（1）設點的軌跡為曲線，求曲線的方程；
（2）若過點且不與軸重合的直線與（1）中曲線交于，兩點，當取最大值時，求的面積．
2．已知橢圓C：，過點的直線l交橢圓C于點A，B.
（1）當直線l與x軸垂直時，求；
（2）在x軸上是否存在定點P，使為定值？若存在，求點P的坐標及的值；若不存在，說明理由.
3．已知橢圓：，為的左、右焦點.
（1）求橢圓的焦距；
（2）點Q為橢圓一點，與OQ平行的直線l與橢圓交于兩點A、B，若△QAB面積為1，求直線l的方程；
（3）已知橢圓與雙曲線：在第一象限的交點為，橢圓和雙曲線上滿足的所有點組成曲線C．若點N是曲線C上一動點，求的取值范圍.
4．如圖，橢圓C:的右頂點為A，上頂點為B，動直線交橢圓C于M、N兩點，且滿足，過原點O作OH⊥MN，垂足為H.
（1）求點H的軌跡方程；
（2）求的取值范圍.
5．設橢圓的右頂點為A，上頂點為B，離心率為，.
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線與橢圓交于P，Q兩點，直線與直線AB交于點M，且點P，M均在第四象限.若，求的值.
6．已知為圓上任意一點，點，線段的垂直平分線交直線于，動點的軌跡為曲線.
（1）求曲線的方程；
（2）已知直線，、，為曲線上的點且與、不重合，直線和直線分別與相交于、，問是否為定值，若是，求出定值；若不是，請說明理由.
7．已知橢圓，，為橢圓的左、右頂點，點，連接交橢圓于點，為直角三角形，且
（1）求橢圓的方程；
（2）過點的直線與橢圓相交于另一點，線段的垂直平分線與軸的交點滿足，求點的坐標.
8．平面直角坐標系中，經過橢圓的一個焦點的直線與C相交于A、B兩點，H為AB的中點，且OH的斜率為.
（1）求橢圓C的方程.
（2）直線過橢圓C的右焦點F且與橢圓C交于P、Q兩點，點G為橢圓的左頂點，直線，連接GP、GQ并延長與直線分別交于點M、N，點、，且.求的取值范圍.
9．已知橢圓的焦距為，且過點.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過橢圓的右焦點作直線交橢圓于、兩點，交軸于點，若，，求證：為定值.
10．已知橢圓過點，焦距為2.
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點作兩條直線，且，切橢圓C于M，交橢圓C于A，B不同兩點，求的取值范圍.
11．如圖，已知橢圓，，分別為橢圓的左、右焦點，為橢圓的上頂點，直線交橢圓于另一點．
（1）若，求橢圓的離心率．
（2）若橢圓的焦距為2，且，求橢圓的方程．
12．已知橢圓過點且離心率為．設P為圓上任意一點，過點P作該圓的切線交橢圓于E，F兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）試判斷是否為定值？若為定值，則求出該定值；否則，請說明理由．
13．定義：已知橢圓，把圓稱為該橢圓的協(xié)同圓.設橢圓的協(xié)同圓為圓(為坐標系原點)，試解決下列問題：
（1）寫出協(xié)同圓圓的方程；
（2）設直線是圓的任意一條切線，且交橢圓于兩點，求的值；
（3）設是橢圓上的兩個動點，且，過點作，交直線于點，求證：點總在某個定圓上，并寫出該定圓的方程.
14．是否存在過點的直線交橢圓于點、，且滿足？若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由．
參考答案
1．（1）；（2）.
【分析】 （1）由條件可得，然后可得答案；
（2）設方程為，，，聯立直線與橢圓的方程消元，然后韋達定理可得、，然后表示出，然后可得答案.
【解析】 （1）依題意有．
即點軌跡是以，為焦點的橢圓．
故點的軌跡方程為．
（2）設方程為，，，，，
得，，．
，當時取最大值14．
此時，∴，，
．
2．(1) (2) 存在點，使得
【分析】 (1)將代入橢圓方程求出點A，B的坐標，從而可得答案.
