?專(zhuān)題3-1 利用導(dǎo)數(shù)解決切線(xiàn)（公切線(xiàn)）問(wèn)題
目錄
1
題型一：“在”型求切線(xiàn) 1
題型二：“過(guò)”型求切線(xiàn) 5
題型三：已知切線(xiàn)條數(shù)求參數(shù) 9
題型四：判斷切線(xiàn)條數(shù) 13
題型五：公切線(xiàn)問(wèn)題 16
題型六：距離最小值 19
題型七：等價(jià)轉(zhuǎn)化為距離 23
27



題型一：“在”型求切線(xiàn)
【典型例題】
例題1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù).曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為（??）
A． B．
C． D．
【答案】C
解：因?yàn)?，所以?br /> 所以，，
所以切點(diǎn)為，切線(xiàn)的斜率，
所以切線(xiàn)方程為，即；
故選：C
例題2．（2022·四川·雅安中學(xué)高二期中（文））已知函數(shù)在上滿(mǎn)足，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】∵函數(shù)在上滿(mǎn)足，用替換得：
，
∴
∴
令，則，∴，即
∴，∴，
∴曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是：，即.
故選：C.
【提分秘籍】
已知在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程步驟：①求；
②
【變式演練】
1．（2022·四川省遂寧市教育局模擬預(yù)測(cè)（文））已知滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為(????)
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】已知滿(mǎn)足，∴為奇函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，因此，
則x＞0時(shí)，，
曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率，
又，
∴曲線(xiàn)在點(diǎn)，即(1，0)處的切線(xiàn)方程為，
整理得﹒
故選：C．
2．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，
所以，所以，
所以
所以．
因?yàn)椋裕?br /> 所以所求切線(xiàn)方程為，
即．
故選：A.
3．（2022·廣東·佛山市南海區(qū)九江中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則曲線(xiàn)在點(diǎn)（3，－6）處的切線(xiàn)方程為（????）
A．y＝9x＋21 B．y＝－9x＋19 C．y＝9x＋19 D．y＝－9x＋21
【答案】D
【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，所以，所以，
所以切線(xiàn)的斜率為.
所以曲線(xiàn)在點(diǎn)（3，－6）處的切線(xiàn)方程為y＋6＝－9（x－3），
即y＝－9x＋21.
故選：D.
4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（文））函數(shù)在處的切線(xiàn)方程為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】依題意，，則，而，于是有，即，
所以所求切線(xiàn)方程為：.
故選：A
題型二：“過(guò)”型求切線(xiàn)
【典型例題】
例題1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作曲線(xiàn)的切線(xiàn)，則切線(xiàn)方程為
A．或 B．或
C．或 D．
【答案】A
【詳解】設(shè)切點(diǎn)為（m，m3-3m），的導(dǎo)數(shù)為，
可得切線(xiàn)斜率k＝3m2-3，
由點(diǎn)斜式方程可得切線(xiàn)方程為y﹣m3+3m＝(3m2-3)（x﹣m），
代入點(diǎn)可得﹣6﹣m3+3m＝(3m2-3)（2﹣m），
解得m＝0或m＝3，
當(dāng)m=0時(shí)，切線(xiàn)方程為，
當(dāng)m=3時(shí)，切線(xiàn)方程為，
故選A．
例題2．（2022·內(nèi)蒙古·阿拉善盟第一中學(xué)高二期末（文））已知曲線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切于點(diǎn)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_(kāi)_____________.
【答案】0或或
【詳解】設(shè)的坐標(biāo)為，，
過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)方程為，
代入點(diǎn)的坐標(biāo)有，
整理為，
解得或或，
故答案為：0或或.
【提分秘籍】
函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)處的切線(xiàn)方程：①設(shè)切線(xiàn)坐標(biāo)，②求出切線(xiàn)方程為，③代入求得，從而得切線(xiàn)方程．
【變式演練】
1．（2022·山西太原·高三階段練習(xí)）若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與函數(shù)的圖象相切，則所有可能的切點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，
設(shè)切點(diǎn)為，則切線(xiàn)方程為：，
將點(diǎn)代入得，
即，解得或，
所以切點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為
故選：D.
2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作曲線(xiàn)的切線(xiàn)，則切線(xiàn)方程為
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】由，得，
設(shè)切點(diǎn)為
則 ，
∴切線(xiàn)方程為 ，
∵切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，
∴?ex0＝ex0(e?x0)，
解得： ．
∴切線(xiàn)方程為 ，整理得：.
故選C.．
3．（2022·河南省淮陽(yáng)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知，過(guò)作曲線(xiàn)的切線(xiàn)，切點(diǎn)在第一象限，則切線(xiàn)的斜率為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：由，得，
