常見考點(diǎn)
考點(diǎn)一 向量共線問題
典例1．如圖，分別是橢圓C：的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，軸，點(diǎn)A是橢圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn)，且，.
(1)求橢圓C的方程；
(2)已知M，N是橢圓C上的兩點(diǎn)，若點(diǎn)，，試探究點(diǎn)M，，N是否一定共線？說明理由.
變式1-1．已知橢圓：的長軸長為6，離心率為，長軸的左，右頂點(diǎn)分別為A，B．
(1)求橢圓的方程；
(2)已知過點(diǎn)的直線交橢圓于M、N兩個(gè)不同的點(diǎn)，直線AM，AN分別交軸于點(diǎn)S、T，記，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)直線的傾斜角為銳角時(shí)，求的取值范圍．
變式1-2．已知拋物線，過點(diǎn)的直線與x軸交于點(diǎn)M，與C交于兩點(diǎn)A?B?O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線BO與直線交于點(diǎn)N.
(1)若直線AN平行于y軸.求m；
(2)設(shè)?，求.
變式1-3．已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)A作傾斜角為的直線與C相交于A，B，且，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)求橢圓的離心率e；
(2)若，過點(diǎn)F作與直線平行的直線l，l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)．
①求的值；
②點(diǎn)M滿足，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為N，若，求的值．
典例2．已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為F（1，0），且橢圓C的離心率為，M，N為橢圓C上任意兩點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，t）（t≠0），且滿足.
(1)求橢圓C的方程；
(2)證明：M，F(xiàn)，N三點(diǎn)共線.
變式2-1．設(shè)，，分別為橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)，過的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，直線的傾斜角為，到直線的距離為．
(1)求橢圓的焦距；
(2)如果，求橢圓的方程．
變式2-2．已知是x軸上的點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O為線段的中點(diǎn)，，是坐標(biāo)平面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段FG上，，.
(1)求的軌跡C的方程；
(2)A、B為軌跡C上任意兩點(diǎn)，且，Ｍ為AB的中點(diǎn)，求面積的最大值.
變式2-3．已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.
(1)求橢圓方程；
(2)已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓上非頂點(diǎn)的不同兩點(diǎn)，且直線不過原點(diǎn)，不垂直于坐標(biāo)軸.在下面兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知：①直線與直線斜率之積為定值；②的面積為定值，證明：存在常數(shù)，使得，且點(diǎn)在橢圓上，并求出的值.
注：如果選擇兩個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
鞏固練習(xí)
練習(xí)一 向量共線問題
1．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為上頂點(diǎn)，，原點(diǎn)到直線的距離為.
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)斜率不為0的直線過點(diǎn)，與橢圓交于，兩點(diǎn)，若橢圓上一點(diǎn)滿足，求直線的方程.
2．已知，是其左右焦點(diǎn)，，直線過點(diǎn)交于兩點(diǎn)，在軸上方，且 在線段上，
(1)若是上頂點(diǎn)，，求；
(2)若，且原點(diǎn)到直線的距離為，求直線；
(3)證明：對于任意 ，使得的直線有且僅有一條.
3．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于P，A兩點(diǎn)，且．
(1)若λ＝1，求直線l的方程；
(2)設(shè)點(diǎn)E（a，0），直線PE與拋物線C的另一個(gè)交點(diǎn)為B，且．若λ＝4μ，求a的值.
4．已知，兩點(diǎn)分別在x軸和y軸上運(yùn)動(dòng)，且，若動(dòng)點(diǎn)G滿足，動(dòng)點(diǎn)G的軌跡為E.
(1)求E的方程；
(2)已知不垂直于x軸的直線l與軌跡E交于不同的A、B兩點(diǎn)，總滿足，證明：直線l過定點(diǎn).
5．設(shè)，分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，的離心率為，點(diǎn)是上一點(diǎn).
(1)求橢圓的方程；
(2)過點(diǎn)的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，且，求直線的方程.
6．已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)．橢圓過點(diǎn)．
(1)求橢圓的方程；
(2)過點(diǎn)的直線（不過坐標(biāo)原點(diǎn)）與橢圓交于A，兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在軸上方，點(diǎn)在軸下方，若，求直線的斜率．
7．已知、是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)，又軸.
(1)求橢圓的方程；
(2)經(jīng)過點(diǎn)的直線l與橢圓E相交于點(diǎn)C，D，并且，求直線l的方程.