(2)當直線l與x軸不重合時，設，與橢圓方程聯立，寫出韋達定理，將的坐標表達式寫出來，將韋達定理代入，分析式子為定值的條件，再驗證直線l與x軸重合時的情況，可得答案.
【解析】 (1) 當直線l與x軸垂直時,直線
將代入，得，解得
即,所以
(2) 設
當直線l與x軸不重合時，設
由，可得
則
所以 ，

當，即時，的值為定值與無關.
當直線l與x軸重合時，且時，
所以存在點，使得為定值.
【點評】關鍵點睛：本題考查橢圓中的弦長和定點定值問題，解答本題的關鍵是由方程聯立得到韋達定理，由向量數量積將韋達定理代入可得，從而得出答案，屬于中檔題.
3．（1）；（2）；（3）.
【分析】 （1）求得橢圓的a，b，c，可得焦距2c；
（2）設，代入，運用韋達定理和弦長公式、點到直線的距離公式，三角形的面積公式，解方程可得m，進而得到直線方程；
（3）求得M的坐標，設N（x，y）是曲線C上一點，運用向量的坐標運算，可得，分別討論M在橢圓上和雙曲線上，化簡整理可得所求范圍.
【解析】 解：（1）由橢圓：，
可得，，，
則橢圓的焦距為；
（2）由，設，代入得，
由，得，
，
所以，
又Q到直線l的距離為，
由，
所以；
（3）由，解得，
設是曲線C上一點，
則，，，
所以；
當點N在曲線上時，，
當時，，
當時，，
所以；
當點N在曲線上時，；
當時，，；
綜上，.
【點評】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：
(1)注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；
(2)強化有關直線與橢圓聯立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．
4．（1）；（2）.
【分析】 （1）求得橢圓，得、坐標，設，直線的方程為，與橢圓方程聯立，利用韋達定理表示可得答案；
（2）設，則，表示與的距離的平方減去5的差，再轉化為圓心到點距離加減半徑的長的平方減去5的取值范圍，可得答案.
【解析】 （1）設，直線的方程為，與橢圓方程聯立得，
所以，因為，所以，
即，所以，
整理得，
點到直線的距離為，
所以點的軌跡方程為.
（2）由橢圓C:，得，右頂點，上頂點，
設，則
，表示與的距離的平方減去5的差，
轉化為求圓上的點到的距離的平方減去5的取值范圍，
再轉化為圓心到點距離加減半徑的長的平方減去5的取值范圍，
即為最大值為，最小值為
所以的取值范圍.
【點評】本題考查了橢圓的方程和性質，以及直線和橢圓的位置關系，關鍵點是利用韋達定理和向量的數量積的坐標表示，考查了分析問題、解決問題的能力，及運算能力.
5．（1）；（2）
【分析】 （1）由題意可知，，再結合，即可求得，從而得到橢圓的方程；
（2）設點P的坐標為，點M的坐標為 ，由題意可得，易知直線的方程為，由方程組可得，由方程組可得，結合，可得或，經檢驗的值為.
【解析】 （1）設橢圓右頂點為，上頂點，
由題意知，，即
又橢圓離心率，即，
又由，可得，從而．
所以，橢圓的方程為．
（2）設點P的坐標為，點M的坐標為，由題意，，
則點的坐標為，，
由，可知，即．
由點，點，易知直線的方程為，
由方程組消去y，QQ群333528558
可得，由方程組消去，可得．
由，可得，整理得，解得或．
當時，，不合題意，舍去；
當時，，，符合題意．
所以，的值為．
【點評】思路點睛：解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：
（1）注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；
（2）強化有關直線與橢圓聯立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．
6．（1）；（2）是定值，定值為.
【分析】 （1）推導出，利用橢圓的定義可知曲線為橢圓，確定焦點位置、長軸長以及焦距，可得出、的值，進一步可得出的值，由此可得出曲線的方程；
（2）設直線的方程為，設直線的方程為，求出、的坐標，設點，利用斜率公式計算出，進而可計算得出的值.