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線(xiàn)方程為，
把點(diǎn)代入并整理，得，
解得或（舍去），
故切線(xiàn)斜率為．
故選：C．
4．（2022·陜西安康·高三期末（理））曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)方程是___________.
【答案】
【詳解】由題意可得點(diǎn)不在曲線(xiàn)上，
設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)椋?br /> ∴所求切線(xiàn)的斜率，
所以.
因?yàn)辄c(diǎn)是切點(diǎn)，所以，
∴，即.
設(shè)，則在上單調(diào)遞增，且，
所以有唯一解，
則所求切線(xiàn)的斜率，
故所求切線(xiàn)方程為.
故答案為：.
題型三：已知切線(xiàn)條數(shù)求參數(shù)
【典型例題】
例題1．（2022·河南·安陽(yáng)一中高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)，若過(guò)點(diǎn)可以作出三條直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切，則的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線(xiàn)斜率，由直線(xiàn)過(guò)得關(guān)于的方程，此方程有3個(gè)不等的實(shí)根，方程轉(zhuǎn)化為，是三次方程，它有3個(gè)解，則其極大值與極小值異號(hào)，由此可得的范圍．
【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)斜率為，
又切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)切線(xiàn)斜率為，，即，
∵過(guò)點(diǎn)可作曲線(xiàn)的三條切線(xiàn)，方程有3個(gè)解．
令，則圖象與軸有3個(gè)交點(diǎn)，的極大值與極小值異號(hào)，，令，得或2，
或時(shí)，，時(shí)，，即在及上遞增，在上遞減，是極大值，是極小值，
,即，解得，
故選：D.
例題2．（2022·全國(guó)·益陽(yáng)平高學(xué)校高二期末）若過(guò)點(diǎn)可作曲線(xiàn)三條切線(xiàn)，則（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設(shè)切點(diǎn)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫(xiě)出切線(xiàn)的方程，代入點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為方程有3個(gè)根，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可知函數(shù)的極值，根據(jù)題意列出不等式組求解即可.
【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，
由，故切線(xiàn)方程為，
因?yàn)樵谇芯€(xiàn)上，所以代入切線(xiàn)方程得，
則關(guān)于t的方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
令，則或，
所以當(dāng)，時(shí)，，為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，
且時(shí)，，時(shí)，，
所以只需，解得
故選：A
【提分秘籍】
過(guò)點(diǎn)可做函數(shù)的一條（或兩條或三條）切線(xiàn)問(wèn)題步驟：
①設(shè)切點(diǎn)，求斜率②求切線(xiàn)③將點(diǎn)代入切線(xiàn)方程中得④則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程就有幾個(gè)解⑤轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)問(wèn)題或極值問(wèn)題求解.
【變式演練】
1．（2022·浙江大學(xué)附屬中學(xué)高三期中）若過(guò)可做的兩條切線(xiàn)，則（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，切線(xiàn)的斜率，
則切線(xiàn)方程為：，
把點(diǎn)代入可得，
化為：，則此方程有大于0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
則，即，則，
故選：A．
2．（2022·遼寧·高二期末）若過(guò)點(diǎn)可以作曲線(xiàn)的兩條切線(xiàn)，則（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由于，因此切線(xiàn)方程為，又切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，則，，
設(shè)，函數(shù)定義域是，則直線(xiàn)與曲線(xiàn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，，
當(dāng)時(shí)，恒成立，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞減，
時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，結(jié)合圖像知，即.
故選：D.
3．（2022·河南·馬店第一高級(jí)中學(xué)高二期中（文））已知函數(shù)，過(guò)點(diǎn)可作曲線(xiàn)的三條切線(xiàn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】解：設(shè)切點(diǎn)為，
則，
所以切線(xiàn)的斜率為，
又因?yàn)榍芯€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，
所以，即，
令，
則，令，得或，
當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，
當(dāng)時(shí)，取得極大小值，
因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)可作曲線(xiàn)的三條切線(xiàn)，
所以方程有3個(gè)解，
則，解得，
故選：D
題型四：判斷切線(xiàn)條數(shù)
【典型例題】

