常見考點
考點一 已知線線角求其他量
典例1．如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5．
（1）求證：AB⊥A1C；
（2）在棱AA1上是否存在一點F，使得異面直線AC1與BF所成角為60°，若存在，求出AF長；若不存在，請說明理由．
變式1-1．如圖：在三棱錐中，底面，，點，，分別為棱，，的中點，是線段的中點，，.
（1）求證：平面；
（2）已知點在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長.
變式1-2．如圖，在四棱錐中，側(cè)面是等邊三角形且垂直于底面，底面是矩形，，是的中點.
（1）證明：平面；
（2）點在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求二面角的余弦值.
變式1-3．在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形，四邊形是梯形，，，平面平面，且.
(1)求證：平面；
(2)求平面與平面所成夾角的正切值；
(3)已知點在棱上，且異面直線與所成角的余弦值為，求線段的長.
考點二 已知線面角求其他量
典例2．已知梯形如圖甲所示，其中，，，四邊形是邊長為1的正方形，沿將四邊形折起，使得平面平面，得到如圖乙所示的幾何體．
(1)求證：平面；
(2)若點在線段上，且與平面所成角的正弦值為，求線段的長度.
變式2-1．如圖甲，正方形邊長為12，，，，分別交，于點，，將正方形沿，折疊使得與重合，構(gòu)成如圖乙所示的三棱柱，點在該三棱柱底邊上．
（1）若，證明：平面；
（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求的長．
變式2-2．如圖，三棱柱所有的棱長為2，，M是棱BC的中點.
（Ⅰ）求證：平面ABC;
（Ⅱ）在線段B1C是否存在一點P，使直線BP與平面A1BC 所成角的正弦值為? 若存在，求出CP的值; 若不存在，請說明理由.
變式2-3．如圖所示，四棱錐中，菱形所在的平面，，點?分別是?的中點，是線段上的點.
（1）求證：平面平面；
（2）當時，是否存在點，使直線與平面所成角的正弦值為？若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由.
考點三 已知二面角求其他量
典例3．如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點.
(1)證明：PO⊥平面ABC．
(2)若點M在棱BC上，且二面角M-PA-C為30°，求PC與平面PAM所成角的正弦值.
變式3-1．如圖1，平面圖形PABCD由直角梯形ABCD和拼接而成，其中，?，，，PC與AD相交于O，現(xiàn)沿著AD折成四棱錐（如圖2）.
(1)當四棱錐的體積最大時，求點B到平面PCD的距離；
(2)在（1）的條件下，線段PD上是否存在一點Q，使得二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
變式3-2．如圖，在三棱錐中，平面ABC，，，于點D，點E在側(cè)棱PC上，且．
(1)證明：平面ACD；
(2)是否存在λ，使二面角的余弦值為？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．
變式3-3．如圖，四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD和側(cè)面BCC1B1都是矩形，E是CD的中點，D1E⊥CD，AB＝2BC＝2．
（1）求證：平面CC1D1D⊥底面ABCD；
（2）若平面BCC1B1與平面BED1所成的銳二面角的大小為，求線段ED1的長度．
鞏固練習
練習一 已知線線角求其他量
1．已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，且，，點是線段中點．
（1）求證：平面；
（2）求平面和平面的銳二面角的余弦值；
（3）線段上是否存在點，使得與所成的角為？若存在，請求出的長，若不存在，請說明理由．
2．如圖，在三棱錐中，底面.點D，E，N分別為棱的中點，M是線段的中點，，.

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）已知點H在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長.
3．如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形為矩形，且，，、分別、的中點.
（1）證明：；
（2）設(shè)，點在線段上，且異面直線與所成角的余弦值為，求二面角的余弦值.
4．等邊的邊長為3，點，分別是，上的點，且滿足.（如圖（1）)，將沿折起到的位置，使面平面，連接，(如圖（2）).
（1）求證：平面；
（2）在線段上是否存在點，使直線與直線所成角的余弦值為？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.
練習二 已知線面角求其他量
5．如圖，在正方體中，E為棱上一點.
(1)若E為棱的中點，求證：平面；
(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
6．如圖，四棱錐中，，，且是邊長為2的等邊三角形.
