高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊6.1 平面向量的概念教學(xué)設(shè)計(jì)

這是一份高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊6.1 平面向量的概念教學(xué)設(shè)計(jì)，共10頁。

教學(xué)基本信息
課題
6.1平面向量的概念
學(xué)科
數(shù)學(xué)
學(xué)段：高中
年級
高一
教材
書名： 普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊A版 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019 年 6 月
教學(xué)設(shè)計(jì)參與人員
姓名
單位
設(shè)計(jì)者
張一樵
北京市第五十五中學(xué)
實(shí)施者
張一樵
北京市第五十五中學(xué)
指導(dǎo)者
雷曉莉
北京市東城區(qū)教師研修中心
課件制作者
張一樵
北京市第五十五中學(xué)
其他參與者
教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
本節(jié)課以實(shí)際問題為背景，抽象出向量概念，舉例說明向量的內(nèi)涵及其表示方法，幫助學(xué)生理解向量集形與數(shù)于一身的基本特征. 介紹向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等概念；類比對數(shù)、線段的研究方法研究向量；講解課本例題.
教學(xué)過程(表格描述)
教學(xué)環(huán)節(jié)
主要教學(xué)活動
設(shè)置意圖
引入
同學(xué)們，大家好，歡迎大家來到新的一冊書、新的一個(gè)章節(jié)：《平面向量及其應(yīng)用》的學(xué)習(xí)，向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一，有著豐富的物理背景、深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，在解決實(shí)際問題中發(fā)揮著重要的作用.
首先讓我們先從現(xiàn)實(shí)生活中認(rèn)識向量吧！
由章引言引出本章話題，聯(lián)系當(dāng)今特殊環(huán)境，利用身邊實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生對于有方向的量、無方向的量進(jìn)行分類.
新課
向量的有關(guān)概念的生成

環(huán)節(jié)1.數(shù)量與向量：
新冠肺炎疫情牽動著全世界每個(gè)人的心，疫情在世界各地陸續(xù)爆發(fā)，防疫物資在疫情爆發(fā)地都被搶購一空. 最為搶手的防疫物資—口罩、消毒酒精、醫(yī)用防護(hù)服. 我們會關(guān)心這些量：口罩的價(jià)格、消毒水的容量、濃度；防護(hù)服的尺寸、庫存數(shù)量、有效防護(hù)時(shí)間等等. 這些量在取定單位后，只用一個(gè)實(shí)數(shù)就可以表示出來：3元，75%，180cm…有些量并不是如此.
我國的抗擊疫情的決心之大、速度之快，得到了全球各國的肯定. 疫情爆發(fā)以來，各地源源不斷的向武漢捐贈抗疫物資.
我們在疫情地圖上找到北京、武漢，如果記北京為點(diǎn)A，武漢為點(diǎn)B. 北京到武漢的位移，這個(gè)量你會如何說明？我們知道，北京到武漢的位移，大小是連接A， B兩點(diǎn)的線段長度，其方向由A點(diǎn)指向B點(diǎn). 如果是武漢到北京的位移呢？其大小是連接B，A兩點(diǎn)的線段長度，其方向由B點(diǎn)指向A點(diǎn). 看來“位移”這個(gè)量，就不是只能用一個(gè)數(shù)字說明的了. 位移除了大小，還有方向.
那么生活中還有哪些量具有和位移一樣的特征呢?
比如在物理中我們常見的物理量：質(zhì)量、力、速度，你能指出與位移具有同樣特征的量么?
我們知道，質(zhì)量只有大?。欢?、速度，既有大小又有方向. 至此我們發(fā)現(xiàn)，生活中的量從是否具有方向這個(gè)角度上，可以分為只有大小沒有方向的量，比如身高、價(jià)格、速率、路程；和既有大小又有方向的量，比如速度、加速度、力、位移.
在數(shù)學(xué)中，我們把像位移、速度、力等等這些既有大小又有方向的量抽象出來，叫做向量.
(1)向量：既有大小又有方向的量.
(2)數(shù)量：只有大小沒有方向的量.
利用“北京到武漢的位移”這一量的分析，對數(shù)量與向量進(jìn)行分辨. 再回到生活中尋找是否還有具有大小、方向兩個(gè)特征的量.
