?第二十九節(jié) 直接找點與放縮找點
知識與方法
1．在討論函數(shù)零點個數(shù)時，一般采用研究函數(shù)的單調性，結合零點存在性定理進行嚴密地論證函數(shù)在某區(qū)間上的零點個數(shù).例如，當我們論證出在區(qū)間上單調遞減，在上單調遞增，且時，如下圖所示，為了嚴密論證在上有兩個零點，需在左側取出，右側取出，才能得出共有兩個零點的結論，這類問題一般稱之為找點問題.

2．找點的方法一般有直接找.點、放縮找點、限位取點三種：
（1）直接找點：直接取出某自變量，代入函數(shù)的解析式能夠滿足要求即可，一般的原則是指數(shù)型解析式取對數(shù)點，對數(shù)型解析式取指數(shù)點，直接找點需要一定的經驗積累以及較強的運算求解能力.
（2）放縮找點：當直接找點比較困難時，可以對函數(shù)的解析式進行適度放縮，再找點.放縮時可先分析函數(shù)解析式的各個部分中，哪些是主要部分，哪些是次要部分，放縮時，可以丟掉次要部分，也可以考慮放縮主要部分，放縮的目的是簡化表達式，使其易于判斷正負
（3）限位取點：例如，當我們發(fā)現(xiàn)取的點可以趨于正無窮時，不妨在時進行考慮，根據(jù)這一前提將表達式的次要部分進行放縮，以達到簡化解析式的效果，限位取點本質上也是放縮取點.
3.下面給出一些找點問題中常見的放縮不等式












4.如何應對靈活的找點題
找點題較為靈活，能力要求高，已經成為近幾年高考題、模擬題的熱門題型.上面列出的那些常用的放縮不等式，其實也無需死記硬背，只需有將指數(shù)、對數(shù)放縮成低次、高次多項式的意識即可，在具體的問題中，可根據(jù)需要選擇適當?shù)姆趴s．想要成為找點高手，光看別人取出來的點多么漂亮，別人的放縮多么精妙是沒有用的，同學們唯一能做的，就是親自去嘗試，只有自己嘗試取點，才能真正看到這里面的風景，逐步提升自己取點的能力.

