常見(jiàn)考點(diǎn)
考點(diǎn)一 距離測(cè)量問(wèn)題
典例1．為了測(cè)量一個(gè)不規(guī)則湖泊兩端之間的距離，如圖，在東西方向上選取相距的兩點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的正東方向上，且四點(diǎn)在同一水平面上．從點(diǎn)處觀測(cè)得點(diǎn)在它的東北方向上，點(diǎn)在它的西北方向上；從點(diǎn)處觀測(cè)得點(diǎn)在它的北偏東方向上，點(diǎn)在它的北偏西方向上．
（1）求之間的距離；
（2）以點(diǎn)為觀測(cè)點(diǎn)，求點(diǎn)的方位角．
變式1-1．某海輪以30海里/小時(shí)的速度航行，在點(diǎn)A測(cè)得海上面油井P在南偏東，向北航行40分鐘后到達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得油井P在南偏東，海輪改為北偏東的航向再航行40分鐘到達(dá)C點(diǎn)．
（1）求P，C間的距離；
（2）求在點(diǎn)C測(cè)得油井P的位置？
變式1-2．一艘船以每小時(shí)15 km的速度向東航行，船在A處看到一個(gè)燈塔M在北偏東60°方向，行駛4 h后，船到達(dá)B處，看到這個(gè)燈塔在北偏東15°方向，求這時(shí)船與燈塔的距離．
變式1-3．如圖，某漁船在海上處捕魚(yú)時(shí)，天氣預(yù)報(bào)幾小時(shí)后會(huì)有惡劣天氣，該漁船的東偏北方向上有一個(gè)小島可躲避惡劣天氣，在小島的正北方向有一航標(biāo)燈距離小島25海里，漁船向小島行駛50海里后到達(dá)處，測(cè)得，海里.
（1）求處距離航標(biāo)燈的距離；
（2）求的值.
考點(diǎn)二 高度測(cè)量問(wèn)題
典例2．2019年10月1日，在慶祝中華人民共和國(guó)成立70周年閱兵中，有我國(guó)自主研制的軍用飛機(jī)和軍用無(wú)人機(jī)等參閱航空裝備分秒不差飛越天安門(mén)，展實(shí)力，壯軍威．在一次飛行模擬訓(xùn)練中，地面塔臺(tái)觀測(cè)到一架直升機(jī)以的速度在同一高度向正東飛行，如圖，第一次觀測(cè)到該飛機(jī)在北偏西60°的方向上，1分鐘后第二次觀測(cè)到該飛機(jī)在北偏東75°的方向上，仰角為30°，求直升機(jī)飛行的高度為多少千米．（結(jié)果保留根號(hào)）
變式2-1．如圖，AB是底部不可到達(dá)的一座建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，經(jīng)過(guò)測(cè)量得到在點(diǎn)D處的仰角為45，C處的仰角為75，且CD=20,測(cè)角儀的高為1.2，求出建筑物的高度.
變式2-2．航空測(cè)量組的飛機(jī)航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)的高度為海拔，速度為千米/小時(shí)，飛機(jī)先看到山頂?shù)母┙菫椋?jīng)過(guò)后又看到山頂?shù)母┙菫?，求山頂?shù)暮０胃叨萮．（精確到m）
變式2-3．如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與現(xiàn)測(cè)得，，米，又在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為，求塔高AB.
鞏固練習(xí)
練習(xí)一 距離測(cè)量問(wèn)題
1．在某海域處的巡邏船發(fā)現(xiàn)南偏東方向，相距海里的處有一可疑船只，此可疑船只正沿射線（以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，正東，正北方向分別為軸，軸正方向，1海里為單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系）方向勻速航行.巡邏船立即開(kāi)始沿直線勻速追擊攔截，巡邏船出發(fā)小時(shí)后，可疑船只所在位置的橫坐標(biāo)為.若巡邏船以30海里/小時(shí)的速度向正東方向追擊，則恰好1小時(shí)與可疑船只相遇.
（1）求的值；
（2）若巡邏船以海里/小時(shí)的速度進(jìn)行追擊攔截，能否搃截成功？若能，求出搃截時(shí)間，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.
2．如圖所示，遙感衛(wèi)星發(fā)現(xiàn)海面上有三個(gè)小島，小島 B位于小島A 北偏東距離60海里處，小島B北偏東距離海里處有一個(gè)小島 C.
（1）求小島A到小島C的距離；
（2）如果有游客想直接從小島A出發(fā)到小島 C，求游船航行的方向.
3．如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車(chē)到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為.在甲出發(fā)2min后，乙從A乘纜車(chē)到B，在B處停留1min后，再?gòu)腂勻速步行到C.假設(shè)纜車(chē)勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為，山路AC長(zhǎng)為1260m，經(jīng)測(cè)量，，.
