1．若橢圓或雙曲線上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)的距離之比為，且存在，則稱此橢圓或雙曲線存在“點(diǎn)”，下列曲線中存在“點(diǎn)”的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知橢圓的焦點(diǎn)為、，若點(diǎn)在橢圓上，且滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），則稱點(diǎn)為“★”點(diǎn).下列結(jié)論正確的是（ ）
A．橢圓上的所有點(diǎn)都是“★”點(diǎn)
B．橢圓上僅有有限個點(diǎn)是“★”點(diǎn)
C．橢圓上的所有點(diǎn)都不是“★”點(diǎn)
D．橢圓上有無窮多個點(diǎn)（但不是所有的點(diǎn)）是“★”點(diǎn)
3．在平面直角坐標(biāo)系中，定義稱為點(diǎn)的“和”，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，對于下列結(jié)論：（1）“和”為1的點(diǎn)的軌跡圍成的圖形面積為2；（2）設(shè)是直線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)的“和”的最小值為2；（3）設(shè)是直線上任意一點(diǎn)，則使得“和”最小的點(diǎn)有無數(shù)個”的充要條件是；（4）設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，則“和”的最大值為.其中正確的結(jié)論序號為（ ）
A．（1）（2）（3）B．（1）（2）（4）
C．（1）（3）（4）D．（2）（3）（4）
4．已知兩定點(diǎn)，，若直線上存在點(diǎn)，使，則該直線為“型直線”，給出下列直線，其中是“型直線”的是（ ）
①；②；③；④
A．①③B．①②C．③④D．①④
二、多選題
5．曲率半徑是用來描述曲線上某點(diǎn)處曲線彎曲變化程度的量，已知對于曲線上點(diǎn)處的曲率半徑公式為，則下列說法正確的是（ ）
A．對于半徑為的圓，其圓上任一點(diǎn)的曲率半徑均為
B．橢圓上一點(diǎn)處的曲率半徑的最大值為
C．橢圓上一點(diǎn)處的曲率半徑的最小值為
D．對于橢圓上點(diǎn)處的曲率半徑隨著的增大而減小
6．發(fā)現(xiàn)土星衛(wèi)星的天文學(xué)家喬凡尼卡西尼對把卵形線描繪成軌道有興趣.像笛卡爾卵形線一樣， 笛卡爾卵形線的作法也是基于對橢圓的針線作法作修改，從而產(chǎn)生更多的卵形曲線.卡西尼卵形線是由下列條件所定義的：曲線上所有點(diǎn)到兩定點(diǎn)（焦點(diǎn)）的距離之積為常數(shù).已知：曲線C是平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1(-1，0)和F2(1，0）的距離的積等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，則下列命題中正確的是（ ）
A．曲線C過坐標(biāo)原點(diǎn)
B．曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱
C．曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸對稱
D．若點(diǎn)在曲線C上，則 的面積不大于
7．雙紐線像數(shù)字“8”，不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱、和諧、簡潔、統(tǒng)一的美，同時也具有特殊的有價(jià)值的藝術(shù)美，是形成其它一些常見的漂亮圖案的基石，也是許多設(shè)計(jì)者設(shè)計(jì)作品的主要幾何元素．曲線C：是雙紐線，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．曲線C經(jīng)過5個整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）
B．曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離都不超過2
C．曲線C關(guān)于直線y＝x對稱的曲線方程為
D．若直線y＝kx與曲線C只有一個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為
三、填空題
8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M不與原點(diǎn)О重合，稱射線OM與的交點(diǎn)N為點(diǎn)M的“中心投影點(diǎn)”，曲線上所有點(diǎn)的“中心投影點(diǎn)”構(gòu)成的曲線長度是_______
9．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)．定義點(diǎn)的“友好點(diǎn)”為：，現(xiàn)有下列命題：
①若點(diǎn)的“友好點(diǎn)”是點(diǎn)，則點(diǎn)的“友好點(diǎn)”一定是點(diǎn)．
②單位圓上的點(diǎn)的“友好點(diǎn)”一定在單位圓上．
③若點(diǎn)的“友好點(diǎn)”還是點(diǎn)，則點(diǎn)一定在單位圓上．
④對任意點(diǎn)，它的“友好點(diǎn)”是點(diǎn)，則 的取值集合是 ．
其中的真命題是_____．
四、解答題
10．以橢圓的中心O為圓心，為半徑的圓稱為該橢圓的“準(zhǔn)圓”．已知橢圓C的長軸長是短軸長的倍，且經(jīng)過點(diǎn)，橢圓C的“準(zhǔn)圓”的一條弦所在的直線與橢圓C交于兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程及其“準(zhǔn)圓”的方程；
（2）當(dāng)時，證明:弦的長為定值．
11．定義：已知橢圓，把圓稱為該橢圓的協(xié)同圓.設(shè)橢圓的協(xié)同圓為圓(為坐標(biāo)系原點(diǎn))，試解決下列問題：
（1）寫出協(xié)同圓圓的方程；
（2）設(shè)直線是圓的任意一條切線，且交橢圓于兩點(diǎn)，求的值；
（3）設(shè)是橢圓上的兩個動點(diǎn)，且，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，求證：點(diǎn)總在某個定圓上，并寫出該定圓的方程.
