（1）求橢圓的方程；
（2）過右焦點(diǎn)且不與軸重合的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，已知，過且與軸垂直的直線與直線交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在一定直線上，并求出此直線的方程.
2．已知點(diǎn)是離心率為的橢圓：（）上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，過點(diǎn)引軸、軸的平行線，交軸、軸于，兩點(diǎn)，交直線于，兩點(diǎn)，記與的面積分別為，，且．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，證明：直線，的交點(diǎn)在一定直線上，并求出該直線方程．
3．已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，原點(diǎn)到過點(diǎn)的直線距離是
（1）求橢圓的方程
（2）設(shè)動(dòng)直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，過作的垂線與直線交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在定直線上，并求出定直線的方程
4．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)．如圖所示，斜率為且過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，射線交橢圓于點(diǎn)，若在射線上，且．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求證：點(diǎn)在定直線上．
5．已知橢圓，點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn)．
（1）過原點(diǎn)作直線交橢圓于、兩點(diǎn)，求直線與直線的斜率之積的范圍；
（2）當(dāng)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩個(gè)不同點(diǎn)、時(shí)，線段上取點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上．
6．已知橢圓的離心率為分別是它的左、右頂點(diǎn)，是它的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作直線與交于(異于)兩點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，的面積為.
（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程;
（2）設(shè)直線與直線交于點(diǎn)，求證:點(diǎn)在定直線上.
7．已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為點(diǎn)，，且，橢圓離心率為.
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓的右焦點(diǎn)，且斜率不為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線，的交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在直線上.
8．已知橢圓的離心率，為橢圓的右焦點(diǎn)，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，的最大值為3.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2），分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)作直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線、交于點(diǎn)，試探究點(diǎn)是否在某條定直線上，若是，請(qǐng)求出該定直線方程，若不是，請(qǐng)說明理由.
9．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率為，以橢圓上的一點(diǎn)和長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積最大值為.
（1）求，的值；
（2）當(dāng)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于不同的點(diǎn)，時(shí)，在線段上取點(diǎn)，使得，問點(diǎn)是否總在某條定直線上？若是，求出該直線方程，若不是，說明理由.
10．如圖，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)A與垂直的直線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)Q，且恰是的中點(diǎn)，若過A，Q，三點(diǎn)的圓與直線相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)M，N為橢圓C的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，直線m過點(diǎn)交C于不同兩點(diǎn)G，H，證明：四邊形MNHG的對(duì)角線交點(diǎn)在定直線上，并求出定直線方程．
11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，是橢圓的左?右頂點(diǎn)，，離心率.是右焦點(diǎn)，過點(diǎn)任作直線交橢圓于，兩點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）試探究直線與直線的交點(diǎn)是否落在某條定直線上？若是，請(qǐng)求出該定直線的方程；若不是，請(qǐng)說明理由.
12．已知橢圓：（）的離心率為，，分別為的左、右焦點(diǎn)，過的右焦點(diǎn)作軸的垂線交于，兩點(diǎn)，的面積為．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在與軸不垂直的直線與交于，兩點(diǎn)，且弦的垂直平分線過的右焦點(diǎn)？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．
參考答案
1．（1）；（2）證明見解析，直線.
【分析】（1）由橢圓過定點(diǎn)，結(jié)合離心率求橢圓參數(shù)，寫出橢圓方程.
（2）由題設(shè)知的斜率不可能為0，可設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理可得，再由點(diǎn)斜式表示直線：，則即可判斷是否為定直線.
【解析】（1）由題意，且，又，解得，.
橢圓的方程為.
（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立方程
整理得，，
由，，即.
直線的方程為.①
過且與軸垂直的直線的方程為.②
聯(lián)立①②可得.
點(diǎn)在定直線上.
【點(diǎn)評(píng)】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，設(shè)直線的方程聯(lián)立橢圓方程，由韋達(dá)定理確定的關(guān)系，進(jìn)而由的位置用表示出其橫坐標(biāo).
