教學(xué)基本信息
課題
8.5空間直線、平面平行習(xí)題課
學(xué)科
數(shù)學(xué)
學(xué)段：高中
年級(jí)
高一
教材
書名：普通高中教科書數(shù)學(xué)必修A版第二冊(cè) 出版社：人民教育出版社
出版日期：2019年8月
教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
教學(xué)目標(biāo)
1.鞏固線面平行、面面平行的判定定理和性質(zhì)定理，知道線線、線面、面面之間的內(nèi)在聯(lián)系，并用這些聯(lián)系對(duì)問題進(jìn)行有效的轉(zhuǎn)化.
2. 通過對(duì)解題思路的剖析與解決，學(xué)會(huì)尋找證明平行問題的方法，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想,培養(yǎng)推理論證能力和空間想象能力，提升邏輯推理和直觀想象素養(yǎng).
3．通過學(xué)生自主提出問題、獨(dú)立思考和合作交流，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題，分析和解決問題的能力，發(fā)展學(xué)生自主學(xué)習(xí)與合作交流的能力.
教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：梳理空間中平行關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系并會(huì)運(yùn)用它證明平行關(guān)系，總結(jié)歸納證明平行問題的常用方法.
教學(xué)難點(diǎn)：空間中平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化，即平行線及平行平面的構(gòu)造.
教學(xué)過程(表格描述)
教學(xué)環(huán)節(jié)
主要教學(xué)活動(dòng)
設(shè)置意圖
復(fù)習(xí)定義和定理
1.定義
首先我們看三種平行的定義
兩條直線平行的定義：在同一平面內(nèi)，兩條不相交的直線定義為平行直線.
直線與平面平行的定義：如果一條直線與一個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，則稱這條直線與這個(gè)平面平行.
兩個(gè)平面平行的定義：如果兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，則稱這兩個(gè)平面平行.
接下來我們看一下三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化.
= 7 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑦
線線平行
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①
= 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③
面面平行
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②
= 6 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑥
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④
線面平行
復(fù)習(xí)必備知識(shí)，為平行關(guān)系轉(zhuǎn)化做準(zhǔn)備
例題講解
D
F
E
C
C1
D1
B
A
B1
A1
例1 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AD1、BD的中點(diǎn)，求證：EF//平面CD1.
分析：要證線面平行我們可以從兩個(gè)方向來考慮：
線線平行
線面平行
面面平行
解法一：連接AC，
∵底面ABCD為正方形，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，
∴ AC與BD交于點(diǎn)F，且點(diǎn)F是AC中點(diǎn)，
連接C D1，則有EF//CD1.
∵ EF在平面CD1外，CD1?平面CD1，
∴ EF//平面CD1.
解法二：取DD1的中點(diǎn)M，CD的中點(diǎn)N，連接EM，MN，F(xiàn)N，
∵ EM是ΔADD1的中位線，
∴ EM//AD，且EM=AD.
同理FN//BC，且FN=BC，
∴ EM//FN，且EM=FN，
∴四邊形EFNM為平行四邊形.
∴ EF//MN.
∵ MN?平面CD1，EF在平面CD1外，
∴ EF//平面CD1.
解法三：取棱AD的中點(diǎn)P，連接EP，F(xiàn)P.
∵E為AD1中點(diǎn),∴ EP是ΔADD1的中位線，
∴ EP//DD1，同理FP//AB.
又∵ AB//CD， ∴ FP//CD.
∵ EP在平面CD1外，DD1 ?平面CD1內(nèi)，
∴EP//平面CD1，同理FP//平面CD1，
∵ EP與FP交于點(diǎn)P，且均在平面PEF內(nèi)，
∴平面PEF//平面CD1，
∵ EF?平面EFP， ∴ EF//平面CD1.
總結(jié)：第一種和第二種方法，利用了線面平行的判定定理及逆向思考的方法，過EF作與平面CD1相交的平面，我們分別作了三角形和平行四邊形，用兩種方法得到了交線.第三種方法是利用面面平行得出線面平行，因此需要構(gòu)造一個(gè)與平面 CD1平行的平面.本題利用了線面平行的判定定理和面面平行的判定定理以及面面平行的定義，在證明過程中多次進(jìn)行了平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化.
