（1）求雙曲線的方程.
（2）設(shè)為雙曲線上一點(diǎn)，點(diǎn)，在雙曲線的漸近線上，且分別位于第一、四象限，若恰為線段的中點(diǎn)，試判斷的面積是否為定值?若為定值，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.
2．已知雙曲線的離心率為，點(diǎn)在上．
（1）求雙曲線的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線l與曲線交于M，N兩點(diǎn)，問(wèn)在x軸上是否存在定點(diǎn)Q，使得為常數(shù)？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)及此常數(shù)的值，若不存在，說(shuō)明理由．
3．已知等軸雙曲線C：(a>0，b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(，).
（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知點(diǎn)B(0，1).
①過(guò)原點(diǎn)且斜率為k的直線與雙曲線C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求∠EBF最小時(shí)k的值；
②點(diǎn)A是C上一定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B的動(dòng)直線與雙曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，為定值，求點(diǎn)A的坐標(biāo)及實(shí)數(shù)的值.
4．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)，．當(dāng)時(shí)，的面積為5．
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線與軸交于點(diǎn)，且，，求證：為定值．
5．已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，過(guò)右焦點(diǎn)F的直線l與雙曲線C的右支交于P，Q兩點(diǎn)（點(diǎn)P在x軸上方）．
（1）若，求直線l的方程；
（2）設(shè)直線的斜率分別為，證明：為定值．
6．已知雙曲線，過(guò)圓上任意一點(diǎn)作圓的切線，若交雙曲線于，兩點(diǎn)，證明：的大小為定值.
7．已知點(diǎn)、為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)作垂直于x軸的直線，在x軸上方交雙曲線C于點(diǎn)M，且，圓O的方程是．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過(guò)雙曲線C上任意一點(diǎn)P作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為、，求證：為定值；
（3）若過(guò)圓O上點(diǎn)作圓O的切線l交雙曲線C于A、B兩點(diǎn)，求證：．
8．已知雙曲線: 過(guò)點(diǎn)，兩條漸近線的夾角為60°，直線交雙曲線于、兩點(diǎn)．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若過(guò)原點(diǎn)，為雙曲線上異于、的一點(diǎn)，且直線、的斜率，均存在，求證：為定值；
9．已知雙曲線過(guò)點(diǎn)，且．
（1）求雙曲線的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)的直線交雙曲于點(diǎn)，直線分別交直線于點(diǎn)．試判斷是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
10．已知雙曲線的方程．
（1）求點(diǎn)到雙曲線上的點(diǎn)的距離的最小值；
（2）已知直線與圓相切
①求和的關(guān)系
②若與雙曲線交于、兩點(diǎn)，那么是否為定值？如果是，求出定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
11．已知雙曲線的漸近線傾斜角分別為和，為其左焦點(diǎn)，為雙曲線右支上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
（1）求的取值范圍，并說(shuō)明理由；
（2）過(guò)點(diǎn)分別作兩漸近線的垂線，垂足分別為，求證：為定值.
12．已知雙曲線的焦距為，且過(guò)點(diǎn)，直線與曲線右支相切（切點(diǎn)不為右頂點(diǎn)），且分別交雙曲線的兩條漸近線與、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).
（1）求雙曲線的方程；
（2）求證：面積為定值，并求出該定值.
13．已知點(diǎn)P是圓上任意一點(diǎn)，定點(diǎn)，線段的垂直平分線l與半徑相交于M點(diǎn)，P在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡為.
（1）求點(diǎn)M的軌跡的方程；
（2）若點(diǎn)N在雙曲線(頂點(diǎn)除外)上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)N，R的直線與曲線相交于，過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相交于，試探究是否為定值，若為定值請(qǐng)求出這個(gè)定值，若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.
14．已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為、，動(dòng)直線與圓相切，且與雙曲線左、右兩支的交點(diǎn)分別為.
（1）求的取值范圍，并求的最小值；
（2）記直線的斜率為，直線的斜率為，那么，是定值嗎？證明你的結(jié)論.
參考答案
1．（1）；（2）是定值，2.
【分析】（1）由可得，求出即可得出方程；
（2）設(shè)出點(diǎn)，的坐標(biāo)，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程，可得，設(shè)，利用漸近線方程的斜率得角的正切值，再利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式及二倍角公式得，由，的坐標(biāo)得，，結(jié)合及三角形面積公式即可求出.