例題1．（2022·安徽蚌埠·模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)，過(guò)點(diǎn)作曲線(xiàn)的切線(xiàn)，則可作切線(xiàn)的最多條數(shù)是______．
【答案】3
【詳解】∵點(diǎn)不在函數(shù)的圖象上，∴點(diǎn)不是切點(diǎn)，
設(shè)切點(diǎn)為（），
由，可得，
則切線(xiàn)的斜率，
∴，
解得或或，故切線(xiàn)有3條.
故答案為：3.
【提分秘籍】
過(guò)點(diǎn)可做函數(shù)的幾條切線(xiàn)問(wèn)題步驟：
①設(shè)切點(diǎn)，求斜率②求切線(xiàn)③將點(diǎn)代入切線(xiàn)方程中得④解出即可判斷切線(xiàn)為幾條.
【變式演練】
1．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））過(guò)點(diǎn)作曲線(xiàn)的切線(xiàn)，當(dāng)時(shí)，切線(xiàn)的條數(shù)是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，
，切線(xiàn)斜率，
切線(xiàn)方程為：；
又切線(xiàn)過(guò)，；
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，恒成立，可得圖象如下圖所示，

則當(dāng)時(shí)，與有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
即當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)不同的解，切線(xiàn)的條數(shù)為條.
故選：D.
2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，則過(guò)點(diǎn)可作曲線(xiàn)的切線(xiàn)的條數(shù)為（????）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【詳解】解：因?yàn)?，所以?br /> 設(shè)切點(diǎn)為，
所以在切點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，
又在切線(xiàn)上，所以，
即，
整理得，解得或，
所以過(guò)點(diǎn)可作曲線(xiàn)的切線(xiàn)的條數(shù)為2.
故選：C．

題型五：公切線(xiàn)問(wèn)題
【典型例題】
例題1．（2022·湖北·仙桃市田家炳實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）若直線(xiàn)是曲線(xiàn)與的公切線(xiàn)，則（?????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設(shè)直線(xiàn)與的圖象相切于點(diǎn)，與的圖象相切于點(diǎn)，求出，，由點(diǎn)、點(diǎn)在切線(xiàn)上，得切線(xiàn)方程，進(jìn)而即得.
【詳解】設(shè)直線(xiàn)與的圖象相切于點(diǎn)，與的圖象相切于點(diǎn)，
又，，
所以，，
由點(diǎn)在切線(xiàn)上，得切線(xiàn)方程為；
由點(diǎn)在切線(xiàn)上，得切線(xiàn)方程為，
故，
解得，，
故.
故選：B.
例題2．（2022·浙江金華·高三階段練習(xí)）若直線(xiàn)是曲線(xiàn)和的公切線(xiàn)，則實(shí)數(shù)的值是___________．
【答案】
【分析】設(shè)直線(xiàn)與曲線(xiàn)、分別相切于點(diǎn)、，利用導(dǎo)數(shù)求出曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程，以及曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程，可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，即可求得的值.
【詳解】設(shè)直線(xiàn)與曲線(xiàn)、分別相切于點(diǎn)、，
對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，則，
曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即，
對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，則，
曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即，
所以，，化簡(jiǎn)可得.
故答案為：.

