（1）求橢圓的方程；
（2）直線與橢圓交于，兩點，為坐標原點，，若，求面積的最大值.
2．已知橢圓的焦距為，且點在上.
（1）求的方程；
（2）若直線與相交于，兩點，且線段被直線平分，求(為坐標原點)面積的最大值.
3．已知拋物線：的焦點為，過點且垂直于軸的直線交拋物線于?兩點，且.
（1）求拋物線的方程；
（2）設直線過點且與拋物線交于兩點，點在拋物線上，點在軸上，，直線交軸于點，且點在點的右側，記的面積為，的面積為，求的最小值.
4．如圖所示，?分別是橢圓：()的左?右焦點，點在橢圓上.當最大時，且.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）直線與橢圓的另一交點為，過作直線的垂線，與圓交于?兩點，求四邊形面積的最大值.
5．已知點，圓：，點是圓上任意一點，線段的垂直平分線和半徑相交于點.
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）若直線：與圓：相切，并與軌跡交于不同的兩點，，且，求面積的最大值.
6．如圖，過橢圓的左右焦點分別做直線，交橢圓于四點，設直線的斜率為
（1）求（用k表示）；
（2）若直線的斜率之積為，求四邊形面積的取值范圍．
7．已知橢圓，拋物線，點，斜率為的直線交拋物線于兩點，且，經(jīng)過點的斜率為的直線與橢圓相交于兩點.
（1）若拋物線的準線經(jīng)過點，求拋物線的標準方程和焦點坐標：
（2）是否存在，使得四邊形的面積取得最大值？若存在，請求出這個最大值及的值；若不存在，請說明理由.
8．已知直線與圓相切，動點到與兩點距離之和等于，兩點到直線的距離之和.
（1）設動點的軌跡為，求軌跡的方程；
（2）對于橢圓，上一點，以為切點的切線方程為.設為上任意一點，過點作軌跡的兩條切線，，，為切點.
①求證直線過定點；
②求面積的最大值.
9．如圖，設橢圓，長軸的右端點與拋物線的焦點重合，且橢圓的離心率為.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過作直線交拋物線于?兩點，過且與直線垂直的直線交橢圓于另一個點，求面積的最小值時直線的方程.
10．已知橢圓的離心率為，其長軸長為.
（1）求橢圓的方程；
（2）直線交于、兩點，直線交于、兩點，若.求四邊形的面積.
11．已知圓的方程為，直線的方程為，點為平面內一動點，是圓的一條切線為切點），并且點到直線的距離恰好等于切線長．
（Ⅰ）求點的軌跡方程；
（Ⅱ）已知直線的方程為，過直線上一點作（Ⅰ）中軌跡的兩條切線，切點分別是，兩點，求面積的最小值．
12．如圖，已知拋物線，過點的直線 交拋物線于，兩點，點是直線上的動點，且 （其中為坐標原點）．
（1）若直線的傾斜角為，求點到直線的距離；
（2）求面積的最小值及取得最小值時直線的方程．
13．已知、分別為橢圓的左、右頂點，點為橢圓的上頂點，直線與的斜率之積為．
（1）求橢圓的方程；
（2）設橢圓的左、右焦點分別為、，點、為橢圓上位于軸上方的兩點，且，求四邊形面積的取值范圍．
14．已知橢圓的離心率是，兩條準線間的距離為4.
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）若是橢圓E的長軸上（不包含端點）的動點，過T作互相垂直的兩條直線分別交橢圓E于A、C和B、D，求四邊形ABCD的面積的最大值.
15．在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點.
（1）求橢圓的方程；
（2）設、、、是橢圓上互異的四點（點在第一象限），其中、關于原點對稱，、關于軸對稱，且，求四邊形面積的最大值.
參考答案
1．（1）；（2）1.
【分析】（1）由條件可得，解出即可；
（2）分直線的斜率不存在、直線的斜率存在兩種情況，當直線的斜率存在時，設的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程消元，然后韋達定理表示出、，然后表示出點的坐標，然后由可得，然后表示出，然后利用基本不等式可求出其最值.
