一、【單元目標(biāo)】
1．知識與技能：
1.正確理解基本事實4和等角定理；
2.能用基本事實4和等角定理解決一些簡單的相關(guān)問題.
3．理解直線和平面平行的判定定理并能運(yùn)用其解決相關(guān)問題.
4．通過對判定定理的理解和應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的空間轉(zhuǎn)化能力和邏輯推理能力．
5．掌握空間平面與平面平行的判定定理，并能應(yīng)用這個定理解決問題．
6．平面與平面平行的判定定理的應(yīng)用．
2．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)
1.直觀想象：基本事實4及等角定理的理解；探究歸納直線和平面平行的判定定理，找平行關(guān)系；
2.邏輯推理：基本事實4及等角定理的應(yīng)用；空間直線、平面的平行.
3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：空間直線、平面的平行；
4.直觀想象：空間圖形中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系。
二、【單元知識結(jié)構(gòu)框架】
三、【學(xué)情分析】
第一節(jié)是直線與直線平行是所有平行關(guān)系的基礎(chǔ)，在初中已經(jīng)學(xué)過平行四邊形，中位線與底邊等平行關(guān)系，本節(jié)教材重點(diǎn)介紹了平面的基本事實4,等角定理，對平面中直線與直線的平行關(guān)系進(jìn)一步深化.也為后續(xù)線面平行、面面平行打下基礎(chǔ).
第二節(jié)是在直線與平面的位置關(guān)系中，平行是一種非常重要的關(guān)系，本節(jié)內(nèi)容既是直線與直線平行關(guān)系延續(xù)和提高，也是后續(xù)研究平面與平面平行的基礎(chǔ)，既鞏固了前面所學(xué)的內(nèi)容，又為后面內(nèi)容的學(xué)習(xí)做了知識上和方法上的準(zhǔn)備，在教材中起著承前啟后的作用。
第三節(jié)內(nèi)容在立體幾何學(xué)習(xí)中起著承上啟下的作用,具有重要的意義與地位。空間中平面與平面之間的位置關(guān)系中,平行是一種非常重要的位置關(guān)系,它不僅應(yīng)用較多。而且是空間問題平面化的典范空間中平面與平面平行的判定定理給出了由線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行的方法。
本節(jié)課是在前面已經(jīng)學(xué)習(xí)空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的基礎(chǔ)作為學(xué)習(xí)的出發(fā)點(diǎn),類比直線與平面平行的判定定理探究過程,結(jié)合有關(guān)的實物模型,通過直觀感知操作確認(rèn)(合情推理),歸納出平面與平面平行的判定定理。本節(jié)課的學(xué)習(xí)對培養(yǎng)學(xué)生空間感與邏輯推理能力起到重要作用。
四、【教學(xué)設(shè)計思路/過程】
課時安排： 約3課時
第一課時：直線與直線平行
第二課時：直線與平面平行的判定
第三課時：平面與平面平行的判定
教學(xué)重點(diǎn)：直線與直線、直線與平面、平面與平面的判定定理；
教學(xué)難點(diǎn)：直線與直線、直線與平面、平面與平面性質(zhì)定理.
教學(xué)方法/過程：
五、【教學(xué)問題診斷分析】
8.5.1 直線與直線平行
問題1：平行于同一條直線的兩條直線有什么關(guān)系？用符號怎么表示？
【答案】平行線的傳遞性
基本事實4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行.
符號表示:a∥b,b∥c?a∥c.
【破解方法】通過教室里的具體線條舉例給學(xué)生演示基本事實，讓學(xué)生加深理解。
問題2：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角有什么關(guān)系？
【答案】定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角相等或互補(bǔ).
【破解方法】通過對定理分2種情況，結(jié)合平行四邊形和三角形全等證明得定理，初步的感受立體幾何的證明思路.
