能運(yùn)用十字相乘法對(duì)形如a2+bx+c(a≠0)的二次三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解
能將整體思想融入十字相乘法
二次項(xiàng)系數(shù)不為1的十字相乘法
Q1：2x2+5x+2如何分解因式？
此時(shí)二次項(xiàng)系數(shù)不為1，怎么辦呢？
Q2：乘法運(yùn)算：(x+2)(2x+1)=________________。
Q3：將上述式子左右顛倒，你發(fā)現(xiàn)了什么？
(x+2)(2x+1)=2x2+5x+2
2x2+5x+2=(x+2)(2x+1)
Q4：對(duì)上述式子的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分析。
①原多項(xiàng)式的二次項(xiàng)2x2拆成x、2x之積；②原多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)2拆成2、1之積；③x、2x與2、1交叉相乘后的和應(yīng)為原多項(xiàng)式的一次項(xiàng)。
分解因式：3x2-7x+2。
【ax2+bx+c(a≠0)型的十字相乘】①把二次項(xiàng)ax2分解成兩個(gè)因式a1x，a2x的積(a1x)·(a2x)，②把常數(shù)項(xiàng)c分解成兩個(gè)因式c1，c2的積c1·c2，③并使(a1x)c2+(a2x)c1正好是一次項(xiàng)bx，④則可因式分解為：ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)。
分解因式：(1)5x2+7x-6；
分解因式：(2)-2x2-x+15；
(2)通常，當(dāng)二次項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，把“-”號(hào)作為公因式的符號(hào)寫在括號(hào)外，使括號(hào)內(nèi)第一項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù)，原式=-(2x2+x-15)，
∴原式=-(x+3)(2x-5)。
分解因式：(3)12x2-11x-15；
分解因式：(4)20-9y-20y2。
(4)通常，當(dāng)二次項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，把“-”號(hào)作為公因式的符號(hào)寫在括號(hào)外，使括號(hào)內(nèi)第一項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù)，原式=-(20y2+9y-20)，
∴原式=-(4y+5)(5y-4)。
例1、15x2+8x-12。
例2、多項(xiàng)式77x2-13x-30可因式分解成(7x+a)(bx+6)，其中a，b均為整數(shù)，則a+b等于________。
【分析】∵77x2-13x-30=(7x+a)(bx+6)=(7x-5)(11x+6)，∴a=-5，b=11，∴a+b=-5+11=6。
整體思想下的十字相乘法
【分析】(1)①令x2=t，原式=t2-3t-4，
④用公式法，原式=(x2+1)(x+2)(x-2)。
例1、(1)x4-3x2-4；
②用十字相乘法，原式=(t+1)(t-4)，
③將t=x2代入，原式=(x2+1)(x2-4)，
(2)①令x2+x=t，原式=t2-17t+60，
④用十字相乘法again，原式=(x2+x-5)(x-3)(x+4)。
例1、(2)(x2+x)2-17(x2+x)+60。
②用十字相乘法，原式=(t-5)(t-12)，
③將t=x2+x代入，原式=(x2+x-5)(x2+x-12)，
例2、x2-20mxy+64m2y2。
【分析】①令my=t，原式=x2-20xt+64t2，
②用十字相乘法，原式=(x-4t)(x-16t)，
③將t=my代入，原式=(x-4my)(x-16my)。
例3、2x4-7x2y2-4y4。
【分析】①令x2=a，y2=b，原式=2a2-7ab-4b2，
②用十字相乘法，原式=(2a+b)(a-4b)，
③將a=x2，b=y2代入，原式=(2x2+y2)(x2-4y2)，
④用公式法，原式=(2x2+y2)(x+2y)(x-2y)。
例4、(1)(x2+3x-3)(x2+3x+4)-8；
x2+3x重復(fù)出現(xiàn)，可將其看作整體
【分析】①令x2+3x=t，原式=(t-3)(t+4)-8=t2+t-20，
②用十字相乘法，原式=(t-4)(t+5)，
③將t=x2+3x代入，原式=(x2+3x-4)(x2+3x+5)，
④用十字相乘法again，原式=(x-1)(x+4)(x2+3x+5)。
例4、(2)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-3。
若把括號(hào)全部拆開，次數(shù)太高，不利于分解
猜想：兩兩分組去括號(hào)可能更合適，但如何分組呢？
(x+1)(x+2)=x2+3x+2(x+3)(x+4)=x2+7x+12
(x+1)(x+4)=x2+5x+4(x+2)(x+3)=x2+5x+6
(x+1)(x+3)=x2+4x+3(x+2)(x+4)=x2+6x+8
按照這個(gè)分法，可以產(chǎn)生共同項(xiàng)：x2+5x
(2)①兩兩分組去括號(hào)，原式=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]-3=(x2+5x+4)(x2+5x+6)-3，
②令x2+5x=t，原式=(t+4)(t+6)-3=t2+10t+21，
③用十字相乘法，原式=(t+3)(t+7)，
④將t=x2+5x代入，原式=(x2+5x+3)(x2+5x+7)。
【因式分解的四種方法】提公因式法；公式法：a2±2ab+b2=(a±b)2，a2-b2=(a+b)(a-b)；分組分解法：二二分組，三一分組；十字相乘法(?????)。
【因式分解的方法選擇】第一步，永遠(yuǎn)先提公因式；第二步，若提公因式后剩余括號(hào)內(nèi)：為二項(xiàng)式，則一般用公式法（平方差公式），為三項(xiàng)式，則一般用公式法（完全平方公式）或十字相乘法，為四項(xiàng)式，則一般用分組分解法；第三步，檢查多項(xiàng)式是否分解徹底。

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9.5 多項(xiàng)式的因式分解

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