環(huán)節(jié)2.向量的表示：
在受力分析中，會用一個(gè)帶箭頭的線段來表示力，如圖所示. 受到物理的啟發(fā)，數(shù)學(xué)中用帶箭頭的線段來表示向量，刻畫它的大小、方向兩個(gè)信息.
有向線段：
通常，在線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)中，規(guī)定一個(gè)順序，假設(shè)A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)，我們就說線段AB具有方向. 具有方向的線段叫做有向線段. 以A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)的有向線段記作，它擁有三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長度.
正如我們在物理中描述一個(gè)力，需要描述：作用點(diǎn)、力的方向、力的大小.
概念辨析：我們知道線段AB與線段BA是同一條線段，線段的起點(diǎn)終點(diǎn)順序可以改變，有向線段的兩個(gè)端點(diǎn)的順序可以改變么? 、起點(diǎn)、終點(diǎn)均不同，表示的方向分別是由A指向B、由B指向A，顯然表示的不是同一個(gè)方向，因而表示有向線段時(shí)，端點(diǎn)的字母不能交換，起點(diǎn)一定要寫在終點(diǎn)前.
(2) 表示向量的方法
= 1 \* GB3 ①幾何表示：有向線段. 有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向.
= 2 \* GB3 ②代數(shù)表示：用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母，線段AB加箭頭來表示，向量，或a；手寫中，用小寫字母加箭頭，表示向量. （在這里要對向量的代數(shù)表示加以說明，我們在手寫中用小寫字母a加箭頭表示向量，但印刷中用黑體小寫字母a來表示.）
物理中的受力分析引入向量的表示方法，介紹有向線段的概念、從數(shù)、形兩個(gè)角度介紹向量的表示. 并強(qiáng)調(diào)有向線段的方向、向量書寫體與印刷體的區(qū)別.
環(huán)節(jié)3.向量的模：
表示向量的有向線段的長度表示向量的大小，我們把向量的大小稱為向量的長度，或稱為的模.
概念辨析1.關(guān)于向量的模的符號與絕對值符號.
用絕對值來表示距離，在我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不是第一次見到了，絕對值的幾何意義就是在數(shù)軸上，表示數(shù)字A的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離. 數(shù)字的絕對值、向量的模，刻畫的都是量的大小，區(qū)別是一個(gè)刻畫的是線段的長度、另一個(gè)是向量的長度. 而恰恰因?yàn)樗鼈兌贾豢坍嬃藢ο蟮臄?shù)量特征而無法說明方向，因此絕對值為3的數(shù)字，不唯一；模為3的向量，方向可以指向任意，有無數(shù)多個(gè).
概念辨析2.向量是否可以比較大小.
如果兩個(gè)向量滿足， 是否？ 向量與數(shù)量不同，它除了大小還有方向，大小可以比較，但方向不能比較. 因而向量不能比較大小，沒意義.
由于向量這個(gè)新的研究對象，既是數(shù)、也是形，自然的我們研究有關(guān)它的任何問題，都會從這兩個(gè)角度出發(fā). 我們先從簡單的入手—數(shù)量的角度. 向量是可以度量的.
類比數(shù)字的學(xué)習(xí)過程將向量的模對比數(shù)量的絕對值.
類比數(shù)字的學(xué)習(xí)過程討論向量是否可以比較大小.
環(huán)節(jié)4.特殊向量：
（1）零向量：長度為0的向量叫做零向量，記作0.
概念理解1.零向量可以理解為起點(diǎn)和終點(diǎn)落在一起、起點(diǎn)終點(diǎn)相同的向量.
概念理解2.零向量的方向，可以理解為指向任意方向.
概念理解3. 0向量和數(shù)字0：零向量是模為0、方向指向任意的，零向量有方向，而數(shù)字0沒有方向.
（2）單位向量：長度為1的向量叫做單位向量.
概念理解1.單位向量與單位長度.
概念理解2.所有的單位向量都相等么？
概念理解3.如果我們把所有單位向量的起點(diǎn)平移到同一起點(diǎn)P，向量的終點(diǎn)的集合是什么圖形?
概念理解4.在任意方向上，單位向量都給出了一個(gè)度量的標(biāo)準(zhǔn)，正如數(shù)軸上的單位長度. 任意給定和一個(gè)非零向量，就給定了一個(gè)方向，那么單位向量就成為了這個(gè)方向上的“度量衡”. 因此，用向量除以它的模長，得到的就是這個(gè)方向上的“單位1”，即單位向量. 我們可以用來表示所有的單位向量.