2．（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析，直線.
【分析】（Ⅰ）設(shè)，利用，可得，又，，可得橢圓的方程；
（Ⅱ）分類討論：當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為：，聯(lián)立，得，利用根的系數(shù)關(guān)系得，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立消去得，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線，與軸重合，過點(diǎn)，即可得到結(jié)論.
【解析】（Ⅰ）設(shè)，軸，軸，，，，，
，，
，
，又，，
解得：，，故橢圓的方程為．
（Ⅱ）①當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為：，設(shè)，，
聯(lián)立，得，，
由韋達(dá)定理得，，．
因?yàn)?，?br>所以直線的方程為，直線的方程為．
聯(lián)立消去得，整理得
，
所以直線，的交點(diǎn)一定在直線上；
②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線，與軸重合，過點(diǎn)，
由①②知直線，的交點(diǎn)在直線上．
【點(diǎn)評(píng)】思路點(diǎn)睛：解決直線與橢圓的綜合問題時(shí)，要注意：
（1）注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；
（2）強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問題．
3．（1）；（2）證明見解析，.
【分析】（1）根據(jù)拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo)公式，結(jié)合直線方程的截距式方程、點(diǎn)到直線距離公式、橢圓中之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可；
（2）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系，結(jié)合一元二次方程的判斷別式、斜率公式、以及互相垂直兩直線的關(guān)系進(jìn)行求解即可.
【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ，
直線的方程為：，設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，
，
橢圓方程為；
（2）因?yàn)橹本€與橢圓相切，
聯(lián)立直線與橢圓方程：
即
切點(diǎn)坐標(biāo)
即，
，點(diǎn)的坐標(biāo)為：，
的方程為
聯(lián)立直線方程：
解得
在這條定直線上.
【點(diǎn)評(píng)】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是通過直線與橢圓的位置關(guān)系，借助方程組消，運(yùn)用一元二次方程根的判別式得到等式，再通過求出橫坐標(biāo)，進(jìn)行證明即可.
4．（1）；（2）證明見解析．
【分析】（1）過點(diǎn)，可得，再結(jié)合離心率即可求出橢圓方程；
（2）設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立用表示兩點(diǎn)，即可算出點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值，從而獲解.
【解析】（1）已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)，
所以，
又，則，所以，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立得，
由題意知恒成立，
由韋達(dá)定理得，所以，
由于為線段的中點(diǎn)，因此，，
此時(shí)．
所以所在直線方程為，
將其代入橢圓的方程，并由，
解得，
又，
由得，
因此，點(diǎn)在定直線上．
【點(diǎn)評(píng)】方法點(diǎn)睛：求定線問題常見的方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定直線，再證明這條線與變量無關(guān).
（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定直線.
5．（1）；（2）證明見解析.
【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，可得，橢圓的有界性可得出，利用斜率公式結(jié)合橢圓方程可得出，利用不等式的基本性質(zhì)可求得的取值范圍；
（2）設(shè)、、，分析得出直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由可得出，再由可得出，即可得出結(jié)論.
【解析】（1）設(shè)，，
則，
所以，
因?yàn)?，所以，所以?br>所以；
（2）若直線的斜率不存在，則直線的方程為，此時(shí)直線與橢圓無公共點(diǎn)，不合乎題意.
所以，直線的斜率存在，設(shè)，即，
聯(lián)立，得，
由得，
設(shè)、，則，，
設(shè)，由，得（考慮線段在軸的射影），
所以，
于是，整理得，
又，代入上式，得，所以點(diǎn)總在定直線上．
【點(diǎn)評(píng)】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
6．（1）；（2）證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率和橢圓的性質(zhì)可知，再根據(jù)軸時(shí)，的面積為 ，由面積公式可知，由此即可求出橢圓方程；
（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，設(shè)，由韋達(dá)定理，可知 ，將直線的方程與直線 的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)計(jì)算，即可證明結(jié)果.
