?授課主題
空間直線、平面的平行
教學(xué)目標(biāo)
1.會(huì)判斷空間兩直線的位置關(guān)系.
2.掌握直線與平面平行的判定定理，并能初步利用定理解決問(wèn)題.
3.掌握直線與平面平行的性質(zhì)定理，明確由線面平行可推出線線平行.
4.理解并掌握平面與平面平行的判定定理.
5.理解并掌握平面與平面平行的性質(zhì)定理.
教學(xué)重難點(diǎn)
重點(diǎn)：空間直線、平面平行的判定及其性質(zhì)定理
教學(xué)內(nèi)容
空間直線、平面的平行

愛思課堂——有趣


知識(shí)點(diǎn)一　基本事實(shí)4
文字語(yǔ)言
平行于同一條直線的兩條直線平行
圖形語(yǔ)言

符號(hào)語(yǔ)言
直線a，b，c，a∥b，b∥c?a∥c
作用
證明兩條直線平行
說(shuō)明
基本事實(shí)4表述的性質(zhì)通常叫做平行線的傳遞性

知識(shí)點(diǎn)二　空間等角定理
1.定理
文字語(yǔ)言
如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)
符號(hào)語(yǔ)言
OA∥O′A′，OB∥O′B′?∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°
圖形語(yǔ)言


作用
判斷或證明兩個(gè)角相等或互補(bǔ)

2.推廣
如果兩條相交直線與另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等.
思考　如果兩條直線和第三條直線成等角，那么這兩條直線平行嗎？

知識(shí)點(diǎn)三　直線與平面平行的判定定理
文字語(yǔ)言
如果平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行，那么該直線與此平面平行
符號(hào)語(yǔ)言
?a∥α
圖形語(yǔ)言


思考　(1)若一直線與平面內(nèi)的一條直線平行，一定有直線與平面平行嗎？

(2)如果一條直線與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線都平行，那么該直線和平面之間具有什么關(guān)系？

知識(shí)點(diǎn)四　直線與平面平行的性質(zhì)定理
文字語(yǔ)言
一條直線與一個(gè)平面平行，如果過(guò)該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行
符號(hào)語(yǔ)言
a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b
圖形語(yǔ)言

知識(shí)點(diǎn)五　平面與平面平行的判定定理
文字語(yǔ)言
如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行
符號(hào)語(yǔ)言
?α∥β
圖形語(yǔ)言


思考　應(yīng)用面面平行判定定理應(yīng)具備哪些條件？

知識(shí)點(diǎn)六　兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理
文字語(yǔ)言
兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行
符號(hào)語(yǔ)言
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b
圖形語(yǔ)言


思考　(1)若兩個(gè)平面平行，那么兩個(gè)平面內(nèi)的所有直線都相互平行嗎？
(2)若兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面嗎？

一、基本事實(shí)4的應(yīng)用
例1　(1)如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，E，F(xiàn)，E′，F(xiàn)′分別是AB，BC，A′B′，B′C′的中點(diǎn)，求證：EE′∥FF′.





(2)已知正方體ABCD－A1B1C1D1，E，F(xiàn)分別為AA1，CC1的中點(diǎn)，求證：BFD1E是平行四邊形.





反思感悟　基本事實(shí)4表述的性質(zhì)通常叫做空間直線平行的傳遞性，解題時(shí)首先找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行.
跟蹤訓(xùn)練1　如圖，在三棱錐P－ABC中，G，H分別為PB，PC的中點(diǎn)，M，N分別為△PAB，△PAC的重心，且△ABC為等腰直角三角形，∠ABC＝90°，求證：GH∥MN.





二、等角定理的應(yīng)用
例2　如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是棱CC1，BB1，DD1的中點(diǎn).

求證：∠BGC＝∠FD1E.









反思感悟　等角定理的結(jié)論是相等或互補(bǔ)，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)一般是借助于圖形判斷是相等還是互補(bǔ)，還是兩種情況都有可能.
跟蹤訓(xùn)練2　如圖，已知在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，AD的中點(diǎn).求證：

(1)四邊形MNA1C1是梯形；
(2)∠DNM＝∠D1A1C1.










三、直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用
例3　(1)如果兩直線a∥b，且a∥α，則b與α的位置關(guān)系是(　　)
A.相交 B.b∥α
C.b?α D.b∥α或b?α

(2)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是BC，CC1，BB1的中點(diǎn)，求證：EF∥平面AD1G.









反思感悟　利用直線和平面平行的判定定理證明線面平行的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找一條直線與已知直線平行，常利用平行四邊形、三角形中位線、基本事實(shí)4等.
跟蹤訓(xùn)練3　如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，P是平面ABCD外一點(diǎn)，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn).求證：MN∥平面PAD.










四、直線與平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用
例4　如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，AC與BD交于點(diǎn)O，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過(guò)G和AP作平面交平面BDM于GH，求證：AP∥GH.













反思感悟　線面平行的性質(zhì)和判定經(jīng)常交替使用，也就是通過(guò)線線平行得到線面平行，再通過(guò)線面平行得線線平行.
跟蹤訓(xùn)練4　如圖，在五面體EFABCD中，已知四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，求證：AD∥EF.










五、平面與平面平行的判定定理的應(yīng)用
例5　如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn).











反思感悟　兩個(gè)平面平行的判定定理是確定面面平行的重要方法.解答問(wèn)題時(shí)一定要尋求好判定定理所需要的條件，特別是相交的條件，即與已知平面平行的兩條直線必須相交，才能確定面面平行.

跟蹤訓(xùn)練5　如圖，在四棱錐P－ABCD中，E，F(xiàn)，G分別是PC，PD，BC的中點(diǎn)，DC∥AB，求證：平面PAB∥平面EFG.