8．曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為，C上的點(diǎn)M滿足，且直線的斜率之積等于．
(1)求C的方程；
(2)過點(diǎn)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，若，其中，證明：．
第五篇 解析幾何
專題08 解析幾何中的向量共線問題
常見考點(diǎn)
考點(diǎn)一 向量共線問題
典例1．如圖，分別是橢圓C：的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，軸，點(diǎn)A是橢圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn)，且，.
(1)求橢圓C的方程；
(2)已知M，N是橢圓C上的兩點(diǎn)，若點(diǎn)，，試探究點(diǎn)M，，N是否一定共線？說明理由.
【答案】(1)
(2)不一定共線，理由見解析
【解析】
【分析】
（1）由橢圓定義可得a，利用∽△BOA可解；
（2）考察軸時(shí)的情況，分析可知M，，N不一定共線.
(1)
由題意得，，
設(shè)，，
代入橢圓C的方程得，
，可得.
可得.
由，，所以∽△BOA，
所以，即，可得.
又，，得.
所以橢圓C的方程為.
(2)
當(dāng)軸時(shí)，，設(shè)，，
則
由已知條件和方程，可得，
整理得，，
解得或.
由于，所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M，，N共線；
所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M，，N不共線.
所以點(diǎn)M，，N不一定共線.
變式1-1．已知橢圓：的長軸長為6，離心率為，長軸的左，右頂點(diǎn)分別為A，B．
(1)求橢圓的方程；
(2)已知過點(diǎn)的直線交橢圓于M、N兩個(gè)不同的點(diǎn)，直線AM，AN分別交軸于點(diǎn)S、T，記，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)直線的傾斜角為銳角時(shí)，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)橢圓的長軸和離心率，可求得 ，進(jìn)而得橢圓方程；
（2）先判斷直線斜率為正，然后設(shè)出直線方程，和橢圓方程聯(lián)立，整理得根與系數(shù)的關(guān)系，利用直線方程求出點(diǎn)S、T的坐標(biāo)，再根據(jù)確定 的表達(dá)式，將根與系數(shù)的關(guān)系式代入化簡，求得結(jié)果.
(1)
由題意可得：
解得：，所以橢圓的方程：
(2)
當(dāng)直線l的傾斜角為銳角時(shí)，設(shè)，
設(shè)直線，
由得，
從而，又，得，
所以，
又直線的方程是：，令，
解得，所以點(diǎn)S為；
直線的方程是：，同理點(diǎn)T為·
所以，
因?yàn)椋裕?br>所以
．
∵，∴，
綜上，所以的范圍是．
變式1-2．已知拋物線，過點(diǎn)的直線與x軸交于點(diǎn)M，與C交于兩點(diǎn)A?B?O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線BO與直線交于點(diǎn)N.
(1)若直線AN平行于y軸.求m；
(2)設(shè)?，求.
【答案】(1)；
(2)
【解析】
【分析】
（1）由題意，設(shè)直線的方程為，求得的坐標(biāo)，再將直線與拋物線聯(lián)立，由直線AN平行于y軸，可得，結(jié)合韋達(dá)定理即可求解.
（2）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.
(1)
由題意知直線的斜率存在且不為0，設(shè)其方程為
令，解得，故
設(shè)
聯(lián)立，整理得
其中，，，則
直線的方程為
令，解得，則
若直線AN平行于y軸，則，即，解得.
(2)
，，，
若，則，則，即
同理可得
變式1-3．已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)A作傾斜角為的直線與C相交于A，B，且，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)求橢圓的離心率e；
(2)若，過點(diǎn)F作與直線平行的直線l，l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)．
①求的值；
②點(diǎn)M滿足，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為N，若，求的值．
【答案】(1)
(2)①；②.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)，求得點(diǎn)B得到坐標(biāo)，代入橢圓方程求解；
（2）①易知橢圓方程為：，設(shè)直線方程為：，
與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，由求解；②設(shè)，根據(jù)，得到，由，得到，根據(jù)P，Q，N在橢圓上，將點(diǎn)的在坐標(biāo)代入橢圓方程化簡求解.
(1)
解：由題意得：，
所以，代入橢圓方程得，即，
所以橢圓的離心率是；
(2)
①由（1）知：b=1, ，則橢圓方程為：，
設(shè)直線方程為：，
與橢圓方程聯(lián)立，消去x得，
設(shè)，
則，
則，
，
所以；
②設(shè)，因?yàn)椋裕?br>則，
因?yàn)椋?br>所以，則，
因?yàn)镻，Q，N在橢圓上，
所以，
則，
即，
由①知，
所以，解得.
