如圖，A、B表示兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)，要在A、B一側(cè)的河岸邊建造一個(gè)碼頭，使它到兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的距離相等，碼頭應(yīng)建在什么位置？
1. 學(xué)會(huì)綜合法證明線段的垂直平分線的性質(zhì)定理和判斷定理.（重點(diǎn)） 2.通過(guò)探索、發(fā)現(xiàn)、猜測(cè)、證明等過(guò)程，發(fā)展推理證明的能力、規(guī)范證明的書寫格式.（難點(diǎn)）
探究一：線段垂直平分線的性質(zhì)定理
我們?cè)?jīng)利用折紙的方法得到:線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等.你能證明這一結(jié)論嗎?
已知：如圖，AC=BC，MN⊥AB，P是MN上任意一點(diǎn). 求證：PA=PB．
證明：∵M(jìn)N⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°∵AC=BC，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）；∴PA=PB（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）．
如果點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，那么結(jié)論顯然成立.
性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩端點(diǎn)的距離相等．
溫馨提示：這個(gè)結(jié)論是經(jīng)常用來(lái)證明兩條線段相等的根據(jù)之一.
∵P在線段AB的垂直平分線上∴PA=PB
1.如圖所示，在△ABC中，∠A=40°，AB的垂直平分線分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，連接BE，則∠BEC的大小為(　　)A.40° B.50° C.80° D.100°
探究二：線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理
逆命題：如果有一個(gè)點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上，即到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．
當(dāng)我們寫出逆命題時(shí)，就想到判斷它的真假．如果真，則需證明它；如果假，則需用反例說(shuō)明．
證明：（方法一）過(guò)點(diǎn)P作已知線段AB的垂線PC， ∵PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC（HL），∴AC=BC，即P點(diǎn)在AB的垂直平分線上．
性質(zhì)定理的逆命題：到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．
（方法二）把線段AB的中點(diǎn)記為C,連接PC. ∵C為AB的中點(diǎn)， ∴AC=BC. ∵PA=PB,PC=PC， ∴△APC≌△BPC(SSS)， ∴∠PCA=∠PCB=90°， ∴PC⊥AB， 即P在AB的垂直平分線上.
注意：這個(gè)結(jié)論經(jīng)常用來(lái)證明點(diǎn)在直線上（或直線經(jīng)過(guò)某一點(diǎn)）的根據(jù)之一．
到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上.
如圖,∵PA=PB(已知),∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線上(到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上).
如圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，E是BD的垂直平分線與AB的交點(diǎn)，DE交AC于點(diǎn)F.求證:點(diǎn)E在AF的垂直平分線上.
證明: ∵E是BD的垂直平分線上一點(diǎn),∴EB=ED,∴∠B=∠D.∵∠ACB=90°,∴∠A=90°-∠B,∠CFD=90°-∠D,∴∠CFD=∠A.又∵∠AFE=∠CFD,∴∠AFE=∠A,∴EF=EA,∴點(diǎn)E在AF的垂直平分線上.
解：∵DE為AB的垂直平分線， ∴AE=BE. ∵△BCE的周長(zhǎng)等于50， ∴BE+EC+BC=50，即AE+EC+BC=50， ∴AC+BC=50. ∵AC=27， ∴BC=23.
3.有下列說(shuō)法:①若直線PE是線段AB的垂直平分線,則EA=EB，PA=PB；②若PA=PB,EA=EB,則直線PE垂直平分線段AB;③若PA=PB,則P必是線段AB的垂直平分線上的點(diǎn);④若EA=EB,則過(guò)點(diǎn)E的直線垂直平分線段AB.其中正確的是　　　　　　.(填序號(hào))
證明：∵AB=AC，∴A在線段BC的垂直平分線上.∵BD=CD，∴ D在線段BC的垂直平分線上.∴ AD是線段BC的垂直平分線.∵P是AD上一點(diǎn) ， ∴PB=PC.

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3 線段的垂直平分線

版本： 北師大版

年級(jí)： 八年級(jí)下冊(cè)

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