】(1)一個零點
(2)，理由見解析
【解析】
【分析】
（1）對二次求導，求出的單調性及極值，判斷出的零點個數(shù)；（2）對要比較大小的式子進行整理變形，結合第一問函數(shù)的單調性進行證明.
(1)
，，
設，則
因此在上單調遞減，又，所以當時，，
即，在上單調遞增，當時，，即，在上單調遞減，所以在處有極大值，
又，故有且僅有一個零點.
(2)
因為，，
由（1）可知，當時，恒成立，又，
所以，又對于任意的時
，所以，
即，因為，所以，
所以.
【點睛】
導函數(shù)比較函數(shù)值的大小，通常會構造函數(shù)，或者對函數(shù)值進行變形，本題中，是關鍵，再結合函數(shù)單調性進行比較.
2．已知函數(shù).
(1)當m＝1時，求f（x）在[1，e]上的值域；
(2)設函數(shù)f（x）的導函數(shù)為，討論零點的個數(shù).
【答案】(1)
(2)答案詳見解析
【解析】
【分析】
（1）通過多次求導的方法判斷出在區(qū)間上的單調性，由此求得在上的值域.
（2）令，對進行分類討論，結合導數(shù)判斷出零點個數(shù).
(1)
當時，，
，′
所以在上遞增，，
所以在上遞增，，
所以在上遞增，.
所以在上的值域.
(2)
，，
當時，，，即是的唯一零點.
當時，，結合的圖象以及性質可知，
，在區(qū)間遞減；
在區(qū)間遞增，所以，故.
，，
所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增，
所以，所以在區(qū)間上有.
所以，沒有零點.
當時：
令，
，
所以在上遞增，
由與的圖象可知，在區(qū)間上，存在唯一，使①，
即.
所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增，
所以當時，取得極小值也即是最小值，
由①得，所以；
由①得，
所以
，
當且僅當時等號成立.
所以當，即時，，則也即沒有零點；
當，即時，也即有唯一零點.
當，即，，則也即有個零點.
綜上所述：
當或時，有唯一零點；
當時，沒有零點；
當，時，有個零點.
【點睛】
在利用導數(shù)求解函數(shù)單調性、極值、最值的過程中，若一次求導無法解決的，可考慮二次或多次求導來進行求解.求解過程中要注意導函數(shù)和原函數(shù)之間的關系.
3．已知函數(shù)，．
(1)當，時，求證：恒成立；
(2)當時，探討函數(shù)的零點個數(shù)．
【答案】(1)證明見解析
(2)當時，有2個零點，當時，有1個零點，當時，有3個零點
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意，求得解析式，求導，令，求得極值點，分析可得和時，的單調性，分析即可得證
（2）分別討論、a=0和三種情況，根據(jù)對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質，利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性和極最值，分析即可得答案.
(1)
當，時，，
所以，
令，解得x=1，
當時，，為增函數(shù)，
當時，，為減函數(shù)，
所以，即恒成立.
(2)
當時，，
令，則，
當，函數(shù)為開口向上的拋物線，且，
所以與圖象有2個交點，如圖所示
當a=0時，，解得x=1，故只有1個零點；
當時，
令，為開口向上的拋物線，
令，解得，
此時恒成立，所以為單調遞增函數(shù)，又，
所以有唯一根x=1，即有1個零點；
令時，解得或（舍），
此時令，解得，
因為，所以，
所以，
所以當時，，即，所以為增函數(shù)，
當時，，即，所以為減函數(shù)，
又，
所以，
當時，，
所以時，存在唯一x，使，
，且，
所以時，存在唯一x，使，
所以有三個根，即有3個零點
綜上：當時，有2個零點，
當時，有1個零點，
當時，有3個零點
4．已知函數(shù)，
(1)求函數(shù)的最值；
(2)令，求函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)，并說明理由．
【答案】(1)當時，在R上無最大值與最小值
當時，在R上無最大值，有最小值為.
(2)函數(shù)在上的零點的個數(shù)為，理由見解析
【解析】
【分析】
（1）先對函數(shù)進行求導，在對進行討論，即可求出答案.
（2）先寫出函數(shù)的解析式，在對函數(shù)進行求導，再分兩種情況對進行討論，當時，利用零點存在性定理和隱零點求出有兩個零點，當時，無零點.
(1)
，
①當 ，即時，得恒成立，此時函數(shù)在R上單調遞增，故函數(shù)在R上無最大最小值
②當，即時，由，解得，
當時，，單調遞增
當時，，單調遞減
所以時，取最小值
即
綜上所述：當時，在R上無最大值與最小值
當時，在R上無最大值，有最小值為.
(2)
，則
①當時，由在區(qū)間上單調遞減，知：在上單調遞增，且，，知：函數(shù)在上有唯一的零點.
當時，由，知：在上單調遞減，同理可知：在上單調遞增.由，，，
故函數(shù)在區(qū)間上有兩個不同的零點.
②當時，由，
構造函數(shù)，則由恒成立，知：函數(shù)在上單調遞增，故：，由，知：函數(shù)在上恒成立，即恒成立，此時函數(shù)無零點.