典例2．已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為F（1，0），且橢圓C的離心率為，M，N為橢圓C上任意兩點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，t）（t≠0），且滿足.
(1)求橢圓C的方程；
(2)證明：M，F(xiàn)，N三點(diǎn)共線.
【答案】(1)；
(2)證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率求橢圓參數(shù)，寫出橢圓方程即可.
（2）設(shè)，由題設(shè)易知共線，共線，利用向量共線的坐標(biāo)表示有，再由M，N在橢圓上可得，最后由，結(jié)合分析法證明結(jié)論.
(1)
橢圓C的右焦點(diǎn)為，且離心率為，
∴a=2，c=1，則b2=a2-c2=3，
∴橢圓C的方程為.
(2)
由（1）知，的坐標(biāo)分別為，設(shè)，
∴，，，，
∵，，
∴三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，即，整理得，兩邊平方得，①
又M，N在橢圓上，則，代入①并化簡得，
又，，
∴要證M，F(xiàn)，N三點(diǎn)共線，只需證，即，只需證，整理得，
∴M，F(xiàn)，N三點(diǎn)共線.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，設(shè)，由向量共線得，利用分析法結(jié)合向量共線的坐標(biāo)表示只需證，最后由M，N在橢圓上求證即可.
變式2-1．設(shè)，，分別為橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)，過的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，直線的傾斜角為，到直線的距離為．
(1)求橢圓的焦距；
(2)如果，求橢圓的方程．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由題意可設(shè)直線的方程為，再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.
（2）由（1）可得，聯(lián)立方程消，再由得出兩交點(diǎn)縱坐標(biāo)的關(guān)系，再結(jié)合韋達(dá)定理求解即可.
(1)
解：因?yàn)橹本€的傾斜角為且過點(diǎn)，
所以直線的方程為，
到直線的距離為，
，解得，
橢圓的焦距.
(2)
由（1）可得，設(shè)，，
聯(lián)立，整理可得
，
解得①，②，
因?yàn)椋?，所以③?br>由①③得，④，
將④代入②得，整理得⑤，
因?yàn)椋?，代入⑤得?br>因?yàn)?，所以?br>故橢圓的方程為.
變式2-2．已知是x軸上的點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O為線段的中點(diǎn)，，是坐標(biāo)平面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段FG上，，.
(1)求的軌跡C的方程；
(2)A、B為軌跡C上任意兩點(diǎn)，且，Ｍ為AB的中點(diǎn)，求面積的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)給定的向量關(guān)系可得，再借助橢圓定義即可求解.
(2)由已知可得直線AB過點(diǎn)E，設(shè)出直線AB方程，與橢圓C的方程聯(lián)立求出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)即可列式計(jì)算作答.
(1)
取EG的中點(diǎn)為H，如圖，則，
由得：，則，于是得PH是線段EG的垂直平分線，
因此，，
從而得P點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)E，F(xiàn)為左右焦點(diǎn)，長軸長的橢圓，而，則，
所以的軌跡C的方程為.
(2)
，則，即，因此， A、B、E三點(diǎn)共線，
而，依題意，直線AB不垂直于坐標(biāo)軸，則設(shè)AB所在直線方程為，
由消去x并整理得：，設(shè)，
則，M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
于是得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，
所以面積的最大值為.
變式2-3．已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.
(1)求橢圓方程；
(2)已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓上非頂點(diǎn)的不同兩點(diǎn)，且直線不過原點(diǎn)，不垂直于坐標(biāo)軸.在下面兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知：①直線與直線斜率之積為定值；②的面積為定值，證明：存在常數(shù)，使得，且點(diǎn)在橢圓上，并求出的值.
注：如果選擇兩個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
【答案】(1)
(2)證明見解析，
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)離心率，將點(diǎn)代入橢圓方程，解得答案.
（2）設(shè)直線方程，聯(lián)立橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)題目條件化簡得到，根據(jù)向量關(guān)系計(jì)算點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，計(jì)算得到答案.
(1)
依題意,解得，.橢圓方程為.
(2)
設(shè)直線，由得，
，，，
若選①：
，
.
整理得.
由得，
，
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，
所以，.
若選②：
，整理得，
，，
.
由得
，
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，
所以，.
【點(diǎn)睛】
本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓中的向量求參數(shù)問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力，本題計(jì)算量較大，需要學(xué)生扎實(shí)的計(jì)算功底和細(xì)心，需要平時(shí)多練習(xí).
