1．若橢圓的弦被點平分，則此弦所在的直線方程是（ ）
A．B．C．D．
2．已知拋物線，直線交拋物線于兩點，是的中點，過作軸的垂線交拋物線于點，且，若，則k為（ ）
A．B．C．D．2
3．已知橢圓的左焦點為F，過點F的直線與橢圓C相交于不同的兩點，若P為線段的中點，O為坐標原點，直線的斜率為，則橢圓C的方程為（ ）
A．B．C．D．
4．已知雙曲線，斜率為的直線交雙曲線于、，為坐標原點，為的中點，若的斜率為，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
5．已知直線經(jīng)過定點，與拋物線交于兩點，且點為弦的中點，則直線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
6．已知雙曲線上存在兩點M，N關于直線對稱，且的中點在拋物線上，則實數(shù)b的值為（ ）
A．0或B．0C．D．
二、填空題
7．已知過拋物線的焦點且傾斜角為的直線交拋物線于、兩點，則線段的中點到軸的距離是______．
8．雙曲線的一個焦點為，中心為原點，過的直線與C交于，兩點，若的中點為，則此雙曲線的漸近線方程為________．
三、解答題
9．已知橢圓的左、右焦點分別為，過的直線不垂直坐標軸，與橢圓交于兩點，M是的中點．
（1）若點M的橫坐標為，求點M的縱坐標；
（2）記的斜率分別為，是否存在直線使得成等差數(shù)列，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．
10．已知橢圓，經(jīng)過點且斜率為的直線與相交于兩點，與軸相交于點.
（1）若，且恰為線段的中點，求證：線段的垂直平分線經(jīng)過定點；
（2）若，設分別為 的左、右頂點，直線、相交于點.當點異于時，是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.
11．已知橢圓方程為，左右焦點分別為，直線過橢圓右焦點且與橢圓交于A、B兩點，
（1）若為橢圓上任一點，求的最大值，
（2）求弦AB中點M的軌跡方程，
12．如圖，、是離心率為的橢圓：的左、右焦點，過作軸的垂線交橢圓所得弦長為，設、是橢圓上的兩個動點，線段的中垂線與橢圓交于、兩點，線段的中點的橫坐標為1.
（1）求橢圓的方程；
（2）求的取值范圍.
13．如圖，設橢圓兩頂點，短軸長為4，焦距為2，過點的直線與橢圓交于兩點．設直線與直線交于點.
（1）求橢圓的方程；
（2）求線段中點的軌跡方程；
（3）求證：點的橫坐標為定值.
14．已知拋物線過點，且P到拋物線焦點的距離為2直線過點，且與拋物線相交于A，B兩點.
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）若點Q恰為線段AB的中點，求直線的方程；
（Ⅲ）過點作直線MA，MB分別交拋物線于C，D兩點，請問C，D，Q三點能否共線？若能，求出直線的斜率；若不能，請說明理由.
15．設A、B是橢圓上的兩點，點是線段AB的中點，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點．
（1）求直線AB的方程；
（2）判斷A、B、C、D四點是否在同一個圓上？若是求出圓的方程，若不是說明理由．
16．過橢圓＋＝1內一點M(2，1)引一條弦，使弦被M點平分．
（1）求此弦所在的直線方程；
（2）求此弦長．
參考答案
1．A
【分析】設直線交橢圓于，，把兩點坐標代入橢圓方程，利用點差法求得斜率，然后求解直線方程．
【解析】設弦所在的直線與橢圓交，
則，兩式相減得：，
因為弦中點為，
所以，
所以，
即
則直線方程為：,
化簡得 ．
故選：A．
【點評】本題主要考查了直線與橢圓相交的位置關系， “點差法”的解題思想方法，直線方程的求法，屬于中檔題．
2．B
【分析】設,,根據(jù)向量運算可得，聯(lián)立直線與拋物線方程，由根與系數(shù)的關系即可求解k.
【解析】設，
則，
由，
，
，
，①
即，
由得，
當，即時
，
代入①得：
即，
解得或（舍去），
故選：B
【點評】本題主要考查了拋物線的方程，直線與拋物線的位置關系，向量運算，屬于難題.
3．D
【分析】設出兩點的坐標，代入橢圓方程，作差變形，利用斜率公式和中點坐標可求得結果.
【解析】設，因為直線過，所以，得，
所以，
設，
由，得，得，
因為P為線段的中點，O為坐標原點，
所以，，
所以，
又在直線上，所以，
所以，即，將其代入，得，，
所以橢圓C的方程為.
故選：D
【點評】 本題使用點差法求解，一般涉及到弦的中點和斜率問題的題目可以使用點差法，步驟如下：
①設出弦的兩個端點的坐標；
②將弦的兩個端點的坐標代入曲線方程；
③作差變形并利用斜率公式和中點坐標公式求解.
4．A
【分析】設點、，利用點差法求得，進而可得出雙曲線的離心率為，即可得解.
【解析】設點、，則，
由題意，得，，兩式相減，得，整理得，
所以，
因此，雙曲線的離心率為，
故選：A.
