常見(jiàn)考點(diǎn)
考點(diǎn)一 極值點(diǎn)偏移問(wèn)題
典例1．已知函數(shù)，．
(1)求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；
(2)若，求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
(3)若有兩個(gè)零點(diǎn)，，證明：．
變式1-1．已知函數(shù)，.
(1)若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，求實(shí)數(shù)a的值；
(2)若函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，.
（i）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（ii）當(dāng)時(shí)，證明：.
變式1-2．已知函數(shù).
(1)證明：在上為增函數(shù)；
(2)若，，證明：.
變式1-3．已知，（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，求證：.
典例2．已知函數(shù).
(1)求的極值.
(2)若，，證明：.
變式2-1．已知函數(shù)（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a為常數(shù)）．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）證明：當(dāng)函數(shù)有極大值，且極大值為a時(shí)，若方程（m為常數(shù)）有兩個(gè)不等實(shí)根則.
變式2-2．已知函數(shù) (，為常數(shù))在內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn).
（1）求參數(shù)的取值范圍；
（2）求證：.
變式2-3．已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；
（3）滿(mǎn)足（2）的條件下，記兩個(gè)零點(diǎn)分別為，證明：
鞏固練習(xí)
練習(xí)一 極值點(diǎn)偏移問(wèn)題
1．已知.
(1)若在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求的最小值.
(2)當(dāng)時(shí)，若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：.
2．已知函數(shù)
(1)求f（x）的極值和單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，證明.
3．已知，，
(1)若恒成立，求的最大值
(2)若，是的兩個(gè)零點(diǎn)，且求證：
4．已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，證明：.
5．已知函數(shù)，其中為常數(shù)，且．
(1)當(dāng)時(shí)，若在，上的最大值為1，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若，且函數(shù)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，，證明：．
6．已知函數(shù)．
(1)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
(2)若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，證明：．
7．已知.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，且.
8．已知函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，恒成立．
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若正實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，證明：．
第六篇 導(dǎo)數(shù)
專(zhuān)題08 利用導(dǎo)數(shù)處理極值點(diǎn)偏移問(wèn)題
常見(jiàn)考點(diǎn)
考點(diǎn)一 極值點(diǎn)偏移問(wèn)題
典例1．已知函數(shù)，．
(1)求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；
(2)若，求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
(3)若有兩個(gè)零點(diǎn)，，證明：．
【答案】(1)
(2)答案見(jiàn)解析
(3)證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
（1）求導(dǎo)，根據(jù)幾何意義求解即可；
（2）根據(jù)題意得，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增，故，再根據(jù)和討論函數(shù)值的分布求解即可；
（3）結(jié)合（2）得，，，使得，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明，再根據(jù)在上單調(diào)遞減只需轉(zhuǎn)化為證，再結(jié)合證明，再構(gòu)造函數(shù)，再研究函數(shù)的單調(diào)性得在上恒成立，進(jìn)而證明.
(1)
解：求導(dǎo)得，
所以，，
故切線(xiàn)方程是：；
(2)
解：由已知，，
所以當(dāng)，，單調(diào)遞減，
，，單調(diào)遞增，
，
當(dāng)時(shí)，趨近于時(shí)，函數(shù)趨近于，且，趨近于時(shí)，函數(shù)趨近于，此時(shí)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)趨近于時(shí)，函數(shù)趨近于，趨近于時(shí)，函數(shù)趨近于，此時(shí)函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)；
(3)
解：由（2）知，，，使得，
，要證，即證，
，，
又且在上單調(diào)遞減，
需證，即證，
，
即證，
故令，即，
∴，
∵時(shí)，，所以，即，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，
∵，∴在上恒成立，
，得證，
．
【點(diǎn)睛】
本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，考查運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力，是難題.本題第三問(wèn)解題的關(guān)鍵在于結(jié)合極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明，，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性證明.
變式1-1．已知函數(shù)，.
(1)若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，求實(shí)數(shù)a的值；
(2)若函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，.
（i）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（ii）當(dāng)時(shí)，證明：.
【答案】(1)2
(2)（i）；（ii）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
（1）利用切線(xiàn)方程可得，，即可求；
（2）（i）要使在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，需滿(mǎn)足在內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，設(shè)，得，通過(guò)分類(lèi)討論參數(shù)，可求a的取值范圍；
（ii）證法不唯一，可設(shè)，由轉(zhuǎn)化得，要證即證，令，通過(guò)構(gòu)造，，結(jié)合即可求證；證法二方法類(lèi)同于一，可作參考.