12．給定橢圓C： (a>b>0)，稱圓心在原點(diǎn)O，半徑為的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”．若橢圓C的一個焦點(diǎn)為F(，0)，其短軸上的一個端點(diǎn)到F的距離為.
（1）求橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；
（2）若點(diǎn)P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓的切線l1，l2交“準(zhǔn)圓”于點(diǎn)M，N.證明：l1⊥l2，且線段MN的長為定值．
13．我們稱點(diǎn)P到圖形C上任意一點(diǎn)距離的最小值為點(diǎn)P到圖形C的距離，記作.
（1）求點(diǎn)到拋物線的距離；
（2）設(shè)是長為2的線段，求點(diǎn)集所表示圖形的面積.
14．給定橢圓，稱圓心在原點(diǎn)、半徑為的圓是橢圓的“衛(wèi)星圓”，若橢圓的離心率為，點(diǎn)在上.
（1）求橢圓的方程和其“衛(wèi)星圓”方程；
（2）點(diǎn)是橢圓的“衛(wèi)星圓”上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)作直線、使得，與橢圓都只有一個交點(diǎn)，且、分別交其“衛(wèi)星圓”于點(diǎn)、，證明：弦長為定值.
15．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線的方程為.若三角形的三個頂點(diǎn)都在拋物線上，且，則稱該三角形為“向心三角形”.
（1）是否存在“向心三角形”，其中兩個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和？說明理由；
（2）設(shè)“向心三角形”的一邊所在直線的斜率為，求直線的方程；
（3）已知三角形是“向心三角形”，證明：點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于.
16．若給定橢圓和點(diǎn)，則稱直線為橢圓C的“伴隨直線”．
（1）若在橢圓C上，判斷橢圓C與它的“伴隨直線”的位置關(guān)系（當(dāng)直線與橢圓的交點(diǎn)個數(shù)為0個、1個、2個時，分別稱直線與橢圓相離、相切、相交），并說明理由；
（2）命題：“若點(diǎn)在橢圓C的外部，則直線與橢圓C必相交．”寫出這個命題的逆命題，判斷此逆命題的真假，說明理由；
（3）若在橢圓C的內(nèi)部，過N點(diǎn)任意作一條直線，交橢圓C于A、B，交于M點(diǎn)（異于A、B），設(shè)，問是否為定值？說明理由．
17．已知橢圓（），點(diǎn)為橢圓短軸的上端點(diǎn)，為橢圓上異于點(diǎn)的任一點(diǎn)，若點(diǎn)到點(diǎn)距離的最大值僅在點(diǎn)為短軸的另一端點(diǎn)時取到，則稱此橢圓為“圓橢圓”，已知.
（1）若，判斷橢圓是否為“圓橢圓”；
（2）若橢圓是“圓橢圓”，求的取值范圍；
（3）若橢圓是“圓橢圓”，且取最大值，為關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，也異于點(diǎn)，直線、分別與軸交于、兩點(diǎn)，試問以線段為直徑的圓是否過定點(diǎn)？證明你的結(jié)論.