【解析】（1）因為橢圓的長軸長為4，離心率為
所以，解得，所以
所以橢圓的方程為
（2）當直線的斜率不存在時，可得的方程為，易得
的面積為
當直線的斜率存在時，設的方程為
聯(lián)立可得
所以
所以，因為，所以
化簡可得
因為原點到直線的距離為
所以
因為，當且僅當時，等號成立，
此時由可解得，此時也滿足
所以
綜上可得：面積的最大值為1
【點評】 涉及橢圓的弦長、中點、距離等相關問題時，一般利用根與系數(shù)的關系采用“設而不求”“整體帶入”等解法.
2．（1）；（2）最大值為.
【分析】（1）由題得，求出即可得出方程；
（2）利用點差法可得，設出直線方程，與橢圓聯(lián)立，利用弦長公式和點到直線距離公式即可表示出三角形面積，根據(jù)m的取值范圍可求最值.
【解析】解：（1）依題意可知，解得，
故的方程為.
（2）易得直線的方程為，
設，，為的中點，其中，
因為，在橢圓上，所以，
兩式相減可得.
可設直線的方程為，
聯(lián)立，整理得，
則，
解得，則，，
則，
原點到直線的距離，
則的面積.
當且僅當，即時，的面積有最大值，且最大值為.
【點評】 解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：
（1）得出直線方程，設交點為，；
（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關于（或）的一元二次方程；
（3）寫出韋達定理；
（4）將所求問題或題中關系轉化為形式；
（5）代入韋達定理求解.
3．（1）；（2）最小值為.
【分析】（1）將代入拋物線方程，利用構造方程求得，即可得到結果；
（2）設，得到方程后可求得點坐標，由知為的重心，利用重心坐標表示可求得點坐標，由直線求得，根據(jù)點在點右側確定的范圍；利用可將表示為關于的函數(shù)的形式，利用換元法和基本不等式可求得最小值.
【解析】（1）由已知可得：焦點，
將代入拋物線的方程，可得：，則，解得：，
拋物線的方程為；
（2）設，，，，
令，則，
直線過點，直線的方程為，
將其與聯(lián)立并消去得：，
由根與系數(shù)的關系得：，即，，
，為的重心，
，，
，則，
，
，，
則直線的方程為，令得：，即，
點在點的右側，，即，
，
令，則，
，（當且僅當，即時取等號），
的最小值為.
【點評】 求解直線與拋物線綜合應用中的與三角形面積有關的最值（取值范圍）問題的基本思路如下：
①假設直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，整理為關于或的一元二次方程的形式；
②利用或其他限制條件求得變量的取值范圍；
③利用變量表示出所求三角形的面積；
④通過換元法將所求內容轉化為關于某一變量的函數(shù)的形式，利用函數(shù)的單調性或基本不等式求解出最值（范圍）.
4．（1）；（2）最大值為.
【分析】（1）當最大時，點與橢圓的上頂點或下頂點重合，設，由余弦定理得關系式，再由得值，從而求得得橢圓方程；
（2）當直線的斜率不存在時，直接求出四邊形面積，當直線的斜率存在時，設直線的方程為，?，直線方程代入橢圓方程應用韋達定理得，由弦長公式求得弦長，再求得到直線的距離，由圓中弦長公式求得弦長，求得四邊形面積表示為的函數(shù)，由函數(shù)知識求得其取值范圍．
【解析】（1）當最大時，點與橢圓的上頂點或下頂點重合，
設，則①，
②，
由①②得，，于是，
∴橢圓的標準方程是；
（2）當直線的斜率不存在時，，，
則四邊形的面積是，
當直線的斜率存在時，設直線的方程為，?，
將與聯(lián)立并消去，整理得，
恒成立，則，，
則，
由于直線與直線垂直，且經(jīng)過點，∴直線的方程為，
∴點到直線的距離為，∴，
則四邊形的面積：
，
由于，∴，
于是(當時取得最大值)，
綜上可知，四邊形面積的最大值為.
【點評】本題考查求橢圓方程，考查直線與橢圓相交中的面積范圍問題．解題方法是“設而不求”的思想方法，即設交點坐標為，設直線方程，代入橢圓方程后應用韋達定理得（需要根據(jù)方便性，可能得），由弦長公式求得弦長，同樣由圓中弦長公式求得圓中弦長，目的是把四邊形面積表示為參數(shù)的函數(shù)求得取值范圍，同時需要求得斜率不存在時的面積，才能得出正確結論．
5．（1）；（2）.