六、平面與平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用
例6　如圖，在三棱錐P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是PA，PB，PC的中點(diǎn)，M是AB上一點(diǎn)，連接MC，N是PM與DE的交點(diǎn)，連接NF，求證：NF∥CM.











反思感悟　利用面面平行的性質(zhì)定理判斷兩直線平行的步驟
(1)先找兩個(gè)平面，使這兩個(gè)平面分別經(jīng)過(guò)這兩條直線中的一條.
(2)判定這兩個(gè)平面平行(此條件有時(shí)題目會(huì)直接給出).
(3)再找一個(gè)平面，使這兩條直線都在這個(gè)平面上.
(4)由定理得出結(jié)論.
跟蹤訓(xùn)練6　如圖，已知平面α∥β，P?α且P?β，過(guò)點(diǎn)P的直線m與α，β分別交于A，C，過(guò)點(diǎn)P的直線n與α，β分別交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的長(zhǎng).










幾何中的計(jì)算問(wèn)題
典例　如圖，平面α∥平面β∥平面γ，兩條異面直線a，b分別與平面α，β，γ相交于點(diǎn)A，B，C和點(diǎn)D，E，F(xiàn).已知AC＝15 cm，DE＝5 cm，AB∶BC＝1∶3，求AB，BC，EF的長(zhǎng).








[素養(yǎng)提升]　利用平面與平面平行的性質(zhì)定理，借助于學(xué)生比較熟悉的異面直線，平面與平面平行，直線與平面平行，經(jīng)過(guò)論證，表述，得出結(jié)論，培養(yǎng)了邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).


1.空間兩條互相平行的直線指的是(　　)
A.在空間沒有公共點(diǎn)的兩條直線
B.分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線
C.在兩個(gè)不同的平面內(nèi)且沒有公共點(diǎn)的兩條直線
D.在同一平面內(nèi)且沒有公共點(diǎn)的兩條直線

2.不平行的兩條直線的位置關(guān)系是(　　)
A.相交 B.異面
C.平行 D.相交或異面


3.如圖所示，在長(zhǎng)方體木塊AC1中，E，F(xiàn)分別是B1O和C1O的中點(diǎn)，則長(zhǎng)方體的各棱中與EF平行的有(　　)

A.3條 B.4條 C.5條 D.6條


4.直線a，b為異面直線，過(guò)直線a與直線b平行的平面(　　)
A.有且只有一個(gè)
B.有無(wú)數(shù)多個(gè)
C.有且只有一個(gè)或不存在
D.不存在

5.下列條件中能得出直線m與平面α平行的是(　　)
A.直線m與平面α內(nèi)所有直線平行
B.直線m與平面α內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行
C.直線m與平面α沒有公共點(diǎn)
D.直線m與平面α內(nèi)的一條直線平行

6.過(guò)直線l外兩點(diǎn)，作與l平行的平面，則這樣的平面(　　)
A.不可能作出 B.只能作出一個(gè)
C.能作出無(wú)數(shù)個(gè) D.上述三種情況都存在

7.如果a，b是兩條異面直線，且a∥α，那么b與α的位置關(guān)系是(　　)
A.b∥α B.b與α相交
C.b?α D.不確定

8.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，則直線CD與平面α內(nèi)的直線的位置關(guān)系只能是(　　)
A.平行 B.平行或異面
C.平行或相交 D.異面或相交

9.已知α，β是兩個(gè)不重合的平面，下列選項(xiàng)中，一定能得出平面α與平面β平行的是(　　)
A.平面α內(nèi)有一條直線與平面β平行
B.平面α內(nèi)有兩條直線與平面β平行
C.平面α內(nèi)有一條直線與平面β內(nèi)的一條直線平行
D.平面α與平面β不相交

10.下列四個(gè)說(shuō)法中正確的是(　　)
A.平面α內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)到平面β的距離相等，則α∥β
B.α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分別表示平面，a，b表示直線)，則γ∥β
C.平面α內(nèi)一個(gè)三角形三邊分別平行于平面β內(nèi)的一個(gè)三角形的三條邊，則α∥β
D.平面α內(nèi)的一個(gè)平行四邊形的兩邊與平面β內(nèi)的一個(gè)平行四邊形的兩邊對(duì)應(yīng)平行，則α∥β

11.如圖所示的三棱柱ABC－A1B1C1，過(guò)A1B1的平面與平面ABC交于直線DE，則DE與AB的位置關(guān)系是(　　)

A.異面 B.平行
C.相交 D.以上均有可能


12.若直線a，b與直線l所成的角相等，則a，b的位置關(guān)系是(　　)
A.異面 B.平行
C.相交 D.相交、平行、異面均可能

13.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是側(cè)面AA1D1D，側(cè)面CC1D1D的中心，G，H分別是線段AB，BC的中點(diǎn)，則直線EF與直線GH的位置關(guān)系是(　　)
A.相交 B.異面 C.平行 D.垂直

14.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，若過(guò)A，C，B1三點(diǎn)的平面與底面A1B1C1D1的交線為l，則l與A1C1的位置關(guān)系是________.






15.如圖所示，ABCD—A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為a的正方體，M，N分別是下底面的棱A1B1，B1C1的中點(diǎn)，P是上底面的棱AD上的一點(diǎn)，AP＝，過(guò)P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，則PQ＝________.



16.如圖所示，已知三棱錐A－BCD中，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是(　　)

A.MN≥(AC＋BD) B.MN≤(AC＋BD)
C.MN＝(AC＋BD) D.MN

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8.5 空間直線、平面的平行

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