【提分秘籍】
是和的公切線(xiàn)問(wèn)題：
①設(shè)與相切的切點(diǎn)為則，求出切線(xiàn)方程
②設(shè)與相切的切點(diǎn)為則，求出切線(xiàn)方程
③聯(lián)立兩切線(xiàn)求解.
【變式演練】
1．（2022·重慶市育才中學(xué)高三階段練習(xí)）若直線(xiàn)（）為曲線(xiàn)與曲線(xiàn)的公切線(xiàn)，則l的縱截距（????）
A．0 B．1 C．e D．
【答案】D
【詳解】設(shè)l與的切點(diǎn)為，則由，有.
同理，設(shè)l與的切點(diǎn)為，由，有.
故 解得 或 則或.
因，所以l為時(shí)不成立.故，
故選：D.
2．（2022·湖南·長(zhǎng)沙一中高三開(kāi)學(xué)考試）若直線(xiàn)l：為曲線(xiàn)與曲線(xiàn)的公切線(xiàn)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)， ），則實(shí)數(shù)b=___________.
【答案】或##或
【詳解】根據(jù)切線(xiàn)方程的求解，聯(lián)立方程即可解得切點(diǎn)，進(jìn)而可求.
設(shè)與的切點(diǎn)為，則由，有.同理，設(shè)與的切點(diǎn)為，由，有.
故 由①式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得：，將③代入②中可得：，進(jìn)而解得或.
則或
故或.
故答案為：或
題型六：距離最小值
【典型例題】

例題1．（2022·江蘇·鎮(zhèn)江市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高二期中）若點(diǎn)，分別是函數(shù)與圖象上的動(dòng)點(diǎn)（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則的最小值為（????）
A． B． C． D．17
【答案】A
【詳解】設(shè)，，
令且當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，，
設(shè)與平行且與相切的直線(xiàn)與切于
．

則到直線(xiàn)的距離為，即，
故選：A．
【提分秘籍】

本例中設(shè)，，設(shè)與平行且與相切的直線(xiàn)與切于，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，則的最小值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離
【變式演練】
1．（2022·浙江省杭州第二中學(xué)高三階段練習(xí)）已知點(diǎn)P在函數(shù)的圖像上，點(diǎn)Q是在直線(xiàn)上，記，則（????）
A．M有最小值 B．當(dāng)M取最小值時(shí)，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是
C．M有最小值 D．當(dāng)M取最小值時(shí)，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是
【答案】D
【詳解】將化為，
即直線(xiàn)l的斜率為，
因?yàn)椋裕?br /> 令，得，
∴當(dāng)M最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
此時(shí)點(diǎn)P到直線(xiàn)的距離為，
所以M的最小值為；
過(guò)點(diǎn)P且垂直于的直線(xiàn)方程為，
聯(lián)立，得，
即點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為.
故選D
2．（2022·江蘇·蘇州市蘇州高新區(qū)第一中學(xué)高二期中）直線(xiàn) 分別與曲線(xiàn)， 直線(xiàn) 交于 兩點(diǎn)， 則 的最小值為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由題，設(shè)到直線(xiàn)的距離為，直線(xiàn)的傾斜角為，則 ，
又，，故最小即最小，即為當(dāng)過(guò)點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)平行時(shí)最小，
由曲線(xiàn)，得，所以切點(diǎn)為，
可求得點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最小值為
故，
故選：C
3．（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）點(diǎn)A是曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線(xiàn)的最小距離為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】不妨設(shè)，定義域?yàn)椋?br /> 對(duì)求導(dǎo)可得：
令
解得：（其中舍去）
當(dāng)時(shí)，，則此時(shí)該點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為最小
根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得：
解得：
故選：A
4．（2022·四川省宜賓市第四中學(xué)校高三階段練習(xí)（文））已知點(diǎn)是函數(shù)圖象上的點(diǎn)，點(diǎn)是直線(xiàn)上的點(diǎn)，則的最小值為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】當(dāng)與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)與的圖象相切時(shí)，切點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為的最小值.
，解得或（舍去），
又，所以切點(diǎn)到直線(xiàn)的距離即為的最小值，
即.
故選：A.
題型七：等價(jià)轉(zhuǎn)化為距離
【典型例題】
例題1．（2022·河南南陽(yáng)·高二階段練習(xí)（理））已知，則的最小值為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】表示點(diǎn)和之間的距離的平方；
點(diǎn)的軌跡為，點(diǎn)的軌跡為，
的最小值即為上的點(diǎn)與上的點(diǎn)的距離的平方的最小值；
，令，解得：，又，
與平行的曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程為且切點(diǎn)為，
上的點(diǎn)與上的點(diǎn)的最短距離為點(diǎn)到的距離，
即最短距離，則，的最小值為.
故選：B.