繼續(xù)類比數(shù)字的絕對值，引導(dǎo)學(xué)生對兩個(gè)特殊的向量下定義—零向量和單位向量. 對這兩個(gè)規(guī)定了大小的特殊向量，分幾個(gè)方面設(shè)計(jì)問題幫助學(xué)生理解它們的方向.
單位向量在向量中的作用，類似于單位長度在數(shù)量中的作用. 從長度、方向、任意單位向量的表示方法多個(gè)角度理解單位向量.
向量之間的關(guān)系
環(huán)節(jié)5.相等向量：
長度相等且方向相同的向量叫做：相等向量. 記作：.
比如，平行四邊形ABCD， 對邊AB，CD平行且相等.
如果分別給它們一個(gè)方向，由A指向B的方向、由D指向C的方向，那么,就是一組長度相等且方向相同的向量，它們是一組相等向量，記作：=,,這組向量之間的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系都很特殊. 如果只看位置關(guān)系，方向相同、方向相反，都是向量方向上的特殊關(guān)系.

我們獲得了新的研究對象，根據(jù)它的特征給它起了“名字”，下了定義并用符號表示出來，研究了特殊的元素—零向量和單位向量；這是我們認(rèn)識數(shù)學(xué)新的對象的一個(gè)基本的脈絡(luò)和方法. 接下來，我們應(yīng)該研究這個(gè)新生事物具有什么樣的性質(zhì)了. 我們來研究兩個(gè)向量之間的關(guān)系.
環(huán)節(jié)6.平行向量：
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a與b平行記作;規(guī)定零向量與任意向量平行.
概念理解1.平行向量所在的直線一定互相平行嗎？
平行向量指的是向量在方向上的兩個(gè)特殊的關(guān)系，相同方向或者相反方向. 方向相同的向量，可以處在一組平行線上，像圖中的向量a與向量b；也可以處在一條直線上，也就是共線:圖中的向量b和向量c. 方向相反的向量同理. 所在的直線可能平行，也可能共線. 所以，因此，平行向量所在的直線可能平行，也可能共線.
概念理解2.平行是否等價(jià)于相同方向呢?
向量的平行對應(yīng)兩種情況，方向相同或者相反. 兩個(gè)向量平行，它們的方向未必一致，有兩種可能：相同或相反.
概念理解3.平行向量與共線向量.
如圖，設(shè) 是一組平行向量，任作一條與a所在直線平行的直線l，在l上任取一點(diǎn)O,分別作，那么點(diǎn)A、B、C的位置關(guān)系如何？我們發(fā)現(xiàn)，A、B、C三點(diǎn)共線. 由于平移不改變向量的長度和方向，任意一組平行可以平移到同一條直線上. 因此，平行向量也叫共線向量，是描述同一種方向特征的不同名稱.
應(yīng)從哪幾方面研究向量之間存在的特殊關(guān)系呢？由于向量具有大小、方向兩個(gè)方面的特征，我們的研究也應(yīng)該圍繞向量的大小關(guān)系、向量的方向之間的關(guān)系展開. 而由于其大小關(guān)系其實(shí)就是數(shù)量之間的關(guān)系，我們把研究的重點(diǎn)放在向量的方向上.
易混淆概念辨析
環(huán)節(jié)7.有向線段與向量：
概念辨析1.有向線段與向量的區(qū)別與聯(lián)系.
根據(jù)前面的學(xué)習(xí)我們知道，起源于物理，我們用：有向線段來表示向量，這句話明確了二者的聯(lián)系；但為什么不干脆說有向線段就是向量，向量就是有向線段？這二者有什么區(qū)別？是否數(shù)學(xué)中的向量等同于物理中的矢量？
二者的區(qū)別就在于起點(diǎn). 向量與起點(diǎn)無關(guān). 有向線段的位置是固定的，與起點(diǎn)位置有關(guān)；我們在做受力分析的時(shí)候，力的大小、方向、作用點(diǎn)缺一不可，這是物理中的矢量；而在抽象成數(shù)學(xué)中的向量之后，其“作用點(diǎn)”已經(jīng)不起作用. 有向線段是幾何圖形，是向量的直觀表示.