【解析】（1）由題意，易得，，
則由，可得，
，即.
又，解得（負(fù)值舍去），，
解得，
雙曲線的方程為.
（2）由（1）可知雙曲線Ｃ的漸近線方程為，
設(shè)，，其中，.
為線段的中點(diǎn)，，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程得，解得.
設(shè)，則.
又，，，
，，
.
又，，
，
的面積為定值2.
【點(diǎn)評(píng)】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查雙曲線中三角形面積的定值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是設(shè)出點(diǎn)，的坐標(biāo)，設(shè)，得出和.
2．（1）；（2）存在；；定點(diǎn)．
【分析】（1）由已知得到a、b、c的方程組，解出a、b、c，即可求出雙曲線的方程；
（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)定點(diǎn)，聯(lián)立方程組，用“設(shè)而不求法”表示出為常數(shù)，求出t，即可求出定點(diǎn)Q.
【解析】 （1）由題意，，解得，．
∴雙曲線方程為；
（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)定點(diǎn)，
聯(lián)立，得．
∴，且，解得且．
設(shè)，，
∴，，
∴，
．
∴
為常數(shù)，與無(wú)關(guān)，
∴，即，此時(shí)．
∴在軸上存在定點(diǎn)，使得為常數(shù)．
【點(diǎn)評(píng)】（1）待定系數(shù)法、代入法可以求二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）“設(shè)而不求”是一種在解析幾何中常見(jiàn)的解題方法，可以解決直線與二次曲線相交的問(wèn)題.
3．（1）；（2）①；②或者.
【分析】（1）由題意，代入已知點(diǎn)建立方程，解之可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）①由對(duì)稱性可設(shè)，且，運(yùn)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算表示，又由可得，由此可得最小時(shí)，的值.
②設(shè)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線為：設(shè)與雙曲線的方程聯(lián)立得，根據(jù)根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系可求得且，由直線的斜率公式得，再由恒等式的思想可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)及實(shí)數(shù)的值.
【解析】 （1）由題意，且解得，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）①由對(duì)稱性可設(shè)，且，則，
因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，所以，所以，
當(dāng)時(shí)，為直角，
當(dāng)吋，為鈍角.
因此，最小時(shí)，.
②設(shè)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線為：
設(shè)聯(lián)立得，
所以，由且，解得且，
，即即，
化簡(jiǎn)得，
所以，
化簡(jiǎn)得，
由于上式對(duì)無(wú)窮多個(gè)不同的實(shí)數(shù)都成立，
所以
如果那么此時(shí)不在雙曲線上，舍去.
因此從而代入解得.
此時(shí)在雙曲線上.
綜上，或者.
【點(diǎn)評(píng)】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與雙曲線位置關(guān)系之定值問(wèn)題，屬于較難題，關(guān)鍵在于將直線與雙曲線的方程聯(lián)立，得出根與系數(shù)的關(guān)系，繼而將目標(biāo)條件轉(zhuǎn)化到曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)上去.
4．（1）；（2）證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，由勾股定理和三角形面積公式可得，再由雙曲線定義，即可得出結(jié)果.
（2）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，點(diǎn)與原點(diǎn)重合,求出定值；
當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，由漸近線可得，聯(lián)立直線與雙曲線方程，由韋達(dá)定理結(jié)合向量知識(shí)，即可得出定值.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，
可得．
由雙曲線的定義可知，，
兩邊同時(shí)平方可得，，
所以．①
又雙曲線的離心率為，所以．②
由①②可得，，，所以，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，點(diǎn)與原點(diǎn)重合，
此時(shí)，，，所以，，．
當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，
由題意知且，
將直線的方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去得，，
則，，．
易知點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則由，可得，
所以，
同理可得．
所以．
綜上，為定值．
【點(diǎn)評(píng)】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：直線與雙曲線左、右分支各交于一點(diǎn)，直線斜率的取值范圍容易忽略.本題考查了運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力，屬于一般題目.
5．（1）；（2）證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）設(shè)直線方程為，，，根據(jù)條件得出，分別求出的縱坐標(biāo)，由條件可得可得答案.
（2）由，所以 ,所以，要證為定值，只需證為定值，由，可得答案.