【點評】 求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：
（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；
（2）齊次式法：由已知條件得出關于、的齊次方程，然后轉化為關于的方程求解；
（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.
5．B
【分析】利用點差法求出直線斜率，即可得出直線方程.
【解析】由直線得
所以 解得 則
設，
則，兩式相減得，
即，
則直線方程為，即.
故選：B.
【點評】 點差法是求解中點弦有關問題的常用方法.
6．A
【分析】設，，的中點，根據(jù)點M，N在雙曲線上，且P為中點，利用點差法得到，再由M，N關于直線對稱，得到，則，又點在直線上，得到，聯(lián)立求得點P,代入拋物線方程求解.
【解析】設，，的中點，
因為，
所以；
又因為，
所以；
又因為M，N關于直線對稱，
所以，即；
又因為點在直線上，所以；
由，可得，
所以，
即或，
故選：A.
【點評】 圓錐曲線上兩點關于直線的對稱問題主要有聯(lián)立方程法和點差法兩種解法．
7．
【分析】將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出線段的中點的橫坐標，由此可得出結果.
【解析】拋物線的焦點為，設點、，
由題意可知，直線的方程為，
聯(lián)立，消去并整理得，
由韋達定理可得，則線段的中點的橫坐標為.
因此，線段的中點到軸的距離是.
故答案為：.
【點評】 利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設直線方程，設交點坐標為、；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關系轉化為、的形式；
（5）代入韋達定理求解.
8．
【分析】設，，由題中條件設雙曲線方程為，將兩點坐標代入雙曲線方程，兩式作差化簡整理，得到，求出，即可得出雙曲線的漸近線方程.
【解析】由題意，可設雙曲線方程為，，，
因為過的直線與C交于，兩點，的中點為，所以，，，，
又，兩式作差可得，即，
則，即，
又，所以，因此，則，
所以此雙曲線的漸近線方程為.
故答案為：.
【點評】思路點睛：
求解圓錐曲線的中點弦問題時，一般需要先設弦兩端點的坐標，將兩點代入曲線方程，兩式作差整理，得到直線斜率與弦中點坐標之間關系，進而即可求解.
9．（1）；（2），理由見解析
【分析】（1）設出直線的方程聯(lián)立橢圓方程，再由中點坐標公式即可求解.
（2）假設存在，利用斜率公式，等差中項列出式子求解即可.
【解析】解：（1）由題知：，，
設直線的方程為：，，，
則聯(lián)立直線與橢圓方程： ，
消去得：，
，，
是的中點，
的橫坐標為，
解得： ，
，
的縱坐標為，
（2）假設存在直線滿足條件，
由（1）知：，，，
是，的中點，
的坐標為：，
，，成等差數(shù)列，
，
，
，，，
代入得：，
化簡得：，
將，，，，代入并化簡解得：，
直線的方程為：.
【點評】 解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：
(1)注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；
(2)強化有關直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．
10．（1）證明見解析；（2）是，4.
【分析】（1）設，，由是橢圓上的點可得，兩式相減進行整理可得，從而可求出，則可得的垂直平分線的斜率，由點斜式可得的垂直平分線的方程為，即可得所過定點.
（2）由點斜式得直線的方程為，則點從而可求；
得直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立可求出其交點橫坐標，聯(lián)立與橢圓方程，結合韋達定理，對進行化簡，可得，即可求出的值，從而可判斷是否為定值.
【解析】解：設，.
（1）由題意知，直線的斜率為，因為是橢圓上的點，則 ，
兩式相減，整理得，所以，故線段的垂直平分線的斜率為，
從而線段的垂直平分線的方程為，
所以，線段的垂直平分線經(jīng)過定點.
（2）直線的方程為，由條件知：，則點，.
聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去得：，
所以，.
直線的方程為①，直線的方程為②.
設點，由①，②得，
.
所以，.即為定值4.
【點評】本題考查了中點弦問題，考查了直線與橢圓的位置關系，考查了直線方程的點斜式.本題的難點在于計算，特別是第二問中對交點橫坐標的化簡.一般中點弦問題的做題思路為，設出弦端點的坐標，代入到圓錐曲線方程，兩方程相減，進行化簡，即可得弦的中點和弦所在直線斜率的關系.
11．（1）3；（2）.
【分析】（1）根據(jù)橢圓方程得出，結合橢圓定義，再根據(jù)基本不等式求得的最大值；
（2）設，利用點差法和中點坐標公式，求出，由兩點坐標寫出，結合，求出關于的方程為點M的軌跡方程.
【解析】（1）已知橢圓方程為，焦點在軸上，
可得，
所以，
由橢圓的定義可知，
，
又因為，
則當且僅當時，的最大值為3.
（2）設，其中，
當直線的斜率存在時，
則
①-②得：，
即，又因為：
則有：，解得：.
當直線的斜率不存在時，也符合上述方程.
綜上得： 的軌跡方程為：.
【點評】本題主要考查橢圓的簡單性質和定義的運用，利用點差法求中點弦所在直線的斜率以及結合基本不等式求最值.