【提分秘籍】
在本例中根據(jù)幾何意義可知表示點(diǎn)和之間的距離的平方，根據(jù)點(diǎn)的軌跡方程，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為上的點(diǎn)與上的點(diǎn)的距離的平方的最小值的求解；利用導(dǎo)數(shù)可求得與平行的曲線(xiàn)的切線(xiàn)及切點(diǎn)，可知所求最小值即為切點(diǎn)到直線(xiàn)距離平方的最小值，利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式可求得結(jié)果.
【變式演練】
1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿(mǎn)足：，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則的最小值是（????）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)a，b，c，d滿(mǎn)足：，
所以，.
所以點(diǎn)在曲線(xiàn)上，點(diǎn)在上.
所以的幾何意義就是曲線(xiàn)上的任一點(diǎn)到上的任一點(diǎn)的距離的平方.
由幾何意義可知，當(dāng)?shù)哪骋粭l切線(xiàn)與平行時(shí)，兩平行線(xiàn)間距離最小.
設(shè)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與平行，則有：
，解得：，即切點(diǎn)為.
此時(shí)到直線(xiàn)的距離為就是兩曲線(xiàn)間距離的最小值，
所以的最小值為.
故選：B
2．（2022·江西·金溪一中高三階段練習(xí)（理））已知，，的最小值為（????）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【詳解】可以轉(zhuǎn)化為：是函數(shù)圖象上的點(diǎn)，是函數(shù)上的點(diǎn)，.
當(dāng)與直線(xiàn)平行且與的圖象相切時(shí)，切點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為的最小值.
令，解得或，（舍去），又，
所以切點(diǎn)到直線(xiàn)的距離即為的最小值.
所以，所以.
故選：B.
3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若，則的最小值是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：由已知可得，，
則的最小值即為曲線(xiàn)的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最小值的平方，
設(shè)，則，令，解得，
，
曲線(xiàn)與平行的切線(xiàn)相切于，
則所求距離的最小值為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的平方，即.
故選：D.
4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，，則的最小值為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】設(shè),,
點(diǎn)在函數(shù)上，點(diǎn)在函數(shù)上，
表示曲線(xiàn)上點(diǎn)到直線(xiàn)的點(diǎn)距離.
由，可得，與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)的斜率為，
令，得，所以切點(diǎn)的坐標(biāo)為，
切點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.
的最小值為.
故選：B
5．（2022·重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，則的最小值為（????）
A．9 B． C． D．
【答案】B
【詳解】由，則，又，
的最小值轉(zhuǎn)化為：上的點(diǎn)與上的點(diǎn)的距離的平方的最小值，
由，得：，與平行的直線(xiàn)的斜率為1，
∴，解得或（舍，可得切點(diǎn)為，
切點(diǎn)到直線(xiàn)之間的距離的平方，即為的最小值，
的最小值為：.
故選：B.