典例分析
題型一：基本事實4的應(yīng)用
例1.如圖所示，在正方體中，，，，分別為，，，的中點(diǎn)，求證：，，，四點(diǎn)共面．
【答案】證明：如圖，連接，，，
因為正方體中，，，，分別為，，，的中點(diǎn)，
所以，，所以，
由平面的基本性質(zhì)可知，，，，四點(diǎn)共面．
【變式訓(xùn)練】如圖，已知、分別是正方體的棱和棱上的中點(diǎn)，求證：四邊形是菱形．
【答案】證明：取棱中點(diǎn)為，連、，
由正方體性質(zhì)，側(cè)面為正方形，
又、分別為邊、中點(diǎn)，
所以，，
從而四邊形為平行四邊形，
，，
又、分別為棱、中點(diǎn)，
由側(cè)面為正方形，知四邊形 為平行四邊形，
所以，，
又，，
由平行公理可知，，
從而四邊形為平行四邊形．
由為正方體，不妨設(shè)其棱長為，易
知
而由四邊形為平行四邊形，從而即為菱形．
解題技巧（證明兩直線平行的常用方法）
(1)利用平面幾何的結(jié)論,如平行四邊形的對邊,三角形的中位線與底邊;
(2)定義法:即證明兩條直線在同一個平面內(nèi)且兩直線沒有公共點(diǎn);
(3)利用基本事實4:找到一條直線,使所證的直線都與這條直線平行.
題型二：等角定理的應(yīng)用
例2.已知，，，則
A．B．C．或D．大小無法確定
【答案】或
【解析】已知，，，
當(dāng)角的方向相同時，，
當(dāng)角的方向相反時，，
故選C．
【變式訓(xùn)練】設(shè)與的兩邊分別平行，若，則 ．
【答案】或
【解析】如圖，
因為
所以，，
因為，
所以，，
所以，，
即若兩角的兩邊互相平行，則這兩個角相等或互補(bǔ)．
所以與相等或互補(bǔ)，
因為，
所以或，
故答案為：或．
解題技巧 (應(yīng)用等角定理的注意事項)
空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ).注意觀察兩角的方向是否相同，若相同，則兩角相等；若不同，則兩角互補(bǔ).
8.5.2 直線與平面平行的判定
問題1：觀察開門與關(guān)門，門的兩邊是什么位置關(guān)系．當(dāng)門繞著一邊轉(zhuǎn)動時，此時門轉(zhuǎn)動的一邊與門框所在的平面是什么位置關(guān)系？
【答案】平行.
【破解方法】通過開門與關(guān)門的具體的例子，體現(xiàn)從具體到抽象的處理思路.
問題2：直線與平面平行的判定定理是什么？
【答案】直線與平面平行的判定定理
【破解方法】通過直線與平面平行的判定定理的證明結(jié)合教室里的具體例子，讓學(xué)生理解判定定理的三個條件.
問題3：直線與平面平行的性質(zhì)定理是什么？
【答案】直線與平面平行的性質(zhì)定理
【破解方法】利用性質(zhì)定理的證明揭示了直線與平面平行中蘊(yùn)含著直線與直線平行，即通過直線與平面平行可得到直線與直線平行，這給出了一種作平行線的方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化與化歸的思想．
典例分析：
題型一：直線與平面平行的判定
例1．如圖，三棱柱中，平面，分別是的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：平面；
（Ⅱ）設(shè)，，求三棱錐的體積．
【答案】（Ⅰ）證明：連接交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)．
直棱柱中，，分別是，的中點(diǎn)，
故為三角形的中位線，故．
由于平面，而不在平面中，
故有平面．
（Ⅱ），，
故此直三棱柱的底面為等腰直角三角形．
由為的中點(diǎn)可得平面，
．
，
同理，利用勾股定理求得，．
再由勾股定理可得，．
，
．
例2．如圖四棱錐中，為菱形，、、分別是線段、、的中點(diǎn)．求證：平面．
【解答】解：證明：連接與交于點(diǎn)0，為的中點(diǎn)，為菱形，，
，得到為線段的中點(diǎn)，故與點(diǎn)重合．
，為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，
，又平面，平面．
平面．
例3．已知：正方形與正方形不共面，、分別在和上，．
求證：平面．
【解答】證明：（方法一）
連結(jié)并延長交于
則
所以’
又平面
平面
故平面’
（方法二）過作直線交直線于
連結(jié)
因為
所以’
于是平面平面
平面
所以平面’
解題技巧： (判定定理應(yīng)用的注意事項)
(1)欲證線面平行可轉(zhuǎn)化為線線平行解決.
(2)判斷定理中有三個條件,缺一不可,注意平行關(guān)系的尋求.常常利用平行四邊形、三角形中位線、等比例線段、相似三角形.
