? 圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì)



圓錐曲線是解析幾何學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容、也是體現(xiàn)解析幾何思想方法的重要載體．高考對(duì)圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)等為必考點(diǎn)．題型及考試分值穩(wěn)定，重點(diǎn)考查學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模和邏輯推理核心素養(yǎng)．
一、基礎(chǔ)知識(shí)回顧
1．橢圓：（1）橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)2a(2a>|F1F2|)的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡叫作橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫作橢圓的焦點(diǎn)．
（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
+=1(a>b>0)
+=1(a>b>0)
范圍
|x|≤a，|y|≤b
|x|≤b，|y|≤a
對(duì)稱性
關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱
頂點(diǎn)坐標(biāo)
(a，0)，(-a，0)，(0，b)，(0，-b)
(b，0)，(-b，0)，(0，a)，(0，-a)
焦點(diǎn)坐標(biāo)
(c，0)，(-c，0)
(0，c)，(0，-c)
半軸長(zhǎng)
長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，短半軸長(zhǎng)為b
離心率
e==(00，b>0)
范圍
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
對(duì)稱性
對(duì)稱軸：x軸，y軸;對(duì)稱中心：原點(diǎn)
焦點(diǎn)
F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)
F1(0，-c)，F(xiàn)2(0，c)
頂點(diǎn)
A1(-a，0)，A2(a，0)
A1(0，-a)，A2(0，a)
軸
線段A1A2和B1B2分別是雙曲線的實(shí)軸和虛軸;實(shí)軸長(zhǎng)為2a，虛軸長(zhǎng)為2b
焦距
|F1F2|=2c
離心率
e==，e∈(1，+∞)
漸近線
y=±x
y=±x
a，b，c的關(guān)系
a2=c2-b2
3．拋物線：
（1）拋物線的定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(點(diǎn)F不在直線l上)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫作拋物線．定點(diǎn)F叫作拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫作拋物線的準(zhǔn)線．
（2）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
y2=2px(p>0)
y2=-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)


圖形




p的幾何意義： 焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離
頂點(diǎn)
O(0，0)
對(duì)稱軸
x軸
y軸
焦點(diǎn)
F
F
F
F
離心率
e=1
準(zhǔn)線方程
x=-
x=
y=-
y=
開(kāi)口方向
向右
向左
向上
向下
范圍
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
焦半徑(其中P(x0，y0))
|PF|=x0+
|PF|=-x0+
|PF|=y0+
|PF|=-y0+
二、圓錐曲線常用結(jié)論
1．橢圓中，長(zhǎng)軸是最長(zhǎng)的弦，過(guò)焦點(diǎn)的所有弦長(zhǎng)中，垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)最短，最短為．距焦點(diǎn)最短的點(diǎn)是相應(yīng)的對(duì)稱軸同側(cè)頂點(diǎn)．過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)作對(duì)稱軸的垂線，與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作對(duì)稱軸的垂線，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝2p．
2．橢圓、雙曲線中，a，b，c之間的關(guān)系
（1）在橢圓中：a2＝b2＋c2，離心率為e＝＝；
（2）在雙曲線中：c2＝a2＋b2，離心率為e＝＝．
3．拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F(，0)，準(zhǔn)線方程x＝－；
拋物線x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)F(0，)，準(zhǔn)線方程y＝－．
4．（1）與橢圓共焦點(diǎn)的橢圓的方程可設(shè)為．
（2）與橢圓有相同的離心率的橢圓可設(shè)為，．
（3）與有相同焦點(diǎn)的雙曲線方程為
（4）與有相同的漸近線方程為：；
5．橢圓的兩焦點(diǎn)分別為，是橢圓上任意一點(diǎn)，則有以下結(jié)論成立：
①;???②;????③;
④焦半徑公式，( ， ，)．
6．設(shè)P點(diǎn)是橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為其焦點(diǎn)記，則
①． ②焦點(diǎn)三角形的面積： ．
③當(dāng)P點(diǎn)位于短軸頂點(diǎn)處時(shí)， 最大，此時(shí)也最大;
7．雙曲線的兩焦點(diǎn)分別為，是雙曲線上任意一點(diǎn)，則有以下結(jié)論成立：
①; ②;
8．設(shè)P點(diǎn)是雙曲線上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為其焦點(diǎn)記，則
①． ②焦點(diǎn)三角形的面積 ．
9．y2=2px(p>0)焦點(diǎn)的弦，，直線的傾斜角為，則
① ②
③???④； ⑤；