例2.如圖，透明塑料制成的長(zhǎng)方體容器ABCD-A1B1C1D1內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器傾斜.隨著傾斜度的不同，有下面五個(gè)命題：
有水的部分始終呈棱柱形；
沒有水的部分始終呈棱柱形；
水面EFGH所在四邊形的面積為定值；
棱A1D1始終與水面所在平面平行；
當(dāng)容器傾斜如圖（3）所示時(shí)，BE×BF是定值.
其中所有正確命題的序號(hào)是_________________，為什么？
D
G
H
F
E
A
B
C
C1
D1
B1
A1
G
H
F
E
D
A
B
C
C1
D1
B1
A1
G
H
F
E
A
D
C1
D1
B1
A1
（2）
C
B
（3）
解析：我們先看命題①和②，如何判斷有水部分呈棱柱形？棱柱的定義是什么？
有兩個(gè)平面平行嗎？其余的面都是四邊形嗎？相鄰四邊形的公共邊互相平行嗎？
顯然有水的部分左右兩個(gè)面平行，其它面都是四邊形.由于棱BC在地面上，可得BC與水面所在平面平行，因此BC//FG. 因?yàn)榍昂髢擅嫫叫?，且與水面分別交于FG,EH，所以FG//EH，所以AD//EH. 因此有水部分呈棱柱形.易知沒水部分也是棱柱.
在圖（3）中，由線面平行的性質(zhì)定理可得，BC//FG，BC//EH，因此FG//EH，所以有水部分始終呈棱柱形.沒有水部分容易判斷出也是呈棱柱形. 因此命題① 、 ②正確.
因?yàn)殚L(zhǎng)方體的左右兩個(gè)側(cè)面平行，所以兩個(gè)側(cè)面與水面的交線平行，因此四邊形EFGH為平行四邊形.因?yàn)锽C⊥平面ABB1A1，所以BC⊥EF，所以FG⊥EF，因此四邊形EFGH為矩形.故水面EFGH的面積隨GH的變化而變化. 因此命題③錯(cuò)誤.
因?yàn)锽C//FG，根據(jù)基本事實(shí)四可得FG//A1D1，又因?yàn)锳1D1不在平面EFGH內(nèi)， FG在平面EFGH內(nèi)，所以棱A1D1始終與水面所在平面平行，所以命題 = 4 \* GB3 ④正確；
前面已得“有水部分的幾何體為直棱柱”，由于水的體積沒有發(fā)生變化，該直棱柱的高BC是定值，因此底面BEF的面積是定值. 所以命題⑤正確.
綜上所述，正確的命題有①②④⑤
其實(shí)，我們可以將上述問題歸結(jié)為：過平面BB1C1C內(nèi)平行于BC的一條線段FG作截面，研究截得的幾何體的性質(zhì)問題.
變式:如果長(zhǎng)方體底面頂點(diǎn)D著地，其它頂點(diǎn)均離開地面，且水面均與四條側(cè)棱相交.
(1)有水部分的幾何體還棱柱嗎？
(2)四邊形EFGH還是平行四邊形嗎？
解析：在第一問中，該問題相當(dāng)于過棱DD1上一點(diǎn)H作與底面不平行的截面，截面與四條側(cè)棱都相交.由于棱DA和DC與截面均不平行，所以DA與EH，DC與GH，AB與EF，BC與FG均不平行，因此不滿足棱柱的定義，所以有水部分的幾何體不是棱柱.
在第二問中，因?yàn)槿萜髑昂髢擅嫫叫?，所以FG//HE；又因?yàn)槿萜髯笥覂擅嫫叫?，所以EF//GH，所以四邊形EFGH是平行四邊形，但不是矩形了.