【變式訓(xùn)練】如圖所示，邊長為4的正方形 與正三角形 所在平面互相垂直，、分別是，的中點(diǎn)．
（1）求證：面
（2）求多面體的體積．
【解答】解：（1）連結(jié)、交于點(diǎn)，連接．
則正方形中，，
又，是的中位線，可得．
平面，平面，
平面．
（2），，
，．
又平面平面，平面平面，
底面，可得是的高線
因此多面體的體積為．
題型二：直線與平面平行的性質(zhì)定理
例4．平面四邊形中，在線段上，且，，，都是正三角形．將四邊形沿翻折后，使點(diǎn)落在點(diǎn)位置，點(diǎn)落在點(diǎn)位置，且點(diǎn)在平面上的射影恰為線段的中點(diǎn)（即垂線段的垂足點(diǎn)），所得多面體，如圖所示
（1）求棱錐的體積；
（2）證明：．
【解答】解：（1）由已知可得，，
又，
在平面的射影為線段的中點(diǎn)棱錐高，
（2）設(shè)中點(diǎn)為，中點(diǎn)為
連結(jié)、、，有，
由已知可得，在平面中有
又，
則，
四邊形為平行四邊形
．
同理可證，
，
四邊形為平行四邊形
故
例5．如圖所示，在多面體中，四邊形是邊長為2的正方形，平面、平面、平面都與平面垂直，且、、都是正三角形．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求四棱錐的體積．
【解答】（Ⅰ） 證明：如圖，分別取、的中點(diǎn)、，連接，．
和是為2的正三角形，
，，且．
又平面、平面都與平面垂直，
平面，平面
且，
四邊形是平行四邊形，
．
是的中位線，
，
．
例6．如圖，已知四棱錐的底面為平行四邊形，，分別是棱，的中點(diǎn)，平面與平面交于，求證：
（1）平面；
（2）．
【解答】證明：（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，．
，分別是，的中點(diǎn)，
．
平面，平面，
平面．
是的中點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，
．
又平面，平面，
平面．
，
平面平面．
平面，
平面．
（2）平面平面，
且平面平面，
平面平面
【變式訓(xùn)練】如圖：、分別是空間四邊形的邊、的中點(diǎn)，平面過分別交、于、．
求證：．
【解答】證明：、分別是空間四邊形的邊、的中點(diǎn)；
，
不在平面內(nèi)，在平面內(nèi)．
平面．
又平面過分別交、于、；
．
解題技巧 (性質(zhì)定理應(yīng)用的注意事項)
(1)欲證線線平行可轉(zhuǎn)化為線面平行解決,常與判定定理結(jié)合使用.
(2)性質(zhì)定理中有三個條件,缺一不可,注意平行關(guān)系的尋求.常利用中位線性質(zhì).
8.5.3 平面與平面平行
問題1：若平面α∥β，則α中所有直線都平行β嗎？反之，若α中所有直線都平行β ，則α∥β嗎？
【答案】平行，平行
【破解方法】通過思考與探究，讓學(xué)生思考怎樣判斷兩平面平行，提高學(xué)生的解決問題、分析問題的能力。
問題2：平面與平面平行的判定定理是怎么樣的？
【答案】如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行 .