（1）求索道AB的長(zhǎng)；
（2）問(wèn)乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車(chē)上與甲的距離最短？
（3）為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3min，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？
4．如圖，位于處的救援中心獲悉：在其正東方向相距海里的處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營(yíng)救．救援中心立即把消息告知在其南偏西、相距海里的處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線前往處救援．
（1）求兩點(diǎn)間的距離；
（2）求的值．
練習(xí)二 高度測(cè)量問(wèn)題
5．如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高時(shí)，可以選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)與.現(xiàn)測(cè)得，，.在點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0.5°.
（1）求與兩點(diǎn)間的距離（結(jié)果精確到）；
（2）求塔高（結(jié)果精確到）.
參考數(shù)據(jù)：取，，.
6．如圖，一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正西方向行駛，到處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂在西偏北的方向上，行駛后到達(dá)處，并在處測(cè)得山頂在西偏北的方向上，且仰角為，求此山的高度.
7．如圖，在離地面高400m的熱氣球上，觀測(cè)到山頂C處的仰角為15°，山腳A處的俯角為45°，已知∠BAC＝60°，求山的高度BC．
8．如圖，河流上有一座橋，其長(zhǎng)度，在橋的兩端，處測(cè)得空中一氣球的仰角分別為，，試求氣球的高度.
第一篇 解三角形
專(zhuān)題08 解三角形在實(shí)際中的應(yīng)用
常見(jiàn)考點(diǎn)
考點(diǎn)一 距離測(cè)量問(wèn)題
典例1．為了測(cè)量一個(gè)不規(guī)則湖泊兩端之間的距離，如圖，在東西方向上選取相距的兩點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的正東方向上，且四點(diǎn)在同一水平面上．從點(diǎn)處觀測(cè)得點(diǎn)在它的東北方向上，點(diǎn)在它的西北方向上；從點(diǎn)處觀測(cè)得點(diǎn)在它的北偏東方向上，點(diǎn)在它的北偏西方向上．
（1）求之間的距離；
（2）以點(diǎn)為觀測(cè)點(diǎn)，求點(diǎn)的方位角．
【答案】（1）；（2）北偏東方向上．
【分析】
（1）結(jié)合方位角表示出相關(guān)角的大小，進(jìn)而結(jié)合正弦定理依次在、、中求出相應(yīng)的邊長(zhǎng)，即可求出結(jié)果.
（2）作出輔助線，根據(jù)方位角的概念即可求出結(jié)果.
【詳解】
（1）由已知得，
所以
在中，由正弦定理得．
同理，在中，，所以，
由正弦定理得．可以計(jì)算出，
在中，所以
（2）作．由（1）知，
所以，即點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東方向上．
變式1-1．某海輪以30海里/小時(shí)的速度航行，在點(diǎn)A測(cè)得海上面油井P在南偏東，向北航行40分鐘后到達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得油井P在南偏東，海輪改為北偏東的航向再航行40分鐘到達(dá)C點(diǎn)．
（1）求P，C間的距離；
（2）求在點(diǎn)C測(cè)得油井P的位置？
【答案】（1）40海里；（2）P在C的正南40海里處．
【分析】
（1）由正弦定理求，再在直角△中求即可.
（2）由求，易知，結(jié)合（1）的結(jié)果，即知在點(diǎn)C測(cè)得油井P的位置.
【詳解】
（1）如圖，在△中，，
由正弦定理：，解得，
在△中，，又，故．
答：P，C間的距離為40海里．
（2）在△中，，
∴，即，又，
∴，即在點(diǎn)C測(cè)得油井P在C的正南40海里處．
變式1-2．一艘船以每小時(shí)15 km的速度向東航行，船在A處看到一個(gè)燈塔M在北偏東60°方向，行駛4 h后，船到達(dá)B處，看到這個(gè)燈塔在北偏東15°方向，求這時(shí)船與燈塔的距離．
【答案】km
【分析】
根據(jù)示意圖得出∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，從而在△AMB中，根據(jù)正弦定理可求得行駛后船與燈塔的距離．
【詳解】
作出示意圖如圖所示，依題意有AB＝15×4＝60，∠DAC＝60°，∠CBM＝15°，
∴∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，
在△AMB中，由正弦定理，得，
解得BM＝ km，即行駛后船與燈塔的距離為 km.
變式1-3．如圖，某漁船在海上處捕魚(yú)時(shí)，天氣預(yù)報(bào)幾小時(shí)后會(huì)有惡劣天氣，該漁船的東偏北方向上有一個(gè)小島可躲避惡劣天氣，在小島的正北方向有一航標(biāo)燈距離小島25海里，漁船向小島行駛50海里后到達(dá)處，測(cè)得，海里.
（1）求處距離航標(biāo)燈的距離；
（2）求的值.
【答案】（1）海里；（2）.