向量的有關(guān)概念中，向量與有向線段、平行向量共線向量，這兩組概念經(jīng)常由于理解的不到位而造成失誤. 為了避免這些失誤，我們一起來分辨一下它們.
類比物理受力分析，辨析有向線段與向量之間區(qū)別是起點(diǎn)、位置、是否自由移動. 說明：有向線段是幾何圖形，是向量的直觀表示.

環(huán)節(jié)8.共線向量是否共線？平行向量是否平行？
概念辨析.共線向量所在直線是否共線？
如果非零向量 是共線向量，那么點(diǎn)A、B、C、D是否一定共線？平行向量也叫共線向量，它們是一回事，指兩個(gè)非零向量方向相同或相反（零向量與任意向量平行、共線）. 向量中，就讀作向量 平行或者向量共線. 如圖上的兩組向量，滿足兩向量共線，但不滿足端點(diǎn)共線.也可能出現(xiàn)共線向量的端點(diǎn)共線的情形. 共線向量所在直線，可能平行、可能共線.
向量中的平行概念與平面幾何中的平行、共線不是一個(gè)概念. 平行向量是從方向角度對比兩個(gè)向量，方向相同或者相反，都是平行向量；而平面幾何中的平行，是兩直線之間的位置關(guān)系，是區(qū)別共線與相交的；反過來，由于平行向量和共線向量壓根是一回事，因此“共線向量”一詞中的共線也不是說這兩個(gè)向量一定是幾何意義上的共線. 因?yàn)橄蛄客耆怯伤哪：头较驔Q定的，共線向量所在直線可能平行、可能共線；平行向量所在直線，可能共線、可能平行.
環(huán)節(jié)9.練習(xí)
若a與b是單位長度，那么.
單位向量都相等么？(由于單位向量可指向任意方向，錯誤)
(2)方向?yàn)槟掀?的向量與北偏東的向量 是共線向量. (方向相反的向量一定共線，正確)
(3)若兩向量不相等，則它們不共線. (向量相等，大小相等、方向相同，兩個(gè)條件需要同時(shí)滿足；但不等，只需要一個(gè)條件不滿足即可. 反例是一組共線但長度不等的向量，錯誤)
(4)若 ，則A，B，C，D組成平行四邊形. (是平行四邊形的必要條件，這個(gè)命題在定義相等向量中曾舉例說明；但是不是充分條件呢?由于時(shí)，端點(diǎn)A、B、C、D可能共線，不能組成四邊形，錯誤)
針對：單位向量、相等向量、共線向量，易理解失誤的概念，設(shè)計(jì)問題，
其中（1）、（2）為課本課后練習(xí).
例題
例題的分析與解答
環(huán)節(jié)10.例題的分析與解答.
如圖，設(shè)O是正六邊形中心.
分別寫出圖中的共線向量；
分別寫出圖中與、、相等的向量.
根據(jù)共線向量的定義，我們需要找到在圖中與方向相同或者方向相反的向量，即，如果做出直線l 與向量平行，那么所有可以通過平移移動到l的向量都符合題意.
正六邊形的邊、對角線之間存在著豐富的、特殊的數(shù)量關(guān)系：倍數(shù)關(guān)系、相等關(guān)系，特殊的位置關(guān)系：平行、共線，是我們理解向量有關(guān)概念的很好的載體. 根據(jù)正六邊形的幾何性質(zhì)確定，向量與、、是共線向量. 其中，==，與是一組相反向量，它們方向相反，大小相等.
同理，我們找到與向量共線的向量有三個(gè)：、、，其中，==.
第三組，與共線的向量是：、、，它們不僅方向共線，而且方向相同，大小相等，===.
共線向量所在直線可能平行也可能共線，容易漏解，需要提示如何避免；相等向量在共線的前提下，尋找方向相同同時(shí)模相等的向量.
如果時(shí)間容許可以進(jìn)行追問，若沒有圖形中給定的向量方向，以第三組共線向量為例，以正六邊形的端點(diǎn)、中心，為起點(diǎn)終點(diǎn)的向量中，與共線的向量就應(yīng)該還有：、、、.