符號表示：
圖形表示：
【破解方法】通過符號與圖形表示定理，提高學(xué)生分析問題的能力。
問題3：平面與平面平行的性質(zhì)定理是怎么樣的？
【答案】平面與平面平行的性質(zhì)定理
【破解方法】通過平面與平面的性質(zhì)定理的三種語言表示及證明，結(jié)合具體的例子，讓學(xué)生理解由面面平行證明線線平行的過程。
題型一：平面與平面的判定定理
例7．如圖四棱錐中，為菱形，、、分別是線段、、的中點(diǎn)．求證：平面．
【解答】證明：連接與交于點(diǎn)0，為的中點(diǎn)，為菱形，，
，得到為線段的中點(diǎn)，故與點(diǎn)重合．
，為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，
，又平面，平面．
平面．
例8．已知：正方形與正方形不共面，、分別在和上，．
求證：平面．
【解答】證明：（方法一）
連結(jié)并延長交于
則
所以’
又平面
平面
故平面’
（方法二）過作直線交直線于
連結(jié)
因為
所以’
于是平面平面
平面
所以平面’
例9．如圖，已知四棱錐的底面為平行四邊形，，分別是棱，的中點(diǎn)，平面與平面交于，求證：
（1）平面；
（2）．
【解答】證明：（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，．
，分別是，的中點(diǎn)，
．
平面，平面，
平面．
是的中點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，
．
又平面，平面，
平面．
，
平面平面．
平面，
平面．
（2）平面平面，
且平面平面，
平面平面
【變式訓(xùn)練】如圖：、分別是空間四邊形的邊、的中點(diǎn)，平面過分別交、于、．
求證：．
【解答】證明：、分別是空間四邊形的邊、的中點(diǎn)；
，
不在平面內(nèi)，在平面內(nèi)．
平面．
又平面過分別交、于、；
．
解題技巧 證明面面平行的方法
（1）要證明兩平面平行，只需在其中一個平面內(nèi)找到兩條相交直線平行于另一個平面即可．
（2）判定兩個平面平行與判定線面平行一樣，應(yīng)遵循先找后作的原則，即先在一個面內(nèi)找到兩條與另一個平面平行的相交直線，若找不到再作輔助線．
題型二：面面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用
例11．如圖所示，兩條異面直線BA，DC與兩平行平面α，β分別交于點(diǎn)B，A和D，C，點(diǎn)M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，求證：MN∥平面α.
【證明】如圖，過點(diǎn)A作AE∥CD交α于點(diǎn)E，取AE的中點(diǎn)P，連接MP，PN，BE，ED，BD，AC.
因為AE∥CD，所以AE，CD確定平面AEDC.
則平面AEDC∩α＝DE，平面AEDC∩β＝AC，因為α∥β，所以AC∥DE.
又P，N分別為AE，CD的中點(diǎn)，
所以PN∥DE，PN?α，DE?α，所以PN∥α.
又M，P分別為AB，AE的中點(diǎn)，
所以MP∥BE，且MP?α，BE?α.
所以MP∥α，因為MP∩PN＝P，
所以平面MPN∥α.
又MN?平面MPN，所以MN∥平面α.
【變式訓(xùn)練】在本例中將M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)換為M，N分別在線段AB，CD上，且eq \f(AM,MB)＝eq \f(CN,ND)，其他不變．
證明：MN∥平面α.
證明：作AE∥CD交α于點(diǎn)E，連接AC，BD，如圖．
因為α∥β且平面AEDC與平面α，β的交線分別為ED，AC，所以AC∥ED，所以四邊形AEDC為平行四邊形，作NP∥DE交AE于點(diǎn)P，
連接MP，BE，于是eq \f(CN,ND)＝eq \f(AP,PE).
又因為eq \f(AM,MB)＝eq \f(CN,ND)，所以eq \f(AM,MB)＝eq \f(AP,PE)，所以MP∥BE.
而BE?α，MP?α，所以MP∥α.同理PN∥α.
又因為MP∩NP＝P，所以平面MPN∥平面α.
又MN?平面MPN，所以MN∥平面α.
【變式訓(xùn)練2】[變條件、變問法]兩條異面直線與三個平行平面α，β，γ分別交于A，B，C和D，E，F(xiàn)，求證：eq \f(AB,BC)＝eq \f(DE,EF).
證明：連接AF交平面β于點(diǎn)M.
連接MB，ME，BE，AD，CF，因為α∥β，
所以ME∥AD.
所以eq \f(DE,EF)＝eq \f(AM,MF).
同理，BM∥CF，
所以eq \f(AB,BC)＝eq \f(AM,MF)，
即eq \f(AB,BC)＝eq \f(DE,EF).
解題技巧 應(yīng)用平面與平面平行性質(zhì)定理的基本步驟
[提醒]面面平行性質(zhì)定理的實質(zhì)：面面平行?線線平行，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想．與判定定理交替使用，可實現(xiàn)線面、線線、面面平行間的相互轉(zhuǎn)化．
六、【教學(xué)成果自我檢測】
1．課前預(yù)習(xí)
設(shè)計意圖：落實與理解教材要求的基本教學(xué)內(nèi)容.