【解析】 （1）由題意知，所以，又，
所以
當(dāng)軸時(shí)，的面積為，
所以
解得
所以，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由（1）知，設(shè)直線的方程為 ，
與橢圓聯(lián)立，得 .
顯然恒成立.
設(shè)，
所以有
直線的方程為，直線 的方程為，
聯(lián)立兩方程可得，所以
由式可得，
代入上式可得，
解得
故點(diǎn)在定直線上.
【點(diǎn)評(píng)】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問解題的關(guān)鍵在于設(shè)直線的方程為，避免了斜率存在和不存在的分類討論，使得運(yùn)算簡(jiǎn)化.
7．（1）；（2）證明見解析.
【分析】（1）由題知，解方程即可得，，故橢圓的方程是.
（2）先討論斜率不存在時(shí)的情況易知直線，的交點(diǎn)的坐標(biāo)是.當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，，，進(jìn)而聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理得，，直線的方程是，直線的方程是，進(jìn)而計(jì)算得時(shí)的縱坐標(biāo)，并證明其相等即可.
【解析】 （1）因?yàn)?，橢圓離心率為，
所以，解得，.
所以橢圓的方程是.
（2）①若直線的斜率不存在時(shí)，如圖，
因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)為，所以直線的方程是.
所以點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是.
所以直線的方程是，
直線的方程是.
所以直線，的交點(diǎn)的坐標(biāo)是.
所以點(diǎn)在直線上.
②若直線的斜率存在時(shí)，如圖.
設(shè)斜率為.所以直線的方程為.
聯(lián)立方程組
消去，整理得.
顯然.不妨設(shè)，，
所以，.
所以直線的方程是.
令，得.
直線的方程是.
令，得.
所以
分子
.
.
所以點(diǎn)在直線上.
【點(diǎn)評(píng)】本題第二問解題的關(guān)鍵在于分類討論直線斜率不存在和存在兩種情況，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，，寫出直線的方程是和直線的方程是，進(jìn)而計(jì)算得時(shí)的縱坐標(biāo)相等即可.考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.
8．（1）；（2）是，該定直線方程為.
【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求出可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理得到和，寫出直線和的方程，聯(lián)立直線和的方程，得到，結(jié)合和化簡(jiǎn)可得，從而可得點(diǎn)在定直線上.
【解析】（1）由題意得：，，則，，，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由題知，，，，設(shè)，，
設(shè)直線的方程為，將其與聯(lián)立，
消去并整理得，
由韋達(dá)定理得①，②，
聯(lián)立①②得，
設(shè)直線方程為③，
直線方程為④，
聯(lián)立③④得
，
則，解得，即點(diǎn)在定直線上.
【點(diǎn)評(píng)】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用直線和的方程聯(lián)立, 結(jié)合和化簡(jiǎn)求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值是解題關(guān)鍵.
9．（1），；（2）直線恒在定直線上.
【分析】（1）利用橢圓關(guān)系、離心率和三角形面積可構(gòu)造方程求得結(jié)果；
（2）根據(jù)四點(diǎn)的位置關(guān)系可知，由此可得中，將直線方程代入橢圓方程，得到韋達(dá)定理形式，整理可求得，代入直線方程可知恒成立，由此可確定結(jié)論.
【解析】（1）以橢圓上的一點(diǎn)和長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積最大時(shí)，三角形另一頂點(diǎn)為橢圓短軸的端點(diǎn)，
，解得：，.
（2）設(shè)，，，
，，
，即，
即，整理可得：，
設(shè)直線：，
聯(lián)立直線與橢圓：，整理得：，
，，
在線段上，則，
點(diǎn)恒在定直線上.
【點(diǎn)評(píng)】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用中的定直線問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：
①假設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；
②利用求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；
③利用韋達(dá)定理表示出所求量，通過化簡(jiǎn)整理確定所求的定直線.
.
10．（1）；（2）證明見解析， .