【分析】
(1)利用余弦定理,即可求解.
（2）利用正弦定理，即可求解.
【詳解】
解析：（1）∵，，，
∴由余弦定理得，∴海里，
（2），由正弦定理得，
∴.
考點(diǎn)二 高度測(cè)量問(wèn)題
典例2．2019年10月1日，在慶祝中華人民共和國(guó)成立70周年閱兵中，有我國(guó)自主研制的軍用飛機(jī)和軍用無(wú)人機(jī)等參閱航空裝備分秒不差飛越天安門(mén)，展實(shí)力，壯軍威．在一次飛行模擬訓(xùn)練中，地面塔臺(tái)觀測(cè)到一架直升機(jī)以的速度在同一高度向正東飛行，如圖，第一次觀測(cè)到該飛機(jī)在北偏西60°的方向上，1分鐘后第二次觀測(cè)到該飛機(jī)在北偏東75°的方向上，仰角為30°，求直升機(jī)飛行的高度為多少千米．（結(jié)果保留根號(hào)）
【答案】千米．
【分析】
在中，作，利用正弦定理可得，再在直角三角形中，即可求解.
【詳解】
解：在中，作，
則，，
由正弦定理得：
所以，
在直角三角形中，．
所以，直升機(jī)飛行的高度為千米．
變式2-1．如圖，AB是底部不可到達(dá)的一座建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，經(jīng)過(guò)測(cè)量得到在點(diǎn)D處的仰角為45，C處的仰角為75，且CD=20,測(cè)角儀的高為1.2，求出建筑物的高度.
【答案】
【分析】
在中，求得，根據(jù)正弦定理可得，再在直角中，由，即可求解.
【詳解】
在中，根據(jù)題意可得，
由正弦定理可得，
在直角中，可得
所以建筑的高為.
變式2-2．航空測(cè)量組的飛機(jī)航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)的高度為海拔，速度為千米/小時(shí)，飛機(jī)先看到山頂?shù)母┙菫?，?jīng)過(guò)后又看到山頂?shù)母┙菫?，求山頂?shù)暮０胃叨萮．（精確到m）
【答案】
【分析】
先求的長(zhǎng)，在中，利用正弦定理可求，又，可求，即可得山頂?shù)暮０胃叨?
【詳解】
解：如圖所示，，
∴，，
在中，由正弦定理得，
∴，
∵，
∴，
所以山頂?shù)暮０胃叨龋?br>變式2-3．如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與現(xiàn)測(cè)得，，米，又在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為，求塔高AB.
【答案】米.
【分析】
利用正弦定理先求解出的值，然后根據(jù)直角三角形中的邊角關(guān)系求解出的長(zhǎng)度.
【詳解】
因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)椋?，所以米?br>又因?yàn)?，所以，所以米?br>所以塔高為米.
鞏固練習(xí)
練習(xí)一 距離測(cè)量問(wèn)題
1．在某海域處的巡邏船發(fā)現(xiàn)南偏東方向，相距海里的處有一可疑船只，此可疑船只正沿射線（以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，正東，正北方向分別為軸，軸正方向，1海里為單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系）方向勻速航行.巡邏船立即開(kāi)始沿直線勻速追擊攔截，巡邏船出發(fā)小時(shí)后，可疑船只所在位置的橫坐標(biāo)為.若巡邏船以30海里/小時(shí)的速度向正東方向追擊，則恰好1小時(shí)與可疑船只相遇.
（1）求的值；
（2）若巡邏船以海里/小時(shí)的速度進(jìn)行追擊攔截，能否搃截成功？若能，求出搃截時(shí)間，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
（1）
（2）能夠攔截成功攔截，時(shí)間為2小時(shí)
【分析】
（1）設(shè)1小時(shí)后兩船相遇于點(diǎn)C，根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且，即可求解；
（2）設(shè)t小時(shí)后兩船相遇于點(diǎn)D，利用余弦定理列出方程，即可求解.
（1）
解：由題意，直線的傾斜角為，
若巡邏船以30海里/小時(shí)的速度向正東方向追擊，設(shè)1小時(shí)后兩船相遇于點(diǎn)C，
如圖所示，則軸，，且關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
所以，所以.
（2）
解：若巡邏船以海里/小時(shí)進(jìn)行追擊，設(shè)t小時(shí)后兩船相遇于點(diǎn)D，如圖所示，
則，，，，
因?yàn)?br>可得
整理得，解得或（舍去），
所以能夠攔截成功攔截時(shí)間為2小時(shí).
2．如圖所示，遙感衛(wèi)星發(fā)現(xiàn)海面上有三個(gè)小島，小島 B位于小島A 北偏東距離60海里處，小島B北偏東距離海里處有一個(gè)小島 C.
（1）求小島A到小島C的距離；
（2）如果有游客想直接從小島A出發(fā)到小島 C，求游船航行的方向.