鞏固練習(xí)
練習(xí)一 向量共線問題
1．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為上頂點(diǎn)，，原點(diǎn)到直線的距離為.
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)斜率不為0的直線過點(diǎn)，與橢圓交于，兩點(diǎn)，若橢圓上一點(diǎn)滿足，求直線的方程.
【答案】(1)
(2)或
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)及原點(diǎn)到直線的距離可求，從而可求橢圓的方程.
（2）設(shè)直線的方程為，，，可用所設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示，聯(lián)立直線方程和橢圓方程 ，消元后利用韋達(dá)定理結(jié)合在橢圓上可求直線的方程.
(1)
由題意得，，
因?yàn)椋裕?br>由原點(diǎn)到直線：的距離為，
可得，解得，
所以橢圓的方程為.
(2)
因?yàn)橹本€的斜率不為0，且過點(diǎn)，
所以設(shè)直線的方程為，
設(shè)點(diǎn)，，
聯(lián)立方程，得，
則，，
因?yàn)?，所以?br>將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程得，
而，整理得到，
即，
解得，所以直線的方程為或.
2．已知，是其左右焦點(diǎn)，，直線過點(diǎn)交于兩點(diǎn)，在軸上方，且 在線段上，
(1)若是上頂點(diǎn)，，求；
(2)若，且原點(diǎn)到直線的距離為，求直線；
(3)證明：對于任意 ，使得的直線有且僅有一條.
【答案】(1)
(2)
(3)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)橢圓方程確定，以及，根據(jù)，即可求得答案;
（2）設(shè)，利用結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求得坐標(biāo)，再利用原點(diǎn)到直線的距離為，即可求得直線方程；
（3）設(shè)直線的斜率為，取中點(diǎn)，利用點(diǎn)差法求出k與直線OC的斜率之間的關(guān)系，即可證明結(jié)論.
(1)
由題意知： ,，因?yàn)椋?br>因?yàn)?，所以?br>所以；
(2)
設(shè)，其中，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，（舍去），所以，
故，則直線方程可以設(shè)為，
又因?yàn)榈街本€的距離為，
所以，
所以，得或，
當(dāng)時(shí)，直線方程為，此時(shí)（舍），
所以直線方程為.
(3)
設(shè)，，設(shè)直線的斜率為，連接，，取中點(diǎn)，
連接，可知為梯形的中位線，
因?yàn)椋?
由點(diǎn)差法得，得，
化簡得，即，
故當(dāng)確定時(shí)，也就只有唯一與對應(yīng)，
故對任意時(shí)，滿足條件的直線只有一條.
3．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于P，A兩點(diǎn)，且．
(1)若λ＝1，求直線l的方程；
(2)設(shè)點(diǎn)E（a，0），直線PE與拋物線C的另一個(gè)交點(diǎn)為B，且．若λ＝4μ，求a的值.
【答案】(1)；
(2)4.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)拋物線的對稱性可以判斷軸，進(jìn)而解出答案；
（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的方程，將直線方程代入拋物線方程并化簡，進(jìn)而根據(jù)平面向量間的關(guān)系及根與系數(shù)的關(guān)系得到間的關(guān)系.
(1)
由，知焦點(diǎn)是的中點(diǎn)，又拋物線C：關(guān)于x軸對稱，所以軸，所以直線l的方程.
(2)
設(shè)點(diǎn)，，由得①，
設(shè)直線l：與拋物線C：聯(lián)立得，
所以，②，
由①②可得，
設(shè)點(diǎn)，由得③，
直線PB：與拋物線C：聯(lián)立得，所以需要滿足，④，
由③④可得，
又，所以，因?yàn)?，解得，此時(shí).所以a的值為4.
【點(diǎn)睛】
本題為壓軸題，注意本題的突破口. 根據(jù)得到之后會(huì)發(fā)現(xiàn)，本題應(yīng)該涉及根與系數(shù)的關(guān)系，當(dāng)?shù)玫街?，?yīng)該確定了最終方向，即得到間的關(guān)系，最后解決問題.
4．已知，兩點(diǎn)分別在x軸和y軸上運(yùn)動(dòng)，且，若動(dòng)點(diǎn)G滿足，動(dòng)點(diǎn)G的軌跡為E.
(1)求E的方程；
(2)已知不垂直于x軸的直線l與軌跡E交于不同的A、B兩點(diǎn)，總滿足，證明：直線l過定點(diǎn).
