基礎(chǔ)過關(guān)全練
知識(shí)點(diǎn) 三角形的角平分線、中線和高
1.下列說法錯(cuò)誤的是(M7209003)( )
A.三角形的高、中線、角平分線都是線段
B.三角形的三條中線都在三角形內(nèi)部
C.銳角三角形的三條高交于一點(diǎn)
D.三角形的三條高、三條中線、三條角平分線都交于同一點(diǎn)
2.(2023河北石家莊欒城期末)如圖所示,圖中分別畫出了三角形的角平分線、中線和高線,其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是(M7209003)( )
圖1 圖2 圖3
A.0 B.1 C.2 D.3
3.(2023河北唐山豐潤模擬)如圖,在△ABC中,∠1=∠2=∠3=∠4,下列說法中正確的是( )
A.AD是△ABE的中線 B.AE是△ABC的角平分線
C.AF是△ACE的高線 D.AE是△DAF的中線
4.【新獨(dú)家原創(chuàng)】如圖,CD⊥AB,AF⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,BE⊥
AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,則下列說法不正確的是( )
A.AF是BC邊上的高 B.BE是AC邊上的高
C.AC·BE=BC·AF D.CD是AC邊上的高
5.【一題多變·已知中線求兩三角形周長(zhǎng)的差】如圖,在△ABC中,AB=
8,AC=5,AD是△ABC的中線,則△ABD與△ACD的周長(zhǎng)之差為( )
A.2 B.3 C.4 D.5
[變式·已知中線求三角形的周長(zhǎng)]如圖,AD是△ABC的中線,△ABD的周長(zhǎng)為25 cm,AB比AC長(zhǎng)7 cm,則△ACD的周長(zhǎng)為( )
A.18 cm B.22 cm C.19 cm D.32 cm
6.如圖,已知AD是△ABC的角平分線,CE是△ABC的高,∠BAC=60°,
∠BCE=40°,求∠ADB的度數(shù).
7.如圖,在△ABC中,AD為BC邊上的高,點(diǎn)E為BC邊上的一點(diǎn),連接AE.(M7209003)
(1)當(dāng)AE為BC邊上的中線時(shí),若AD=6,△ABC的面積為24,求CE的長(zhǎng);
(2)當(dāng)AE為∠BAC的平分線時(shí),若∠C=66°,∠B=36°,求∠DAE的度數(shù).
能力提升全練
8.(2022浙江杭州中考,5,★★☆)如圖,CD⊥AB,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,已知∠ABC是鈍角,則( )
A.線段CD是△ABC的邊AC上的高線
B.線段CD是△ABC的邊AB上的高線
C.線段AD是△ABC的邊BC上的高線
D.線段AD是△ABC的邊AC上的高線
9.(2023河北石家莊四區(qū)聯(lián)考,1,★★☆)如圖,在△ABC中,邊AB上的高是線段(M7209003)( )
A.AD B.GE
C.EF D.CH
10.(2023河北平泉期末,7,★★☆)如圖,點(diǎn)D、E、F分別為BC、AD、BE的中點(diǎn),若△BFD的面積為6,則△ABC的面積等于(M7209003)
( )
A.36 B.18
C.48 D.24
11.(2022河北邯鄲永年期末,16,★★☆)如圖,在△ABC中,BD=15BC,AE=14AD,CF=12CE,S△ABC=30,則S△DEF=( )
A.10 B.9
C.7 D.8
素養(yǎng)探究全練
12.【推理能力】如圖,點(diǎn)D為△ABC的邊BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn).
(1)若∠A∶∠ABC=3∶4,∠ACD=140°,求∠A的度數(shù);
(2)若∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點(diǎn)M,過點(diǎn)C作CP⊥BM于點(diǎn)P,試探究∠PCM與∠A的數(shù)量關(guān)系.
答案全解全析
基礎(chǔ)過關(guān)全練
1.D A.三角形的高、中線、角平分線都是線段,故原說法正確;B.三角形的三條中線都在三角形內(nèi)部,故原說法正確;C.銳角三角形的三條高交于一點(diǎn),故原說法正確;D.三角形的三條角平分線、三條中線分別交于一點(diǎn),三角形的三條高線所在的直線交于一點(diǎn),這三個(gè)點(diǎn)不一定重合,故原說法錯(cuò)誤.故選D.