【解析】 （1）由于線段的垂直平分線交直線于，由中垂線的性質可得，
，
所以動點在以、為焦點的橢圓上，
設該橢圓的標準方程為，設，則，，
所以，，因此，曲線的方程為；
（2）依題意可知直線、的斜率均存在且不為，
設直線的方程為，設直線的方程為，則，.
可得，，，
設點，則有，可得，
則，，，
因此，（定值）.
【點評】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；
（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
7．（1）；（2），.
【分析】 （1）用待定系數法求橢圓方程；
（2）設出直線l，表示出M的坐標，利用，求出點的坐標.
【解析】 （1）
由題意可得：三角形為等腰直角三角形，所以2a=4，即a=2.
又由，，所以，
代入得：，解得：b=1.
所以橢圓的方程為
（2）由（1）可知.設點的坐標為，
直線的斜率顯然存在，設為，則直線的方程為
于是，兩點的坐標滿足方程組，由方程組消去并整理，
得
由，得，從而，
設線段是中點為，則的坐標為
以下分兩種情況：
①當時，點的坐標為.線段的垂直平分線為軸，于是，
由得
②當時，線段的垂直平分線方程為
令，解得
，
整理得，
綜上或.
點的坐標是，.
【點評】（1）待定系數法可以求二次曲線的標準方程；
（2）"坐標法"是解析幾何中常見的基本方法，把題目中的條件用坐標翻譯出來，把幾何條件轉化為代數運算.
8．（1）；（2）.
【分析】 （1）設代入橢圓方程兩式相減化簡得，利用且OH的斜率為可得，結合可得答案；
（2）設直線的方程，，求出直線的方程得到坐標，求出直線的方程得到坐標，聯立與橢圓的方程聯立利用韋達定理表示，得到，再設，則再用表示可得答案.
【解析】 （1）由題意，設，直線與軸交于點，
所以，又，兩式相減得，即，所以，
又，所以，
橢圓C的方程為.
（2）由已知得，，設直線的方程為，，
由的方程與橢圓的方程聯立，整理得，
所以，直線的斜率為，
，
直線的斜率為，則，
直線的斜率為，直線的方程為，則，
，，所以
，因為，設，則
，因為，所以，
所以的取值范圍.
【點評】本題考查了橢圓的方程、直線和橢圓的位置關系，第一問中關鍵點是利用了點差法，第二問的關鍵點是利用韋達定理和表示，考查學生分析問題、解決問題的能力，具有一定的難度.
9．（1）；（2）證明見解析.
【分析】 （1）由已知條件可得出關于、的方程組，解出、的值，即可得出橢圓的方程；
（2）由題意可知，直線的斜率存在，設直線的方程為，設點、、，聯立直線與橢圓的方程，列出韋達定理，由，可得出、的表達式，結合韋達定理可計算得出為定值.
【解析】 （1）因為橢圓的焦距為，所以，
又橢圓過點，，且滿足，
可得，，橢圓的標準方程為：；
（2）設點、，，
由題意可知，直線的斜率存在，可設直線的方程為，
聯立，可得，
由于點在橢圓的內部，直線與橢圓必有兩個交點，
由韋達定理可得，，
，，，
得，，
，，
.
【點評】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；
（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
10．（1）；（2）.
【分析】 （1）首先得到橢圓的焦點坐標，再根據橢圓的定義求，得到橢圓的標準方程；（2）分兩種情況討論，當直線的斜率為0時，得到的值，當直線的斜率不為0時，設，與橢圓方程聯立得到，再和直線與橢圓方程聯立，利用根與系數的關系表示，并求范圍.
【解析】 （1），焦點坐標,,根據橢圓定義可知
，
所以，
所以橢圓方程是：
（2）當的斜率為0時，，
當的斜率不為0時，設，代入橢圓C的方程可得
由得
又代入橢圓C的方程可得
設，，則
得
∴
令，
∴
綜上∴.
【點評】 本題考查利用韋達定理，解決范圍問題，首先討論直線的斜率為0，這種情況容易忽略，代入韋達定理解決問題，注意計算，當出現次數較高時，需觀察式子，合理利用換元，解決問題.
11．（1）；（2）．
【分析】 （1）由題可得是等腰直角三角形，可得，即可求出離心率；
（2）可得，，由向量關系求出點B坐標，代入橢圓可求.