【解析】 （1）設(shè)直線方程為，，
由過(guò)右焦點(diǎn)F的直線l與雙曲線C的右支交于P，Q兩點(diǎn)，則
，
由點(diǎn)P在x軸上方，則
∴直線l方程為
（2）由方程可得，設(shè)，
則，
所以 ,所以
要證為定值，只需證為定值
由（1）可知，
∴為定值．
【點(diǎn)評(píng)】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系求直線方程和考查定值問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是先得出，所以 ,所以，要證為定值，只需證為定值，屬于中檔題.
6．證明見(jiàn)解析.
【分析】過(guò)圓上一點(diǎn)作切線，找到切線方程是關(guān)鍵，分切線的斜率不存在時(shí)切線方程為，切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，則分析，聯(lián)立化簡(jiǎn)，求出即可.
【解析】當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切線方程為.
當(dāng)時(shí)，代入雙曲線方程，得，即，，此時(shí)，
同理，當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，則，即.
由直線方程和雙曲線方程消掉，得，
由直線與雙曲線交于，兩點(diǎn).故.設(shè)，.
則，
+，
故，由于，
故，即，.
綜上可知，若交雙曲線于，兩點(diǎn)，則的大小為定值.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，圓的切線方程，直線與雙曲線的位置關(guān)系，此類問(wèn)題可以先取特殊值探索，比如此題中，可以先分析切線斜率不存在的情況，然后有針對(duì)性的驗(yàn)證即可.
7．（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析．
【分析】（1）設(shè)，的坐標(biāo)，利用點(diǎn)在雙曲線上，，可得，利用雙曲線的定義，可得雙曲線的方程；
（3）確定兩條漸近線方程，設(shè)雙曲線上的點(diǎn)，，求出點(diǎn)到兩條漸近線的距離，利用，在雙曲線上，及向量的數(shù)量積公式，即可求得結(jié)論．
（3）設(shè)，，，，切線的方程為：代入雙曲線中，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量的數(shù)量積，可得結(jié)論．
【解析】 （1）設(shè)，的坐標(biāo)分別為
因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，即，所以
在△中，，，所以
由雙曲線的定義可知：
故雙曲線的方程為：
（3） 由條件可知：兩條漸近線分別為，
設(shè)雙曲線上的點(diǎn)，，則點(diǎn)到兩條漸近線的距離分別為，
所以
因?yàn)?，在雙曲線上，所以
故
設(shè)和的夾角為，則由，可得
所以
（3）設(shè)，，，，切線的方程為：
①當(dāng)時(shí)，切線的方程代入雙曲線中，化簡(jiǎn)得：
所以：
又
所以
②當(dāng)時(shí)，易知上述結(jié)論也成立．
所以
所以
【點(diǎn)評(píng)】解決直線與雙曲線的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：
(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、雙曲線的條件；
(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與雙曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．
8．（1）；（2）證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）利用雙曲線過(guò)點(diǎn)，兩條漸近線的夾角為60°，列出方程組解出即可；
（2）設(shè)，由雙曲線的對(duì)稱性，可得的坐標(biāo)，設(shè)，結(jié)合題意，又由A、B在雙曲線上，可得，將其坐標(biāo)代入中，計(jì)算可得答案.
【解析】（1）由題意，雙曲線：過(guò)點(diǎn)，兩條漸近線的夾角為60°，
可得，解得，，或，無(wú)解．
所以雙曲線的方程為．
（2）設(shè)，由雙曲線的對(duì)稱性，可得，設(shè)，
則，因?yàn)?，?br>所以，
即為定值3．
【點(diǎn)評(píng)】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）根據(jù)漸近線的夾角得到或者兩種情形；
（2）雙曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足雙曲線的方程，利用整體代換.
9．（1）；（2）
【分析】（1）將點(diǎn)，代入，求出，進(jìn)一步得出，即求.
（2）設(shè)直線所在的直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，設(shè)出的坐標(biāo)，寫(xiě)出所在的直線方程，求出的縱坐標(biāo)，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得，從讓他可得.
【解析】（1）將點(diǎn)，代入，
可得，解得，則，
雙曲線的方程為.
（2）由題意可知，直線的斜率存在，
設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，可得，
由，
解得，
設(shè)，，
則，，
又點(diǎn)，
的方程為，
令，得
，
同理可得，
，
，即，
，
為定值.
【點(diǎn)評(píng)】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了雙曲線方程的求法，考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用韋達(dá)定理得出，考查了運(yùn)算求解能力.