(1)若，求證：；
(2)若平面平面ABCD，，直線SC與平面SAB所成角的正弦值為，求三棱錐的體積.
7．在正四棱柱中，，E為的中點.（用向量的方法證明）
(1)求證：平面.（用向量的方法證明）
(2)若F為上的動點，使直線與平面所成角的正弦值是，求BF的長.
8．如圖，在五棱錐中，平面平面，是等邊三角形，點、分別為和的中點，，，.
(1)求證：平面；
(2)求平面與平面的夾角的余弦值；
(3)設(shè)是線段上的動點，若直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長.
練習三 已知二面角求其他量
9．如圖，在四棱錐P—ABCD中，已知PC⊥底面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2，AD＝CD＝1，E是PB上一點．
(1)求證：平面EAC⊥平面PBC；
(2)若E是PB的中點，且二面角P—AC—E的余弦值是，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．
10．如圖，在四棱柱中，底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，E是PD的中點．
(1)求證：平面平面PDC；
(2)若二面角的余弦值為，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．
11．如圖四棱錐P - ABCD中，面PDC⊥面ABCD，∠ABC = ∠DCB = ，CD = 2AB = 2BC = 2，△PDC是等邊三角形.
(1)設(shè)面PAB面PDC = l，證明:l//平面ABCD；
(2)線段PC內(nèi)是否存在一點E，使面ADE與面ABCD所成角的余弦值為，如果存在，求λ = 的值，如果不存在，請說明理由.
12．如圖，在三棱錐中，，平面，，分別為棱，的中點.
(1)求證：；
(2)若，，二面角的大小為，求三棱錐的體積.
第三篇 立體幾何
專題04 立體幾何中的由夾角求其他量問題
常見考點
考點一 已知線線角求其他量
典例1．如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5．
（1）求證：AB⊥A1C；
（2）在棱AA1上是否存在一點F，使得異面直線AC1與BF所成角為60°，若存在，求出AF長；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）證明見解析；（2）存在，3.
【解析】
【分析】
（1）由已知的數(shù)據(jù)可得BC2＝AB2+AC2，從而得AB⊥AC，再由面ABC⊥平面AA1C1C，可得AB⊥平面AA1C1C，進而可證得AB⊥A1C；
（2）如圖，以A為坐標原點，AC，AB，AA1分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，然后利用空間向量求解即可
【詳解】
（1）證明：因為AA1C1C是邊長為4的正方形，所以AC＝4，又AB＝3，BC＝5，
所以BC2＝AB2+AC2，所以AB⊥AC，
因為平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，AB?平面ABC，
所以AB⊥平面AA1C1C，因為A1C?面AA1C1C，
所以AB⊥A1C．
（2）如圖，以A為坐標原點，AC，AB，AA1分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），C1（4，0，4），B（0，3，0），設(shè)F（0，0，a），
則（4，0，4），（0，﹣3，a），0＜a≤4，
因為異面直線AC1與BF所成角為60°，
所以|cs，|，
解得a＝3，所以F（0，0，3），
則AF＝3，
所以在棱AA1上存在一點F，使得異面直線AC1與BF所成角為60°，此時AF＝3．
變式1-1．如圖：在三棱錐中，底面，，點，，分別為棱，，的中點，是線段的中點，，.
（1）求證：平面；
（2）已知點在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長.
【答案】（1）證明見解析；（2）或.
【解析】
【分析】
（1）取中點，連接?，則由三角形中位線定理可得，，由線面平行的判定定理可得平面，平面，再由面面平行的判定定理可得平面平面，從而可證得平面；
（2）如圖建立空間直角坐標系，設(shè)，則，利用空間向量求解即可
【詳解】
（1）證明：取中點，連接?，
∵為中點，∴，
∵平面，平面，
∴平面.
∵為中點，
∴，
又?分別為?的中點，
∴，則.
∵平面，平面，
∴平面.
又，?平面.
∴平面平面，
∵平面
∴平面；
（3）解：因為底面，平面，平面，
所以，
因為，
所以以為原點，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，
，
依題意，設(shè)，則，
進而可得，.
由已知，得，
整理得，解得或，
所以線段的長為或.