名師解讀《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2020年修訂版）
課標(biāo)要求： 能夠掌握平面解析幾何解決問(wèn)題的基本過(guò)程：根據(jù)具體問(wèn)題情境的特點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系；根據(jù)幾何問(wèn)題和圖形的特點(diǎn)，用代數(shù)語(yǔ)言把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為代數(shù)問(wèn)題；根據(jù)對(duì)幾何問(wèn)題（圖形）的分析，探索解決問(wèn)題的思路，運(yùn)用代數(shù)方法得到結(jié)論，給出代數(shù)結(jié)論合理的幾何解釋，解決幾何問(wèn)題．
內(nèi)容包括：圓錐曲線與方程
①了解圓錐曲線的實(shí)際背景，感受圓錐曲線在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用．
②經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過(guò)程，掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)．
③了解拋物線與雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及它們的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)．
④通過(guò)圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想．
⑤了解橢圓、拋物線的簡(jiǎn)單應(yīng)用．
重點(diǎn)提升數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．
圓錐曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程
（2022·全國(guó)·高考真題）
1．已知橢圓的離心率為，分別為C的左、右頂點(diǎn)，B為C的上頂點(diǎn)．若，則C的方程為（????）
A． B． C． D．
（2022·全國(guó)·高考真題）
2．已知橢圓，C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，離心率為．過(guò)且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，，則的周長(zhǎng)是________________．
（2023·廣西柳州二模）
3．已知橢圓C的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與C交于P，Q兩點(diǎn)，若，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（????）
A． B．
C． D．
（2023·四川自貢一模）
4．設(shè)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在上且，則的面積為（????）
A． B．3 C． D．2
（2023·福建三明高三調(diào)研）
5．已知為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)作垂直軸的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，以為直徑的圓交軸于，兩點(diǎn)，若，則的方程為（????）
A． B． C． D．

1．關(guān)于圓錐曲線定義的應(yīng)用：對(duì)于橢圓、雙曲線如果涉及曲線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離，一般要利用定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化．對(duì)應(yīng)拋物線涉及曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離、到準(zhǔn)線的距離時(shí)需要相互轉(zhuǎn)化．
2．求圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程“先定型，后計(jì)算”：所謂“定型”，就是確定曲線焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸的位置；所謂“計(jì)算”，就是指利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2，p的值．
?????圓錐曲線的幾何性質(zhì)
（2022·全國(guó)·高考真題）
6．若雙曲線的漸近線與圓相切，則_________．
（2022·全國(guó)·高考真題）
7．橢圓的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對(duì)稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（????）
A． B． C． D．
8．已知橢圓上一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，若，設(shè)，且，則該橢圓的離心率的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
(2023·安徽安慶高三模擬)
9．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)、（在軸上方），且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，是軸正半軸上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的角平分線過(guò)的中點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（????）
A． B． C． D．
(多選題) (2023·山西師大附中高三期末)
10．嫦娥奔月是中華民族的千年夢(mèng)想.2020年12月我國(guó)嫦娥五號(hào)“探月工程”首次實(shí)現(xiàn)從月球無(wú)人采樣返回.某校航天興趣小組利用計(jì)算機(jī)模擬“探月工程”，如圖，飛行器在環(huán)月橢圓軌道近月點(diǎn)制動(dòng)（俗稱“踩剎車”）后，以的速度進(jìn)入距離月球表面的環(huán)月圓形軌道（月球的球心為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)），環(huán)繞周期為，已知遠(yuǎn)月點(diǎn)到月球表面的最近距離為，則（?????）