10．（1）；（2）（i）；（ii）為定值．
【分析】（1）設(shè)為雙曲線上的點(diǎn)，代入雙曲線的方程，結(jié)合兩點(diǎn)的距離公式和二次函數(shù)的最值，可得最小值；
（2）設(shè)直線的方程為，由直線和圓相切可得，設(shè)，，，，聯(lián)立雙曲線的方程，消去可得的二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，計(jì)算可得為定值．
【解析】 （1）設(shè)為雙曲線上的點(diǎn)，則，
則，
當(dāng)時(shí)最小，且為，
所以點(diǎn)到從曲線上點(diǎn)的距離的最小值為；
（2）①設(shè)直線線的方程為，
由直線與圓相切，可得，即，
②設(shè)，聯(lián)立得，
則，
所以
，
所以，
所以為定值．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程和運(yùn)用，以及直線和雙曲線的位置關(guān)系，注意聯(lián)立直線方程和雙曲線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查方程思想和運(yùn)算能力、推理能力．
11．（1），理由見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）由漸近線求出雙曲線方程，得焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離及二次函數(shù)求最值即可；
（2）由點(diǎn)到直線的距離求出，求積后由雙曲線方程化簡(jiǎn)即可.
【解析】（1）雙曲線漸近線方程為，又，所以，
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
則，設(shè)，
則
所以…
所以的取值范圍是
（2）因?yàn)?br>又，所以為定值.
【點(diǎn)評(píng)】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：，利用點(diǎn)到直線的距離求出后，根據(jù)點(diǎn)在雙曲線上，化簡(jiǎn)求值是解題關(guān)鍵.
12．（1）；（2）證明見(jiàn)解析，面積為.
【分析】（1）根據(jù)題意可得關(guān)于、、的方程組，求出、的值，由此可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線的方程，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，由可得出、所滿足的等式，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式可計(jì)算出的面積.
【解析】（1）設(shè)雙曲線的焦距為，
由題意可得：，則雙曲線的方程為；
（2）由于直線與雙曲線右支相切（切點(diǎn)不為右頂點(diǎn)），則直線的斜率存在，
設(shè)直線的方程為，
則消得，
，①
設(shè)與軸交于一點(diǎn)，，
，
雙曲線兩條漸近線方程為：，
聯(lián)立，聯(lián)立，
則（定值）.
【點(diǎn)評(píng)】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵就是利用直線與雙曲線得出，并求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，再結(jié)合三角形的面積計(jì)算出為定值.
13．（1）；（2）存在，定值為：.
【分析】（1）根據(jù)橢圓定義即可求出結(jié)果；（2）設(shè)得直線的斜率乘積，利用點(diǎn)斜式方程設(shè)出直線NR，NQ的方程，與（1）的方程聯(lián)立，寫(xiě)出根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式求出|AB|，|CD|的長(zhǎng)度，然后求和，通過(guò)計(jì)算可得出結(jié)果．
【解析】（1）依題意：，
且，
由橢圓定義知點(diǎn)M的軌跡為以R，Q為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距為4的橢圓，
即：，
故.
（2）設(shè)，則，
∴直線的斜率都存在，分別設(shè)為，
則，
將直線的方程代入得，
設(shè)，則，
∴，
同理可得，
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓定義以及根與系數(shù)的關(guān)系，弦長(zhǎng)公式，考查了學(xué)生的運(yùn)算轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
14．（1）的取值范圍為；取最小值；（2）是定值；證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）根據(jù)直線與圓相切，可得，聯(lián)立直線與雙曲線，根據(jù)可得的范圍，根據(jù)韋達(dá)定理以及可得最小值；
（2）根據(jù)斜率公式以及韋達(dá)定理，將變形化簡(jiǎn)可得結(jié)果.
【解析】（1）與圓相切，，，
由，得，
，
，
故的取值范圍為.
由于，
，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取最小值.
（2）由已知可得的坐標(biāo)分別為，
，
，
又因?yàn)?，所以?br>為定值.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓相切，考查了直線與雙曲線相交，考查了斜率公式、韋達(dá)定理，考查了運(yùn)算求解能力，屬于中檔

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2024年高考數(shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)圓錐曲線 專題19：雙曲線的定直線問(wèn)題9頁(yè)：

這是一份2024年高考數(shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)圓錐曲線 專題19：雙曲線的定直線問(wèn)題9頁(yè)，共9頁(yè)。

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