12．（1）；（2）
【分析】（1）將代入橢圓方程，可得，再結合離心率為，聯(lián)立可求得，即可求出橢圓方程；
（2）結合的橫坐標為1，可表示出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，結合韋達定理，可得到的表達式，進而求得的取值范圍.
【解析】（1）將代入橢圓方程得，則，即，
又離心率，即，所以，解得，，
所以橢圓的方程為；
（2）設，，，若直線的斜率存在且不為0，設為，則，
兩式相減得，又，∴，直線的方程為，
即，與橢圓的方程聯(lián)立得，
則，，
故
，
將代入橢圓方程，得，所以，則，
故.
當直線的斜率為0時，不滿足的中點的橫坐標為1；
當直線的斜率不存在時，，即為橢圓的左右頂點，
故，
綜上所述，.
【點評】本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的應用，考查平面向量的坐標運算，考查學生的計算求解能力，屬于難題.
13．（1）；（2）（）；（3）.
【分析】（1）根據(jù)題意可得，由此求得橢圓方程。
（2）設，利用點差法求出線段中點的軌跡方程。
（3）設直線的方程為： ，直線的方程為： ，聯(lián)立求得，由此證明點的橫坐標為定值。
【解析】（1）橢圓兩頂點，短軸長為，焦距為，
，解得
橢圓方程為：.
（2）設，
則 ①， ②，
則①②得，
，

即 .
線段中點的軌跡方程為：.
（3）證明：設直線的方程為： ，
直線的方程為： ，
兩式聯(lián)立可得：
由①②得

即 ③，
又三點共線，則④，
②代入③得
把③④代入⑤整理得.
【點評】本題考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，掌握直線與圓錐曲線的位置關系，合理運用數(shù)形結合、整體代入等思想和方法。
14．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）能，.
【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意，結合拋物線的性質，即可求出拋物線的方程為。
（Ⅱ）設，，設而不求利用點差法求出直線AB的斜率，再利用點斜式即可求出直線的方程。
（Ⅲ）設，，，，且.聯(lián)立直線與拋物線方程，得到聯(lián)立方程，再利用韋達定理以及M，A，C三點共線得出的數(shù)量關系，假設C，D，Q三點共線，構造關于 的等式，轉化為的等式，進行求解即可得出結論。
【解析】（Ⅰ）由題意有，及，
解得.故拋物線的方程為.
（Ⅱ）設，，則， ，
兩式相減得，即.
于是，，
（注：利用直線與拋物線方程聯(lián)立，求得，同樣得4分）
故直線l的方程為，即；
（Ⅲ）設，，，，且.
由，得，則， ，
由M，A，C三點共線，可得，化簡得，即.
同理可得， ，
假設C，D，Q三點共線，則有，化簡得，
進一步可得，，即，解得.
因此，當直線l的斜率時，C，D，Q三點共線.
【點評】本題主要考查拋物線的定義，以及利用點差法設而不求的思想求解與拋物線相交的直線的斜率，以及利用方程思想解決圓錐曲線的各類問題。
15．（1）；（2）是，.
【解析】
【分析】（1）利用點差法列式進行化簡，由此求得直線的斜率，進而求得直線的方程.（2）求得直線的方程，代入橢圓方程，利用根與系數(shù)關系以及弦長公式，求得弦長，求得中點的坐標.同理求得弦長，計算到直線的距離，由此計算出
【解析】（1）設，，
則有,
依題意，，．
是AB的中點，
，，從而．
又，在橢圓內，
直線AB的方程為，即．
（2）垂直平分AB，直線CD的方程為，即，
代入橢圓方程，整理得①．
又設，，CD的中點為，則，是方程①的兩根，
，且，，即中點,
于是由弦長公式可得
將直線AB的方程，代入橢圓方程得,
同理可得．
點M到直線AB的距離為．
，四點共圓，
且原方程為：.
【點評】本小題主要考查利用點差法求解有關弦的中點問題，考查四點共面的證明，屬于中檔題.
16．（1）x＋2y－4＝0；（2）2.
【分析】（1）設直線與橢圓的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，設所求直線方程為y－1＝k(x－2)，代入橢圓方程整理后由韋達定理得，再由中點坐標可求得，從而得直線方程；
（2）由（1）得，然后由弦長公式可得弦長．
【解析】（1）設所求直線方程為y－1＝k(x－2)．代入橢圓方程并整理，得
(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0，①
又設直線與橢圓的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1，x2是方程的兩個根，
于是x1＋x2＝.
又M為AB的中點，∴＝＝2，
解得k＝－，
直線方程為，即x＋2y－4＝0.
（2）由（1）將k＝－代入①得，x2－4x＝0，
∴，
∴|AB|＝
＝＝2．
【點評】 本題考查求中點弦所在直線方程及弦長問題，解題方法是設而不求的思想方法，即設交點坐標為，設直線方程代入橢圓方程后利用韋達定理及中點坐標公式求得直線的斜率，從而得直線方程，然后由弦長得弦

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