A．圓形軌道的周長(zhǎng)為
B．月球半徑為
C．近月點(diǎn)與遠(yuǎn)月點(diǎn)的距離為
D．橢圓軌道的離心率為

1．研究圓錐曲線的性質(zhì)：要圍繞頂點(diǎn)、準(zhǔn)線、離心率、漸近線及它們之間的關(guān)系，結(jié)合定義、三角形等知識(shí)．
2．求橢圓或雙曲線離心率的兩種方法
（1）直接法：若已知a，c，則可直接利用e＝求解．
（2）方程(不等式)法：若a，c的值不可求，則可根據(jù)條件建立a，b，c的關(guān)系式，借助a2＝b2＋c2(或c2＝a2＋b2)轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次方程求解．　　
??運(yùn)用定義求解最值問(wèn)題
（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）
11．已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（????）
A．13 B．12 C．9 D．6
（2023·河北邯鄲一模）
12．已知，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向y軸作垂線，垂足記為點(diǎn)N，點(diǎn)，則的最小值是（????）
A． B． C． D．
（2023·廣東肇慶·二模）
13．已知為雙曲線的左焦點(diǎn)，為其右支上一點(diǎn)，點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為（????）
A． B． C． D．
（2023·山東煙臺(tái)高三調(diào)研）
14．已知一張紙上面有半徑為4的圓O，在圓O內(nèi)有一個(gè)定點(diǎn)A，且OA＝2，折疊紙片，使圓O上某一點(diǎn)A′剛好與A點(diǎn)重合，按照這樣的折法，每次折疊都留下一條直線折痕，當(dāng)A′取遍圓上所有點(diǎn)時(shí)，所有折痕與OA′的交點(diǎn)形成的曲線記為曲線C，則曲線C上任意兩點(diǎn)的連線中，最長(zhǎng)的長(zhǎng)度是________．

圓錐曲線中，涉及都線段相加減的最值，如果該線段一個(gè)端點(diǎn)是焦點(diǎn)，注意可以利用圓錐曲線額定義來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，分析求解．
[素養(yǎng)落地]---數(shù)學(xué)運(yùn)算
1．【解讀素養(yǎng)】
數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng)．主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本手段．
數(shù)學(xué)運(yùn)算主要表現(xiàn)為：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，求得運(yùn)算結(jié)果．
通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力；有效借助運(yùn)算方法解決實(shí)際問(wèn)題；通過(guò)運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，形成規(guī)范化思考問(wèn)題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神．
2．【典例剖析】
（2022·天津·高考真題）
15．已知拋物線分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)，與雙曲線的漸近線交于點(diǎn)A，若，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（????）
A． B．
C． D．

(2023·山西晉南檢測(cè))
16．拋物線上的點(diǎn)與其焦點(diǎn)的距離的最小值為（????）
A．2 B．1 C． D．
（2023·浙江麗水高三期末聯(lián)考）
17．已知雙曲線與拋物線有共同的焦點(diǎn)，且點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離等于1，則雙曲線的方程為（????）
A． B．
C． D．
（2023·安徽蚌埠一模）
18．已知橢圓：與拋物線：交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的外接圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則等于（????）
A． B． C．2 D．4
（2023·廣西柳州二模）
19．已知、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線交雙曲線于、兩點(diǎn)，若的平分線過(guò)點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（????）
A． B． C． D．
(多選題) （2023·遼寧葫蘆島一模）
20．已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于M，N兩點(diǎn)，若，(點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則下列說(shuō)法正確的是（????）
A．雙曲線C的離心率為 B．的面積為
C． D．
(多選題) (2023·江蘇泰州高三調(diào)研)
21．（多選）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為直線與橢圓相交于，則（????）
A．當(dāng)時(shí)，的面積為
B．不存在使為直角三角形
C．存在使四邊形面積最大
D．存在使周長(zhǎng)最大
（2023·北京大興區(qū)一模）
22．寫出一個(gè)滿足下列條件的雙曲線的方程__________.
①焦點(diǎn)在軸上②漸近線與圓有交點(diǎn)
(2023·福建莆田一中高三期末)
23．某學(xué)習(xí)小組研究一種衛(wèi)星接收天線（如圖①所示），發(fā)現(xiàn)其曲面與軸截面的交線為拋物線，在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚焦到焦點(diǎn)處（如圖②所示），已知接收天線的口徑（直徑）為，深度為，則該拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為_(kāi)______．

