（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過橢圓右焦點(diǎn)的直線相互垂直，且分別交橢圓于和四點(diǎn)，求的最小值.
2．已知橢圓＝1上一點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為4．
（1）求a的值及橢圓的離心率；
（2）順次連結(jié)橢圓的頂點(diǎn)得到菱形A1B1A2B2，求該菱形的內(nèi)切圓方程；
（3）直線l與（2）中的圓相切并交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求的取值范圍．
3．如圖，點(diǎn)在拋物線外，過點(diǎn)作拋物線的兩切線，設(shè)兩切點(diǎn)分別為、，記線段的中點(diǎn)為．
（1）證明：線段的中點(diǎn)在拋物線上；
（2）設(shè)點(diǎn)為圓上的點(diǎn)，當(dāng)取最大值時，求點(diǎn)的縱坐標(biāo)．
4．如圖所示，已知點(diǎn)、是橢圓的兩個焦點(diǎn)，橢圓經(jīng)過點(diǎn)、，點(diǎn)是橢圓上異于、的任意一點(diǎn)，直線和與橢圓的交點(diǎn)分別是、和、.設(shè)、的斜率分別為、.
（1）求證：為定值；
（2）求的最大值.
5．已知橢圓的離心率為，過點(diǎn)的直線與有兩個不同的交點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與直線分別交直線于點(diǎn)，.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求線段的最小值.
6．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為橢圓上異于，的一點(diǎn)，且直線，的斜率之積為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線過右焦點(diǎn)與橢圓交于，兩點(diǎn)（，與不重合），不與軸垂直，若，求.
7．已知拋物線C：的焦點(diǎn)F與橢圓的右焦點(diǎn)重合，點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，直線，分別與拋物線相切于點(diǎn)，.
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線，的斜率分別為，，證明：為定值；
（3）求的最小值.
8．設(shè)橢圓E：（a，b>0）過M（2，） ，N(，1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，
（1）求橢圓E的方程；
（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點(diǎn)A，B，且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由.
9．已知，橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是C的上頂點(diǎn)，且直線的斜率為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，．若與C交于A，B兩點(diǎn)，與C交于D，E兩點(diǎn)，求 的最大值．
10．已知橢圓：四個頂點(diǎn)中的三個是邊長為的等邊三角形的頂點(diǎn).
（1）求橢圓的方程：
（2）設(shè)直線與圓：相切且交橢圓于兩點(diǎn)，，求線段的最大值.
11．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn).
（1）若的面積為，求直線的方程；
（2）若，求.
12．已知橢圓的一焦點(diǎn)F與拋物線的焦點(diǎn)重合，且離心率為．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，與橢圓交于C、D兩點(diǎn)，求的最大值．
參考答案
1．（1）；（2）.
【分析】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將點(diǎn)代入方程，由，結(jié)合即可求解.
（2）當(dāng)直線的斜率為時，分別求出，，可得；當(dāng)直線的斜率不存在時，求出；當(dāng)直線的斜率存在且不為時，直線的方程可設(shè)為，可得直線的方程為，分別將直線與橢圓聯(lián)立，利用弦長公式求出，，可得，令，構(gòu)造函數(shù)即可求解.
【解析】 （1）由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
由，即
再由
可得①
將點(diǎn)代入橢圓方程，可得②
由①②可解得
故橢圓的方程為
（2）由（2）知，橢圓右焦點(diǎn)為，
設(shè)
當(dāng)直線的斜率為時，，直線，可得
所以
當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的斜率為
當(dāng)直線的斜率存在且不為時，直線的方程可設(shè)為，
則直線的方程為
整理得
恒成立，
則
而

聯(lián)立直線與橢圓方程可得
則
令
令
當(dāng)時，
則
所以，
綜上，，
當(dāng)時，的最小值為.
【點(diǎn)評】 本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長公式，解題的關(guān)鍵是利用弦長公式以及韋達(dá)定理得出，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算以及分類討論的思想.
2．（1）， ；（2） ；（3）．
【分析】（1）由焦距寫出a的值，結(jié)合橢圓方程求c，應(yīng)用離心率公式直接求離心率即可.
（2）由題設(shè)知菱形的棱長為，應(yīng)用等面積法即可求內(nèi)切圓的半徑，進(jìn)而寫出內(nèi)切圓方程；
（3）討論直線斜率不存在、為0、不為0三種情況，分別求的范圍，取并.