參考答案
1．C
【分析】求出滿足條件時的和，再求出，驗(yàn)證，，能否是三角形的三邊長，即可得．
【解析】，則，若是橢圓，則，，，
若是雙曲線，則，，
A中橢圓，，，，，不存在；
B中橢圓，，，，，不存在
C中雙曲線，，雙曲線上點(diǎn)到到右焦點(diǎn)距離的最小值是，
，，，構(gòu)成，存在“點(diǎn)”，
D中雙曲線，，，，，，不存在
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查新定義“點(diǎn)”，解題方法是弱化條件，求出滿足部分條件的點(diǎn)具有的性質(zhì)，驗(yàn)證是否滿足另外的條件：構(gòu)成三角形．從而完成求解．
2．B
【分析】設(shè)點(diǎn)，由得出關(guān)于、的等式，由，求出方程的解，即可得出結(jié)論.
【解析】設(shè)點(diǎn)，則，、，
，
，
由，得，即，
解得，此時，
所以，橢圓上有且只有個點(diǎn)是“★”點(diǎn).
故選：B.
【點(diǎn)評】本題考查橢圓中的新定義，考查橢圓方程的應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中等題.
3．B
【分析】根據(jù)新定義“和”，通過數(shù)形結(jié)合判斷（1）正確，通過研究函數(shù)最值對選項(xiàng)（2）（3）（4）逐一判斷即可.
【解析】（1）當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡如圖，其面積為2，正確；
（2）是直線上的一點(diǎn)，，
可知，，時遞減，時遞增，故的最小值在時取得，，正確；
（3）同（2），，可知當(dāng)時，都滿足，“和”最小的點(diǎn)有無數(shù)個，故錯誤；
（4）可設(shè)橢圓參數(shù)方程為，
易知其最大值為，正確.
故選：B.
【點(diǎn)評】本題的解題關(guān)鍵是認(rèn)真讀題，理解新定義“和”，再通過數(shù)形結(jié)合和函數(shù)最值的研究逐一判斷即突破難點(diǎn).
4．D
【分析】易得點(diǎn)在以、為焦點(diǎn)的橢圓上，“型直線”和橢圓有公共點(diǎn)，逐個選項(xiàng)聯(lián)立方程由判別式驗(yàn)證即可.
【解析】兩定點(diǎn)，，，
在以、為焦點(diǎn)的橢圓上，且，
故橢圓的方程為，
滿足題意的“型直線”和橢圓有公共點(diǎn)，
聯(lián)立和x24+y23=1，消整理可得，
故，即直線與橢圓有公共點(diǎn)，即為“型直線”，
聯(lián)立和，顯然無交點(diǎn)，故不是“型直線”，
聯(lián)立和x24+y23=1，消整理可得，
故，故不是“型直線”，
聯(lián)立和消整理可得，
故，即直線與橢圓有公共點(diǎn)，即為“型直線”，
故選：D
【點(diǎn)評】本題考查了橢圓的定義以及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，此題屬于圓錐曲線的新定義題目，同時考查了直線與橢圓位置關(guān)系的判斷，屬于中等題.
5．AC
【分析】利用曲率半徑公式的定義，A中有圓上任一點(diǎn)；B、C中由橢圓在， 處分別是最大、最小處，結(jié)合公式求得曲率半徑的范圍；D中由公式得，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可，進(jìn)而可確定正確選項(xiàng).
【解析】A：由題設(shè)知：圓的方程可寫為，所以圓上任一點(diǎn)曲率半徑為，正確；
B、C：由彎曲最大處為，最小處為，所以在處有，
在處有，即，故B錯誤，C正確；
D：由題意，處的曲率半徑，而，
所以，令，
則在上有恒成立，故在上隨著的增大而增大，錯誤；
故選：AC.
【點(diǎn)評】 由曲率半徑公式，結(jié)合曲線方程寫出相應(yīng)點(diǎn)的曲率半徑，根據(jù)圓、橢圓的性質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，判斷各項(xiàng)的正誤.
6．BCD
【分析】動點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)題意可得曲線的方程為，對各個選項(xiàng)逐一驗(yàn)證，即可得出結(jié)論．
【解析】由題意設(shè)動點(diǎn)坐標(biāo)為，
則，
即，
若曲線C過坐標(biāo)原點(diǎn)，將點(diǎn)代入曲線C的方程中可得與已知矛盾，
故曲線C不過坐標(biāo)原點(diǎn)，故A錯誤；
把方程中的x被代換，y被代換，方程不變，
故曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，故B正確；
因?yàn)榘逊匠讨械膞被代換，方程不變，故此曲線關(guān)于y軸對稱，
把方程中的y被代換，方程不變，故此曲線關(guān)于x軸對稱，
故曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸對稱，故C正確；
若點(diǎn)P在曲線C上，則，
，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
故的面積不大于，故D正確.