(2023·遼寧大連重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)
24．汽車前照燈主要由光源、反射鏡及配光片三部分組成，其中經(jīng)過(guò)光源和反射鏡頂點(diǎn)的剖面輪廓為拋物線，而光源恰好位于拋物線的焦點(diǎn)處，這樣光源發(fā)出的每一束光線經(jīng)反射鏡反射后均可沿與拋物線對(duì)稱軸平行的方向射出.某汽車前照燈反射鏡剖面輪廓可表示為拋物線.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)拋物線，拋物線的準(zhǔn)線記為，點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于，且滿足此條件的點(diǎn)有且只有一個(gè)，則__________
（2023·湖南岳陽(yáng)一模）
25．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_____．
(2023·江西九江一中高三期末)
26．雙曲線的左?右頂點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線交該雙曲線于點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，已知軸時(shí)，，則雙曲線的離心率__________；若點(diǎn)在雙曲線右支上，則的取值范圍是__________.
(2023·安徽安慶一模)
27．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和，短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為和，點(diǎn)P在橢圓G上，且滿足．當(dāng)b變化時(shí)，給出下列三個(gè)命題：
①點(diǎn)P的軌跡關(guān)于y軸對(duì)稱；
②存在b使得橢圓G上滿足條件的點(diǎn)P僅有兩個(gè)；
③的最小值為2，其中，所有正確命題的序號(hào)是___________．

參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)離心率及，解得關(guān)于的等量關(guān)系式，即可得解.
【詳解】解：因?yàn)殡x心率，解得，，
分別為C的左右頂點(diǎn)，則，
B為上頂點(diǎn)，所以.
所以，因?yàn)?br /> 所以，將代入，解得，
故橢圓的方程為.
故選：B.

2．13
【分析】利用離心率得到橢圓的方程為，根據(jù)離心率得到直線的斜率，進(jìn)而利用直線的垂直關(guān)系得到直線的斜率，寫出直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡(jiǎn)得到：，利用弦長(zhǎng)公式求得，得，根據(jù)對(duì)稱性將的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為的周長(zhǎng)，利用橢圓的定義得到周長(zhǎng)為.
【詳解】∵橢圓的離心率為，∴，∴，∴橢圓的方程為，不妨設(shè)左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，如圖所示，∵，∴，∴為正三角形，∵過(guò)且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，為線段的垂直平分線，∴直線的斜率為，斜率倒數(shù)為， 直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡(jiǎn)得到：，
判別式，
∴，
∴ ， 得，
∵為線段的垂直平分線，根據(jù)對(duì)稱性，，∴的周長(zhǎng)等于的周長(zhǎng)，利用橢圓的定義得到周長(zhǎng)為.
故答案為：13.


3．B
【分析】由已知可設(shè)可求出所有線段用表示，在中由余弦定理得從而可求.
【詳解】如圖，由已知可設(shè)，又因?yàn)?br /> 根據(jù)橢圓的定義，

在中由余弦定理得，所以

故橢圓方程為：
故選：B
4．B
【分析】由是以P為直角直角三角形得到，再利用雙曲線的定義得到，聯(lián)立即可得到，代入中計(jì)算即可.
【詳解】由已知，不妨設(shè)，
則，因?yàn)椋?br /> 所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，
即是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形，
故，
即，又，
所以，
解得，所以
故選：B
【點(diǎn)晴】本題考查雙曲線中焦點(diǎn)三角形面積的計(jì)算問(wèn)題，涉及到雙曲線的定義，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題.
5．B
【分析】由題意可知圓是以焦點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，根據(jù)弦長(zhǎng)公式即得.
【詳解】由題可知，由，可得，
所以，所以以為直徑的圓的半徑是，圓心為，
所以，，
解得，
所以拋物線方程.
故選：B.
6．
【分析】首先求出雙曲線的漸近線方程，再將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，依題意圓心到直線的距離等于圓的半徑，即可得到方程，解得即可．
【詳解】解：雙曲線的漸近線為，即，
不妨取，圓，即，所以圓心為，半徑，
依題意圓心到漸近線的距離，
解得或（舍去）．
故答案為：．

7．A
【分析】設(shè)，則，根據(jù)斜率公式結(jié)合題意可得，再根據(jù)，將用表示，整理，再結(jié)合離心率公式即可得解.
【詳解】[方法一]：設(shè)而不求
設(shè)，則
則由得：，
由，得，
所以，即，
所以橢圓的離心率，故選A.
[方法二]：第三定義
設(shè)右端點(diǎn)為B，連接PB，由橢圓的對(duì)稱性知：
故，
由橢圓第三定義得：，
故
所以橢圓的離心率，故選A.