典型例題
【例1】（2018·新課標Ⅱ卷）已知函數(shù)
（1）若，證明：當時，；
（2）若在上只有一個零點，求a.
【解析】（1）若，則，故要證，只需證，即證，也即證，
令，則，當且僅當取等號，所以在上單調遞減，又，所以，即，故成立.
（2）解法1：，令，
則在上只有一個零點等價于在上只有一個零點，
易求得，所以，，
從而在上單調遞減，在上單調遞增，故，
當時，，所以在上無零點，不合題意；
當時，，所以在上有1個零點，符合題意；
當時，，又，且，所以在上有1個零點，
另一方面，設，則，由（1）可得當時，，所以，故在上單調遞增，結合知，從而，
所以，從而，
故在上有1個零點，所以共2個零點，不合題意；
綜上所述，當且僅當時，在上只有1個零點.
解法2：當時，顯然對任意的，都有，
令，則，，
所以，，
從而在上單調遞減，在上單調遞增，
又，，，
所以在上有兩個零點，設為和，不妨設，則，，且或，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增,
結合，知恒成立，因為，所以，故無零點，不合題意；
當時，，由前面的求解過程知有1個零點，符合題意；
當時，注意到，，所以在上有零點，
而，設，則，
所以在上單調遞增，又，所以恒成立，
顯然，從而當時，，故，
結合知在上有零點，所以至少有2個零點，不合題意；
綜上所述，當且僅當時，在上只有1個零點.
【反思】本題解法1的思維過程是怎樣的？你能想明白嗎？
【例2】（2017·年新課標Ⅰ卷）已知函數(shù).
（1）討論的單調性；
（2）若有兩個零點，求a的取值范圍.
【解析】（1）由題意，
當時，，，所以恒成立，故在R上單調遞減
當時，，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增.
（2）解法1：當時，由（1）知在R上單調遞減，所以至多有一個零點，不合題意；
當時，由（1）知在上單調遞減，在上單調遞增，
若有兩個零點，則必有
令，則，所以在上單調遞增，
結合知當且僅當時，，此時，
因為，所以在上有一個零點，
又且（易證，所以），所以在上有一個零點，從而共有兩個零點，滿足題意；
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為.
解法2：當時，由（1）知在R上單調遞減，所以至多有一個零點，不合題意；
當時，由（1）知在上單調遞減，在上單調遞增，
若有兩個零點，則必有，
令，則，所以在上單調遞增，
結合知當且僅當時，，此時，
因為，所以在上有一個零點，
易證，
所以,
故，從而，且顯然，
所以在上有一個零點，從而共有兩個零點，滿足題意；
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為.
【例3】已知函數(shù)，其中.
（1）當時，求在處的切線方程；
（2）當時，證明：有唯一的極小值點，
（3）對于（2）中的，若，證明：.
【解析】（1）當時，，，所以，，
故所求切線的方程為，整理得：.
（2）由題意，的定義域為，且，，
顯然當時，，所以在上單調遞增，
又當時，，
當時，，所以有唯一的零點，
且，，從而在上單調遞減，在上單調遞增，故有唯一的極小值點.
（3）由（2）可得，因為，所以，
故，
設，
則，
顯然當時，，所以，，
從而在上單調遞增，在上單調遞減，易證在上恒成立，
所以當時，
又，，
所以有唯一的零點，且該零點在上，
因為，且，所以，故
又，設，則，從而在上單調遞增，又，，所以，故.
【反思】本題在論證有零點時，采用了max和min取點，這是一種限位取點的方法.
強化訓練
l.證明：函數(shù)有兩個零點.
證明：由題意，，，所以，，
從而在上單調遞增，在上單調遞減，
因為，f，所以在上有1個零點，又，所以共有2個零點.
2.已知函數(shù).
（1）當時，求函數(shù)在處的切線方程；
（2）若有且僅有1個零點，求m的取值范圍.
【解析】（1）當時，，，所以，，
從而在處的切線方程為，整理得：.
（2）解法l：由題意，，，
①當時，，所以在上單調遞增，
又，，所以有唯一的零點，滿足題意；②當時，，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
故，
若，則，所以有唯一的零點，滿足題意；
若，則，所以恒成立，故無零點，不合題意；
若，則，又，所以在上有一個零點，
另一方面，，設，
則，
所以在上單調遞增，因為，所以恒成立，從而，且易證，所以在上有一個零點，故共有2個零點，不合題意；
綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是.
解法2：令，則，
所以，設，則函數(shù)有且僅有1個零點等價于函數(shù)有且僅有1個零點，易求得，，
①當時，，所以在上單調遞增，
又，，所以在上有唯一的零點，滿足題意；
②當時，，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，從而，
若，則，所以在上有唯一的零點，滿足題意；
若，則，所以恒成立，故在上無零點，不合題意；
若，則，又，且，所以在上有一個零點，另一方面，設，則，
所以，，從而在上單調遞增，在上單調遞減，故，所以，
從而，故，且，所以在上有一個零點，故共有2個零點，不合題意；
綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是.
3.（2021·新課標Ⅱ卷）設函數(shù)，其中.
（1）討論的單調性；
（2）若的圖象與x軸沒有公共點，求a的取值范圍.
【解析】（1）函數(shù)的定義域為，
且，
因為，所以，從而，，
故在上單調遞減，在上單調遞增.
（2）的圖象與x軸沒有公共點等價于沒有零點，
由（1）知，
①當時，，所以恒成立，故沒有零點，符合題意；
②當時，，此時有唯一的零點，不合題意；
③當時，，，
設，則，且，
令，則，所以在上單調遞增，結合可得恒成立，所以，
顯然，所以在上有一個零點，不合題意；
綜上所述，a的取值范圍為.
4．已知函數(shù)，其導函數(shù)為.
（1）當時，求的最大值；
（2）若有兩個極值點，求a的取值范圍.
【解析】當時，，，
所以，故，，
從而在上單調遞增，在上單調遞減，故.
（2）由題意，，，
①當時，，所以在上單調遞減，
從而最多1個零點，故最多1個極值點，不合題意；
②當時，，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
若有2個極值點，則有2個零點，從而必有，所以，此時，，所以在上有1個零點，
另一方面，，設，則，所以在上單調遞減，從而，故，
所以在上有1個零點，故共有2個零點，且這2個零點都是的極值點，綜上所述，a的取值范圍為.
5．已知函數(shù)
（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若有且僅有1個零點，求實數(shù)a的取值范圍.
【解析】（1），因為在上單調遞增，所以在上恒成立，即，所以，當時，的取值范圍是，
因為恒成立，所以，故實數(shù)a的取值范圍是.
（2）由題意，，
，
①當時，，所以在R上單調遞減，
又，，所以有且僅有1個零點，滿足題意；
②當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
故，
設，則，所以，，
從而在上單調遞增，在上單調遞減，故，所以，
從而，故，所以，
又且，所以在上有1個零點，
另一方面，設，則，所以，，從而在上單調遞增，在上單調遞減，
故，所以，故，
所以當時，，
故在上必有1個零點，從而共有2個零點，不合題意；
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.
6．已知函數(shù)，
（1）討論的單調性；
（2）已知，若函數(shù)與的圖象有兩個交點，求a的取值范圍.
【解析】（1）由題意，的定義域為，，
當時，，所以，，
從而在上單調遞增，在上單調遞減，
當時，或，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，
當時，，當且僅當時取等號，所以在上單調遞增，
當時，或，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增.
（2）函數(shù)與的圖象有兩個交點等價于方程有兩個實根，
而，
設，則有2個零點，