故選：BCD.
【點(diǎn)評】 本題考查圓錐曲線新定義，軌跡方程的求法，關(guān)鍵是讀懂題意，并能正確運(yùn)用新定義是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題型.
7．BCD
【分析】令，求出整點(diǎn)的坐標(biāo)，可判斷選項(xiàng)A；利用已知和兩點(diǎn)距離公式可判斷選項(xiàng)B；由曲線C上關(guān)于對稱的兩點(diǎn)都滿足方程，可判斷選項(xiàng)C；聯(lián)立直線y＝kx與曲線C解出方程的根，可得實(shí)數(shù)k的取值范圍．
【解析】時，，或2或，三個整點(diǎn)，，，無解，∴共有3個整點(diǎn)，A錯誤，
，曲線C上往取一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離﹐B正確；
曲線C上往取一點(diǎn)M關(guān)于的對稱點(diǎn)為N，設(shè)，則，M在曲線C上，∴，C正確．
與曲線C一定有公共點(diǎn)，∵與曲線C只有一個公共點(diǎn)，
則，∴，∴或，D正確
故選：BCD
8．
【分析】可作出對應(yīng)曲線的圖象，結(jié)合圖形，求出題中“中心投影點(diǎn)”構(gòu)成的曲線長度對應(yīng)圓中的圓心角，從而求出其“中心投影點(diǎn)”構(gòu)成的曲線的長度.
【解析】曲線的漸近線方程為： ，設(shè)漸近線與圓的交點(diǎn)分別為,如下圖
則曲線上所有點(diǎn)的“中心投影點(diǎn)”構(gòu)成的曲線為圓弧
由題意，所以
所以,則
故答案為：
9．②③
【分析】根據(jù)“友好點(diǎn)”的定義，根據(jù)逐項(xiàng)判斷即可得到結(jié)果．
【解析】定義點(diǎn)的“友好點(diǎn)”為：，即，且 ．
對于①，取，且，則點(diǎn)的“友好點(diǎn)”點(diǎn)，所以的“友好點(diǎn)”是點(diǎn)，故①錯誤；
對于②，設(shè)單位圓上任意一點(diǎn)，所以的“友好點(diǎn)”點(diǎn)，所以仍在在單位圓上，故②正確；
對于③，取，且，則點(diǎn)的“友好點(diǎn)”點(diǎn)，若的“友好點(diǎn)”點(diǎn)為，則，可知，所以點(diǎn)一定在單位圓上，故③正確；
對于④，由“友好點(diǎn)”點(diǎn)的定義可知且，故，故④錯誤．
故答案為：②③．
【點(diǎn)評】本題考查了新定義型問題的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．
10．（1），；（2）證明見解析.
【分析】（1）利用橢圓C的長軸長是短軸長的倍，且經(jīng)過點(diǎn)，列方程求出的值，從而可得答案；
（2）討論弦垂直與不垂直于x軸兩種情況，不垂直時，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，利用點(diǎn)到直線距離公式、勾股定理求出弦的長，利用韋達(dá)定理，結(jié)合化簡即可得答案.
【解析】（1）由題意解得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
橢圓C的“準(zhǔn)圓”方程為
（2）證明：①當(dāng)弦軸時，交點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，
又，則，
可設(shè)得
此時原點(diǎn)O到弦的距離，則，
因此
②當(dāng)弦不垂直于x軸時，設(shè)直線的方程為，
且與橢圓C的交點(diǎn)，
聯(lián)列方程組，
代入消元得：，
由
可得，
由得，
即，所以
此時成立，
則原點(diǎn)O到弦的距離，
則，
綜上得，因此弦的長為定值.
【點(diǎn)評】方法點(diǎn)睛：探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：① 從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；② 直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.
11．（1）；（2）；（3）證明見解析，定圓的方程為.