8．B
【解析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為：,根據(jù)，得到四邊形為為矩形，再由，結(jié)合橢圓的定義得到，然后由求解.
【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為：,
因?yàn)椋?br /> 所以四邊形為為矩形，
所以
因?yàn)椋?br /> 所以
由橢圓的定義得：，
所以，
因?yàn)椋?br /> 所以，
所以，
所以，
所以，
故選：B
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個(gè)方面：一是確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)有關(guān)的軌跡是否為橢圓；二是當(dāng)P在橢圓上時(shí)，與橢圓的兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2組成的三角形通常稱為“焦點(diǎn)三角形”，利用定義可求其周長(zhǎng)；利用定義和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通過(guò)整體代入可求其面積等．
9．D
【分析】設(shè)線段的中點(diǎn)為，作軸于點(diǎn)，得，可得，所以，結(jié)合斜率公式即可求解．
【詳解】由可得，故拋物線的方程為，，點(diǎn)
設(shè)線段的中點(diǎn)為，作軸于點(diǎn)，作交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，
則，故，
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，又是的角平分線，則，
由垂線段的唯一性知，，兩點(diǎn)重合，可得，所以，
設(shè)，則，解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為．
故選：D

10．BC
【分析】根據(jù)題意結(jié)合橢圓定義和性質(zhì)分別求出各量即可判斷.
【詳解】由題，以的速度進(jìn)入距離月球表面的環(huán)月圓形軌道，環(huán)繞周期為，則可得環(huán)繞的圓形軌道周長(zhǎng)為km，半徑為km，故A錯(cuò)誤；
則月球半徑為，故B正確；
則近月點(diǎn)與遠(yuǎn)月點(diǎn)的距離為，故C正確；
設(shè)橢圓方程為，則（為月球的半徑），
，故離心率為，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解橢圓的定義.
11．C
【分析】本題通過(guò)利用橢圓定義得到，借助基本不等式即可得到答案．
【詳解】由題，，則，
所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．
故選：C．
【點(diǎn)睛】
12．A
【分析】根據(jù)拋物線的定義所求可轉(zhuǎn)化為，再由三點(diǎn)共線可求最小值.
【詳解】由拋物線知，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為
過(guò)點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為Q，如圖，

由拋物線定義知，
當(dāng)F,P,M三點(diǎn)共線時(shí),最小為，
故選：A
13．B
【分析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，由雙曲線方程可求出，b，c的值，利用雙曲線的定義以及三點(diǎn)共線即可求出的周長(zhǎng)的最小值．
【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，由雙曲線的方程可得：，則，
所以，且，所以，

的周長(zhǎng)為，
當(dāng)且僅當(dāng)M，P，A三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，
則周長(zhǎng)的最小值為．
故選：B．
14．4
【分析】由題意，建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)橢圓的定義與性質(zhì)，可得答案.
【詳解】解：以O(shè)A的中點(diǎn)G為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示．