一、單選題
1．（2023·江西·貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】，所以，又，
所以切線(xiàn)方程為，即．
故選：A．
2．（2022·湖北·棗陽(yáng)一中高三期中）已知函數(shù)的圖像在處的切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，則（????）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】B
【詳解】由，，，
則函數(shù)在處的切線(xiàn)方程為，
將代入切線(xiàn)方程可得.
故選：B
3．（2022·四川綿陽(yáng)·一模（理））已知直線(xiàn)：既是曲線(xiàn)的切線(xiàn)，又是曲線(xiàn)的切線(xiàn)，則（????）
A．0 B． C．0或 D．或
【答案】D
【詳解】,,，設(shè)切點(diǎn)分別為，
則曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程為：，化簡(jiǎn)得，，
曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程為：，化簡(jiǎn)得，，，故，
解得e或.
當(dāng)e，切線(xiàn)方程為，故.
當(dāng)，切線(xiàn)方程為，故，則.
故的取值為或.
故選：D
4．（2022·河南南陽(yáng)·高三期中（理））若函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，則實(shí)數(shù)的值為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：因?yàn)?，所以?br /> 又，所以，
所以切線(xiàn)方程為，即，
所以，解得；
故選：B
5．（2022·安徽·碭山中學(xué)高三階段練習(xí)）若函數(shù)與的圖象存在公共切線(xiàn)，則實(shí)數(shù)a的最大值為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由題意得，，．
設(shè)公切線(xiàn)與的圖象切于點(diǎn)，
與的圖象切于點(diǎn)，
∴，
∴，∴，
∴，∴．
設(shè)，則，
∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
∴，
∴實(shí)數(shù)a的最大值為，
故選：A．
6．（2022·江蘇南通·高三期中）已知直線(xiàn)與是曲線(xiàn)的兩條切線(xiàn)，則（????）
A． B． C．4 D．無(wú)法確定
【答案】A
【詳解】解：由已知得，曲線(xiàn)的切線(xiàn)過(guò)，
時(shí)，曲線(xiàn)為，設(shè)，直線(xiàn)在曲線(xiàn)上的切點(diǎn)為，，
切線(xiàn)：，又切線(xiàn)過(guò)
，∴，，
同理取，曲線(xiàn)為，設(shè)，直線(xiàn)在曲線(xiàn)上的切點(diǎn)為，，
切線(xiàn)：，又切線(xiàn)過(guò)
，，∴，
故選：A
7．（2022·山西太原·高三期中）若曲線(xiàn)和y＝x2＋mx＋1有公切線(xiàn)，則實(shí)數(shù)m＝（????）
A． B． C．1 D．－1
【答案】A
【詳解】設(shè)，則，
曲線(xiàn)與切線(xiàn)相切于，
則切線(xiàn)方程為：①
因?yàn)榍芯€(xiàn)與y＝x2＋mx＋1②相切，
聯(lián)立①②：x2＋mx＋1=，
所以，
所以，
所以，
則有，解得，
故選：A
8．（2022·江西贛州·高三階段練習(xí)（理））已知曲線(xiàn)與的兩條公切線(xiàn)所成角的正切值為，則（????）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【詳解】因?yàn)榕c互為反函數(shù)，故圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)，
設(shè)一條切線(xiàn)與兩個(gè)函數(shù)圖像分別切于兩點(diǎn)，且兩條切線(xiàn)交點(diǎn)為，
如圖，