【分析】（1）由協(xié)同圓的定義，結(jié)合橢圓方程的參數(shù)寫出協(xié)同圓圓的方程；
（2）討論直線的斜率存在和不存在兩種情況：斜率不存在時，直接求出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求；斜率存在時，設(shè)聯(lián)立橢圓方程，由切線的性質(zhì)確定判別式符號，應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系、向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求；
（3）設(shè)，則，討論有一條直線的斜率不存在和兩條直線的斜率都存在，分別求，，，由等面積法求，即可證結(jié)論，并寫出定圓方程.
【解析】（1）由橢圓，知.
根據(jù)協(xié)同圓的定義，可得該橢圓的協(xié)同圓為圓.
（2）設(shè)，則.
直線為圓的切線，分直線的斜率存在和不存在兩種情況討論：
①當(dāng)直線的斜率不存在時，直線.
若，由，解得，此時.
若，同理得：.
②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè).
由，得，有，又直線是圓的切線，故，可得.
∴，則，而.
∴，即.
綜上，恒有.
（3）是橢圓上的兩個動點(diǎn)且，設(shè)，則.
直線：有一條直線的斜率不存在和兩條直線的斜率都存在兩種情況討論.
若直線的斜率不存在，即點(diǎn)在軸上，則點(diǎn)在軸上，有.
∴，，且，
由，解得.
若直線的斜率都存在，設(shè)，則.
由，得，有；同理，得.
于是，.
由，可得.
因此，總有，即點(diǎn)在圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為的圓上.
∴該定圓的方程為圓.
【點(diǎn)評】 研究直線與曲線相交關(guān)系注意討論直線的斜率是否存在，求出交點(diǎn)坐標(biāo)或聯(lián)立橢圓、直線方程，根據(jù)判斷判別式的符號、根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合題設(shè)已知條件列方程求定值或定曲線.
12．（1）橢圓方程為，“準(zhǔn)圓”方程為x2＋y2＝4；（2）證明見解析.
【分析】（1）由已知，進(jìn)而可得橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；
（2）①當(dāng)直線l1，l2中有一條斜率不存在時，分別求出l1和l2，驗(yàn)證命題成立；②當(dāng)l1，l2斜率存在時，設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，其中，聯(lián)立過點(diǎn)P(x0，y0)與橢圓相切的直線方程與橢圓方程，由Δ＝0化簡整理，可證得l1⊥l2；進(jìn)而得出線段MN為“準(zhǔn)圓”x2＋y2＝4的直徑，即線段MN的長為定值．
【解析】（1）∵橢圓C的一個焦點(diǎn)為
其短軸上的一個端點(diǎn)到F的距離為.
∴，
∴，
∴橢圓方程為，
∴“準(zhǔn)圓”方程為x2＋y2＝4.
（2）證明：①當(dāng)直線l1，l2中有一條斜率不存在時，不妨設(shè)直線l1斜率不存在，則l1：x＝±，
當(dāng)l1：x＝時，l1與“準(zhǔn)圓”交于點(diǎn)(，1)，(，－1)，
此時l2為y＝1(或y＝－1)，顯然直線l1，l2垂直；
同理可證當(dāng)l1：x＝－時，直線l1，l2垂直．
②當(dāng)l1，l2斜率存在時，
設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，其中.
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)P(x0，y0)與橢圓相切的直線為
y＝t(x－x0)＋y0，
∴由
得(1＋3t2)x2＋6t(y0－tx0)x＋3(y0－tx0)2－3＝0.
由Δ＝0化簡整理，得(3－)t2＋2x0y0t＋1－＝0，
∵，∴有(3－)t2＋2x0y0t＋(－3)＝0.
設(shè)l1，l2的斜率分別為t1，t2，
∵l1，l2與橢圓相切，∴t1，t2滿足上述方程(3－)t2＋2x0y0t＋(－3)＝0，
∴t1·t2＝－1，即l1，l2垂直．
綜合①②知，l1⊥l2.