易知O(－1，0)，A(1，0)，連接AA′，設(shè)折痕與OA′和AA′分別交于M，N兩點(diǎn)，連接MA，則MN垂直平分AA′，所以|MA′|＝|MA|，又|A′O|＝|MO|＋|A′M|，所以|MO|＋|MA|＝4，
所以M的軌跡是以O(shè)，A為焦點(diǎn)，4為長(zhǎng)軸的橢圓，曲線C的方程為．則曲線C上任意兩點(diǎn)的連線中，最長(zhǎng)的是長(zhǎng)軸，長(zhǎng)為4．
故答案為：.
15．C
【分析】由已知可得出的值，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，分析可得，由此可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個(gè)量的值，即可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，則，則、，
不妨設(shè)點(diǎn)為第二象限內(nèi)的點(diǎn)，聯(lián)立，可得，即點(diǎn)，
因?yàn)榍遥瑒t為等腰直角三角形，
且，即，可得，
所以，，解得，因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：C.
16．B
【解析】根據(jù)拋物線的定義可轉(zhuǎn)化為，根據(jù)的范圍求解即可.
【詳解】由題意，的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，
設(shè)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，
根據(jù)拋物線的定義可知，，
因?yàn)椋?br /> 所以，
故拋物線上的點(diǎn)與其焦點(diǎn)的距離的最小值為1.
故選：B
【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線的定義，屬于容易題.
17．A
【分析】先求出拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)，則雙曲線焦點(diǎn)可知，則可知，再根據(jù)焦點(diǎn)到漸近線的距離求解出的值，根據(jù)求解出的值，則雙曲線的方程可求.
【詳解】因?yàn)榈慕裹c(diǎn)坐標(biāo)為，所以設(shè)雙曲線方程為：且，
又因?yàn)榈綕u近線的距離為，不妨取漸近線，，
所以焦點(diǎn)到漸近線的距離為，
所以，所以雙曲線方程為，
故選：A.
18．A
【分析】根據(jù)橢圓和拋物線的對(duì)稱性知的外接圓的圓心必在x軸，設(shè)圓心為，結(jié)合圓的性質(zhì)可得、進(jìn)而得，代入橢圓方程計(jì)算即可求解.
【詳解】設(shè)，則，.
由題意知，四點(diǎn)共圓，
由橢圓和拋物線的對(duì)稱性，知的外接圓的圓心必在x軸，
設(shè)與x軸相交于點(diǎn)D，則，
在圓D中，有，
即，又，
所以，解得，①
代入，得，②
將①②代入橢圓方程，得，
整理，得，解得.
經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，符合題意.
故實(shí)數(shù)p的值為.
故選：A.

19．D
【分析】作出圖形，設(shè)，可得，根據(jù)角平分線定理可得，可得出與的等量關(guān)系，再利用勾股定理可得出、的關(guān)系式，進(jìn)而可求得雙曲線的離心率.
【詳解】設(shè)，可得，如下圖所示：

由于的平分線過(guò)點(diǎn)，則，
即，，，
在中，由勾股定理可得，即，
，因此，橢圓的離心率為.
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求解，考查了利用雙曲線的定義求解焦點(diǎn)三角形問(wèn)題，考查計(jì)算能力，屬于中等題.
20．BC
【分析】由于，得到，得到，進(jìn)而得到，推得，夾角雙曲線C的離心率定義，可判定A不正確；由的面積為，得到的面積為，可判定B正確；由，結(jié)合，可判定C正確；由，可判定D錯(cuò)誤.
【詳解】由于，故點(diǎn)M為的中點(diǎn)，所以，所以，所以，所以，
故，所以，所以，所以，
故，所以雙曲線C的離心率，故A錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以?br /> 所以的面積為，故的面積為，故B正確；
由于，
所以，故C正確；
由于，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
21．AC
【分析】對(duì)A，當(dāng)時(shí)，解出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而解得三角形面積；
對(duì)B，考慮和兩種極端情況，進(jìn)而結(jié)合橢圓的性質(zhì)判斷答案；
對(duì)C，點(diǎn)A,B位于短軸上時(shí)四邊形的面積最大，進(jìn)而判斷答案；
對(duì)D，結(jié)合橢圓的定義，進(jìn)而考慮點(diǎn)A,B,E三點(diǎn)共線時(shí)取得最大值，然后判斷答案.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線為，代入橢圓方程得，所以，故A正確.
對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，結(jié)合A，，，當(dāng)時(shí)，將代入橢圓解得：，所以，則，根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知：存在使為直角三角形，故B錯(cuò)誤.
對(duì)于C選項(xiàng)，容易判斷，當(dāng)即點(diǎn)A,B位于短軸上時(shí)，四邊形的面積最大，故C正確.
對(duì)于D選項(xiàng)，由橢圓的定義得的周長(zhǎng)當(dāng)且僅當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，，即直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)時(shí)，的周長(zhǎng)最大，此時(shí)，又，所以不存在使得周長(zhǎng)最大，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
22．（答案不唯一）
【分析】根據(jù)直線與圓有交點(diǎn)，確定雙曲線的漸近線方程，進(jìn)而可寫出雙曲線方程.
【詳解】不妨設(shè)雙曲線的漸近線方程為，
的圓心為，半徑為，
因?yàn)闈u近線與圓有交點(diǎn)，
所以圓的圓心到這兩直線的距離為，解得，
故取，雙曲線的漸近線方程為，
此時(shí)焦點(diǎn)在軸上的雙曲線方程為，
故答案為：（答案不唯一）
23．
【解析】在接收天線的軸截面所在平面建立直角坐標(biāo)系，使接收天線的頂點(diǎn)（即拋物線的頂點(diǎn)）與原點(diǎn)重合，焦點(diǎn)在軸上，根據(jù)題意求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可求得該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得出結(jié)果.
【詳解】如圖所示，在接收天線的軸截面所在平面建立直角坐標(biāo)系，使接收天線的頂點(diǎn)（即拋物線的頂點(diǎn)）與原點(diǎn)重合，焦點(diǎn)在軸上，