2.D 題圖1,線段BD的端點(diǎn)D不在三角形ABC的邊上,故BD不是三角形ABC的角平分線.題圖2,線段EQ是三角形BEF的中線,直線EQ不是.題圖3,過三角形頂點(diǎn)的線段KM不垂直于頂點(diǎn)K的對(duì)邊JL,故KM不是三角形JKL的高線.題中三個(gè)圖都錯(cuò)誤.故選D.
3.B ∵∠1=∠2=∠3=∠4,∴∠1+∠2=∠3+∠4,即∠BAE=∠CAE,
∴AE是△ABC的角平分線,故B選項(xiàng)說法正確,其他幾個(gè)選項(xiàng)均無法根據(jù)已知條件推出,故選B.
4.D ∵AF⊥BC,∴AF是BC邊上的高,故A選項(xiàng)說法正確,不符合題意;∵BE⊥AC,∴BE是AC邊上的高,故B選項(xiàng)說法正確,不符合題意;∵S△ABC=12AC·BE=12BC·AF,∴AC·BE=BC·AF,故C選項(xiàng)說法正確,不符合題意;∵CD⊥AB,∴CD是AB邊上的高,故D選項(xiàng)說法不正確,符合題意.故選D.
5.B 由題意知BD=CD,
∴C△ABD-C△ACD=(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)
=AB+AD+BD-AC-AD-CD=AB-AC=8-5=3,故選B.
[變式] A 由題意知BD=CD,
∴△ABD和△ACD周長(zhǎng)的差=(AB+BD+AD)-(AC+AD+CD)=AB-AC,
∵△ABD的周長(zhǎng)為25 cm,AB比AC長(zhǎng)7 cm,
∴△ACD的周長(zhǎng)=25-7=18(cm).故選A.
6.解析 ∵AD是△ABC的角平分線,∠BAC=60°,
∴∠BAD=12∠BAC=30°,
∵CE是△ABC的高,∠BCE=40°,
∴∠B=180°-90°-40°=50°,
∴∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-50°-30°=100°.
7.解析 (1)∵AD為BC邊上的高,△ABC的面積為24,
∴12BC·AD=24,
∴BC=2×246=8,
∵AE為BC邊上的中線,
∴CE=12BC=4.
(2)∵∠C=66°,∠B=36°,
∴∠BAC=180°-∠C-∠B=180°-66°-36°=78°,
∵AE為∠BAC的平分線,
∴∠CAE=12∠BAC=39°,
∵∠ADC=90°,∠C=66°,
∴∠CAD=180°-90°-66°=24°,
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=39°-24°=15°.
能力提升全練
8.B 線段CD是△ABC的邊AB上的高線,故A錯(cuò)誤,B正確;線段AD不是△ABC的邊BC上的高線,故C錯(cuò)誤;線段AD不是△ABC的邊AC上的高線,故D錯(cuò)誤.故選B.
9.D ∵CH⊥AB,∴在△ABC中,邊AB上的高是線段CH.故選D.
10.C ∵F是BE的中點(diǎn),△BFD的面積是6,∴S△BDE=2S△BDF=12,
同理:S△BDA=2S△BDE=24,S△ABC=2S△BDA=48.故選C.
11.B ∵BD=15BC,∴CD=45BC,∴S△ACD=45S△ABC=45×30=24,
∵AE=14AD,∴DE=34AD,∴S△CDE=34S△ACD=34×24=18,
∵CF=12CE,∴EF=12CE,∴S△DEF=12S△CDE=12×18=9.故選B.
素養(yǎng)探究全練
12.解析 (1)∵∠A∶∠ABC=3∶4,∴可設(shè)∠A=3k,∠ABC=4k.
∵∠ACD=∠A+∠ABC=140°,∴3k+4k=140°,
解得k=20°,∴∠A=3k=60°.
(2)∵∠MCD是△MBC的外角,∴∠M=∠MCD-∠MBC.
同理可得∠A=∠ACD-∠ABC.
∵CM、BM分別平分∠ACD、∠ABC,
∴∠MCD=12∠ACD,∠MBC=12∠ABC,
∴∠M=12(∠ACD-∠ABC)=12∠A.
∵CP⊥BM,∴∠PCM=90°-∠M=90°-12∠A.

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9.3 三角形的角平分線、中線和高

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