變式1-2．如圖，在四棱錐中，側(cè)面是等邊三角形且垂直于底面，底面是矩形，，是的中點.
（1）證明：平面；
（2）點在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求二面角的余弦值.
【答案】（1）見證明；（2）
【解析】
【分析】
（1）證明CEAD，結(jié)合CEPD，即可證得平面．
（2）建立空間直角坐標系，分別求出各點坐標，由直線與直線所成角的余弦值為求得點F的坐標，再求出平面，平面的法向量，利用法向量夾角公式得解．
【詳解】
（1）平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，.
側(cè)面是等邊三角形且是的中點
又
平面
（2）如圖，以為原點，以為軸正方向，以為軸正方向，建立空間直角坐標系，則，，，，
，，
點在棱上，設(shè)，
則，
直線與直線所成角的余弦值為.
又，解得：
即為的中點
，，
設(shè)平面的法向量為，則
令，則
設(shè)平面的法向量為，則
令，則
二面角的余弦值為.
【點睛】
本題主要考查了線面垂直的判斷，考查轉(zhuǎn)化思想，還考查了平面法向量的求法、利用空間向量求二面角的平面角大小、利用向量求線線夾角，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
變式1-3．在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形，四邊形是梯形，，，平面平面，且.
(1)求證：平面；
(2)求平面與平面所成夾角的正切值；
(3)已知點在棱上，且異面直線與所成角的余弦值為，求線段的長.
【答案】(1)證明見解析；
(2)
(3)
【解析】
【分析】
先證明直線PD⊥平面ABCD.以點D為原點，分別以的方向為x軸，y軸，z軸的正向建立空間直角坐標系.
（1）利用向量法證明平面；
（2）利用向量法求平面與平面所成夾角，再求正切值；
（3）利用向量法求線段的長.
(1)
平面平面，平面ADPQ∩平面ABCD=AD.
而平面ADPQ，PD⊥AD，∴直線PD⊥平面ABCD.
由題意，以點D為原點，分別以的方向為x軸，y軸，z軸的正向建立如圖空間直角坐標系.
則可得：.
顯然::是平面PDC的一個法向量.
又，所以.
又∵直線平面PDC，∴平面.
(2)
.
設(shè)為平面PBC的一個法向量，則，
不妨設(shè)，可得.
設(shè)為平面PBQ的一個法向量，同理可求.
所以.
所以平面與平面所成夾角為.
而，所以平面與平面所成夾角的正切值.
(3)
設(shè)則， .
又，
∴，解得 (舍去)，
故所求線段DH的長為.
考點二 已知線面角求其他量
典例2．已知梯形如圖甲所示，其中，，，四邊形是邊長為1的正方形，沿將四邊形折起，使得平面平面，得到如圖乙所示的幾何體．
(1)求證：平面；
(2)若點在線段上，且與平面所成角的正弦值為，求線段的長度.
【答案】(1)證明過程見解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理進行證明即可；
（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可.
(1)
∵平面平面，平面
平面平面，，
∴平面；
(2)
（2）建系如圖：
設(shè)平面的法向量，，，，
，
，則，
設(shè)，，
，
解得或（舍），
，∴.
變式2-1．如圖甲，正方形邊長為12，，，，分別交，于點，，將正方形沿，折疊使得與重合，構(gòu)成如圖乙所示的三棱柱，點在該三棱柱底邊上．
（1）若，證明：平面；
（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求的長．
【答案】（1）證明見解析；（2）或．
【解析】
【分析】
（1）在圖乙中，過作，交于，連接，證明四邊形為平行四邊形，然后得到即可；
（2）分別以，，為，，軸，建立空間直角坐標系，然后算出平面的法向量坐標，設(shè)，得，然后由條件建立方程求解即可.
【詳解】
（1）證明：在圖乙中，過作，交于，連接，
則，∴共面且平面交平面于，
∵，，
∴，又為正方形，
，，由，有，
∴四邊形為平行四邊形，∴，
又平面，平面，
∴平面．
（2）由（1），，∴．
由題圖知，，，分別以，，為，，軸，建立空間直角坐標系，
則，，，，
，，，
設(shè)平面的法向量為，
則
令，得，
設(shè)，得，
∵直線與平面所成角的正弦值為，
∴，
解得或，即或．
變式2-2．如圖，三棱柱所有的棱長為2，，M是棱BC的中點.