設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知條件可得，點(diǎn)在拋物線上，
所以，，解得，
所以，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
因此，該拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查拋物線方程的實(shí)際應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
24．
【分析】設(shè)出，根據(jù)條件可得出，由題意方程只有一個(gè)解，所以其判別式為0，可得出答案.
【詳解】拋物線，則準(zhǔn)線的方程為,焦點(diǎn)，設(shè)
由點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于，則
所以
化簡(jiǎn)可得：
由滿足此條件的點(diǎn)有且只有一個(gè)，時(shí)符合題意，
若不等于1，則
即，則
由，所以
故答案為：
25．##(1,0.25)
【分析】由拋物線的定義把轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，然后由三點(diǎn)共線得最小值，從而得點(diǎn)坐標(biāo)．
【詳解】如圖，設(shè)是拋物線的準(zhǔn)線，過(guò)作于，作于，
則，，，
，易知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，且最小值為，
所以的周長(zhǎng)最小值為3，此時(shí)，，即．
故答案為：．

26．???? ????
【分析】當(dāng)直線軸時(shí)，表達(dá)出P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)，從而利用斜率之比求出，求出離心率；（2）設(shè)出直線，聯(lián)立方程，得到兩根之和，兩根之積，表達(dá)出，由漸近線方程求出，進(jìn)而求出的取值范圍.
【詳解】當(dāng)軸時(shí)，，
所以，從而，所以；
由題意知，.設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，整理得：

又
故
所以可知，當(dāng)點(diǎn)在右支運(yùn)動(dòng)時(shí)，由漸近線方程為可知：，故.
故答案為：，
27．①③
【解析】運(yùn)用橢圓的定義可得也在橢圓上，分別畫(huà)出兩個(gè)橢圓的圖形，即可判斷①正確；
通過(guò)的變化，可得②不正確；由圖象可得當(dāng)?shù)臋M坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的絕對(duì)值相等時(shí)，的值取得最小，即可判斷③．
【詳解】解：橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為
，和，，
短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為和，
設(shè)，點(diǎn)在橢圓上，且滿足，
由橢圓定義可得，，
即有在橢圓上．
對(duì)于①，將換為方程不變，則點(diǎn)的軌跡關(guān)于軸對(duì)稱，
故①正確；
對(duì)于②，由圖象可得軌跡關(guān)于，軸對(duì)稱，且，
則橢圓上滿足條件的點(diǎn)有4個(gè)，
不存在使得橢圓上滿足條件的點(diǎn)僅有兩個(gè)，故②不正確；
對(duì)于③，點(diǎn)靠近坐標(biāo)軸時(shí)或，越大，點(diǎn)遠(yuǎn)離坐標(biāo)軸時(shí)，越小，所以，即時(shí)，取得最小值，此時(shí)，與
兩方程相加得，即的最小值為 2，故③正確．
故答案為：①③．

【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的對(duì)稱性及由橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離之和等于到短軸的頂點(diǎn)距離之和可得另一個(gè)橢圓，及到定點(diǎn)距離的最值的判斷．

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