【分析】（1）利用垂直平分線的性質可得，符合橢圓定義，則可根據(jù)定義確定，進而求得軌跡方程；
（2）利用直線與圓相切可得之間關系；將直線方程與橢圓方程聯(lián)立后，得到韋達定理的形式，利用弦長公式可表示出，結合關系可將表示為關于的函數(shù)，由可求得的范圍，利用換元法可求得的最大值，代入三角形面積公式可求得結果.
【解析】（1）由圓的方程可知：圓心，半徑，
由題意可知：，
動點的軌跡為焦點在軸上的橢圓，
設：， 則，，即，，
，
動點的軌跡的方程為：.
（2），則圓的圓心到的距離，則
聯(lián)立與得：，
，則，
設、，則，，
，
又，，，
又，，
，解得：，
，
令，，則，
，在上恒增，，
，即面積的最大值.
【點評】 求解直線與橢圓綜合應用中的三角形面積最值（取值范圍）問題的基本思路如下：
①假設直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關于或的一元二次方程的形式；
②利用求得變量的取值范圍，得到韋達定理的形式；
③利用韋達定理和點到直線距離表示出所求三角形的面積；
④通過換元法將所求三角形面積轉化為關于某一變量的函數(shù)的形式，利用函數(shù)的單調性求解出最值（范圍）.
6．（1）；（2）.
【分析】（1）求出焦點坐標，寫出直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達定理求出、，利用弦長公式即可求解；
（2）設，，直線CD的方程為，利用點到直線的距離公式分別求到直線的距離，，利用，再利用換元法和二次函數(shù)的性質即可求解.
【解析】（1）由可得：，，所以，所以，
設，．由已知得：直線的方程為，
由得，即，
所以，．
故．
（2）設，．由已知得，，
故直線CD的方程為，即．
設分別為點到直線AB的距離，
則．
又到直線在異側，則
由得，，即，
故．
所以，
從而，
因為，不妨令，令，可得，
令，因為，所以，
所以，
二次函數(shù)對稱軸為，開口向下，
當時，單調遞增，時， 單調遞減，
所以時，；當時，；
當時，，
所以，
所以，，
因此，．
【點評】解決圓錐曲線中的范圍或最值問題時，若題目的條件和結論能體現(xiàn)出明確的函數(shù)關系，則可先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時常從以下幾個方面考慮：
①利用判別式構造不等關系，從而確定參數(shù)的取值范圍；
②利用已知參數(shù)的范圍，求出新參數(shù)的范圍，解題的關鍵是建立兩個參數(shù)之間的等量關系；
③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；
④利用函數(shù)值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．
7．（1）標準方程為，焦點(1，0)；（2）存在，面積最大為，.
【分析】(1)由拋物線的準線方程根據(jù)條件可得可求出的值，從而得到答案.
(2) 設，由，即得到設點到的距離，則四邊形的面積，然后方程聯(lián)立求出弦長，由點到直線的距離公式求出，從而求出答案.
【解析】解：（1）拋物線的準線方程焦點坐標，
則拋物線的標準方程為焦點(1，0)
（2）設
由得點在直線上，且
設點到的距離，四邊形的面積.
由,得
則,則
因為所以
所以
由的斜率分別為 可設
有
故直線，令
則直線代入橢圓方程，得
點到的距離，
四邊形的面積
當且僅當時面積最大為
【點評】關鍵點睛：本題考查求拋物線的方程和求四邊形面積的最值問題，解答本題的關鍵是用點的坐標表示出故直線，令，進一步表示出，再求出點到的距離，得到，屬于難題.
8．（1）；（2）①證明見解析；②最大值為.
【分析】（1）由為，中點，得，兩點到直線的距離之和為點到直線的距離的2倍，這樣可得點軌跡是橢圓，根據(jù)求得橢圓方程；
（2）①設，，，寫出切線方程代入點坐標，得直線方程，由方程可得定點坐標；
②直線方程為與橢圓方程聯(lián)立消元后得，變形得，然后計算三角形面積，利用換元、基本不等式可得最大值．
【解析】（1）依題意有為，中點，，兩點到直線的距離之和為點到直線的距離的2倍，又與圓相切，，即動點到與兩點距離之和等于為，動點的軌跡方程為.