∵l1，l2經(jīng)過點(diǎn)P(x0，y0)，又分別交其“準(zhǔn)圓”于點(diǎn)M，N，且l1，l2垂直．
∴線段MN為“準(zhǔn)圓”x2＋y2＝4的直徑，|MN|＝4，
∴線段MN的長為定值．
【點(diǎn)評】思路點(diǎn)睛：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查新定義，考查橢圓的切線方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，有關(guān)平面解析問題一些基本解題思想總結(jié)如下：
1.常規(guī)求值問題：需要找等式，范圍問題需要找不等式；
2.是否存在問題：當(dāng)作存在去求，不存在時會無解；
3.證明定值問題：把變動的元素用參數(shù)表示出來，然后證明結(jié)果與參數(shù)無關(guān)，也可先猜再證；
4.處理定點(diǎn)問題：把方程中參數(shù)的同次項(xiàng)集在一起，并令各項(xiàng)系數(shù)為，也可先猜再證；
5.最值問題：將對象表示為變量的函數(shù)求解．
13．（1）；（2）.
【分析】（1）設(shè)是拋物線上任意一點(diǎn)，則，可求出答案.
（2）設(shè)線段的端點(diǎn)分別為A，B，以直線為x軸，的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，
則，,則集合所表示的圖形是一個邊長為2的正方形和兩個半徑是1的半圓，從而可求解.
【解析】解：（1）設(shè)是拋物線上任意一點(diǎn)，則
，
因?yàn)椋援?dāng)時，.
點(diǎn)到拋物線的距離.
（2）設(shè)線段的端點(diǎn)分別為A，B，以直線為x軸，的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，
則，，點(diǎn)集D由如下曲線圍成：
，，，，
，，，，
∴集合所表示的圖形是一個邊長為2的正方形和兩個半徑是1的半圓，∴其面積為.
【點(diǎn)評】本題考查拋物線上的點(diǎn)與已知點(diǎn)的距離的最值，考查新定義問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯分析能力，屬于中檔題.
14．（1），；（2）證明見解析.
【分析】（1）本題可根據(jù)題意得出以及，然后通過計(jì)算得出、的值以及橢圓方程，最后根據(jù)即可求出衛(wèi)星圓的方程；
（2）本題可先討論、中有一條無斜率的情況，通過求出與的方程即可求出的值，然后討論、都有斜率的情況，設(shè)點(diǎn)以及經(jīng)過點(diǎn)且與橢圓只有一個公共點(diǎn)的直線為，再然后通過聯(lián)立方程以及韋達(dá)定理的應(yīng)用得出滿足條件的兩直線、垂直，判斷出此時線段應(yīng)為“衛(wèi)星圓”的直徑以及的值，最后綜合兩種情況即可得出結(jié)果.
【解析】（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，點(diǎn)在上，
所以，解得，，橢圓方程為，
因?yàn)?，圓心為原點(diǎn)，
所以衛(wèi)星圓的方程為.
（2）①當(dāng)、中有一條無斜率時，不妨設(shè)無斜率，
因?yàn)榕c橢圓只有一個公共點(diǎn)，所以其方程為或，
當(dāng)方程為時，此時與“衛(wèi)星圓”交于點(diǎn)和，
此時經(jīng)過點(diǎn)或且與橢圓只有一個公共點(diǎn)的直線是或，
即為或，此時，線段應(yīng)為“衛(wèi)星圓”的直徑，，
②當(dāng)、都有斜率時，設(shè)點(diǎn)，其中，
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)與橢圓只有一個公共點(diǎn)的直線為，
聯(lián)立方程，
消去得到，
則，
，滿足條件的兩直線、垂直，
此時線段應(yīng)為“衛(wèi)星圓”的直徑，，
綜合①②可知，為定值，.
【點(diǎn)評】本題考查橢圓方程的求法以及圓的方程的求法，考查橢圓、直線以及圓相交的綜合問題的求解，考查韋達(dá)定理以及判別式的靈活應(yīng)用，考查計(jì)算能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，是難題.
15．（1）不存在，理由詳見解析；（2）；（3）證明見解析.
【分析】（1）由題意可知，點(diǎn)為的重心，假設(shè)存在一點(diǎn)使得“向心三角形”存在，求得該點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線的方程，進(jìn)行判斷即可；
（2）設(shè)點(diǎn)、、，利用點(diǎn)差法求得，根據(jù)重心的坐標(biāo)公式，求出線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用點(diǎn)斜式方程可得出直線的方程；
（3）由，等式兩邊平方，利用基本不等式可得出，結(jié)合等式可求出，進(jìn)而證明結(jié)論成立.