小結(jié)
小結(jié)回顧與展望
環(huán)節(jié)11.小結(jié)回顧與展望
小結(jié)1：本節(jié)課小結(jié)
關(guān)于向量的概念，我們從實(shí)際生活中、物理中抽象出概念，引入既有大小又有方向的量. 向量的定義決定了它兼有代數(shù)、幾何特征. 受到帶箭頭的線段表示力的啟發(fā)，用有向線段表示向量，并符號化. 類比研究數(shù)的方法，也為向量體系的完備制訂“規(guī)則”，在研究向量時(shí)首先找到特殊的向量進(jìn)行研究. 研究了特殊而要的向量，接下來研究特殊而重要的關(guān)系：相等、平行.
小結(jié)2：數(shù)學(xué)歷史文化中的向量
向量的定義方法和符號表示，我們僅僅經(jīng)歷了一節(jié)課的時(shí)間，在歷史上向量從在物理中的使用到進(jìn)入數(shù)學(xué)，蓬勃的發(fā)展，經(jīng)歷了漫長的時(shí)間. 向量概念萌芽于兩千多年前，由古希臘著名學(xué)者亞里士多德最早提出；牛頓則最先使用有向線段表示力. 萊布尼茲利用向量研究幾何問題的視角，逐漸形成了現(xiàn)在的向量理論體系. 而向量進(jìn)入數(shù)學(xué)并得到發(fā)展的標(biāo)志出現(xiàn)在1797年，丹麥測量學(xué)家韋塞爾把復(fù)數(shù)表示為向量并將坐標(biāo)平面上的點(diǎn)用向量表示出來，自此，二者都如虎添翼，徹底實(shí)現(xiàn)了幾何問題的代數(shù)化.
小結(jié)3：本節(jié)課在章節(jié)中的位置介紹，向量學(xué)習(xí)展望
我們不妨展望一下，對于這個(gè)全新的研究對象，我們還會研究什么? 如何運(yùn)算？如何坐標(biāo)化？進(jìn)而可以應(yīng)用在哪些方面. 在應(yīng)用到各領(lǐng)域后，可能還會遇到新的問題，需要我們回到物理、回到數(shù)學(xué)中繼續(xù)研究和加以解決.
從三方面進(jìn)行小結(jié)：本節(jié)課的知識內(nèi)容和研究方法；向量的歷史；本章要繼續(xù)研究的內(nèi)容.
本節(jié)課研究問題你的方法，是我們獲得研究對象、刻畫、認(rèn)識它的基本思想方法；而知識線中，由于向量的形數(shù)兼?zhèn)溥@一特征，在討論任何問題時(shí)都要考慮向量的大小、向量的方向，這兩個(gè)方面.
這一結(jié)構(gòu)體系，體現(xiàn)了研究一個(gè)數(shù)學(xué)對象及其應(yīng)用的基本思路和基本方法. 展望一下：數(shù)學(xué)的發(fā)展過程，新問題的獲得、認(rèn)識、研究、發(fā)展并進(jìn)一步應(yīng)用的過程，無不如此. 我們會繼續(xù)學(xué)習(xí)有關(guān)向量的運(yùn)算、將其坐標(biāo)化、進(jìn)而可以應(yīng)用在哪些方面.
作業(yè)
1. 下列量中哪些是向量？
懸掛物體受到的拉力，壓強(qiáng)，摩擦力，頻率，加速度.
2. 畫兩條有向線段，分別表示一個(gè)豎直向下，大小為
18N的力和一個(gè)水平向右，大小為28N的力. (1cm
長等于10N)
3. 指出圖中各向量的長度. (規(guī)定小方格邊長為0.5)
4. 將向量用具有相同起點(diǎn)O的有向線段表示.
（1）當(dāng)時(shí)，判斷終點(diǎn)M與N的位置關(guān)系;
（2）當(dāng) 與是平行向量，且 時(shí)，求向量的長度，并判斷的方向與方向之間的關(guān)系.
作業(yè)會同時(shí)通過學(xué)習(xí)任務(wù)單發(fā)送給大家，請大家完成本節(jié)課學(xué)習(xí)后，思考學(xué)習(xí)單上的問題，并完成課后作業(yè).
數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，研究對象就是幾何和代數(shù)，向量兼而有之，這也決定了它必在數(shù)形結(jié)合上發(fā)揮巨大的作用. 讓我們拭目以待.