（2）①.設，，，過，的橢圓切線方程為，則，，直線方程為，即，顯然過定點.
②.直線方程為，聯(lián)立橢圓方程得
顯然，，，
面積.
令，，
則.當且僅當，時等號成立.
故面積的最大值為.
【點評】本題考查求橢圓標準方程，直線與橢圓的位置關系，直線過定點問題及三角形面積最大問題．解題方法是根據(jù)橢圓的定義求得橢圓標準方程；設動點的坐標，寫出直線方程，由直線方程得定點；設而不求的思想方法結合韋達定理求得三角形面積，用基本不等式得最大值．考查了學生的運算求解能力，邏輯思維能力．
9．（1）；（2）.
【分析】（1）由已知求得，再由橢圓的離心率求得c,繼而求得b ，得橢圓的標準方程；
（2）過點F(2, 0)的直線l的方程設為:，設,聯(lián)立，整理得，求得，同理求得，表示的面積為：，令，所以，
利用導函數(shù)可求得最值.
【解析】解：（1）橢圓長軸的右端點與拋物線的焦點F重合，，又橢圓C1的離心率是，，
橢圓C1的標準方程為；
（2）過點F(2, 0)的直線l的方程設為:，設,聯(lián)立，整理得，
所以，，
過F且與直線l垂直的直線設為：，聯(lián)立，整理得：，
設點 ，，，
所以的面積為：，令，所以，
則，令，得，當時，， 單調遞減，當時，， 單調遞增，所以當時，有最小值，
此時，的面積最小，
即當時，的面積最小值為9，
此時直線l的方程為：.
【點評】本題考查求橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系中三角形面積的最值問題，關鍵在于設出直線方程，用一個變化的量表示三角形的面積.
10．（1）；（2）.
【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關于、、的方程組，解出這三個量的值，由此可得出橢圓的方程；
（2）求出以及點到直線的距離，可得出四邊形的面積關于、的表達式，將代入四邊形的面積的表達式，化簡即可得解.
【解析】（1）由已知得，解得，
因此，橢圓的方程為；
（2）設、，則、，
聯(lián)立，則，
，同理可得，
且到直線的距離，
所以，
又
所以.
【點評】 求定值問題常見的方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；
（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
11．（Ⅰ）；（Ⅱ）4.
【分析】（Ⅰ）設點的坐標為，故根據(jù)題意得，進而整理即可得答案；
（Ⅱ）設，，由導數(shù)的幾何意義得曲線在點處的切線方程分別為，，設直線上一點，進一步得直線的方程為，進而與（I）中的方程聯(lián)立并結合韋達定理得，點到直線的距離，進而求得面積并根據(jù)二次函數(shù)性質求最值即可.
【解析】解：（Ⅰ）設點的坐標為，，
則點到直線的距離，
經(jīng)過點作圓的切線，切線長為，
因此，整理可得，
即點的軌跡方程為：；
（Ⅱ）對拋物線，求導可得，
故在處的切線方程為：，整理可得：，
同理在處的切線方程為：，
設直線上一點，
，故，在直線上，
即直線的方程為．
聯(lián)立可得．
，，
點到直線的距離，
面積，
當且僅當時取等號，故面積的最小值為4．
【點評】關鍵點點睛：
(1)解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系．
(2)涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．
12．（1）；（2）最小值為，直線的方程為．
【分析】（1）根據(jù)題意可得直線的方程為，再由可知直線的方程為，進而求出，，利用點到直線的距離公式即可求解.
（2）①當直線的斜率不存在時，求出；當直線的斜率存在時，可設直線的方程為以及直線的方程為，將直線與拋物線聯(lián)立，利用弦長公式求出，再求出，，利用點到直線的距離公式求出點到直線的距離，將面積表示即可求解.