【答案】(1)；
(2)證明見解析.
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得，結(jié)合和兩點(diǎn)坐標(biāo)求距離公式可得，將代入計(jì)算即可；
(2)設(shè)直線l的方程為：、，聯(lián)立橢圓方程并消去y，根據(jù)韋達(dá)定理表示出，利用兩點(diǎn)求斜率公式求出，結(jié)合題意可得，列出關(guān)于k和m的方程，化簡計(jì)算即可.
(1)
因?yàn)?，即?br>所以，則，
又，得，即，
所以動(dòng)點(diǎn)G的軌跡方程E為：；
(2)
由題意知，
設(shè)直線l的方程為：，，
則，
，消去y，得，
由，得，
，
直線的斜率為，直線的斜率為，
又，所以，即，
整理，得，
，
，
由，化簡得，
所以，
故直線過定點(diǎn).
5．設(shè)，分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，的離心率為，點(diǎn)是上一點(diǎn).
(1)求橢圓的方程；
(2)過點(diǎn)的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，且，求直線的方程.
【答案】(1)
(2)或
【解析】
【分析】
(1)按照所給的條件帶入橢圓方程以及e的定義即可；
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，表達(dá)出，解方程即可.
(1)
由題意知，，且，解得， ，所以橢圓的方程為.
(2)
由題意知，直線的斜率存在且不為0，故可設(shè)直線的方程為，設(shè) ，.
由得，
則……①，……②，
因?yàn)?，所以，?br>由可得…… ③
由①②③可得，
解得，，
所以直線的方程為或，
故答案為：，或.
6．已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)．橢圓過點(diǎn)．
(1)求橢圓的方程；
(2)過點(diǎn)的直線（不過坐標(biāo)原點(diǎn)）與橢圓交于A，兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在軸上方，點(diǎn)在軸下方，若，求直線的斜率．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)已知直接列方程組可得；
（2）由已知得A、B坐標(biāo)的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理可解.
(1)
由條件知，解得，因此橢圓的方程為．
(2)
解法一：設(shè)，，則，，設(shè)直線的方程為，代入橢圓的方程消去，得，由韋達(dá)定理得，，由，知，即，代入上式得，，所以，解得，結(jié)合圖形知，故直線的斜率為．
解法二：設(shè)，，則，，設(shè)直線的方程為，代入橢圓的方程消去，得，因此，，由，知，代入上式得，解得，結(jié)合圖形知，
故直線的斜率為．
7．已知、是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)，又軸.
(1)求橢圓的方程；
(2)經(jīng)過點(diǎn)的直線l與橢圓E相交于點(diǎn)C，D，并且，求直線l的方程.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由條件可得、，然后結(jié)合可解出答案；
（2）設(shè)直線的方程為，它與橢圓交于、，聯(lián)立直線與橢圓的方程消元，然后韋達(dá)定理可得，，然后由得，然后可解出答案.
(1)
由軸，得，
又由橢圓的通徑知，即，代入中，得，得，得，，
所以橢圓E的方程為；
(2)
設(shè)直線的方程為，它與橢圓交于、，
聯(lián)立直線與橢圓得：，①，②，
又由，得③，將③代入①②得：④，⑤，
再④將代入⑤并約分化簡得：，即，將代入（*）中得，
故這樣的直線存在，且其方程為.
8．曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為，C上的點(diǎn)M滿足，且直線的斜率之積等于．
(1)求C的方程；
(2)過點(diǎn)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，若，其中，證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）由橢圓定義可得到，再利用斜率公式及直線的斜率之積等于，列出方程，化簡對比系數(shù)可得；
（2）分直線l的斜率為0和不為0兩種情況討論，利用可得到T在定直線上，且該直線是的中垂線即可得到證明.
(1)
因?yàn)镃上的點(diǎn)M滿足，
所以C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，且，即，，
所以，
設(shè)，則，①
所以直線的斜率，直線的斜率，
由已知得，
即，②
由①②得，
所以C的方程為
(2)
當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，A與重合，B與重合，，，
成立.
當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)l的方程為
聯(lián)立方程組，消x整理得
所以，解得或
設(shè)，則，
由，得，所以
設(shè)，由，得，
所以，
所以，
所以點(diǎn)T在直線上，且，
所以是等腰三角形，且，
所以，
綜上，
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題第二問突破點(diǎn)是證明T在定直線上，且該直線是的垂直平分線，從而得到，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，轉(zhuǎn)化化歸思想.

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