（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)有兩個零點，，證明：．
【解析】（1），，
當(dāng)時，，在上遞減；
當(dāng)時，，
令，解得：，令，解得：，
故在上遞減，在，上遞增；
綜上：當(dāng)時，在上遞減；
當(dāng)時，在上遞減，在，上遞增；
（2）證明：若函數(shù)有兩個零點，，
則①，②，
①②得：，故，
①②得：，故，
要證，即證，即證，
，，
即證，即證，，
令，則，
，，
則，
故在單調(diào)遞減，
又（1），故（1），
故，故．
2．已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若，，是的兩個零點．證明：
（?。?；
（ⅱ）．
【解析】（1）函數(shù)的定義域為，
，
當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增．
當(dāng)時，令，
所以在上，，，單調(diào)遞增，
在，上，，，單調(diào)遞減，
綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增．
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．
（2）證明：由（1）可知，要使由函數(shù)有兩個零點，需，且，則，
又，故，則，
令，則，
在上單減，
，
又，
，
又，
，即；
要證，由（1）可知，只需證，
即證，
又，
只需證，即證，
令，則，，，
所以上述不等式等價于，即，亦即，
令，則，
在上單調(diào)遞減，即（1），即得證．
3．已知函數(shù)有兩個零點，
（Ⅰ）求證：
（Ⅱ）求證：．
【解析】證明：（Ⅰ）函數(shù)的定義域是，
，
①時，，
在區(qū)間上是增函數(shù)，
不可能有2個零點；
②時，在區(qū)間上，，在區(qū)間上，，
在區(qū)間遞減，在區(qū)間遞增；
的最小值是（a），且當(dāng)時，；當(dāng)時，，
由題意得：有（a），則；
（Ⅱ）要證，只要證，
易知，，
而在區(qū)間遞增，
只要證明，
即證，
設(shè)函數(shù)，
則（a），且區(qū)間上，
，
即在遞減，
（a），
而，
成立，
．
4．已知函數(shù)有兩個零點，
（1）求的取值范圍；
（2）求證：．
【解析】（1）設(shè)，，
則，
，
當(dāng)時，恒成立，是增函數(shù)，成立；
當(dāng)時，在是減函數(shù)，在是增函數(shù)，
（a）（a），
解得，
綜上，的取值范圍是．
證明：（2）欲證，即證，
，即證，
在是增函數(shù)，
即證，
，即證，
記，即證明，，（a）．
（a），
函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，因此（a）．
結(jié)論成立．
5．已知函數(shù)，．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）證明：當(dāng)時，；
（3）若函數(shù)有兩個零點，，比較與0的大小，并證明你的結(jié)論．
【解析】（1），．
①時，在上遞增，在上遞減；
②時，’ 的兩根為，1
若，即時，在上遞增；
若．即時，在上遞增，，上遞減，上遞增；
且，故此時在上有且只有一個零點．
若，即時，在上遞增，上遞減，，上遞增；
且（1），故此時在上有且只有一個零點．
綜上所述：時，在上遞增，，上遞減，上遞增；
時，在上遞增；
時，在上遞增，上遞減，，上遞增；
時，在上遞增，在上遞減；
（2）證明：
，
設(shè)，．
．
在上單調(diào)遞減，
得證．
（3）由（1）知，函數(shù)要有兩個零點，，則，
．
不妨設(shè)，
由（2）得．
，
．
．
6．已知函數(shù)，其中為常數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若存在兩個極值點，，求證：無論實數(shù)取什么值都有．
【解析】（1），
函數(shù)的定義域為
，
令，
，
當(dāng)時，即時，，即函數(shù)在單調(diào)遞增，
當(dāng)時，即，或時，
令，解得，或，
①若，
當(dāng)時，即，或，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時，即，函數(shù)單調(diào)遞減，
②若，，即函數(shù)在單調(diào)遞增，
綜上所述：當(dāng)時，即函數(shù)在單調(diào)遞增，
當(dāng)時，函數(shù)在，或上單調(diào)遞增，
在，上單調(diào)遞減，
（2）由（1）可知，當(dāng)時，函數(shù)在，或上單調(diào)遞增，
在，上單調(diào)遞減，
；，
，
；
故
；
令（a），
則（a），
，；
（a）在，上增函數(shù)，
且，
故，
故無論實數(shù)取什么值都有．
7．已知函數(shù)的兩個零點為，．
（1）求實數(shù)的取值范圍；
（2）求證：．
【解析】（1）．
①，，在上單調(diào)遞增，不可能有兩個零點；
②，可解得，可解得，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，
由題意，，
；
（2）證明：令，，
由題意方程有兩個根為，，不妨設(shè)，．
令，則，
令，可得，函數(shù)單調(diào)遞增；，可得，函數(shù)單調(diào)遞減．
由題意，，
要證明，即證明，即證明．
令，
下面證明對任意恒成立，
，
，
，，
，
在上是增函數(shù)，
，
原不等式成立．
8．已知函數(shù)有兩個零點，．
（Ⅰ）求實數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）證明：．
【解析】函數(shù)，
，
在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
的最小值為，
即，
又，
，
滿足函數(shù)有兩個零點；
證明：令，
由知在遞減，，遞增，
令，，
，
則在遞增，
，即，
令的零點為，，，，
，
，
，即，
所以

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