【解析】（1）∵橢圓上的點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為，
∴，即，而b＝2，則c＝2，
∴.
（2）由（1）知：菱形內(nèi)切圓的半徑，所以內(nèi)切圓方程為.
（3）①當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程為，代入橢圓方程得，此時；
②當(dāng)直線斜率為0時，直線方程為，代入橢圓方程得，此時；
③當(dāng)直線的斜率存在且不為0時，設(shè)直線方程為，由直線與圓相切得，即，
直線代入橢圓方程，可得，
設(shè)，則，
，
∴.
【點(diǎn)評】（1）由橢圓方程及焦距求參數(shù)，直接求離心率.
（2）根據(jù)橢圓各頂點(diǎn)連線所成棱形，結(jié)合內(nèi)切圓性質(zhì)求半徑，寫出圓的方程.
（3）討論直線斜率，結(jié)合橢圓方程求相交弦的弦長.
3．（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）求出直線、的方程，聯(lián)立這兩條直線的方程，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步可求得線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程即可證得結(jié)論成立；
（2）求出關(guān)于的表達(dá)式，換元，利用基本不等式可求得當(dāng)取最大值時對應(yīng)的的值，即可得出結(jié)果.
【解析】（1）設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，可得，
，，
所以，直線的方程為，即，
同理可知直線的方程為.
聯(lián)立，解得，即點(diǎn)，
線段的中點(diǎn)為，
所以，線段的中點(diǎn)為，
因此，，因此，線段的中點(diǎn)在拋物線上；
（2）由（1）知，，
，
，
令，則，
所以，，
所以，當(dāng)時，即當(dāng)時，取最大值，
此時，解得，
因此，當(dāng)取最大值時，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.
【點(diǎn)評】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：
一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；
二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．
4．（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）求得橢圓的方程為，設(shè)點(diǎn)，可得出，利用斜率公式可證得為定值；
（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立直線與橢圓的方程，列出韋達(dá)定理，可求得關(guān)于的表達(dá)式，進(jìn)而可得出關(guān)于的表達(dá)式，利用基本不等式可求得的最大值.
【解析】（1）證明：點(diǎn)、是橢圓的兩個焦點(diǎn)，故、的坐標(biāo)是、，
而點(diǎn)、是橢圓上的點(diǎn)，將、的坐標(biāo)代入的方程，得，
設(shè)，直線和的斜率分別是、，
，
又點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，故，則，
所以（定值）；
（2）直線的方程可表示為，
聯(lián)立方程組，得，
恒成立，
設(shè)、，則，，
，
同理可求得，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最大值等于.
【點(diǎn)評】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
5．（1）；（2）.
【分析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于的等式再求解即可.
（2）設(shè)直線方程為，再聯(lián)立直線與橢圓的方程,求得中點(diǎn)的坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理可得，再分析與兩種情況分別利用基本不等式求解最值即可.
【解析】 （1）依題意可知解得.
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）顯然直線斜率存在，設(shè)過點(diǎn)點(diǎn)的直線方程為，（，否則直線與直線無交點(diǎn).）
直線與橢圓的交點(diǎn)為.
由得，則，
，.
所以.
令，.
直線方程為，令，.
所以.
① 當(dāng)時，.
當(dāng)且僅當(dāng)時,即時等號成立；
② 當(dāng)時，.
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號成立.此時.
綜上，線段的取值范圍為.
故線段的最小值為.
【點(diǎn)評】思路點(diǎn)睛：
直線與橢圓的綜合問題的常見處理方法：
（1）對橢圓上兩點(diǎn)構(gòu)成的弦及其中點(diǎn)相關(guān)的題型，我們常用“點(diǎn)差法”，其中直線的斜率，中點(diǎn)的坐標(biāo)M為，點(diǎn)代入橢圓方程作差，就可以得到弦中點(diǎn)與直線斜率的關(guān)系式．
（2）對于弦長問題，我們常讓直線與橢圓方程組方程組，再利用韋達(dá)定理及弦長公式，建立關(guān)系式．其中弦長公式：（已知直線上的兩點(diǎn)距離）設(shè)直線，上兩點(diǎn)，所以或，斜率不存在時，解決相關(guān)問題.
6．（1）；（2）.