1．如圖，在空間六邊形（即六個頂點(diǎn)沒有任何五點(diǎn)共面）中，每相鄰的兩邊互相垂直，邊長均等于，并且．求證：平面平面．
【分析】在平面內(nèi)的兩條相交直線和，證明平面，平面即可證明兩個平面平行．
【答案】證明：作正方形和，并連接和．
，且，，
和都是正方形，且是平行四邊形．
故它們的對應(yīng)邊平行且相等．
△，．
同理，．
，，平面．
同理，平面．
，平面．
、、、四點(diǎn)共面．
為正方形．
同理，也是正方形．
故是正方體．
易知，
平面．
同理，平面，
平面平面．
2．如圖所示，已知正方體中，、、分別為、、的中點(diǎn)，求證：平面平面．
【分析】根據(jù)三角形中位線定理，結(jié)合正方體的幾何特征，我們易得，同理可得，進(jìn)而根據(jù)面面平行的判定定理即可得到平面平面．
【答案】證明：在正方體中，對角線，
、分別為、的中點(diǎn)，
，
同理可證：，
又，，
平面平面．
3．已知，在正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，求證：平面平面．
【分析】根據(jù)面面平行的判定定理即可得到結(jié)論．
【答案】在正方體中，，
、分別是、的中點(diǎn)，
連結(jié)，為的中點(diǎn)），，
則四邊形為平行四邊形，
，
，
根據(jù)面面平行的推論可知，平面平面．
4．在正方體中，、、、、、分別是所在棱、、、、、的中點(diǎn)，求證：平面平面．
【分析】連結(jié)，，，連結(jié)，，，利用三角形的中位線定理證明線線平行，從而證明面面平行，然后利用平行于同一平面的兩平面互相平行得結(jié)論．
【答案】證明：如圖，
連結(jié)，，，連結(jié)，，．因為，分別為，的中點(diǎn)，所以，
平面，平面，所以平面，
同理平面，因為，所以平面平面，
同理可證平面平面．又，，
所以平面平面，則平面平面．
2．課堂檢測
設(shè)計意圖：例題變式練.
【變式1】如圖，在三棱柱中，，分別為棱，的中點(diǎn)．求證：平面平面．
【分析】連接交于點(diǎn)，連接，得出為△的中位線，證明，平面，四邊形為平行四邊形，得出，平面，即可證明平面平面．
【答案】證明：連接交于點(diǎn)，連接．
由三棱柱可知四邊形、均為平行四邊形，所以為的中點(diǎn)．
因為為的中點(diǎn)，所以為△的中位線，所以．
又因為平面，平面，所以平面．
在平行四邊形中，、分別為棱、的中點(diǎn)，所以為平行四邊形，所以．
又因為平面，平面，所以平面．
又因為，所以平面平面．
【變式2】如圖所示，在四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面為正三角形，為線段上一點(diǎn)，為的中點(diǎn)．
（1）當(dāng)為的中點(diǎn)時，求證：平面．
（2）當(dāng)平面，求出點(diǎn)的位置，說明理由．
【分析】（1）取中點(diǎn)為，連接，，利用中位線、平行四邊形性質(zhì)及平行公理有，，即為平行四邊形，則，最后根據(jù)線面平行的判定證結(jié)論；
（2）連接，，相交于，連接，由線面平行的性質(zhì)得，利用相似比可得，即可判斷的位置．
【答案】證明：（1）在四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面為正三角形，
取中點(diǎn)為，連接，，
在中，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，
，
在平行四邊形中，為的中點(diǎn)，
，
，，
四邊形為平行四邊形，
，面，面，
平面；
解：（2）連接，，相交于，連接，
面，面面，面，
，
即存在點(diǎn)，為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)．
【變式3】已知是梯形，，是平面外一點(diǎn)，，點(diǎn)在棱上，且．
求證：平面．
【分析】利用線面平行的判定定理即可證明．
【答案】證明：連接交于點(diǎn)，連接，
，
．
又，．
．
又平面，平面，
平面．
3．課后作業(yè)
設(shè)計意圖：鞏固提升.
1.課本142頁練習(xí)
2.課本習(xí)題8.5復(fù)習(xí)鞏固及綜合運(yùn)用
七、【教學(xué)反思】
文字語言
如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行
符號語言
a?α，b?α，且a∥b?a∥α
圖形語言
文字語言
一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行
符號語言
a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b
圖形語言
文字語言
圖形語言
符號語言
如果兩個平行平面同時和第三個平面相交,那么它們的交線平行.
α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?
a∥b.

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊電子課本

8.5 空間直線、平面的平行

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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