（1）若直線與曲線相切，求實數(shù)的值；
（2）用，表示，中的最小值，設(shè)函數(shù)，，討論零點的個數(shù)．
【解析】（1）依題意，，則曲線在點，處的切線方程為，
又，代入整理得，此直線與重合，得，消去得：
①，令，則，
當時單調(diào)遞增，
當時，單調(diào)遞減，
（1）．由①知，，解得；
（2）①當時，，所以，無零點；
②當時，（1）（1），從而（1），故為的一個零點；
③當時，，則的零點即為的零點．
又，
所以①當時，，此時在上單調(diào)遞增，（1），此時無零點；
②當時，令，解得：，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又（1），
在上無零點，另外，由（1）可知（1）恒成立，
即對恒成立，則，
所以，故存在，
進而存在，使得，即，此時在上存在唯一零點；
綜上可得：當時，有1個零點；當時，有2個零點．
2．已知函數(shù)，．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）記，表示，中的最小值，設(shè)，，若函數(shù)至少有三個零點，求實數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）的定義域為，
，
令，得．
①當，即時，；
②當，即時，；
③當，即時，，
綜上，當時，的單減區(qū)間為和，單增區(qū)間為；
當時，的單減區(qū)間為，無增區(qū)間；
當時，的單減區(qū)間為和，單增區(qū)間為．
（2）的唯一一個零點是，
，，
由（1）可得：
當時，，
此時至多有兩個零點，不符合題意；
（ⅱ）當時，在定義域上單減遞減，
此時至多有兩個零點，不符合題意；
（ⅲ）當時，
若（2），即，此時至多有兩個零點，不符合題意；
若（2），即，此時，
即，
此時恰好有三個零點，符合題意；
若（2），即，此時，，
記，
所以，
所以（a）在上單調(diào)遞增，所以，
此時恰好有四個零點，符合題意，
綜上，．
3．已知函數(shù)，．
（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）當時，記函數(shù)，，若函數(shù)至少有三個零點，求實數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）令，
當時，．
，令，得．
當，，單調(diào)遞增；
當，，，單調(diào)遞減；
當，，，單調(diào)遞增．
（2）當時，，令，得，．
①當，即時，，此時至多有兩個零點，不合題意；
②當，即時，，此時至多有兩個零點，不合題意；
③當，即時，若（1），至多有兩個零點，不合題意；
若（1），得，，恰好有三個零點；
若（1），得，（2），．
記（a），則（a），（a），
此時有四個零點．
綜上所述，滿足條件的實數(shù)的取值集合為，．
4．已知函數(shù)．
（1）求證：；
（2）用，表示，中的最大值，記，，討論函數(shù)零點的個數(shù)．
【解析】證明：（1）：設(shè)，定義域為，
則，
當時，；當時，，
故在內(nèi)是遞減函數(shù)，在內(nèi)遞增函數(shù)，
所以是的極小值點，也是的最小值點，所以（1），
所以．
（2）函數(shù)的定義域為，，
當時，；當時，，
所以在內(nèi)是遞減函數(shù)，在內(nèi)是遞增函數(shù)，
所以是的極小值點，也是的最小值點，即（1），
若，則，
當時，；當時，；當時，，
所以，于是只有一個零點．
當時，則，
當時，，此時；
當時，，，此時．
所以沒有零點．
當時，根據(jù)（1）知：，而，所以，
又因為（1），所以在上有一個零點，
從而一定存在，，使得（c）（c），即，即，
當時，，
所以，從而，
于是有兩個零點和1．當時，有兩個零點．
綜上：當時，有一個零點；當時，沒有零點；當時，有兩個零點．
5．已知函數(shù)，．
（1）當，且時，證明：；
（2）定義，設(shè)函數(shù)，，試討論零點的個數(shù)．
【解析】（1）證明：當時，，
要證，需證，即，
即證：當時，；當時，．
令，則，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，
當時，（1），此時；
當時，（1），此時．
故，且時，．
（2）當時，，，在上無零點；
當時，（1）（1），則（1），是的唯一零點；
當時，，在上無零點，
在上的零點個數(shù)等價于在上的零點個數(shù)．
，
①若時，，在上單調(diào)遞增，（1），此時無零點；
②若即時，令，得；令，得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，
令（a），則（a），（a）在上單調(diào)遞增，
（a）（1），即，即，
兩邊取指數(shù)，有，即，
，
又，
由零點存在性定理可知，在上存在唯一的零點，且．
綜上所述：
當時，僅有一個零點；
當時，有兩個零點

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