【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)在橢圓上以及，的斜率之積為，列出方程，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)出直線的方程以及，點(diǎn)的坐標(biāo)，與橢圓方程聯(lián)立，消去，利用韋達(dá)定理得出與的值，再根據(jù)列出方程，即可解出直線的斜率，從而利用弦長公式求得.
【解析】 （1）設(shè)，
由題意知：，，
，
，
解得：，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）根據(jù)題意，設(shè)，，直線，
由，
消去并整理得：，
則，
即，，
，，




，
又，
由，得：，
解得：，
，，
故.
【點(diǎn)評】方法點(diǎn)睛：(1)解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系；(2)涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．
7．（1）；（2）證明見解析；（3）4.
【分析】（1）由橢圓的方程可得右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，由題意可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得拋物線的方程；
（2）可設(shè)的坐標(biāo)，設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，消去得：，利用判別式等于零可得結(jié)論；
（3）設(shè)，的坐標(biāo)，由（2）可得參數(shù)，的關(guān)系，代入過的切線方程與拋物線的方程中，可得，用參數(shù)，表示的坐標(biāo)，代入弦長公式中求的表達(dá)式，由參數(shù)的范圍求出的最小值．
【解析】（1）由橢圓方程得，橢圓的右焦點(diǎn)為
拋物線的焦點(diǎn)為，，
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：．
（2）拋物線的準(zhǔn)線方程為．
設(shè)，
設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，
與拋物線方程聯(lián)立，消去得：．
其判別式△，令△，得：．
由韋達(dá)定理知，，
故（定值）．
（3）設(shè)，，，，由，得，
故，
所以，代入拋物線方程得，
所以，，，，
因?yàn)?，?br>所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．
當(dāng)且僅時取等號．
故的最小值為4．
【點(diǎn)評】求曲線弦長的方法：（1）利用弦長公式；（2）利用；（3）如果交點(diǎn)坐標(biāo)可以求出，利用兩點(diǎn)間距離公式求解即可.
8．（1）；（2）存在，，.
【分析】（1）根據(jù)橢圓E： （a，b>0）過M（2，） ，N(，1)兩點(diǎn)，直接代入方程解方程組即可.
（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點(diǎn)A，B，且，當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)該圓的切線方程為，聯(lián)立，根據(jù)，結(jié)合韋達(dá)定理運(yùn)算，同時滿足，則存在，否則不存在，當(dāng)切線斜率不存在時，驗(yàn)證即可；在該圓的方程存在時，利用弦長公式結(jié)合韋達(dá)定理得到求解.
【解析】（1）因?yàn)闄E圓E： （a，b>0）過M（2，） ，N(，1)兩點(diǎn)，
所以，解得，
所以，
所以橢圓E的方程為.
（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點(diǎn)A，B，且，
設(shè)該圓的切線方程為，聯(lián)立得，
則△=，即
，
，，
要使，需使，即，
所以，
所以，又，
所以，
所以，即或，
因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線，
所以圓的半徑為，，
所以，則所求的圓為，此時圓的切線都滿足或，
而當(dāng)切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點(diǎn)為或滿足，
綜上， 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點(diǎn)A，B，且.
因?yàn)椋?br>所以，
，
①當(dāng)時，，
因?yàn)?，所以，所以?br>所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取”=”.
② 當(dāng)時，.
③ 當(dāng)AB的斜率不存在時， 兩個交點(diǎn)為或，所以此時，
綜上， |AB |的取值范圍為，即：
【點(diǎn)評】思路點(diǎn)睛：1、解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題．涉及弦中點(diǎn)的問題常常用“點(diǎn)差法”解決，往往會更簡單．
2、設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則 (k為直線斜率)．
注意：利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進(jìn)行的，不要忽略判別式大于零．
9．（1）；（2）7．
【分析】（1）由已知條件，結(jié)合基本量的關(guān)系求得a,b的值，即可寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）在兩直線的斜率有一條不存在時，直接求得弦長并求得兩弦長的和；在斜率都存在時，設(shè)，與橢圓的方程聯(lián)立，判定直線與橢圓相交，并利用根據(jù)系數(shù)的關(guān)系和弦長公式求得|AB|關(guān)于m的表達(dá)式,同樣得到|DE|的函數(shù)表達(dá)式，得到|AB|+|DE|關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式，化簡整理，并作換元令，轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，適當(dāng)變形，配方，轉(zhuǎn)化為的二次函數(shù)型問題，利用二次函數(shù)的性質(zhì)并結(jié)合不等式的基本性質(zhì)得到所求弦長和的取值范圍，再與兩直線的斜率有一條不存在時求得的弦長和綜合，得到最后的結(jié)論.