總結(jié)：本題是一道利用線面、面面平行的判定和性質(zhì)解決的實(shí)際問題，我們用到了棱柱的定義，還有基本事實(shí)4、線面平行的判定定理和性質(zhì)定理，以及面面平行的性質(zhì)定理.在解題過程中，我們不斷進(jìn)行平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化，大家要掌握好轉(zhuǎn)化的方法.
例3 探究性問題：直線和平面作為空間中的幾何元素，我們考慮三個(gè)幾何元素的平行關(guān)系.命題：“如果有兩組幾何元素均具備平行關(guān)系，那么第三組幾何元素也具備平行關(guān)系”，該命題正確嗎？如果命題不正確，請(qǐng)舉反例；如果命題正確，請(qǐng)證明．
解析：我們一共能生成幾個(gè)命題？三條直線（一個(gè)）；兩條直線和一個(gè)平面（兩個(gè)）；一條直線和兩個(gè)平面（兩個(gè)）；三個(gè)平面（一個(gè)）.
命題1：如果兩條直線均與第三條直線平行，那么著兩條直線也平行.
由基本事實(shí)4可知該命題正確.
命題2. 平面外的兩條平行的直線，如果其中一條直線平行于這個(gè)平面，那么另一條也平行于這個(gè)平面.
已知：.求證：.
證明：過直線a作平面β交平面α于直線a’，
∵a//α，∴a//a’.
∵a//b， ∴ b//a’.
又∵，∴b//α.
總結(jié)：此題通過線面平行得出線線平行，再由基本事實(shí)4得出另一組線線平行，最后得到線面平行.方法是通過“由已知想可知，由求證想需知”，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)線線平行與線面平行關(guān)
系的轉(zhuǎn)化.
命題3.如果兩條直線同時(shí)與一個(gè)平面平行，那么這兩條直線平行.
這兩條直線的位置關(guān)系有三種可能.例如：在正方體ABCD-A1B1C1D1中， A1B1 與B1C1相交，A1D1 與B1C1平行，EF與B1C1異面.
因此該命題不正確.
命題4. 一條直線在兩個(gè)平行平面外，如果這條直線與其中一個(gè)平面平行，那么它與另一個(gè)平面也平行.
已知：α//β，l//α，lβ.求證：l//β.
證明：過直線l作平面β分別交平面α、平面β于直線l′、 l′′，∵l//α，∴l(xiāng)//l′.
∵ α//β，∴ l′//l′′，∴ l//l′′.
又∵aβ，a′′?β, ∴a//β.
總結(jié)：此題根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì)定理,得出兩組線線平行,再由基本事實(shí)4和線面平行判定定理得出結(jié)論. 證明中用到線線、線面、面面平行關(guān)系轉(zhuǎn)化,并根據(jù)“由已知想可知,由求證想需知”尋求解題思路.
命題5.如果兩個(gè)平面同時(shí)與一條直線平行，那么這兩個(gè)平面平行.
如果兩個(gè)平面同時(shí)與一條直線平行，那么這兩個(gè)平面可能平行還可能相交，因此該命題不正確.
命題6：如果兩個(gè)平面均與第三個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行.
已知：α//γ，β//γ.求證：α//β.
證明：∵α//γ，β//γ，過γ內(nèi)的一條直線a作平面σ ，分別與α和β交于直線a′，a′′，
則有a//a′， a//a′′，∴a′//a′′.
∵， ∴a′//β.
過平面γ內(nèi)的與直線a相交的直線 b作平面τ，分別與α和β交于直線b′ ，b′′，同理可得出b′//β.
因?yàn)橹本€a與b相交，所以直線a′與b′相交.
因?yàn)橹本€a’與b′均在平面α內(nèi)，所以a//α.
總結(jié)：此題要證面面平行，我們用到了面面平行的判定定理以及線面平行的判定定理.已知面面平行，我們通過面面平行的性質(zhì)定理可以得出線線平行，進(jìn)而得到解題思路.總之，運(yùn)用“由已知想可知，由求證想需知”的方法能更好地進(jìn)行平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化.