①當時，，所以在上單調遞減，故至多1個零點，不合題意；
②當時，，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
從而有2個零點的必要條件是，即，設，則，且，設，則，
所以在上單調遞減，又，所以當且僅當時，，即，
從而，所以，此時，，所以在上有1個零點，設，則，所以，，從而在上單調遞增，在上單調遞減，所以，故，
所以，
取得：，
易得，所以在上有1個零點，從而共有2個零點，滿足題意，綜上所述，a的取值范圍為.
7.已知函數(shù)，其中，，e為自然對數(shù)的底數(shù).
（1）當時，證明：；
（2）若，證明：有且僅有2個零點.
【解析】（1）設，則，因為，，所以，從而在上單調遞減，又，所以恒成立，故當時，.
（2）由題意，，，所以，，易求得，
設，則，所以在上單調遞增，
又，，
所以有1個零點，
且當時，，所以，當時，，所以，
從而在上單調遞減，在上單調遞增，
注意到，且，所以在上有一個零點1，且必有，
另一方面，由（1）可得當時，恒成立，
所以，
故，從而在上有1個零點，所以有且僅有2個零點.
8．已知函數(shù)，其中.
（1）若，求在處的切線方程；
（2）若有3個零點，求a的取值范圍.
【解析】（1）若，則，，所以，，故所求切線的方程為，整理得：.
（2）由題意，的定義域為，且，，
所以，，從而在上單調遞增，在上單調遞減，故，
①當時，，所以恒成立，從而在上單調遞減，故最多有1個零點，不合題意；
②當時，，設，則，
所以在上單調遞減，從而，
故，所以在上有1個零點，記作，
另一方面，，所以在上有1個零點，記作，故，且或，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，
注意到，所以，，
又，所以在上有1個零點，
因為，
所以在上有1個零點，
從而共有3個零點，故實數(shù)的取值范圍是.

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