(1)
因?yàn)?，則，
又，所以在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即，
又該切線(xiàn)為，則且，所以；
(2)
（i）函數(shù)定義域?yàn)椋?br>因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，
即等價(jià)于函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，.
設(shè)，由，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，至多只有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，在上，單調(diào)遞增；
在上，單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則必有，
即，解得，
又，
易證，證明如下：
令，，
當(dāng)時(shí)，，單減，當(dāng)時(shí)，單增，
故，故，得證.
，所以在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，
故有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a的范圍為；
（ii）法1：由（i）可知，是的兩個(gè)零點(diǎn)，不防設(shè)，
由且，得.
因?yàn)?br>令，則，
記，，
由，令，.
又，則，即，
所以在上單調(diào)遞增，故，即成立.
所以不等式成立.
法2：欲證，由，，則只需證：.
不妨設(shè)，則且，
則，
所以
令，則，
記，，
由，即在上單調(diào)遞增，
故，即成立.
故.
【點(diǎn)睛】
本題考查由切線(xiàn)方程求參數(shù)，由函數(shù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，函數(shù)不等式恒成立的證明，難度較大.對(duì)于含參極值點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷問(wèn)題，需對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，將問(wèn)題細(xì)化，才能進(jìn)一步確定參數(shù)范圍.不等式恒成立證明往往需要將所求問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)，借鑒放縮法進(jìn)行證明，本題中令，代換成對(duì)數(shù)函數(shù)證明的方法，往往用于處理零點(diǎn)（極值點(diǎn)）不等式問(wèn)題，需要多多積累，方能游刃有余.
變式1-2．已知函數(shù).
(1)證明：在上為增函數(shù)；
(2)若，，證明：.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
（1）由題可知，利用導(dǎo)數(shù)可求最小值，即證；
（2）由題可得，要證，只需證，，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即證.
(1)
由題意，，
令，則，令，則，
故在區(qū)間上，，為減函數(shù)；
在區(qū)間上，，為增函數(shù)，
∴，
故，故在上為增函數(shù).
(2)
由（1）知為增函數(shù)，且，故由，，
可得，則.
欲證：，只需證：，即證：，即證：.
令，則，
令，則，
故為增函數(shù)，，故為增函數(shù)，，
故，則，
∴.
變式1-3．已知，（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，求證：.
【答案】(1)時(shí)，增區(qū)間為：，減區(qū)間為：；時(shí)，增區(qū)間為：；時(shí)，增區(qū)間為：，減區(qū)間為：
(2)證明見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】
（1）求導(dǎo)函數(shù)，討論參數(shù)的取值范圍即可求解單調(diào)區(qū)間；
（2）解法一：先證：，即證：，令函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)判斷單調(diào)性可證明，從而得；
解法二：由，令利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，再構(gòu)造，求導(dǎo)分析單調(diào)性即可證明，從而有，即.
(1)
解：
∵，∴時(shí)，，
∴時(shí)，增區(qū)間為：，減區(qū)間為：；
時(shí)，，∴時(shí)，增區(qū)間為：；
時(shí)，，，
∴時(shí)，增區(qū)間為：，減區(qū)間為：；
綜上，時(shí)，增區(qū)間為：，減區(qū)間為：；時(shí)，增區(qū)間為：；時(shí)，增區(qū)間為：，減區(qū)間為：
(2)
解：由（1）知，時(shí)，增區(qū)間為：，減區(qū)間為：；
且時(shí)，，，函數(shù)的大致圖像如下圖所示
因?yàn)闀r(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，
所以，即，
不妨設(shè)，則；
先證：，即證：
因?yàn)椋?，又在單調(diào)遞增，
所以即證：
又，
所以即證：，即
令函數(shù)，，
則
因?yàn)椋?，，?br>函數(shù)在單調(diào)遞增，所以
因?yàn)?，所以，，?br>所以，所以
（2）解法二：因?yàn)闀r(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，
則兩個(gè)零點(diǎn)必為正實(shí)數(shù)，（）
等價(jià)于有兩個(gè)正實(shí)數(shù)解；
令（）
則（），在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且
令，，則
所以在單調(diào)遞增，
又，故，
又，所以，
又，所以，，
又在單調(diào)遞增，所以
所以，所以
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的第二問(wèn)關(guān)鍵在于構(gòu)造新函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)，層層地分析單調(diào)性，從而證明，再結(jié)合均值不等式求得結(jié)果．
典例2．已知函數(shù).
(1)求的極值.
(2)若，，證明：.
【答案】(1)極大值為，的極小值為
(2)證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
（1）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性即得解；
（2）由（1）可知，設(shè)，，證明在上恒成立，即得解.