【解析】 （1），為上頂點，
，，，．
又，．
（2）橢圓的焦距為，，．
設，，．
又，
，，
又點在橢圓上，，，
又，，
∴橢圓的標準方程為．
【點評】本題考查向量共線問題，解題的關鍵是將向量共線問題轉化為坐標關系，利用點在橢圓上求參數.
12．（1）；（2）是，為定值.
【分析】 （1）由題可得，解方程組求出的值，
QQ群333528558
即可求解；
（2）首先討論切線斜率不存在的情況計算的值，當切線斜率存在時，設切線方程為，點，，，利用直線與圓相切得出，并求出切點坐標，聯立直線與橢圓的方程，利用韋達定理可得，， 化簡計算即可求解.
【解析】 （1）由題可得，解得，
所以橢圓的方程為．
（2）①當過點且與圓相切的切線斜率不存在時，
由對稱性，不妨設切線方程為，
則，，，所以．
②當過點且與圓相切的切線斜率存在時，
不妨設切線的方程為，
設點，，，
將直線方程與圓的方程聯立并整理，
得，
由直線與圓相切易得圓心到直線的距離 即，
因為，所以，
聯立直線和橢圓的方程并整理，
得，
則，
所以，．
所以

．
綜上可知，為定值．
【點評】思路點睛：圓錐曲線中求定值的問題，通常需要聯立方程，得到二次方程后利用韋達定理、結合題中條件（比如斜率關系，向量關系，距離關系，面積等）直接計算，即可求出結果，運算量較大.QQ群333528558
13．（1）；（2）；（3）證明見解析，定圓的方程為.
【分析】 （1）由協(xié)同圓的定義，結合橢圓方程的參數寫出協(xié)同圓圓的方程；
（2）討論直線的斜率存在和不存在兩種情況：斜率不存在時，直接求出交點坐標，利用向量數量積的坐標表示求；斜率存在時，設聯立橢圓方程，由切線的性質確定判別式符號，應用根與系數關系、向量數量積的坐標表示求；
（3）設，則，討論有一條直線的斜率不存在和兩條直線的斜率都存在，分別求，，，由等面積法求，即可證結論，并寫出定圓方程.
【解析】 （1）由橢圓，知.
根據協(xié)同圓的定義，可得該橢圓的協(xié)同圓為圓.
（2）設，則.
直線為圓的切線，分直線的斜率存在和不存在兩種情況討論：
①當直線的斜率不存在時，直線.
若，由，解得，此時.
若，同理得：.
②當直線的斜率存在時，設.
由，得，有，又直線是圓的切線，故，可得.
∴，則，而.
∴，即.
綜上，恒有.
（3）是橢圓上的兩個動點且，設，則.
直線：有一條直線的斜率不存在和兩條直線的斜率都存在兩種情況討論.
若直線的斜率不存在，即點在軸上，則點在軸上，有.
∴，，且，
由，解得.
若直線的斜率都存在，設，則.
由，得，有；同理，得.
于是，.
由，可得.
因此，總有，即點在圓心為坐標原點，半徑為的圓上.
∴該定圓的方程為圓.
【點評】 研究直線與曲線相交關系注意討論直線的斜率是否存在，求出交點坐標或聯立橢圓、直線方程，根據判斷判別式的符號、根與系數關系，結合題設已知條件列方程求定值或定曲線.
14．存在，且直線的方程為或.
【分析】 假設存在滿足題意的直線，對直線的斜率是否存在進行分類討論，將直線的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理或求出交點坐標，結合可求出直線的方程.
【解析】 假設存在滿足題意的直線.
①當直線的斜率不存在時，直線的方程為，可得、，
此時，，不合乎題意；
②當直線的斜率存在時，設直線的方程為，設點、，
聯立，消去并整理得，
，解得或.
由韋達定理可得，，
，
可得，解得，
所以，直線的方程為，
因此，存在直線或，使得.
【點評】利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設直線方程，設交點坐標為、；
（2）聯立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關系轉化為、的形式；
（5）代入韋達定理求

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