【分析】（1）設(shè)橢圓C的半焦距為，由圓的定義可求得圓的半徑，再由直線與圓的相切的條件可求得， ，，可求得橢圓方程．
（2）設(shè)其方程為，設(shè)，，直線與橢圓的方程聯(lián)立整理得，得出根與系數(shù)的關(guān)系，表示直線MH的方程和直線GN的方程。求得兩直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入，可得交點(diǎn)所過的定直線.
【解析】（1）設(shè)橢圓C的半焦距為，由為線段中點(diǎn)，，
所以A，Q，三點(diǎn)圓的圓心為，半徑為，
又因?yàn)樵搱A與直線l相切，所以，∴，所以，，
故所求橢圓方程．
（2）由對(duì)稱性可知，若存在，則必為垂直于x軸的直線．
依題意，直線l斜率必存在且不為0，設(shè)其方程為，
設(shè)，，聯(lián)立，得，
所以，故，
不妨設(shè)，，
所以直線MH的方程為，直線GN的方程為
消去y，得
故四邊形MNHG的對(duì)角線交點(diǎn)在定直線上．
【點(diǎn)評(píng)】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決直線與圓錐曲線相交的相關(guān)問題時(shí)，關(guān)鍵在于將目標(biāo)條件轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系，交點(diǎn)坐標(biāo)的韋達(dá)定理上去可得以解決.
11．（1）；（2）直線與直線的交點(diǎn)落在定直線上.
【分析】（1）根據(jù)題中條件，求出，即可得出橢圓方程；
（2）設(shè)直線方程為，設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓方程，由韋達(dá)定理，得到，，表示出直線和的方程，聯(lián)立兩直線方程，計(jì)算為定值，即可得出結(jié)果.
【解析】（1），，則，
設(shè)焦距為，離心率，，，
因此所求的橢圓方程為
（2）設(shè)直線方程為，設(shè)，，
由得，
，，
直線方程是，直線方程是，
由，
可得
，解得：
此直線與直線的交點(diǎn)落在定直線上.
【點(diǎn)評(píng)】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：
求解本題第二問的關(guān)鍵在于根據(jù)點(diǎn)為兩直線交點(diǎn)，聯(lián)立兩直線方程，結(jié)合直線與橢圓聯(lián)立后的結(jié)果，利用韋達(dá)定理，通過計(jì)算，確定點(diǎn)橫坐標(biāo)為定值，即可求解.
12．（1），（2）不存在，理由見解析.
【分析】（1）根據(jù)離心率得，根據(jù)的面積為．得，從而解得，可得橢圓的方程；
（2）假設(shè)存在與軸不垂直的直線滿足題意，設(shè)，代入，設(shè)，，根據(jù)判別式可得，根據(jù)韋達(dá)定理得弦的中點(diǎn)坐標(biāo)，可求得弦的垂直平分線方程，將代入可得，將其代入，得無解，故不存在符合題意的直線.
【解析】（1）依題意，，所以，即，
所以，所以，所以，
所以橢圓的方程為.
（2）假設(shè)存在與軸不垂直的直線滿足題意，設(shè)，將其代入，整理得，
所以，所以，
設(shè)，，則，
則，
所以的中點(diǎn)為，
所以弦的垂直平分線方程為，
因?yàn)橄业拇怪逼椒志€過的右焦點(diǎn)，
所以，
所以，將其代入，得，
化簡(jiǎn)得，此不等式不成立，
所以不存在符合題意的直線.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了運(yùn)算求解能力，屬于中檔

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備戰(zhàn)2022高考數(shù)學(xué)圓錐曲線專題9：橢圓中的定直線問題25頁(yè)（含解析）

備戰(zhàn)2022高考數(shù)學(xué)圓錐曲線專題9：橢圓中的定直線問題25頁(yè)（含解析）
備戰(zhàn)2022高考數(shù)學(xué)圓錐曲線專題8：橢圓中的定值問題29頁(yè)（含解析）

備戰(zhàn)2022高考數(shù)學(xué)圓錐曲線專題8：橢圓中的定值問題29頁(yè)（含解析）
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