設(shè)，則，即，解得或-3（舍去），
故，易求得曲線(xiàn)的斜率為2的切線(xiàn)方程為，
故曲線(xiàn)的斜率為2的切線(xiàn)方程為，
的斜率為2的切線(xiàn)方程為，故曲線(xiàn)的斜率為2的切線(xiàn)方程為，
所以，則，則.故A，B，D錯(cuò)誤.
故選：C.
9．（2022·遼寧·東北育才雙語(yǔ)學(xué)校一模）已知直線(xiàn)是曲線(xiàn)與曲線(xiàn)的一條公切線(xiàn)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切于點(diǎn)，則滿(mǎn)足的關(guān)系式為（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】記得,記得，設(shè)直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切于點(diǎn)，由于是公切線(xiàn)，故可得，
即化簡(jiǎn)得，
故選：C
10．（2022·遼寧·東北育才學(xué)校高三階段練習(xí)）已知直線(xiàn)與曲線(xiàn)，分別交于點(diǎn)，則的最小值為（????）
A． B． C．1 D．e
【答案】B
【詳解】解：設(shè)與直線(xiàn)垂直，且與相切的直線(xiàn)為，
設(shè)與直線(xiàn)垂直，且與相切的直線(xiàn)為，
所以，，
設(shè)直線(xiàn)與的切點(diǎn)為，
因?yàn)?，所以，解得，，即?br /> 設(shè)直線(xiàn)與的切點(diǎn)為，
因?yàn)?，所以，解得，，即?br /> 此時(shí)，
所以，當(dāng)直線(xiàn)與直線(xiàn)重合時(shí)，最小，最小值為.
故選：B
11．（2022·浙江·高三開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，為曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】因?yàn)椋?，，?br /> 所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即．
圓的圓心坐標(biāo)為，故圓心到直線(xiàn)的距離為，所以的最小值為.
故選：D
12．（2022·廣西河池·高二階段練習(xí)（理））平面直角坐標(biāo)系中，已知，則的最小值為（???????）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】C
【詳解】根據(jù)條件得到表示的是曲線(xiàn)上兩點(diǎn)的距離的平方.
∵，∴，由，可得，此時(shí).
∴曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為，即：.
直線(xiàn)與直線(xiàn)的距離為，
∴的最小值為.
故選：C.
二、多選題
13．（2022·湖南省臨澧縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知過(guò)點(diǎn)作曲線(xiàn)的切線(xiàn)有且僅有1條，則的可能取值為（????）
A．－5 B．－3 C．－1 D．1
【答案】AC
【詳解】由已知得，則切線(xiàn)斜率，切線(xiàn)方程為，
直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，則，化簡(jiǎn)得，
切線(xiàn)有且僅有條，即，化簡(jiǎn)得，即，解得或.
故選：AC.
三、填空題
14．（2022·浙江杭州·高三期中）已知，過(guò)點(diǎn)可作曲線(xiàn)的三條切線(xiàn)，則的范圍是________．
【答案】
【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由，得，所以切線(xiàn)方程為，將代入切線(xiàn)方程，得，即為方程的解，設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取極小值，極小值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取極大值，極大值為，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)可作曲線(xiàn)的三條切線(xiàn)，所以方程有三個(gè)不同的解， 與的圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn)， 所以，即的范圍是.
故答案為：.

15．（2022·湖南·長(zhǎng)沙一中高三階段練習(xí)）若曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)重合，則___________．
【答案】0
【詳解】解：由切點(diǎn)，，則在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，
即，
由切點(diǎn)，，則在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，
即，
由題知：兩條直線(xiàn)是同一條直線(xiàn)，
則：，
化簡(jiǎn)得：．
∴ ．
故答案為：0．
16．（2022·廣東·肇慶市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）已知曲線(xiàn)與曲線(xiàn)有相同的切線(xiàn)，則這條切線(xiàn)的斜率為_(kāi)__________.
【答案】##0.5
【詳解】設(shè)曲線(xiàn)與曲線(xiàn)的切點(diǎn)分別為，，
又，，
所以，，
所以切線(xiàn)為，即，
，即，
所以，
所以，，即這條切線(xiàn)的斜率為.
故答案為：.














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