（Ⅰ）求證：平面ABC;
（Ⅱ）在線段B1C是否存在一點P，使直線BP與平面A1BC 所成角的正弦值為? 若存在，求出CP的值; 若不存在，請說明理由.
【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）存在，.
【解析】
【分析】
（1）由題意，證明與，根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明平面；
（2）建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，令，求出所需點的坐標，向量的坐標，法向量的坐標，根據(jù)向量法求解線面角即可.
【詳解】
解：（1）證明：，，是中點，
，
又，
，
，
平面，
（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，
由（1）知平面A1BC的法向量為，，，，，，
令，
則，
設(shè)直線BP與平面A1BC 所成角為，則
,
解得或（舍），
所以當時，滿足題意，此時.
變式2-3．如圖所示，四棱錐中，菱形所在的平面，，點?分別是?的中點，是線段上的點.
（1）求證：平面平面；
（2）當時，是否存在點，使直線與平面所成角的正弦值為？若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由.
【答案】（1）證明見解析；（2）存在，.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，結(jié)合平行線的性質(zhì)、線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理進行證明即可；
（2）建立空間直角坐標系，利用空間平面向量夾角公式，結(jié)合線面角的定義進行求解即可.
【詳解】
（1）證明：連接因為底面為菱形，，
所以是正三角形，
∵是的中點，∴，
又，∴，
∵平面，平面，∴，
又，∴平面，
又平面，所以平面平面.
（2）解：以為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，
不妨設(shè)，則，
，，，，，
設(shè)
則
設(shè)平面的一個法向量為，
則
取，則，
得
設(shè)直線與平面所成角為，
化簡得：，則
故存在點滿足題意，此時.
考點三 已知二面角求其他量
典例3．如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點.
(1)證明：PO⊥平面ABC．
(2)若點M在棱BC上，且二面角M-PA-C為30°，求PC與平面PAM所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）先證明垂直于，再通過線線垂直推證線面垂直即可；
（2）以為坐標原點，建立空間直角坐標系，由二面角M-PA-C為30°求得點的坐標，再用向量法求線面角的正弦值即可.
(1)
連接如下所示：
因為AP=CP=AC=4，O為AC的中點，所以O(shè)P⊥AC，且OP=2.
因為AB=BC=，故可得，
所以△ABC為等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB=AC=2.
由OP2+OB2=PB2知PO⊥OB.
由OP⊥OB，OP⊥AC，OB∩AC=O，面，
知PO⊥平面ABC.
(2)
根據(jù)（1）中所證可知，兩兩垂直，連接OM，故以O(shè)為坐標原點，
的方向為x軸正方向，的方向為y軸正方向，的方向為z軸正方向，
建立空間直角坐標系如下所示：
由已知得O=，
取平面PAC的法向量=.設(shè)M，則=.
設(shè)平面PAM的法向量為
由·=0，·=0得，可取=（），
所以cs=；由已知得|cs|==.
解得a=（舍去），a=.所以n=.
又=，所以cs=.
所以PC與平面PAM所成角的正弦值為.
變式3-1．如圖1，平面圖形PABCD由直角梯形ABCD和拼接而成，其中，?，，，PC與AD相交于O，現(xiàn)沿著AD折成四棱錐（如圖2）.
(1)當四棱錐的體積最大時，求點B到平面PCD的距離；
(2)在（1）的條件下，線段PD上是否存在一點Q，使得二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)；
(2)存在，.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，建立空間直角坐標系，利用空間距離公式進行求解即可；
（2）利用空間夾角公式進行求解即可.
(1)
在圖1中，在中，，，∴.
易知四邊形ABCO為正方形，∴，即O為AD的中點，
在圖2中，當四棱錐的體積最大時，
側(cè)面底面ABCD，此時平面ABCD，
以O(shè)為坐標原點，OC所在直線為x軸，OD所在直線為y軸，OP所在直線為z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，，
∴，，.
設(shè)平面PCD的一個法向量為，
則
取，得.