【解析】解：（1）因為直線的傾斜角為，且過點，
所以直線的方程為，
又，所以直線的方程為，
因為是直線上的動點，所以，，
所以到直線的距離為；
（2）①當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時，，
所以的面積為；
②當直線的斜率存在時，易得直線的斜率不為0，
可設直線的方程為，
與拋物線的方程聯(lián)立，可得，
則，設，，，，
則，，
所以
，
因為，所以直線的方程為，
因為是直線上的動點，所以，，
所以到直線的距離，
所以，
綜上可得，，
故的面積的最小值為，此時直線的方程為．
【點評】關鍵點點睛：本題考查了直線與拋物線的位置關系，解題的關鍵是利用弦長公式求出以及點到直線的距離，根據(jù)三角形的面積公式得出，考查了計算能力，分類討論的思想.
13．（1）；（2）.
【分析】（1）由已知條件可得出，利用斜率公式結合直線與的斜率之積為可求得的值，進而可得出橢圓的方程；
（2）由題意可知，直線不與軸重合，可設直線，，延長交橢圓于另一點，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，可得出關于的表達式，利用基本不等式以及不等式的基本性質可求得四邊形面積的取值范圍．
【解析】（1）由已知可得：，、，即可得，解得：，
所以橢圓的方程為；
（2）由（1）知：、，
若直線與軸重合，此時也與軸重合，不合乎題意.
設直線，，延長交橢圓于另一點，
由得，，
則得，
由點與關于原點對稱知，
所以，
，
因為（當時，等號成立）．
所以．
所以，即．
【點評】 利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設直線方程，設交點坐標為、；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關系轉化為、的形式；
（5）代入韋達定理求解.
14．（1）；（2）.
【分析】（1）根據(jù)題意得到方程組，由此求解出的值，根據(jù)求解出的值，則橢圓的方程可知；
（2）根據(jù)條件分類討論：兩條直線是否都有斜率；當其中一條直線的斜率不存在時，直接計算出面積并求最大值，當直線的斜率都存在時，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理的形式表示弦長，根據(jù)面積公式表示出面積，結合取值特點以及不等式求解出面積范圍，從而得到四邊形的面積的最大值.
【解析】（1）因為，所以，所以，所以的標準方程為；
（2）當兩條直線的斜率一個不存在另一個為時，不妨設，
所以，，
所以，當時有最大值；
當兩條直線的斜率都存在時，設，，
因為，所以，所以，
所以，
同理可得：，
所以
因為，所以，
所以，
綜上可知四邊形的面積的最大值為.
【點評】 求解橢圓中過定點的兩條互相垂直的弦所圍成四邊形面積的最值的思路：
（1）先分析直線的斜率有不存在的情況，此時計算線段長度直接求解出面積；
（2）再分析直線的斜率均存在的情況，此時設出其中一條直線方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)弦長公式表示出對應的弦長，同理可求解出另外一條弦長，根據(jù)面積公式表示出對應的面積，再根據(jù)基本不等式或二次函數(shù)性質或構造函數(shù)求解出面積的范圍；
（3）兩種情況統(tǒng)一分析得到最終四邊形面積的最值.
15．（1）；（2）.
【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關于、、的方程組，解出這三個量的值，由此可得出橢圓的方程；
（2）設點，可得出點、，設點，寫出直線的方程，將直線與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，可求得四邊形面積為，可得出，令，設，利用導數(shù)求出的最大值，進而可得出四邊形面積的最大值.
【解析】（1）由已知條件可得，解得，因此，橢圓的方程為；
（2）設點，則點、，設點，
直線的斜率為，因為，則直線的方程為，
聯(lián)立，消去并整理可得，
由韋達定理可得，
因為，所以四邊形的面積為，
，
令，，則，
當時，，此時函數(shù)單調遞增；
當時，，此時函數(shù)單調遞減.
所以，，.
因此，四邊形面積的最大值為.
【點評】 圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：
一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來求最值；
二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調性或三角函數(shù)的有界性等求最

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新高考數(shù)學一輪復習圓錐曲線專題36《圓錐曲線的面積問題》（2份打包，解析版+原卷版）

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專題36：圓錐曲線的面積問題35頁

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備戰(zhàn)2022高考數(shù)學圓錐曲線專題36：圓錐曲線的面積問題35頁（含解析）

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