(1)
（1）由題意可得.
當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以在與上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
故的極大值為，的極小值為.
(2)
證明：由（1）可知.
設(shè)，，
則
.
設(shè)，則.
因?yàn)?，所以在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，所以在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，所以在上恒成?
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?
由（1）可知在上單調(diào)遞增，且，，
則，即.
變式2-1．已知函數(shù)（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a為常數(shù)）．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）證明：當(dāng)函數(shù)有極大值，且極大值為a時(shí)，若方程（m為常數(shù)）有兩個(gè)不等實(shí)根則.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】
（1）求導(dǎo)函數(shù)，討論參數(shù)與即可分析函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，即可求出，求導(dǎo)分析單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)分析單調(diào)性即可證明結(jié)果．
【詳解】
（1）解：由題意可得.
①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減；
②當(dāng)時(shí)，令，令，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.；
（2）證明：由（1）可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，
且，解得，
∴（其中），則，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.
不妨設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，則.
令，
則，
∴在上單調(diào)遞減，于是，即，
當(dāng)時(shí)，，
又，∴，
又，且在上單調(diào)遞減，
，即．
變式2-2．已知函數(shù) (，為常數(shù))在內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn).
（1）求參數(shù)的取值范圍；
（2）求證：.
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．
【解析】
【分析】
（1）函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為在內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，利用函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在性定理即可得實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）要證，即證，構(gòu)造新函數(shù)，利用單調(diào)性即可證明．
【詳解】
解：(1)由，得.
記，由題意知，在上存在兩個(gè)零點(diǎn).
因?yàn)椋瑒t
當(dāng)時(shí)，，在上遞增，至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；
當(dāng)時(shí)，令，得．
（i）若，即時(shí)，在上遞減，在上遞增，
則 .
當(dāng)，且，，此時(shí)，
從而在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，
所以，在上存在兩個(gè)零點(diǎn).
（ii）若，即時(shí)，在上遞減，至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意.
（iii）若，且，即時(shí)，此時(shí)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，而在上沒(méi)有零點(diǎn)，不合題意.
綜上所述，；
（2）若函數(shù)在上存在兩個(gè)零點(diǎn)，
即，則，兩式相減可得
要證，即證
即
令，即
設(shè)，則
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，則
即，那么原不等式成立
變式2-3．已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；
（3）滿(mǎn)足（2）的條件下，記兩個(gè)零點(diǎn)分別為，證明：
【答案】（1）時(shí)，在定義域內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)，時(shí)，在上為單調(diào)減函數(shù)，在上為單調(diào)增函數(shù)；（2）；（3）證明見(jiàn)解析．
【解析】
【分析】
（1）運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)并結(jié)合分類(lèi)討論分析函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)果；
（2）由（1）的結(jié)論結(jié)合函數(shù)的極值、最值，討論即可求解參數(shù)的范圍；
（3）構(gòu)造新函數(shù)，運(yùn)用極值點(diǎn)偏移的證明方法證明即可.
【詳解】
（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞減，
時(shí)，令得，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
綜上，時(shí)，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
（2）時(shí)，由（1）知至多有一個(gè)零點(diǎn)，
時(shí)，由（1）知當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為
①當(dāng)時(shí)，由于，故只有一個(gè)零點(diǎn)，
②當(dāng)時(shí)，即，故沒(méi)有零點(diǎn)，
③當(dāng)時(shí)，即，
又，
由（1）知在上有一個(gè)零點(diǎn)．
又，
由（1）知）在有一個(gè)零點(diǎn)．
所以在上有兩個(gè)零點(diǎn)．
綜上，a的取值范圍為；
（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)，
則由（2）知，，且
令
有
由于
（且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立）
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在單調(diào)遞減，又，
所以即，
又，所以，
又由于，且在上單調(diào)遞增，
所以
所以.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的關(guān)鍵是通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合新函數(shù)及原函數(shù)的單調(diào)性確定證明結(jié)果.
鞏固練習(xí)
練習(xí)一 極值點(diǎn)偏移問(wèn)題
1．已知.
(1)若在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求的最小值.
(2)當(dāng)時(shí)，若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：.
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
（1）由在定義城內(nèi)單調(diào)遞增，得到在上恒成立，取，可得;
（2）當(dāng)時(shí)，由有兩個(gè)極值點(diǎn)，得到，令，利用導(dǎo)數(shù)求出，判斷出，利用對(duì)數(shù)均值不等式即可證明.