則B點到平面PCD的距離.
(2)
假設(shè)存在，且設(shè).
∵，∴，∴，
∴.
設(shè)平面CAQ的一個法向量為，又，，
則
取，得.
又易知平面CAD的一個法向量為，
∵二面角的余弦值為，
∴，
整理化簡，得，解得或（舍去）.
∴線段PD上存在滿足題意的點Q，且.
變式3-2．如圖，在三棱錐中，平面ABC，，，于點D，點E在側(cè)棱PC上，且．
(1)證明：平面ACD；
(2)是否存在λ，使二面角的余弦值為？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)存在；
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)線面垂直的判定定理，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)進行證明即可；
（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可.
(1)
證明：∵平面ABC，∴，又∵，，
∴平面PBC，∴，又∵，，∴平面ACD．
(2)
如圖建系，不妨設(shè)，∴，，，
∴，，，，
，，，
設(shè)平面CAD和平面ADE的一個法向量分別為，，
∴，
設(shè)二面角的平面角為θ，，所成角為φ，
∴．
，故存在，．
變式3-3．如圖，四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD和側(cè)面BCC1B1都是矩形，E是CD的中點，D1E⊥CD，AB＝2BC＝2．
（1）求證：平面CC1D1D⊥底面ABCD；
（2）若平面BCC1B1與平面BED1所成的銳二面角的大小為，求線段ED1的長度．
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用線面垂直的判定定理證明AD⊥平面CDD1C1，可得AD⊥D1E，又CD⊥D1E，即可證明D1E⊥平面ABCD，再由面面垂直的判定定理證明即可；
（2）D1E＝a，建立合適的空間直角坐標系，求出所需點的坐標和向量的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出平面的法向量，由向量的夾角公式列出關(guān)于a的方程求解即可．
【詳解】
（1）證明：因為底面ABCD和側(cè)面BCC1B1都是矩形，
所以AD⊥CD，AD⊥DD1，
又CD∩DD1＝D，CD，DD1?平面CDD1C1，
所以AD⊥平面CDD1C1，又D1E?平面CDD1C1，
所以AD⊥D1E，又CD⊥D1E，且CD∩AD＝D，CD，AD?平面ABCD，
故D1E⊥平面ABCD，又D1E?平面CC1D1D，
則平面CC1D1D⊥平面ABCD；
（2）解：取AB得中點F，連結(jié)EF，則四邊形EFBC為正方形，
所以EF⊥CD，故以E為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，
設(shè)D1E＝a，則E（0，0，0），F(xiàn)（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），C1（0，2，a），
所以，
設(shè)平面BCC1B1的法向量為，
則有，即，
令z＝1，則，
因為FC⊥BE，又FC⊥D1E，BE∩D1E＝E，BE，D1E?平面BED1，
所以FC⊥平面BED1，
故為平面BD1E的一個法向量，
所以，
因為平面BCC1B1與平面BED1所成的銳二面角的大小為，
，解得a＝1，
所以D1E＝1．

鞏固練習
練習一 已知線線角求其他量
1．已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，且，，點是線段中點．
（1）求證：平面；
（2）求平面和平面的銳二面角的余弦值；
（3）線段上是否存在點，使得與所成的角為？若存在，請求出的長，若不存在，請說明理由．
【答案】（1）見解析；（2）；（3）存在，．
【解析】
【分析】
（1）記與的交點為，連接，得四邊形是平行四邊形，則，再由直線與平面平行的判定可得平面；
（2）在平面中過作于，連接，說明是平面和平面的角平面角或補角，然后平面和平面夾角的余弦值；
（3）建立空間直角坐標系，設(shè)出線段上點的坐標，由與所成的角是，轉(zhuǎn)化為向量的夾角求解．
【詳解】
（1）證明：記與的交點為，連接，
、分別是、的中點，是矩形，
四邊形是平行四邊形，則
平面，平面，
平面；
（2）解：在平面中，過作于，連接，
，，，
平面，
是在平面上的射影，
是平面和平面的夾角的平面角，
在中，，，
平面和平面的銳二面角的余弦值為；
（3）解：建立如圖所示空間直角坐標系，
則，0，，，1，，，1，，
設(shè)，，，
則，，
由與所成的角恰為，得，
即，解得或（舍．
，則．
故線段上存在點，使得與所成的角恰為，此時．
2．如圖，在三棱錐中，底面.點D，E，N分別為棱的中點，M是線段的中點，，.

