1、說一說線段垂直平分線的性質定理？
線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等．
2、說一說線段垂直平分線的判定定理？
到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.
例1：求證：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等.已知：如圖,在△ABC中，邊AB的垂直平分線與邊BC的垂直平分線與邊BC相交于點P.求證：邊AC的垂直平分線經過點P，且PA＝PB＝PC.
證明：∵點P在線段AB的垂直平分線上，∴ PA = PB(線段垂直平分線上的點到這條線段 兩個端點的距離相等）. 同理，PB ＝PC. ∴PA =PB ＝PC.∴點P在線段AC的垂直平分線上（到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上），即：邊AC的垂直平分線經過點P.
三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等.
這個交點一定在三角形內部嗎？
定理：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等.
在△ABC中，∵a，b，c分別是BC，AC，AB的垂直平分線，∴a，b，c相交于點P，且PA=PB=PC.
這是一個證明三條直線交于一點的證明依據.
練習1：如圖，在△ABC中，∠BAC＝52°，O為AB，AC的垂直平分線的交點，連接OB，OC，那么∠OCB＝________．
議一議：(1)已知三角形的一條邊及這條邊上的高，你能畫出滿足條件的三角形嗎？如果能，能畫出幾個？所畫出的三角形都全等嗎？?
議一議：(2)已知等腰三角形的底邊及底邊上的高，你能用尺規(guī)作出滿足條件的等腰三角形嗎？能作幾個？
例1：已知一個等腰三角形的底邊及底邊上的高,求作這個等腰三角形.
已知：如圖，線段a，h.
求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.
作法：（1）作線段BC=a,（2）作線段BC的垂直平分線l，交BC于點D，（3）在l上作線段DA，使DA=h，（4）連接AB、AC.△ABC為所求的等腰三角形.
思考：已知直線l和l上一點P，用尺規(guī)作l的垂線，使它經過點P.
先在直線l上作線段AB，使點P是線段AB的中點；再作線段AB的垂直平分線.即可以過點P出直線l垂線.
議一議：如果點C是直線AB外一點，那么怎樣用尺規(guī)作直線AB的垂線，使它經過點C呢？
作法：(1)任意取一點K ，使點K與點C 在直線AB的兩旁；(2)以點C為圓心，CK長為半徑作弧，交AB于點D和E；(3)分別以點D和點E為圓心，以大于 DE的長為半徑作弧,兩弧相交于點F；(4)作直線CF.直線CF就是所求作的垂線.
練習2：已知△ABC，AB＜BC，用尺規(guī)作圖的方法在BC上取一點P，使得PA＋PC＝BC，則下列選項正確的是(　　)
1．如圖，地面上有三個洞口A，B，C，老鼠可以從任意一個洞口跑出，貓為能同時最省力地顧及三個洞口(到A，B，C三個點的距離相等)，盡快抓到老鼠，應該蹲守在(　　)A．△ABC三邊垂直平分線的交點處B．△ABC三條角平分線的交點處C．△ABC三條高所在直線的交點處D．△ABC三條中線的交點處
2．在數學課上，老師提出如下問題：尺規(guī)作圖：作線段AB的垂直平分線．小蕓的作法如下：如圖，①分別以點A和點B為圓心，大于 AB的長為半徑作弧，兩弧相交于C，D兩點；②作直線CD．老師說：“小蕓的作法正確．”請回答：小蕓的作圖依據是什么？
答：到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上及兩點確定一條直線
3.如圖，河流AB的一旁有一村莊P，現要在河流上修建供水站向村莊P供水，要使供水路徑最短，求作供水站M的位置．
作法：（1）以P為圓心，以適當的長度為半徑畫弧，交直線AB于C，D兩點．（2）作線段CD的垂直平分線MN，交CD于M.M點就是所求作的點．
如圖，已知鈍角三角形ABC，依下列步驟尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡．步驟1：以C為圓心，CA為半徑畫?、?；步驟2：以B為圓心，BA為半徑畫弧②，交弧①于點D；步驟3：連接AD，交BC的延長線于點H.下列敘述正確的是(　　)A．BH垂直平分線段AD B．AC平分∠BADC．S△ABC＝BC·AH D．AB＝AD
（2018·河北）尺規(guī)作圖要求：Ⅰ、過直線外一點作這條直線的垂線；Ⅱ、作線段的垂直平分線；Ⅲ、過直線上一點作這條直線的垂線；Ⅳ、作角的平分線．如圖是按上述要求排亂順序的尺規(guī)作圖：則正確的配對是（　?。〢.①-Ⅳ，②-Ⅱ，③-Ⅰ，④-Ⅲ B.①-Ⅳ，②-Ⅲ，③-Ⅱ，④-ⅠC.①-Ⅱ，②-Ⅳ，③-Ⅲ，④-Ⅰ D.①-Ⅳ，②-Ⅰ，③-Ⅱ，④-Ⅲ
1、說一說三角形三條邊的垂直平分線有什么特點？
三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等.(1)銳角三角形三邊垂直平分線交于三角形內部；(2)直角三角形三邊垂直平分線交于三角形斜邊中點；(3)鈍角三角形三邊垂直平分線交于三角形外部．
2、如何過一點作已知直線的垂線？
課題：1.3線段的垂直平分線（2）?
1、三角形三邊的垂直平分線：2、過一點作已知直線的垂線：

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3 線段的垂直平分線

版本： 北師大版（2024）

年級： 八年級下冊

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