(1)
方法一：，取，得，
所以，，
時(shí)，，
所以取，時(shí)，，
，分子隨增大而增大，
而，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
而，得，符合單調(diào)遞增，所以.
方法二：，，
因?yàn)樵诙x城內(nèi)單調(diào)遞增，
所以在上恒成立，
故，設(shè)，
若，則當(dāng)時(shí)，，故在上恒成立，這不可能.
若，則在上恒成立，取，則有，故.
若，此時(shí)，
令，則為上的減函數(shù)，
而，
取，則當(dāng)時(shí)，
有，故在上存在唯一零點(diǎn)，
設(shè)該零點(diǎn)為，由零點(diǎn)存在定理可得.
故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
故在為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故.
所以，
因?yàn)?，故?br>所以，其中.
設(shè)，，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，
故，故即的最小值為.
(2)
方法一：當(dāng)時(shí)，，，，
則，令，，
令，下證恒成立，
，設(shè)分子為，
，所以在上單調(diào)遞增，，
所以在上恒大于，即在上恒大于，
所以，取，則，
所以，即.
方法二：當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，
所以，即，從而，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，
所以，
又因當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以，
由對(duì)數(shù)均值不等式得，從而，
所以.
2．已知函數(shù)
(1)求f（x）的極值和單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，證明.
【答案】(1)極小值，無(wú)極大值，（0，2）是單調(diào)遞減區(qū)間，在）是單調(diào)遞增區(qū)間
(2)證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
（1）直接求導(dǎo)確定單調(diào)性及極值；
（2）構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)確定其單調(diào)性，證明，結(jié)合的單調(diào)性，得到.
(1)
令得，
令得.
所以f（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在）上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，f（x）取得極小值，無(wú)極大值，
f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，2）.
(2)
設(shè)，則為g（x）的兩個(gè)零點(diǎn)；
所以.不妨設(shè)，
由（1）知，g（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
所以.
所以證明不等式等價(jià)于，
又因?yàn)?，，g（x）在上單調(diào)遞增，
因此證明不等式等價(jià)于證明，
即證明，
即，
即恒成立，
令，
則，
所以h（x）在（0，2）上為減函數(shù)，
所以，
即恒成立，
因此不等式恒成立，
即
【點(diǎn)睛】
本題關(guān)鍵點(diǎn)在于構(gòu)造函數(shù)，借助單調(diào)性證明，進(jìn)而得出結(jié)論，屬于極值點(diǎn)偏移的常規(guī)解法，注意積累掌握.
3．已知，，
(1)若恒成立，求的最大值
(2)若，是的兩個(gè)零點(diǎn)，且求證：
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
（1）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，再求最小值，然后解不等式即可；
（2）通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，再研究其單調(diào)性，通過(guò)單調(diào)性解不等式即可.
(1)
時(shí)，，
設(shè)，則恒成立恒成立，
易知符合要求，下面考慮的情形，
由，得時(shí)，；時(shí)，，
因此，在區(qū)間上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故的最小值為，
由，得，解得，
所以的最大值為.
(2)
由（1）知，，是的兩個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合的單調(diào)性可知，，
若，則顯然成立，
若，設(shè)（），
則，，
所以，在區(qū)間上為增函數(shù)，因此有，
因此，，，
又，，且在區(qū)間上為減函數(shù)，
所以，，即.
綜上，.
4．已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，證明：.
【答案】(1)答案見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
（1）求出，分、討論可得答案；
（2）記，求出，分、討論時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，求出得，設(shè)，即證，即證，構(gòu)造函數(shù)，利用的單調(diào)性可得答案.
(1)
，得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，令，解得，
所以當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
(2)
由題可知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，
記，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，令，得，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，
所以，解得.所以不妨設(shè)，
要證，即證，
因?yàn)?，，又在單調(diào)遞減，
所以即證，即證，
構(gòu)造函數(shù)，
所以
，
所以函數(shù)在單調(diào)遞增，且，
所以當(dāng)時(shí)，，
即，所以，即，得證.
【點(diǎn)睛】
本題考查了導(dǎo)數(shù)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，解題的關(guān)鍵點(diǎn)是構(gòu)造函數(shù)，其步驟有 (1)求解原函數(shù)的單調(diào)性；(2)利用分析法反推，把自變量的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)的大小關(guān)系；(3)利用得出的函數(shù)大小關(guān)系構(gòu)造新函數(shù)；(4)對(duì)新函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用其單調(diào)性以及函數(shù)取值的上或下界限即可證.