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）已知點H在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長.
【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ）或1.
【解析】
【分析】
本小題主要考查直線與平面平行、二面角、異面直線所成的角等基礎(chǔ)知識.考查用空間向量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力.首先要建立空間直角坐標系，寫出相關(guān)點的坐標，證明線面平行只需求出平面的法向量，計算直線對應的向量與法向量的數(shù)量積為0，求二面角只需求出兩個半平面對應的法向量，借助法向量的夾角求二面角，利用向量的夾角公式，求出異面直線所成角的余弦值，利用已知條件，求出的值.
【詳解】
（Ⅰ）如圖所示建立空間直角坐標系.
則，
證明：.設(shè)為平面的法向量，
則，即.不妨設(shè)，可得 ，
又，
可得.因為平面，
所以平面 ，
（Ⅱ）解：易知為平面的一個法向量.
設(shè)為平面的法向量，則，
因為，，所以.
不妨設(shè)，可得 ，
因此有，
于是.
所以，二面角的正弦值為 ；
（Ⅲ）依題意，設(shè)，
則，
進而可得，
由已知，得，
整理得，
解得，或.
所以，線段的長為或1
【點睛】
本題考查直線與平面平行、二面角、異面直線所成的角.空間向量是解決空間幾何問題的銳利武器，不論是求空間角、空間距離還是證明線面關(guān)系利用空間向量都很方便，利用向量夾角公式求異面直線所成的角又快又準，特別是借助平面的法向量求線面角，二面角或點到平面的距離都很容易.
3．如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形為矩形，且，，、分別、的中點.
（1）證明：；
（2）設(shè)，點在線段上，且異面直線與所成角的余弦值為，求二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）證明出平面，可得出，利用正弦定理可證明出，利用線面垂直的判定定理可得出平面，由此可證得結(jié)論成立；
（2）以點為坐標原點，以、、方向為、、軸的正方向，建立空間直角坐標系，根據(jù)已知條件求出點的坐標，再利用空間向量法可求得二面角的余弦值.
【詳解】
（1）在中，根據(jù)正弦定理有，即，
得，即，所以.
因為平面平面，平面平面，平面，，
所以平面，
又因為平面，所以.
又因為平面，平面，，所以平面，
又因為平面，所以；
（2）如圖，以為坐標原點，
以、、方向為、、軸的正方向，建立空間直角坐標系.
則、、、、、、，
設(shè)，，，
即，得，
所以，，
，
化簡得，解得或（舍），
所以，，，
設(shè)平面的法向量，則，
取，可得，
，
設(shè)平面的法向量為，則，
取，可得，
設(shè)二面角的平面角為，則為銳角，
則，即二面角的余弦值為.
4．等邊的邊長為3，點，分別是，上的點，且滿足.（如圖（1）)，將沿折起到的位置，使面平面，連接，(如圖（2）).
（1）求證：平面；
（2）在線段上是否存在點，使直線與直線所成角的余弦值為？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.
【答案】（1）證明見解析；（2）存在，.
【解析】
（1）由已知條件推導出，從而得到，折疊后有，由此能夠證明平面；
（2）由（1）知，平面，以為坐標原點，以射線??分別為軸?軸?軸的正半軸建立空間直角坐標系，可求得，，由題意根據(jù)兩向量的夾角公式即可求解.
【詳解】
（1）證明：題圖（1）中，由已知可得：
，，.
從而
故得，所以，.
所以題圖（2）中，，，
∵面面
面面
面
∴面
（2）解：存在.由（1）知，平面.
以為坐標原點，以射線??分別為軸?軸?軸的正半軸建立空間直角坐標系，如圖，
，，，
∴
，
∴
∴.