【解析】 （1）由題意知，，則，
又，可得，
所以橢圓C的方程為．
（2）當(dāng)，其中一條的斜率不存在，其中一條的斜率為0時，兩條弦長分別為，，
則．
當(dāng)，的斜率都存在時，設(shè)，
設(shè)，，聯(lián)立，
化簡可得，，
所以，，
所以．
同理可得，
所以
．
令，
則
，
根據(jù)，得．
綜上可知，的最大值為7．
【點(diǎn)評】本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，弦長，最值問題，屬中高檔題，難度較大.其中利用換元思想轉(zhuǎn)化求取值范圍是關(guān)鍵點(diǎn).
10．（1）；（2）.
【分析】（1）由題意可得，再根據(jù)邊長為得出的值便可解出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)，，先根據(jù)直線與圓相切，利用點(diǎn)到線距離公式得到，然后聯(lián)立直線與橢圓方程，利用弦長公式得到關(guān)于與的表達(dá)式，將代入得到關(guān)于的表達(dá)式，然后設(shè)法求最值.
【解析】 （1）由題意，橢圓上下頂點(diǎn)與左右頂點(diǎn)其中的一個構(gòu)成等邊三角形，
∴，，∴ ，，橢圓：
（2）設(shè)，，
因?yàn)閳A：，因?yàn)橹本€與圓：相切，
所以點(diǎn)到直線的距離等于圓的半徑，即，
即.聯(lián)立方程得，設(shè)，則，，
故
.
當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立.所以弦長的最大值是.
【點(diǎn)評】本題考查橢圓方程的求解，考查直線與橢圓相交時弦長的最值問題，難度較大.解答時，利用韋達(dá)定理表示弦長的表達(dá)式是關(guān)鍵，然后利用基本不等式、函數(shù)等方法求其最值.
11．（1）或；（2）.
【分析】（1）本題首先可以設(shè)、，然后對直線斜率為0這種情況進(jìn)行討論，易知這種情況不滿足題意，再然后對直線斜率不為0這種情況進(jìn)行討論，可設(shè)直線的方程為，通過聯(lián)立直線方程與橢圓方程并借助韋達(dá)定理得出、，最后通過求出的值，即可得出結(jié)果；
（2）本題首先可根據(jù)得出，然后結(jié)合題（1）得出、，再然后兩者聯(lián)立，計算出的值，最后通過即可得出結(jié)果.
【解析】（1）設(shè)、，
因?yàn)闄E圓方程為，所以，，
當(dāng)直線斜率為0時，直線的方程為，
聯(lián)立，解得，則，
，不滿足題意；
當(dāng)直線斜率不為0時，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，得，
由韋達(dá)定理得、，
則
，
整理得，解得，或（舍去），
故，直線的方程為或.
（2）設(shè)、，
因?yàn)椋?，?br>由（1）可知，，
故，，
聯(lián)立，得，解得，
所以.
【點(diǎn)評】本題考查橢圓與直線相交的相關(guān)問題的求解，考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查韋達(dá)定理的靈活應(yīng)用，考查焦點(diǎn)弦的長度計算，考查計算能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是難題.
12．（1）；（2）.
【分析】（1）首先求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得的值，結(jié)合離心率以及，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）分析直線斜率存在與不存在兩種情況，當(dāng)斜率不存在時可直接求出、 即可得比值，當(dāng)斜率存在時，設(shè)出直線的方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用弦長公式把用斜率表示出來，然后用基本不等式求最值.
【解析】（1）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以橢圓的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即 ，
又橢圓離心率為，所以，故可求得，
所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線，
此時易求得，，所以，
當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線，聯(lián)立橢圓方程得：
設(shè)，，則，
所以
所以
同理，將直線方程與曲線聯(lián)立得：
設(shè)，，則，
所以
所以
所以，即的最大值為．
【點(diǎn)評】本題主要考查了求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線和橢圓的位置關(guān)系，考查了弦長公式以及基本不等式求最值，屬于較難

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