【解析】（1）由題意可知，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
由，可知，為重心，
設(shè)存在點(diǎn)“向心三角形”，其中兩個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，另外的頂點(diǎn)為，
由，解得：，顯然，
故不存在“向心三角形”，其中兩個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和；
（2）設(shè)、、，
由，兩式相減，得，所以，所以，
由題意可知，，所以，則，
由，所以，所以，線段的中點(diǎn)，
因此，直線的方程為，整理得.
因此，直線的方程；
（3）由（2）可知，則，①
由，，
平方可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，顯然，
所以，即，
將①代入可得，解得，
所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于.
【點(diǎn)評】本題考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查三角形重心坐標(biāo)公式的應(yīng)用、點(diǎn)差法以及基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力與推理能力，屬于中等題.
16．（1）l與橢圓C相切．見解析（2）逆命題：若直線與橢圓C相交，則點(diǎn)在橢圓C的外部．是真命題．見解析（3）為定值0，見解析
【分析】（1） ，由根的差別式能得到l與橢圓C相切．
（2）逆命題：若直線與橢圓C相交，則點(diǎn)在橢圓C的外部．是真命題．聯(lián)立方程得．由，能求出在橢圓C的外部．
（3）此時與橢圓相離，設(shè)則代入橢圓，利用M在上，得．由此能求出．
【解析】解：（1）
即
∴
∴與橢圓C相切．
（2）逆命題：若直線與橢圓C相交，
則點(diǎn)在橢圓C的外部．
是真命題．聯(lián)立方程得
則
∴
∴
∴在橢圓C的外部．
（3）同理可得此時與橢圓相離，設(shè)
則代入橢圓，利用M在上，
即，整理得
同理得關(guān)于的方程，類似．
即是的兩根
∴．
【點(diǎn)評】本題是一道解析幾何中的新定義題目，考查了四種命題以及命題真假的判斷、直線與橢圓中的定值問題，考查了學(xué)生審題、分析、解決問題的能力，綜合性比較強(qiáng)，屬于難題.
17．（1）是；（2）；（3）是，證明見解析.
【分析】（1）直接判斷即可，
（2）由（1）的方法判斷，可得y＝﹣2時，函數(shù)值達(dá)到最大，分別討論二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)，是否滿足條件得出a的取值范圍；
（3）設(shè)參數(shù)方程滿足以MN為直徑的圓過原點(diǎn)，使數(shù)量積為零得出定點(diǎn)（0，2）．
【解析】（1）由題意得橢圓方程：1，所以A（0，2），
設(shè)P（x，y）則|PA|2＝x2++（y﹣2）2＝5?（1）+（y﹣2）2y2﹣4y+9，y∈[﹣2，2]，
二次函數(shù)開口向下，對稱軸y＝﹣8，y∈[﹣2，2]上函數(shù)單調(diào)遞減，
所以y＝﹣2時，函數(shù)值最大，此時P為橢圓的短軸的另一個端點(diǎn)，
∴橢圓是“圓橢圓”；
（2）由（1）的方法：橢圓方程：1，A（0，2）設(shè)P（x，y），則|PA|2＝x2+（y﹣2）2＝a2?（1）+（y﹣2）2＝（1）y2﹣4y+4+a2，y∈[﹣2，2]，由題意得，
當(dāng)且僅當(dāng)y＝﹣2時，函數(shù)值達(dá)到最大，
討論：①當(dāng)開口向上時，滿足：??﹣2＜a＜2（與矛盾，舍）；
②當(dāng)開口向下時，滿足?2＜a≤2，
綜上a的范圍：（2，2]．
（3）a＝2，橢圓方程：1，由題意：設(shè)P（2csθ，sinθ），θ∈[0，2π]，且，則Q（﹣2csθ，﹣sinθ），則直線AP：yx+2?M（，0）
則直線AQ：y2?N（，0），
MN為直徑的圓過定點(diǎn)C，由對稱性知C在y軸上，∴設(shè)C（0，n）則，且0，
∴,（n），∴,
所以得定點(diǎn)（0，2）．
【點(diǎn)評】考查新定義圓橢圓的定義，以及圓過定點(diǎn)問題，涉及到二次函數(shù)最值問題的考查，考查了分類討論及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔

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