【點睛】
思路點睛：該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，解題思路如下：
（1）利用面面垂直的性質(zhì)，結(jié)合線線垂直的條件，證得線面垂直；
（2）結(jié)合（1）的條件，建立空間直角坐標系，假設(shè)存在對應的點P，設(shè)，利用空間向量解決線線角的余弦值，建立關(guān)于的關(guān)系式，求得結(jié)果.
練習二 已知線面角求其他量
5．如圖，在正方體中，E為棱上一點.
(1)若E為棱的中點，求證：平面；
(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用線面平行的判定定理即可證明；
（2）以A為原點，AD，AB，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，用向量法求解.
(1)
在正方體中，，，
所以四邊形為平行四邊形，故，
又平面，平面.所以平面.
(2)
設(shè)正方體的棱長為2，.
以A為原點，AD，AB，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，則，，.
設(shè)平面的一個法向量為，
由即，不妨令，得.
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，解得，
所以平面的法向量為.
由題知，平面的法向量，
所以，
所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.
6．如圖，四棱錐中，，，且是邊長為2的等邊三角形.
(1)若，求證：；
(2)若平面平面ABCD，，直線SC與平面SAB所成角的正弦值為，求三棱錐的體積.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由題目證明平面SOC，利用線面垂直的性質(zhì)定理即可證明;
（2）建立直角坐標系，設(shè)，運用向量的夾角公式求出直線SC與平面SAB所成角的正弦值即可求出，進而求出體積.
(1)
如圖，取AD的中點O，連接SO，CO.
因為為等邊三角形，所以.
因為，，，，
所以四邊形ABCO為矩形，
所以.
因為SO，平面SOC，且，
所以平面SOC，因為平面SOC，所以.
(2)
因為平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，，，所以平面ABCD，平面SAD，
故以點A為坐標原點，AB，AD所在直線分別為x，y軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則由題意知，，，
所以，.
設(shè)平面SAB的法向量為，
則，即，則，取，得，故.
設(shè)，則，，
則，得，即，
故.
7．在正四棱柱中，，E為的中點.（用向量的方法證明）
(1)求證：平面.（用向量的方法證明）
(2)若F為上的動點，使直線與平面所成角的正弦值是，求BF的長.
【答案】(1)證明見解析
(2)1
【解析】
【分析】
建立如圖所示空間直角坐標系，
（1）求出平面的法向量，利用證明即可；
（2）設(shè)點的坐標為，由線面角公式可求出，即可利用向量的模求的長.
(1)
由題意可知，以為坐標原點，建立如圖示的空間直角坐標系.
，,,，，，
證明：設(shè)平面的法向量，
，，
由，即
取，得，
又，
因為，所以，
所以平面.
(2)
設(shè)點的坐標為，
，由（1）知，，
設(shè)直線與平面所成角為，則
，解得.
所以點F的坐標為，，，
所以的長為.
8．如圖，在五棱錐中，平面平面，是等邊三角形，點、分別為和的中點，，，.
(1)求證：平面；
(2)求平面與平面的夾角的余弦值；
(3)設(shè)是線段上的動點，若直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長.
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）推導出平面，，然后點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可證得結(jié)論成立；
（2）利用空間向量法可求得平面與平面的夾角的余弦值；
（3）設(shè)點，其中，根據(jù)已知條件結(jié)合空間向量法可得出關(guān)于的方程，解出的值，即可得解.
(1)
證明：因為是等邊三角形，為的中點，則，
因為平面平面，平面平面，平面，
所以，平面，
，，則，
以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則、、、、、、，
設(shè)平面的法向量為，，，
由，取，可得，
，則，則，
平面，故平面.
(2)
解：設(shè)平面的法向量為，，，
由，取，可得，
，
因此，平面與平面的夾角的余弦值為.
(3)
解：設(shè)點，其中，則，
由已知可得，
整理可得，因為，解得，因此，.
練習三 已知二面角求其他量
9．如圖，在四棱錐P—ABCD中，已知PC⊥底面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2，AD＝CD＝1，E是PB上一點．
(1)求證：平面EAC⊥平面PBC；
(2)若E是PB的中點，且二面角P—AC—E的余弦值是，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）設(shè)AB的中點為G，連接CG，易得四邊形ADCG為邊長為1的正方形，得到，再由，從而證得平面PBC，再利用面面垂直的判定定理證明；
（2）建立空間直角坐標，設(shè) ，易知 為 平面 PAC的一個法向量，再求得平面EAC的一個法向量 ，由，求得 ，從而得到 求解.