【答案】
（1）海里
（2）游船應(yīng)該沿北偏東的方向航行.
【分析】
(1)三邊一角，由余弦定理可以求小島A到小島 C的距離；
(2)兩邊兩角，由正弦定理可以求角.
（1）
解：(1)在中，
，根據(jù)余弦定理得：.
.
所以小島A到小島 C的最短距離是海里.
（2）
解：(2)根據(jù)正弦定理得：
解得
在中，
為銳角
.
由得游船應(yīng)該沿北偏東的方向航行
答:小島A到小島 C的最短距離是海里;游船應(yīng)該沿北偏東的方向航行.
3．如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車(chē)到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為.在甲出發(fā)2min后，乙從A乘纜車(chē)到B，在B處停留1min后，再?gòu)腂勻速步行到C.假設(shè)纜車(chē)勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為，山路AC長(zhǎng)為1260m，經(jīng)測(cè)量，，.
（1）求索道AB的長(zhǎng)；
（2）問(wèn)乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車(chē)上與甲的距離最短？
（3）為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3min，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？
【答案】
（1）1040m
（2）
（3）
【分析】
（1）先求得，然后由正弦定理求得.
（2）假設(shè)乙出發(fā)后，甲、乙兩游客距離為d，利用余弦定理列方程，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最小值.
（3）根據(jù)“兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3min”列不等式，由此求得乙步行的速度的范圍.
（1）
由題意，，
在中，，
由正弦定理，得.
所以，索道AB的長(zhǎng)為1040m.
（2）
假設(shè)乙出發(fā)后，甲、乙兩游客距離為d，
此時(shí)甲行走了，乙距離A處，
由余弦定理得
，
因?yàn)?，即?br>則當(dāng)時(shí)，甲、乙兩游客之間距離最短.
（3）
由正弦定理，得，
乙從B出發(fā)時(shí)，甲已走了，還需要走710m才能到達(dá)C，
設(shè)乙步行的速度為，
由題意得，
所以為了使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3min，
乙步行的速度應(yīng)控制在（單位：）范圍之內(nèi).
4．如圖，位于處的救援中心獲悉：在其正東方向相距海里的處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營(yíng)救．救援中心立即把消息告知在其南偏西、相距海里的處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線前往處救援．
（1）求兩點(diǎn)間的距離；
（2）求的值．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）利用余弦定理，即可求出兩點(diǎn)間的距離；
（2）利用正弦定理推出的正弦值，利用，即可求出結(jié)果．
（1）
解：如圖所示，在中，，
由余弦定理得，
所以．
（2）
解：由正弦定理得．
由知為銳角，
故．
故．
練習(xí)二 高度測(cè)量問(wèn)題
5．如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高時(shí)，可以選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)與.現(xiàn)測(cè)得，，.在點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0.5°.
（1）求與兩點(diǎn)間的距離（結(jié)果精確到）；
（2）求塔高（結(jié)果精確到）.
參考數(shù)據(jù)：取，，.
【答案】
（1）324m
（2）669m
【分析】
（1）求出，在中利用正弦定理進(jìn)行求解；（2）先在中利用正弦定理求出的長(zhǎng)度，進(jìn)而利用正切值求出塔高.
（1）
在中，，
由正弦定理得，
則
（2）
由正弦定理得，
則.
故塔高
6．如圖，一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正西方向行駛，到處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂在西偏北的方向上，行駛后到達(dá)處，并在處測(cè)得山頂在西偏北的方向上，且仰角為，求此山的高度.
【答案】
【分析】
在中利用正弦定理可求得，根據(jù)可求得結(jié)果.
【詳解】
在中，，，，
由正弦定理得：.
在中，，.
7．如圖，在離地面高400m的熱氣球上，觀測(cè)到山頂C處的仰角為15°，山腳A處的俯角為45°，已知∠BAC＝60°，求山的高度BC．
【答案】．
【分析】
由，得到，又由，求得，在中，由正弦定理求得，根據(jù)，即可求解.
【詳解】
由題意知，則，
又由，所以，
在中，由正弦定理得，即，
解得，則，即山的高度為．
8．如圖，河流上有一座橋，其長(zhǎng)度，在橋的兩端，處測(cè)得空中一氣球的仰角分別為，，試求氣球的高度.
【答案】.
【分析】
先依題意確定，，再在中，利用構(gòu)建方程，解得高度即可.
【詳解】
解：由題可知，，，
∴，∴，
在中，∵，∴，即，
解得.
答：氣球的高度為.

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備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題06數(shù)列中的證明問(wèn)題(原卷版+解析)：

這是一份備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題06數(shù)列中的證明問(wèn)題(原卷版+解析)，共38頁(yè)。試卷主要包含了數(shù)列通項(xiàng)證明，數(shù)列求和證明等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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