綜上，函數(shù)在上的零點的個數(shù)為.
練習二 根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍
5．已知函數(shù)，．
(1)討論函數(shù)的單調性；
(2)若方程在上有實根，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)見解析；
(2).
【解析】
【分析】
(1)求f(x)導數(shù)，討論的正負，由此可判斷f(x)單調性；
(2)參變分離為，問題轉化為求的值域.
(1)
，
時，，在R上單調遞減；
時，，，單調遞增，
，，單調遞減；
綜上，時，在R上單調遞減；
a＞0時，f(x)在單調遞增，在單調遞減.
(2)
，
令，
則，
∴g(x)在(1，e)上單調遞增，
∴
∴.
【點睛】
本題關鍵是參變分離，構造新函數(shù)，將方程有解問題轉化為求函數(shù)的值域問題.
6．已知函數(shù)．
(1)討論的單調性；
(2)若有兩個零點，求a的取值范圍．
【答案】(1)當時，在上為減函數(shù)，時，在上遞減，在上遞增，
(2)
【解析】
【分析】
（1）對函數(shù)求導后，分和兩種情況判斷導數(shù)的正負，從而可求出函數(shù)的單調區(qū)間，
（2）由（1）可知當時，有可能有兩個零點，求出，然后分，和三種情況討論函數(shù)最小值的正負，從而可求得結果
(1)
定義域為，
由，
得，
當時，，所以在上為減函數(shù)，
當時，令，則，得，
當時，，當時，，
所以在上遞減，在上遞增，
綜上，當時，在上為減函數(shù)，時，在上遞減，在上遞增，
(2)
由（1）可知，當時，在上為減函數(shù)，則至多有一個零點，
所以，由（1）得在上遞減，在上遞增，
所以當時，取得最小值，
即
，
當時，，所以只有一個零點，不合題意，
當時，則，所以沒有零點，不合題意，
當時， ，即，
因為，
所以在上有一個零點，
取正整數(shù)，滿足，則
，
因為，
所以在上有一個零點，
所以當時，有兩個零點，
所以a的取值范圍為
【點睛】
關鍵點點睛：此題考查導數(shù)的綜合應用，考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調性，考查利用導數(shù)解決函數(shù)零點問題，解題的關鍵是求出函數(shù)的最小值后，結合函數(shù)圖象的變化情況，要使其最小值小于零即可，然后分情況討論，考查數(shù)學分類思想，屬于較難題
7．若函數(shù)，當時，函數(shù)有極值．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)若關于x的方程有三個解，求實數(shù)k的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）列出關于的方程組，即可求得的值，代入即得函數(shù)的解析式；
（2）依據(jù)的導函數(shù)可得到函數(shù)的單調性與極值，方程有三個解，可轉化為函數(shù)的圖像與直線有三個交點，即可求得實數(shù)k的取值范圍．
(1)
，則
則，解之得，則
(2)
，則，令，則或
當或時，，單調遞增；
當時，，單調遞減
則在時取得極大值
在時取得極小值
關于x的方程有三個解，
等價于函數(shù)的圖像與直線有三個交點，則
8．已知函數(shù)
(1)討論的單調性；
(2)設，若方程有三個不同的解，求a的取值范圍.
【答案】(1)詳見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）首先求函數(shù)的導數(shù)，分和討論函數(shù)的單調性；
（2）參變分離后得，再設，，根據(jù)兩個函數(shù)的圖象，求得實數(shù)的取值范圍.
(1)
，
當時，，函數(shù)在單調遞增，
當時，，得
當時，，函數(shù)單調遞減，
當時，，函數(shù)單調遞增，
綜上可知，當時，函數(shù)在單調遞增，
當時，函數(shù)的單調遞增區(qū)間是，
函數(shù)的單調遞減區(qū)間是
(2)
由，化簡為，

設，設，則，
，當時，，函數(shù)單調遞減，
當時，，函數(shù)單調遞增，函數(shù)的最大值，
畫出函數(shù)的圖象，由圖可知與的交點對應的，一正一負，
如圖，畫出函數(shù)的圖象，
當，時，對應的值有3個，
在單調遞增，當時，
所以

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備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學二輪復習專題02利用導數(shù)求函數(shù)的單調性(原卷版+解析)：

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專題10 利用導數(shù)研究函數(shù)零點問題（原卷及解析版）：

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專題05 利用函數(shù)極值求參(取值范圍)（原卷及解析版）：

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