鞏固定義和定理、多角度分析問題，探究平行關(guān)系轉(zhuǎn)化方法
鞏固線面平行的判斷定理
鞏固線面平行的判斷定理
鞏固面面平行定義和判定定理
總結(jié)知識(shí)和方法，提升學(xué)生分析和解決問題的能力
提高學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決實(shí)際問題的能力；學(xué)以致用，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.
鞏固線面平行、面面平行的判定定理和性質(zhì)定理
讓學(xué)生利用棱柱的定義幾何體是否是棱柱，定義既是判定也是性質(zhì).
鞏固線面平行的性質(zhì)定理和面面平行的性質(zhì)定理.
將問題轉(zhuǎn)化為用平面去截幾何體的問題.
改變條件，再進(jìn)行探究，提升學(xué)生獨(dú)立思考和主動(dòng)探究問題能力.
總結(jié)概括知識(shí)和方法
由學(xué)生自己生成命題并判斷命題的真假，對(duì)于真命題進(jìn)行證明.讓學(xué)生經(jīng)歷“直觀感知，操作確認(rèn)，思辨證明”的過程，提升學(xué)生自主探究能力以及直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).
通過命題2的探究，鞏固線面平行判定定理和性質(zhì)定理
讓學(xué)生清楚要說明命題不正確，舉出反例即可，長(zhǎng)方體是重要模型.
通過本題的探究，鞏固線面平行的性質(zhì)定理和判定定理以及面面面平行的性質(zhì)定理.
長(zhǎng)方體是重要的幾何模型，要會(huì)借助長(zhǎng)方體判斷點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.
通過本題的探究，鞏固面面平行的性質(zhì)定理和判定定理以及線面平行的判定定理.
練習(xí)
練習(xí)：a，b是異面直線，a?α，b?β，a//β，b//α.求證α//β.
證明：過直線b.作平面γ，交平面α于直線b′，
∵b//α，∴b//b′
∵b?β， b′β，∴b′//β.
∵a，b是異面直線，
∴b′與a相交.
∵a?α，a//β，
∴α//β.
總結(jié)：該題運(yùn)用了線面平行的性質(zhì)定理和判定定理以及面面平行的判定定理，大家要結(jié)合已知和求證，用好“由已知想可知，由求證想需知”的方法，順利實(shí)現(xiàn)平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化.
加深體會(huì)證明平行關(guān)系的一般方法和思路
總結(jié)
本節(jié)課我們研究了空間中平行關(guān)系的證明，大家思考：
（1）在平行關(guān)系證明過程中運(yùn)用了哪些知識(shí)？
（2）在平行關(guān)系證明過程中怎樣尋求解題思路？
（3）在本節(jié)課中，通過平行關(guān)系的證明思路的尋求和嚴(yán)謹(jǐn)證明，有助于提升大家哪些能力？
我們?cè)谧C明平行位置關(guān)系時(shí)，需要利用線線、線面、面面平行關(guān)系的定義、判定和性質(zhì)定理，以及基本事實(shí)4和初中的平面幾何知識(shí)，熟練掌握這些定理是證明平行關(guān)系的基礎(chǔ).為了使平行關(guān)系轉(zhuǎn)化過程方向明確，思路清晰，我們要抓住已知條件和要證的結(jié)論，“由已知想可知，由求證想需知”的方法，捋清解題思路，就可以輕松解決平行關(guān)系證明問題.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)有助于提升大家的邏輯推理能力和直觀想象能力.
回顧本節(jié)課知識(shí)與技能、思想與方法
布置作業(yè)
已知：α∩β=l，a//α，a//β，求證：a//l.
證明：過直線a作平面γ交平面α于直線m.
因?yàn)閍//α，所以a//m，
同理直線a平行于過直線a的平面δ與平面β的交線n，
即a//n，所以m//n.
因?yàn)閙β，n?β，所以m//β.
又因?yàn)閙?α，α∩β= l，所以m//l.
所以a//l.
課后作業(yè)，加深對(duì)知識(shí)的理解和掌握.

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8.5 空間直線、平面的平行

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