5．已知函數(shù)，其中為常數(shù)，且．
(1)當(dāng)時(shí)，若在，上的最大值為1，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若，且函數(shù)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，，證明：．
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
（1）由題知，進(jìn)而分，，，四種情況討論求解即可得答案；
（2）根據(jù)題意，不妨設(shè)，則，，再構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明即可.
(1)
解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>①當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，其最大值為，不符合題意；
②當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在，，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
，，所以，不符合題意；
③當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在，，在，單調(diào)遞減，其最大值為，不符合題意；
④當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在，，上單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減，
，，所以，符合題意；
綜上所述，實(shí)數(shù)的值為；
(2)
證明：，
令，得，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在，遞減，在單調(diào)遞增，
函數(shù)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，，
不妨設(shè)，則，，
構(gòu)造函數(shù)，，則，
，
在單調(diào)遞減，，
，恒成立．
，恒成立．
即，
，，且函數(shù)在單調(diào)遞增，
，．
【點(diǎn)睛】
本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的的最值，極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，考查運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力，分類(lèi)討論思想等，是難題.本題第一問(wèn)解題的關(guān)鍵在于求導(dǎo)得，進(jìn)而分類(lèi)討論求解；第二問(wèn)解題的關(guān)鍵在于結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)得，，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解.
6．已知函數(shù)．
(1)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
(2)若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，證明：．
【答案】(1)答案見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
（1）先通過(guò)求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分類(lèi)討論即可求解；
（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的單調(diào)性后再求解即可.
(1)
因?yàn)?，所?不是的零點(diǎn)．
當(dāng)，可變形為，
令，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即直線(xiàn)與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
因?yàn)?，，得，又?br>所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
因?yàn)?，且?dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)．
(2)
證明：由（1）知，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)．
設(shè)，則，
由得，
所以，即．
令，則，
易得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
要證，即證．
因?yàn)?，且在上單調(diào)遞增，所以只需證．
因?yàn)?，所以即證．
令，
則，
所以在上單調(diào)遞減．
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?，故?br>7．已知.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，且.
【答案】(1)答案見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
（1）分類(lèi)討論并利用導(dǎo)數(shù)去判定函數(shù)的單調(diào)性即可解決；
（2）構(gòu)造新函數(shù)并利用導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系去證明轉(zhuǎn)化后的不等式即可解決.
(1)
的定義域?yàn)?
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
(2)
當(dāng)時(shí)，，由（1）知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以
，所以在區(qū)間上存在零點(diǎn)，
因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，故在區(qū)間上存在唯一的零點(diǎn)；
因?yàn)椋栽趨^(qū)間上存在零點(diǎn)，
因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，所以在區(qū)間存在唯一的零點(diǎn).
所以，函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).
不妨設(shè).
要證，只需證明，
因?yàn)樵?，e）單調(diào)遞增且，所以只需證明
，又，只需證明
設(shè)，
，
當(dāng)時(shí)，，
所以，所以在上單調(diào)遞增，
所以，所以，
所以成立.故有.
【點(diǎn)睛】
導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問(wèn)題．注意分類(lèi)討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．
8．已知函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，恒成立．
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若正實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，證明：．
【答案】(1)；
(2)證明見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意，求出導(dǎo)函數(shù)，分類(lèi)討論當(dāng)和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合時(shí)，恒成立，從而得出實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）不妨設(shè)，由得出，從而可知只要證明，構(gòu)造新函數(shù)，求出，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性得出在區(qū)間上單調(diào)增函數(shù)，進(jìn)而可知當(dāng)時(shí)，成立，即，從而即可證明.
(1)
解：根據(jù)題意，可知的定義域?yàn)椋?br>而，
當(dāng)時(shí)，，，
為單調(diào)遞增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，成立；
當(dāng)時(shí)，存在大于1的實(shí)數(shù)，使得，
當(dāng)時(shí)，成立，
在區(qū)間上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，；
不可能成立，
所以，即的取值范圍為.
(2)
證明：不妨設(shè)，
正實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，
有（1）可知，，
又為單調(diào)遞增函數(shù)，
所以，
又，
所以只要證明：，
設(shè)，則，
可得，
當(dāng)時(shí)，成立，
在區(qū)間上單調(diào)增函數(shù)，
又，
當(dāng)時(shí)，成立，即，
所以不等式成立，
所以.
【點(diǎn)睛】
思路點(diǎn)睛：解決含參數(shù)問(wèn)題及不等式問(wèn)題注意兩個(gè)轉(zhuǎn)化：
（1）利用導(dǎo)數(shù)解決含有參數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，要注意分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；
（2）將不等式的證明、方程根的個(gè)數(shù)的判定轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題處理，一般需要通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題．

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