(1)
證明：如圖所示：
因為PC⊥底面ABCD，AC底面ABCD，
所以，又，在中，，
設(shè)AB的中點為G，連接CG，則四邊形ADCG為邊長為1的正方形，
所以，且，
則，所以，又，
所以平面PBC，又平面EAC，
所以平面EAC⊥平面PBC；
(2)
建立如圖所示空間直角坐標系：
則，
設(shè) ，則 ，
所以 ，
因為 ，
所以 平面PAC，則 為 平面 PAC的一個法向量，
設(shè)平面EAC的一個法向量為 ，
則 ，即 ，
令 ，則 ，
所以 ，
解得 ，則 ，
設(shè)直線PA與平面EAC所成的角為 ，
則 ，
所以 直線PA與平面EAC所成的角的正弦值為.
10．如圖，在四棱柱中，底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，E是PD的中點．
(1)求證：平面平面PDC；
(2)若二面角的余弦值為，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，利用勾股定理的逆定理可得，結(jié)合線面垂直的判定定理可得平面PDC．即可證明；
(2)建立如圖空間直角坐標系，設(shè)，利用向量法求出平面PAC和平面EAC的法向量，根據(jù)二面角的余弦值和空間向量數(shù)量積的定義求出，再次利用空間向量的數(shù)量積計算，直接得出結(jié)果.
(1)
∵平面ABCD，平面ABCD，∴．
∵，，∴．
∴，∴．
又平面PDC，平面PDC，，
∴平面PDC．
∵平面EAC，∴平面平面PDC；
(2)
由（1）知，，又平面ABCD，故以C為坐標原點，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標系，如圖所示，
則，，，
設(shè)，則，，，，．
取，則，所以為平面PAC的一個法向量．
設(shè)為平面EAC的法向量，
則，即，
則，取，則，，
依題意，，
則，于是，，
設(shè)直線PA與平面EAC所成的角為，
則，
即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為．
11．如圖四棱錐P - ABCD中，面PDC⊥面ABCD，∠ABC = ∠DCB = ，CD = 2AB = 2BC = 2，△PDC是等邊三角形.
(1)設(shè)面PAB面PDC = l，證明:l//平面ABCD；
(2)線段PC內(nèi)是否存在一點E，使面ADE與面ABCD所成角的余弦值為，如果存在，求λ = 的值，如果不存在，請說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)存在
【解析】
【分析】
（1）由已知可得∥，再由線面平行的判定可得∥平面，再由線面平行的性質(zhì)可得∥，再由線面平行的判定可得結(jié)論，
（2）由已知條件可證得兩兩垂直，所以以為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，利用空間向量求解
(1)
證明：因為,
所以，所以∥，
因為平面，平面，
所以∥平面，
因為平面，且平面面，
所以∥，
因為平面，平面，
所以∥平面，
(2)
設(shè)的中點為，
因為△PDC是等邊三角形，所以，
因為平面PDC⊥平面ABCD，且平面面，
所以平面，
因為平面，
所以，
所以以為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，
則，所以，
假設(shè)存在這樣的點，由已知得，則，
所以，
因為平面，所以平面的一個法向量為，
設(shè)平面的一個法向量為，則
，令，則，則
所以，
整理得，解得（舍去），或，
所以
12．如圖，在三棱錐中，，平面，，分別為棱，的中點.
(1)求證：；
(2)若，，二面角的大小為，求三棱錐的體積.
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用線面垂直的判定定理及性質(zhì)即證；
（2）利用坐標法，結(jié)合條件可求，然后利用體積公式即求.
(1)
，是的中點，
，
平面，平面，
，又，
平面，
平面，
；
(2)
，，
，
取的中點，連接，則，
平面，
以為坐標原點，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標系，
設(shè)，則，，，，
，，，，
設(shè)平面的一個法向量為，
由，取，得；
設(shè)平面的一個法向量為，
由，取，得，
∵二面角的大小為，
，解得，
，
則三棱錐的體積.

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